크랭크-니콜슨법

미분 방정식
장애물 주위의 공기 흐름을 시뮬레이션하는 데 사용되는 Navier-Stokes 미분 방정식
범위
필드 자연과학 공학 천문학 물리학 화학 생물학 지질학 응용 수학 연속체 역학 혼돈 이론 다이너믹 시스템 사회과학 경제학 인구역학
분류
종류들 보통 부분적 차동알지브라질 인터그로 차동 분수 선형 비선형 변수 유형별 종속변수와 독립변수 자율적 콤플렉스 결합/분리됨 정확한 동종/비동종 특징들 주문 연산자 표기법
프로세스와의 관계 차이(구체 아날로그) 스토카스틱 확률적 부분 지연
해결책
존재와 고유성 피카르-린델뢰프 정리 페아노 존재 정리 카라테오도리의 존재 정리 카우치-코왈레프스키 정리
일반 주제 룬스키안 위상 초상화 위상공간 랴푸노프 / 점근증 / 지수 안정성 수렴율 시리즈/적분 솔루션 수치적 통합 디라크 델타 함수
솔루션 방법 감사 특성방법 오일러 지수 반응식 유한차이 (크랭크-니콜슨) 유한요소 무한요소 유한 부피 갤러킨 페트로프-갈러킨 집적인자 적분 변환 섭동 이론 룬게쿠타 변수의 분리 결정되지 않은 계수 모수의 변동
사람
리스트 아이작 뉴턴 조지프 푸리에 고트프리드 라이프니즈 레온하르트 오일러 에밀 피카르 요제프 마리아 회네브로이스키 에른스트 린델뢰프 루돌프 립시츠 아우구스틴루이코치 존 크랭크 필리스 니콜슨 칼 데이비드 톨메 룬지 마르틴 쿠타
v t

수치 해석에서 크랭크-니콜슨 방법은 열 방정식과 유사한 부분 미분 방정식을 수치적으로 해결하는 데 사용되는 유한 차이 방법이다.^[1]제때에 2차 주문하는 방법이다.시간 속에 함축되어 있고, 암묵적인 런지-쿠타 방법으로 쓸 수 있으며, 수적으로 안정적이다.이 방법은 20세기 중반 존 크랭크와 필리스 니콜슨이 개발했다.^[2]

확산 방정식(및 많은 다른 방정식)의 경우 크랭크-니콜슨 방법이 무조건 안정적이라는 것을 보여줄 수 있다.^[3]그러나 시간 단계 ${\displaystyle \mathrm{\Delta t}}$ ${\displaystyle \Delta t}$의 공간 단계 대비 열 확산성 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ x$^{$2}}가 큰 경우(일반적으로 Von Neumann 안정성 분석당 1/2보다 큰 경우$)$ 대략적인 해법에는 (decaying) 가상 진동이 여전히 포함될 수 있다.이 때문에 큰 시간 스텝이나 높은 공간 분해능이 필요할 때마다 덜 정확한 후진 오일러법을 사용하는 경우가 많은데, 이 방법은 안정적이면서도 진동에도 면역성이 있다.^{[citation needed]}

방법

크랭크-니콜슨 방법은 사다리꼴 규칙에 기초하여 시간 내에 2차 정합성을 제공한다.선형 방정식의 경우 사다리꼴 규칙은 암묵적 중간점 방법^{[citation needed]}(Gauss-Legendre 암묵적 Runge-Kutta 방법의 가장 단순한 예)과 동일하며, 이 방법은 기하학적 통합자라는 특성도 가지고 있다.예를 들어, 한 차원에서는 부분 미분 방정식이

${\displaystyle {\frac {\partial t}{\partial t}=F\left(u,x,t,{\partial u}{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\오른쪽).}$

Letting ${\displaystyle u(i\Delta x,n\Delta t)=u_{i}^{n}}$ and ${\displaystyle F_{i}^{n}=F}$ evaluated for ${\displaystyle i,n}$ and ${\displaystyle u_{i}^{n}}$, the equation for Crank–Nicolson method is a combination of the forward Euler method at ${$$\displaystyle n}$ 및 n + 1의 후진 오일러 방법(단, 후진 오일러 방정식은 용액에 대한 암묵적 의존성을 가지므로 방법 자체가 단순히 두 가지 방법의 평균이 아니라는 점에 유의한다).

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{n}}{\Delta t}}=F_{i}^{n}^{n}\왼쪽(u,x,t,{\frac {\partial u}{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\오른쪽)\qquad {\text{(Forward Eiler)},},},},},},}$

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{n}}{\Delta t}}=F_{i}^{n1}^{n+1}\왼쪽(u,x,t,{\frac {\partial u}{\partial x}{2}u}{\partial x^{2}}}\오른쪽)\qquad {\text{(뒤쪽 오일러)}},},},},}$

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}}}{\delta t}={\frac {1}{2}}\왼쪽[]F_{i}^{n+1}\왼쪽(u,x,t,{\frac {\partial u}{\partial x}},{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\오른쪽)+F_{i}^{n}\left(u,x,t,{\frac {\partial u}{\partial u}{2}u}{\partial x^{2}}}\오른쪽)\\\qquad{\text{(크랭크-니콜슨)}}}}}}}.}$

이것이 암묵적인 방법이라는 점에 유의하십시오. u의 "다음" 값을 제때 얻기 위해서는 대수 방정식의 시스템이 반드시 해결되어야 한다.부분 미분방정식이 비선형인 경우 디크리트화도 비선형적이므로, 선형화는 가능하지만 시간 경과에 따라 비선형 대수 방정식 시스템의 해법이 수반될 것이다.많은 문제들, 특히 선형 확산에서 대수적 문제는 삼지각이며 전체 매트릭스에 대한 $일반적$인 O${\displaystyle }$($){\$$displaystyle {\mathcal{O$}}}과 반대로 $빠른{\displaystyle \mathcal{}}$ O${\displaystyle }$($){\$$displaystyle {\mathcal$ {$O}(N^{3})$ 직접 솔루션을$$ 제공하는 삼지각 매트릭스 알고리즘으로 효율적으로 해결할 수 있다.여기서 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$은 행렬 크기를 나타낸다.

예: 1D 확산

크랭크-니콜슨 방법은 확산 문제에 적용되는 경우가 많다.예를 들어, 선형 확산의 경우,

${\displaystyle {\frac {\fract t}{\fract t}=a{\frac {\properties ^{2}u}{\propert x^{2}}}}$

오른쪽 측면에 유한 차이 공간 디크리테이션을 적용하면 크랭크-니콜슨 디크리테이션을 수행할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}={\frac {a}{2(\Delta x)^{2}}}\left((u_{i+1}^{n+1}-2u_{i}^{n+1}+u_{i-1}^{n+1})+(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n})\right)}$

$또는{\displaystyle }$ r =${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{}}$ ${\displaystyle \frac{t}{}}$ 2${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{\Delta }{}}$ x${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$) ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\$ {$a\Delta t}{2(\Delta$ x$)^{2$

${\displaystyle -ru_{i+1}^{n+1}+{n+1}+(1+2r)u_{n+1}-{n+1}-{i-1}^{n+1}=ru_{i+1}^{n}+(1-2r)u_{n}^{n}+r_{i-1}^{n}.}$

방정식의 우측에 있는 용어들이 알려져 있는 것을 볼 때, 이것은 삼두각형 문제여서, 훨씬 더 비용이 많이 드는 매트릭스 역행보다 유리하게 삼두각 행렬 알고리즘을 사용함으로써 ${\displaystyle {ui}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\$이 $효율적$으로 해결될 수 있다$$.

quasilinar 방정식(이것은 일반적이지 않고 미니멀한 예)과 같은 것.

${\displaystyle {\frac {\fract u}{\propert t}=a(u){\frac {\fract ^{2}u}{\propert x^{2}}}}}$

위와 같이 쉽게 풀 수 없는 대수 방정식의 비선형 시스템으로 이어질 수 있지만, 경우에 따라서는 $($ 대신$$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$u ) ${\$$displaystyle a_{i}^{n}(u$$)}$의 이전 값을 사용하여 문제를 선형화할 수 있다.$)\}\}.$ 다른 때에는 명시적 방법을 사용하여$$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle 1_{}^{}}$($){\displaystyle a_{i}^{n+1}(u)}$을(를) 추정하여 안정성을 유지하는 것이 가능할 수도 있다.

예: 안정적인 흐름을 위한 부속품을 포함한 1D 확산, 다중 채널 연결

이것은 일반적으로 꾸준한 흐름 조건 하에서 하천이나 하천에 오염 문제가 있을 때 여러 목적으로 채택되는 해결책이지만, 정보는 한 차원에서만 주어진다.종종 그 문제는 1차원 문제로 단순화될 수 있지만 여전히 유용한 정보를 산출한다.

여기서 우리는 물에 있는 용해성 오염물질의 농도를 모델링한다.이 문제는 알려진 확산방정식(${\displaystyle {상수}_{}}$로 선택한$$D x {\$displaystyle D_{$x}), 우리가 상수 Ux로 선택한 부속성분(속도장 때문에 시스템이 우주 공간에서 진화하고 있다는 의미), 그리고 종방향 채널 간 횡방향 상호작용(k)의 세 부분으로 구성된다.

${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial t}}=D_{x}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial x^{2}}}-U_{x}{\frac {\partial C}{\partial x}}-k(C-C_{N})-k(C-C_{M}),}$

(1)

여기서 C는 오염물질의 농도이며, 첨자 N과 M은 이전 채널과 다음 채널에 해당한다.

크랭크-니콜슨 방법(여기서 i는 위치를, j 시간은 시간을 나타냄)은 PDE의 각 구성요소를 다음과 같이 변환한다.

${\displaystyle {\frac {\partial t}{\partial t}\오른쪽 화살표 {\c_{i}^{j+1}-C_{i}^{j}}}{\Delta t},}$

(2)

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}C}{\partial x^{2}}}\Rightarrow {\frac {1}{2(\Delta x)^{2}}}\left((C_{i+1}^{j+1}-2C_{i}^{j+1}+C_{i-1}^{j+1})+(C_{i+1}^{j}-2C_{i}^{j}+C_{i-1}^{j})\right),}$

(3)

${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial x}}\Rightarrow {\frac {1}{2}}\left({\frac {(C_{i+1}^{j+1}-C_{i-1}^{j+1})}{2(\Delta x)}}+{\frac {(C_{i+1}^{j}-C_{i-1}^{j})}{2(\Delta x)}}\right),}$

(4)

${\displaystyle C\Rightarrow {\frac {1}{1}:{2}}(C_{i}^{j+1}+C_{i}^{j}),}$

(5)

${\displaystyle C_{N}\오른쪽 화살표 {\frac {1}{1}:{2}}(C_{Ni}^{j+1}+C_{Ni}^{j}),}$

(6)

${\displaystyle C_{M}\오른쪽 화살표 {\frac {1}{1}:{2}}(C_{Mi}^{j+1}+C_{Mi}^{j}).}$

(7)

이제 우리는 대수학을 단순화하기 위해 다음과 같은 상수를 만든다.

${\displaystyle \lambda ={\frac {D_{x}\Delta t}{2\Delta x^{2}},}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {U_{x}\Delta t}{4}\Delta x},}$

${\displaystyle \beta ={\frac {k\Delta t}{2}},}$

그리고 (1)로 (2), (3), (4), (5), (6), (7), α, β 및 λ을 대체한다.그런 다음 새로운 시간 조건을 왼쪽(j + 1)에, 현재 시간 조건을 오른쪽(j)에 배치하여,

${\displaystyle -\beta C_{Ni}^{j+1}-(\lambda +\alpha )C_{i-1}^{j+1}+(1+2\lambda +2\beta )C_{i}^{j+1}-(\lambda -\alpha )C_{i+1}^{j+1}-\beta C_{Mi}^{j+1}={}}$

${\displaystyle \qquad \beta C_{Ni}^{j}+(\lambda +\alpha )C_{i-1}^{j}+(1-2\lambda -2\beta )C_{i}^{j}+(\lambda -\alpha )C_{i+1}^{j}+\beta C_{Mi}^{j}.}$

첫 번째 채널을 모델링하기 위해서는 다음 채널(M)과 접촉할 수 있어야 한다는 것을 알기 때문에 표현은 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle -(\lambda +\alpha )C_{i-1}^{j+1}+(1+2\lambda +\beta)C_{j+1}-(\lambda -\alpha )C_{j+1}^{j+1}-\beta C_{mi}^{j+1}={j+1}={j+1}$

${\displaystyle \qquad +(\lambda +\alpha )C_{i-1}^{j}+(1-2\lambda -\beta )^{j}+(\lambda -\alpha )C_{i+1}^{j}+\beta{Mi}^{j}.}$

마찬가지로, 마지막 채널을 모델링하기 위해서는 이전 채널(N)과 접촉할 수만 있다는 것을 깨닫고, 따라서 표현은 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle -\beta C_{Ni}^{j+1}-(\lambda +\alpha )-(\lambda +\lambda +\beta)^{j+1}+(1+2+\lambda +\beta)C_{{i+1}{j+1}={j+1}$

${\displaystyle \qquad \beta C_{Ni}^{j}+(\lambda +\alpha )C_{i-1}^{j}+(1-2\lambda -\beta )C_{i+1}^{j}+(\lambda -\alpha )}^{j}.}$

이 방정식의 선형 시스템을 해결하기 위해, 우리는 이제 경계 조건이 채널의 시작에 먼저 주어져야 한다는 것을 알아야 한다.

${\displaystyle C_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$: 현재 시간 단계에서 채널에 대한 초기 조건,

${\displaystyle {\mathrm{C}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ 1 ${\$}$$: 다음 단계에서 채널의 초기 조건,

${\displaystyle C_{}^{}}$ ${\displaystyle N_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ j ${\$ $:$ 현재 단계에서 분석된 채널에 대한 이전 채널의 초기 조건,

${\displaystyle C_{}^{}}$ ${\displaystyle M_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ j ${\$ : 현재 단계에서 분석한 채널의 다음 채널에 대한 초기 조건.

채널의 마지막 셀(z)의 경우 가장 편리한 조건이 부차적인 조건이 되기 때문에

${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial x}_{x=z}={\frac {(C_{i+1}-C_{i-1}){2\Delta x}=0.}$

이 조건은 (null 값에 관계 없이) 경우에만 충족된다.

${\displaystyle C_{i+1}^{j+1}^{j+1}=C_{i-1}^{j+1}}$

3개 채널과 5개 노드(초기 경계 조건 포함)의 경우 이 문제를 (매트릭스 형태로) 해결하자.우리는 이것을 선형 시스템 문제로 표현한다.

${\displaystyle \mathbf {AA} \,\mathbf {C^{j+1} =\mathbf {BB} \,\mathbf {C^{j} +\mathbf {d},}$

어디에

${\displaystyle \mathbf{C^{j+1} ={\begin{bmatrix}C_{11}^{j+1}\C_{12}^{j+1}\C_{13}^{j+1}\C_{14}^{j+1}\C_{21}^{j+1}\C_{22}^{j+1}\C_{23}^{j+1}\C_{24}^{j+1}\C_{31}^{j+1}\C_{32}^{j+1}\C_{33}^{j+1}\C_{34}^{j+1}\end{bmatrix},\quad \mathbf {C^{{j}} ={\begin{bmatrix}C_{11}^\{12}^{j}\}^{j}\c_{13}^{j}}}\\\\\\\C_{14}^{j}\\C_{21}^{j}\\\C_{22}^{j}\\C_{23}^{j}\\C_{24}^{j}\\C_{31}^{j}\\C_{32}^{j}\\C_{33}^{j}\C_{34}^{j}\end{bmatrix}}.}$

이제 우리는 AA와 BB가 4개의 다른 하위선으로 구성된 배열이어야 한다는 것을 깨달아야 한다(이 예에서는 3개의 채널만 고려되지만 위에서 논의한 주요 부분을 다룬다는 것을 기억하라).

${\displaystyle \mathbf {AA} = {\begin{bmatrix}AA1&AA3&0\\AA3&AA2&AA3\\0&AA3&AA1\end{bmatrix},\quad \mathbf {BB} ={\begin{bmatrix}BB1&-AA3&0\-AA3&A3\\0&-AAA3\nd{bmatrix},},}$

여기서 위에 언급된 원소는 다음 배열에 해당하며, 0으로 가득 찬 추가 4×4.AA와 BB의 크기는 12×12이다.

${\displaystyle \mathbf {AA1} ={\begin{bmatrix}(1+2\lambda +\beta )&-(\lambda -\alpha )&0&0\\-(\lambda +\alpha )&(1+2\lambda +\beta )&-(\lambda -\alpha )&0\\0&-(\lambda +\alpha )&(1+2\lambda +\beta )&-(\lambda -\alpha )\\0&0&-2\lambda &(1+2\lambda +\beta )\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle \mathbf {AA2} ={\begin{bmatrix}(1+2\lambda +2\beta )&-(\lambda -\alpha )&0&0\\-(\lambda +\alpha )&(1+2\lambda +2\beta )&-(\lambda -\alpha )&0\\0&-(\lambda +\alpha )&(1+2\lambda +2\beta )&-(\lambda -\alpha )\\0&0&-2\lambda &(1+2\lambda +2\beta )\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle \mathbf {AA3} ={\begin{bmatrix}-\beta &0&0&0\\0&0\\beta &0&0&0&-\beta \end{bmatrix},}$

${\displaystyle \mathbf {BB1} ={\begin{bmatrix}(1-2\lambda -\beta )&(\lambda -\alpha )&0&0\\(\lambda +\alpha )&(1-2\lambda -\beta )&(\lambda -\alpha )&0\\0&(\lambda +\alpha )&(1-2\lambda -\beta )&(\lambda -\alpha )\\0&0&2\lambda &(1-2\lambda -\beta )\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle \mathbf {BB2} ={\begin{bmatrix}(1-2\lambda -2\beta )&(\lambda -\alpha )&0&0\\(\lambda +\alpha )&(1-2\lambda -2\beta )&(\lambda -\alpha )&0\\0&(\lambda +\alpha )&(1-2\lambda -2\beta )&(\lambda -\alpha )\\0&0&2\lambda &(1-2\lambda -2\beta )\end{bmatrix}}.}$

여기서 d 벡터는 경계 조건을 유지하는 데 사용된다.이 예에서 12×1 벡터:

${\displaystyle \mathbf {d} ={\begin{bmatrix}(\lambda +\alpha )(C_{10}^{j+1}+C_{10}^{j})\\0\\0\\0\\(\lambda +\alpha )(C_{20}^{j+1}+C_{20}^{j})\\0\\0\\0\\(\lambda +\alpha )(C_{30}^{j+1}+C_{30}^{j})\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

언제든지 농도를 찾으려면 다음 방정식을 반복해야 한다.

${\displaystyle \mathbf {C^{j+1} =\mathbf {AA}^{1}(\mathbf {BB} \,\mathbf {C^{j}} +\mathbf {d}).}$

예: 2D 확산

균일한 카르테시안 그리드에서 2차원으로 확장했을 때, 파생은 유사하며 결과는 3차원 방정식이 아닌 대역-대각 방정식의 시스템으로 이어질 수 있다.2차원 열 방정식

${\displaystyle {\frac {\preason u}{\pair t}=a\pa ^{2}u,}$

${\displaystyle {\frac{\frac}{\reft t}=a\left \frac\frac {\frac}{2}+{\fract x^{2}}{{2}u}{\frac y^{2}}}\right)}}$

의 Crank-Nicolson discretation으로 해결할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{i,j}^{n+1}&=u_{i,j}^{n}+{\frac {1}{2}}{\frac {a\Delta t}{(\Delta x)^{2}}}{\big [}(u_{i+1,j}^{n+1}+u_{i-1,j}^{n+1}+u_{i,j+1}^{n+1}+u_{i,j-1}^{n+1}-4u_{i,j}^{n+1})\\&+(u_{i+1,j}^{n}+u_{i-1,j}^{n}+u_{i,j+1}^{n}+u_{i,j-1}^{n}-4u_{i,j}^{n}){\big ]},\end{aligned}}}$

$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ =${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Delta x=\Delta$ y$}$이(가) 사용된다고 가정한다$.$이 방정식은 항을 재배치하고 CFL 번호를 사용하여 다소 단순화할 수 있다.

${\displaystyle \mu ={\frac {a\Delta t}{{(\Delta x)^{2}}.}$

크랭크-니콜슨 수치의 경우 안정성을 위해 낮은 CFL 번호가 필요하지 않지만, 수치 정확도를 위해 필요하다.우리는 이제 그 계획을 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle (1+2\mu )u_{i,j}^{n+1}-{\frac {\mu }{2}}\left(u_{i+1,j}^{n+1}+u_{i-1,j}^{n+1}+u_{i,j+1}^{n+1}+u_{i,j-1}^{n+1}\right)={}}$

${\displaystyle \qquad (1-2\mu )u_{i,j}^{n}^{n}+{\frac {\mu }{2}}\(u_{i+1,j}^{n}^{i-1}^{n}+u_{n}^{n+u_{i,j-1}^{n}}}\}\}\ri.}$

이러한 선형 시스템을 해결하는 것은 가우스 제거 또는 심지어 스트라센 알고리즘을 이용하여 선형 시스템을 해결하는 극도로 높은 시간 복잡성 때문에 실용적이지 않다.따라서 한 차원은 암묵적으로 처리되고 다른 차원은 할당된 시간 단계의 절반에 대해 명시적으로 처리되며 나머지 절반에 대해서는 반대로 처리되는 숫자 PDE를 해결하기 위해 교대 방향 암묵적 방법을 구현할 수 있다.이 전략의 이점은 암묵적 해결사가 삼지각 행렬 알고리즘만 해결하면 된다는 것이다.진정한 크랭크-니콜슨 용액과 ADI 근사치 용액의 차이는 ${\displaystyle \mathrm{정확도}}$O(${\displaystyle {\Delta \mathrm{}}^{}}$ t 4$){\displaystyle O(\$Delta t$^{4})$의 순서가 있으므로$$ 충분히 작은 시간 단계로 무시할 수 있다.^[4]

비선형 문제에 대한 크랭크-니콜슨

크랭크-니콜슨 방법은 암묵적이기 때문에, 미분 방정식이 비선형일 때 예측된 미래에 대해서는 일반적으로 해결이 불가능하다.대신에 예측에 수렴하기 위해 반복적인 기법을 사용해야 한다.한 가지 옵션은 뉴턴의 방법을 사용하여 예측에 수렴하는 것이지만, 이것은 자코비안의 연산을 필요로 한다.계산 유체 역학이나 수치 상대성 같은 고차원 시스템의 경우, 이 자코비안을 계산하는 것은 불가능할 수 있다.

한 가지 대안은 지도를 정의하는 것인데, 크랭크-니콜슨 예측이 고정점이다.이 지도의 교묘한 반복은 유효한 예측으로 수렴될 수 있다.비선형 문제의 경우 예측이 존재하는지, 또는 예측이 고유한지조차 보장되지 않는다는 점에 유의하십시오.작은 단계적 크기를 위해 이러한 반복적 기술은 성공해야 한다.$x{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x),}$ ${\dot {\x}=f(x$)}, 여기서$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$}, $\dottyle$ $x{\displaystyle }$\in$$\$mathb {R} ^n},$ f$$${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$R} ^{n$}$^{n}.크랭크-니콜슨 예측은 지도 $\phi {\displaystyle \mathrm{}(x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle h\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$[${\displaystyle f}$ ( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$0${\displaystyle }$) +${\displaystyle f}$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$]${\displaystyle }$. ${\displaystyle \Phi (x)=x_{0}+{\frac{h}{$2}}\$f(x_{0}+f(x)\right]$의 고정 지점이 될 것이다.$}$ 지도$$ $반복{\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {\mathrm{i}}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle \mathrm{\phi }}$( ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle i^{}}$)${\displaystyle$ x$^{(i+1)}=\$$Phi (x^{(i)})}$ does not converge, the parameterized map ${\displaystyle \Theta (x,\alpha )=\alpha x+(1-\alpha )\Phi (x)}$, with ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$, may be better behaved.

금융수학 응용

열 방정식(금융 수학에서는 흔히 확산 방정식이라고 함)으로 다른 여러 현상들을 모델링할 수 있기 때문에, 크랭크-니콜슨 방식도 그러한 영역들에 적용되었다.^[5]특히 블랙-숄즈 옵션가격결정 모델의 미분방정식을 열방정식으로 변환할 수 있어 크랭크-니콜슨 방식으로 옵션가격결정 수치해결을 얻을 수 있다.

금융에 있어서 이것의 중요성은 옵션가격결정 문제가 기준가정을 넘어 확장되었을 때(예: 배당의 변화 포함) 닫힌 형태로 해결될 수는 없지만, 이 방법을 사용하여 해결할 수 있다는 것이다.그러나 (대부분의 금융상품에서 발생하는) 부드럽지 않은 최종 조건의 경우, 수치 진동이 감쇠되지 않으므로 크랭크-니콜슨 방법이 만족스럽지 않다는 점에 유의한다.바닐라 옵션의 경우, 이것은 타격 가격 주변의 감마 값에 진동을 초래한다.따라서 특수 댐핑 초기화 단계(예: 완전히 암묵적인 유한 차이 방법)가 필요하다.

참고 항목

• 금융수학
• 사다리꼴 법칙

참조

외부 링크

• 과학자와 공학자를 위한 수치적 PDE 기법, 개방적 접근 강의 및 수치적 PDE를 위한 연구
• 부착 방정식에 크랭크-니콜슨 방법을 적용하고 구현하는 방법의 예