역감마 분포

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역감마

확률밀도함수
누적분포함수
매개변수	> ${\displaystyle \alpha >0}$ 모양(실제) > ${\displaystyle \property >0}$척도(실제)
지원	$(0,\displaystyle x\in)\!}$
PDF	${\displaystyle {\fraca ^{\\alpha ^}{\Gamma (\alpha )}}x^{-\alpha -1}\exp \left(-{\frace {}}{x}\right)}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {\Gamma(\alpha,\beta /x)}{\Gamma(\alpha )}\!}$
평균	${\displaystyle \frac{\beta }{}}$ ${\displaystyle \frac{\alpha }{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$ $displaystyle {\frac$ {\$pract {\$displaystyle$}{\reason -1}\!}($> 1 ${\displaystyle \property$ >$1})$
모드	${\displaystyle {\frac {\frac}{\pair +1}\!}$
분산	${\displaystyle \frac{{\beta }^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ (${\displaystyle \frac{{}^{}}{\alpha }}$-${\displaystyle \frac{{}^{}1}{}}$ )${\displaystyle \frac{{}^{}{2\mathrm{}}^{}}{}}$ (${\displaystyle \frac{\mathrm{\alpha }}{}}$- 2${\displaystyle \frac{}{}}$) {\$displaystyle$ {\frac ${\frac {\property ^{2}}:{{(\frac -1$)^{$2}(\displaysty -2}}:\!}$ > 2 ${\displaystystystyle \2}}$
왜도	${\displaystyle \frac{}{}}$> 의 $경우$ 4${\displaystyle \frac{\mathrm{\alpha }}{}}$ - 2 α - 3 $frac {\frac$ {4{\\sqrt ${\number -2$$}}:{\nump -3}\!}}$
엑스트라 쿠르토시스	${\displaystyle \frac{}{}}$$6$${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{5}{}}$${\displaystyle \frac{\alpha }{}}$-$11$)${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{\alpha }{}}$- 3${\displaystyle \frac{}{}}$) (${\displaystyle \frac{\mathrm{\alpha }}{}}$- 4${\displaystyle \frac{}{}}$) $displaystyle {\frac$ {6$(5\,\frac -11)}{{(\fram$ -3$)(\$fram $-3$)(\$fram$ $-4$$)}}}}}}}}$
엔트로피	$\displaystyle \cHB \!+\!\ln(\beta \gamma (\alpha )\!-\(1\!+\!\cHB\cHB(\cHB )}$ (digamma 함수 참조)
MGF	존재하지 않는다.
CF	$^{\displaystyle {\frac {2\left(-i\lifts t\right)^{\!\!{\frac {\alpha }{2}}:{\Gamma(\alpha )}K_{\alpha }\왼쪽({\sqrt{-4i\beta t}\오른쪽)}}$

확률 이론과 통계에서 역 감마 분포는 양의 실선에 연속 확률 분포의 2-모수 계열로, 감마 분포에 따라 분포하는 변수의 역수 분포다.아마도 역 감마 분포의 주요 용도는 베이시안 통계량일 것이다. 여기서 분포는 정규 분포의 알려지지 않은 분산을 위한 한계 후방 분포로, 비정보적 전을 사용하는 경우, 그리고 정보 제공 전이 필요한 경우 분석적 추적 가능한 결합물로 발생한다.null

그러나, 분산의 역수로 정의되어 감마 분포를 사전 결합으로 직접 사용할 수 있는 정밀도 측면에서 정규 분포의 대체 파라메트리지를 고려하는 것은 베이시안들 사이에서 일반적이다.다른 베이시안들은 스케일 역치-제곱 분포로서 역 감마 분포를 다르게 파라메트리하는 것을 선호한다.null

특성화

확률밀도함수

역 감마 분포의 확률 밀도 함수는 지지 > ${\displaystyle x>0}$에 걸쳐 정의된다.

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Alpha (\alpha )}}^{\Alpha +1}\exp 왼쪽(-\beta /x\right)}}$

형상 매개변수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$과 척도 매개변수 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$을$($^[1]를) 사용하여 여기서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle \cdot }$ )${\displaystyle \Gamma(\cdot )$는 감마 함수를 나타낸다$$.null

다소 유사한 지수 항을 포함하는 감마 분포와 달리, 분포 함수가 다음을 충족함에 따라 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$은(는) 척도 파라미터다$$.

${\displaystyle f(x;\reason ,\reason )={\frac {f(x/\reason ;\reason,1)}{\reason }}}$

누적분포함수

누적분포함수는 정규화된 감마함수다.

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\fraca \left(\Alpha, {\fraca }{x}\right)}{\Gamma(\alpha )}}}}=Q\frac,{\frac}}}\!}$

여기서 분자는 상부 미완성 감마함수이고 분모는 감마함수다.많은 수학 패키지들은 정규화된 감마함수인$$$Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Q$}$의 직접 계산을 허용한다.null

순간

> ${\displaystyle \alpha >n}$이가) 제공될 경우, $역{\displaystyle }$감마 $분포$의 n {\$displaystyle$ n}$$-번째$$ 모멘트는 다음과 같다^[2].

${\displaystyle \mathrm {E} [X^{n}]={\frac {\beta ^{n}}{{{(\alpha -1)\cdots (\alpha -n)}}}.}$

특성함수

${\displaystyle {}_{}}$특성함수의 표현에서 ${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$α${\displaystyle }$) ${\displaystyle K_{\alpha }(\cdot )}$은 2종류의 수정된 베셀함수다.null

특성.

> ${\displaystyle \alpha >0}$ 및 > 0 ${\displaystyle \beta >0}$의 경우

${\displaystyle \mathb {E} [\ln(X)]=\ln(\beta )-\psi(\alpha )\,}$

그리고

${\displaystyle \mathb {E} [X^{-1}]={\frac {\alpha }{\beta }},\,}$

정보 엔트로피는

${\displaystyle {\begin}\operatorname {H}(X)&=\operatorname {E}[-\ln(p(X)]]\\\&=\operatorname {E} \왼쪽[-\ 알파 \ln(\beta )]+\Ln(\Gamma(\alpha )+(\alpha +1)\ln(X)+{\frac {}{X}\beta}\right]\\\\&=-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(\beta )-(\alpha +1)\psi (\alpha )+\alpha \\&=\alpha +\ln(\beta \Gamma (\alpha ))-(\alpha +1)\psi (\alpha ).\end{정렬}}}$

여기서 ψ${\displaystyle }$(${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle \psi (\alpha )}$은 digamma 함수다.null

역-감마(α_q, β_q)에서 역-감마_p(α, β_p)의 Kullback-Leibler 확산은 감마_q(α, β_q)에서 감마_p(α, β_p)의 KL-diversity와 동일하다.

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (X)}{\pi (X)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (1/Y)}{\pi (1/Y)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho _{G}(Y)}{\pi _{G}(Y)}}\right],}$

여기서 ρ ,${\displaystyle \pi }$ ${\$$displaystyle$ $\rho ,\pi }$은(는) 역-감마 분포의 pdfs이고 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$,$\$ G {\$displaystyle \rho_{G}\pi$ $_$${$G_p$}}}$는 감마 분포의$$ pdfs이다_p$.$null

${\displaystyle {\reasoned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log \Gamma (\alpha _{p})+\log \Gamma (\alpha _{q})+\alpha _{q}(\log \beta _{p}-\log \beta _{q})+\alpha _{p}{\frac {\beta _{q}-\beta _{p}}{\beta _{p}}}.\end{정렬}}}$

관련 분포

• If ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )}$ then ${\displaystyle kX\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,k\beta )\,}$
• If ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,{\tfrac {1}{2}})}$ then ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(2\alpha )\,}$ (inverse-chi-squared distribution)
• If ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}({\tfrac {\alpha }{2}},{\tfrac {1}{2}})}$ then ${\displaystyle X\sim {\mbox{Scaled Inv-}}\chi ^{2}(\alpha ,{\tfrac {1}{\alpha }})\,}$ (scaled-inverse-chi-squared distribution)
• If ${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})}$ then ${\displaystyle X\sim {\textrm {Levy}}(0,c)\,}$ (Lévy distribution)
• $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \mathrm{Inv-Gamma}(1}$, c${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ X$\sim {\textrma}(1,c)}$인 경우 ${\displaystyle \frac{1}{}}$ X${\displaystyle ~\text{Exp}(c}$) ${\$tfrac ${1}{X}\displaystystyle {\tfrac$ {1$}\textrm {Ex}(c)\},},}($외 분포)
• If ${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}$ (Gamma distribution with rate parameter ${\displaystyle \beta }$) then ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}$ (see derivation in the next paragraph for details)
• Note that If ${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(k,\theta )}$ (Gamma distribution with scale parameter ${\displaystyle \theta }$ ) then ${\displaystyle 1/X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(k,1/\theta )}$
• 역 감마 분포는 타입 5 Pearson 분포의 특별한 경우다.
• 역감마 분포의 다변량 일반화는 역위사 분포다.
• 독립된 역감마 변수의 합계의 분포는 Witkovsky(2001)를 참조한다.

감마 분포에서 파생

$X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \text{감마}(\alpha }$ ,${\displaystyle \beta }$) ${\displaystyle$ X$\sim {\mbox{Gamma}(\alpha ,\beta )}$을$($를) 그대로 두고 감마 분포의 pdf는 다음과 같음을 상기한다.

${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{\beta }{}}$ ${\displaystyle \frac{{\alpha }^{}}{}}$ α ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$ α α${\displaystyle {}^{}\frac{}{}{}^{}}$ - ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{e}}^{}}$ -${\displaystyle {\beta }^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\$$displaystyle$ $f_{X}(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}}{\Alpha ^{\Alpha -1}e^{-}}}},$x> $0$

$\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$은(는) 감마 분포의 관점에서 속도 매개 변수라는 점에 유의하십시오.null

변환 $Y{\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle X\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$를 정의한 다음$,$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaysty Y}$의 pdf는

${\displaystyle{\begin{정렬}(y)&, =f_ᆴ\left(g^{-1}(y)\right)\left{\frac{d}{퇴적물의 일종}}g^ᆷ(y)\right \\[6pt]&, ={\frac{\beta ^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}}\left({\frac{1}{y}}\right)^{\alpha)}\exp \left({\frac{-\beta}{y}}\right){\frac{1}{y^{2}}}\\[6pt]&, ={\frac{\beta ^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}}\left({\frac{1}{y}}\right)^{\al.pha+1}\exp\left\frac {-\frac }{y}\오른쪽)\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\\alpha }}}{\Gamma (\alpha )}}}}{-\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }}\right)\\\\[6pt]\end{aigned}}}$

$\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$은(는) 역 감마 분포의 관점에서 볼 때 척도 모수라는 점에 유의하십시오.null

발생

• Wiener 공정의^[3] 적중 시간 분포

참고 항목

• 감마 분포
• 역치 제곱 분포
• 정규 분포

참조

• 호프, P. (2009년)."베이지안 통계학적 방법의 첫 코스"스프링거.
• Witkovsky, V. (2001). "Computing the Distribution of a Linear Combination of Inverted Gamma Variables". Kybernetika. 37 (1): 79–90. MR 1825758. Zbl 1263.62022.