마르코프 속성

확률 이론과 통계에서 마르코프 속성이라는 용어는 확률적 과정의 기억력이 없는 속성을 가리킨다. 러시아의 수학자 안드레이 마르코프의 이름을 따서 지은 것이다.^[1] strong Markov 속성이라는 용어는 "현재"의 의미가 정지 시간으로 알려진 임의 변수의 관점에서 정의된다는 점을 제외하고는 마르코프 속성과 유사하다.

마르코프 가정이라는 용어는 숨겨진 마르코프 모델과 같이 마르코프 속성을 보유한다고 가정하는 모델을 설명하기 위해 사용된다.

마르코프 무작위 필드는 이 속성을 2개 이상의 차원 또는 항목 상호연결 네트워크에 대해 정의된 랜덤 변수로 확장한다.^[2] 그러한 분야의 모델의 예는 Ising 모델이다.

마르코프 속성을 만족시키는 이산 시간 확률적 과정은 마르코프 체인으로 알려져 있다.

소개

확률적 공정은 공정의 미래 상태에 대한 조건부 확률 분포(과거와 현재 가치 모두에 대한 조건부)가 현재 상태에만 의존하는 경우 마르코프 속성을 가진다. 즉, 현재를 고려할 때 미래는 과거에 의존하지 않는다. 이 속성을 가진 과정은 마르코비안 또는 마르코프 과정이라고 한다. 가장 유명한 마르코프 과정은 마르코프 체인이다. 브라운 모션은 또 다른 잘 알려진 마르코프 과정이다.

역사

정의

Let ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ be a probability space with a filtration ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{s},\ s\in I)}$, for some (totally ordered) index set ${\displaystyle I}$; and let ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ be a measurable space. A${\displaystyle }$( ${\displaystyle S\mathcal{}}$, S${\displaystyle }$) ${\displaystyle ($S, ${\mathcal {S}})$ - 값진$$ 확률적 $공정{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ :${\displaystyle {}_{}\mathrm{\Omega }}$→ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\$ X$=\{X_{t}:$여과에 적응한 $\Oomega \to S\}_{t\in$ I$}}$은(는) 각 A$display$ S {\$displaystyle A\in$ {$S}$과(와) 각 s${\displaystyle }$, t ${\displaystyle \in }$ I ${\displaystyle s,t\$$in$ $I}$에 대해 t< ${\displaystysty s}$ 가 있는 경우 마르코프 속성을 소유하고 있다고 한다.

${\displaystyle P(X_{t}\in A\mid {F}_{s}}=P(X_{t}\in A\mid X_{s})).}$^[3]

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 이산 시그마 대수 및 $I{\displaystyle }$= ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$ I$=\mathb {N}}$이$($가) 포함된 이산 집합인 경우$$, 다음과 같이 재구성할 수 있다.

${\displaystyle P(X_{n}=x_{n1}\mid X_{n-1}=x_{n-1},\dots,X_{0}=x_{0}}}=P(X_{n}={n}={n1}=mid X_{n-1}=x_{n-1}.}$

대체 제형식

또는 마르코프 속성을 다음과 같이 공식화할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {E}[f(X_{t})]\mid {mathcal {F}_{s}=\operatorname {E}[f(X_{t})\mid \sigma(X_{s})]}}$

모든 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle \mathrm{s}}$ ${\displaystyle \ge }$ 0 ${\displaystyle t\geq s\geq 0}$ 및$$ $f{\displaystyle }$: S${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$S\rightarrow \mathb {R}$경계와$$ 측정 가능.^[4]

스트롱 마코프 속성

Suppose that ${\displaystyle X=(X_{t}:t\geq 0)}$ is a stochastic process on a probability space ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ with natural filtration ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\geq 0}}$. 그러면 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ $\tau }$의 정지 시간 define ${\displaystyle$ $\Oomega }$에 대해 정의할 수 있다$.$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }=\{A\in {\mathcal {F}}:\forall t\geq 0,\{\tau \leq t\}\cap A\in {\mathcal {F}}_{t}\}}$.

각 정지 시간에,τ{\displaystyle \tau}, 사건{τ<>∞}{\displaystyle\와 같이{\tau<>\infty)}를 조건으로}그리고 X{X\displaystyle} 강한 마르코프 속성었다고 했지만 우리는 각 t동안+t{\displaystyle X_{\tau)}0{\displaystyle t\geq 0}, Xτ ≥}의 독립적입니다. f${\$ $X$ ${\displaystyle {\tau }_{}}$ ${\$ $\}\}\}\}.$

강력한 마코프 속성은 정지 시간 $\tau {\displaystyle }$= ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \tau =t}$을$($를) 취함으로써 일반적인 마코프 속성을 추론할 수 있기 때문에 일반적인 마코프 속성을 의미한다.^[5]

예측에 있어서

예측 모델링 및 확률적 예측 분야에서 마르코프 속성은 난해성 때문에 해결할 수 없는 문제의 추론과 해결을 가능하게 할 수 있기 때문에 바람직한 것으로 간주된다. 그러한 모델은 마르코프 모델로 알려져 있다.

예

항아리에 붉은 공 2개와 녹색 공 1개가 들어 있다고 가정해 보자. 어제 공 한 개가 뽑혔고, 오늘 공 한 개가 뽑혔고, 내일 최종 공이 뽑힌다. 모든 추첨은 "교체되지 않음"이다.

오늘 공이 빨갛다는 것을 알고 있지만, 어제의 공에 대한 정보는 없다고 가정해보자. 내일 공이 빨간색이 될 확률은 1/2이다. 왜냐하면 이 무작위 실험에서 유일하게 남은 결과는 다음과 같기 때문이다.

날	결과 1	결과 2
어제	빨간색	녹색
오늘	빨간색	빨간색
투모로우	녹색	빨간색

한편, 오늘과 어제의 공이 모두 빨갛다는 것을 안다면, 내일은 그린 볼을 받을 수 있는 것이 보장된다.

이러한 불일치는 내일의 색상에 대한 확률 분포가 현재 가치에 따라 달라지는 것은 물론 과거의 정보에 영향을 받는다는 것을 보여준다. 관찰된 색의 이 확률적인 과정은 마르코프 속성을 가지고 있지 않다. 위와 같은 실험을 사용하여, "대체 없는" 샘플링을 "대체와 함께" 샘플링으로 변경할 경우, 관측된 색상의 공정은 마르코프 특성을 갖게 된다.^[6]

일반화된 형태의 마르코프 속성의 적용은 마코프 체인 몬테 카를로 계산에 베이시안 통계학의 맥락에서 이루어진다.

참고 항목

• 원인 마르코프 조건
• 채프만-콜모고로프 방정식
• 히스테레시스
• 마르코프 담요
• 마르코프 체인
• 마르코프 의사결정 과정
• 마르코프 모델

참조