세미그룹

수학에서 세미그룹(semigroup)은 연관 이항 연산과 함께 집합으로 구성된 대수적 구조다.

세미그룹의 이진 연산은 대부분 x·y 또는 단순히 xy로 표시되며, 순서 쌍(x, y)에 세미그룹 연산을 적용한 결과를 나타낸다.연관성은 세미그룹 내 모든 x, y, z에 대해 (x·y)·z = x·(y·z)로 공식적으로 표현된다.

세미그룹은 신원 요소나 역의 존재를 요구하지 않고 작전이 연상되는 마그마의 특별한 경우 또는 집단의 일반화로 간주할 수 있다.^{[note 1]}그룹이나 마그마의 경우와 같이, 세미그룹 운영은 유사할 필요가 없으므로, x·y는 반드시 y·x와 같을 필요는 없다; 연관성이 있지만 비확산적인 작업의 잘 알려진 예는 매트릭스 곱셈이다.만약 세미그룹 운영이 상호작용이 된다면, 세미그룹을 상호작용을 세미그룹이라고 부르거나, (그룹과 유사한 경우보다 덜) 아벨리안 세미그룹이라고 부를 수 있다.

모노이드(monoid)는 그룹과 세미그룹 사이에 중간인 대수적 구조로, 아이덴티티 요소를 가진 세미그룹으로, 따라서 그룹의 공리 중 하나를 제외한 모든 것을 준수한다: invers 존재는 모노이드의 필요가 없다.자연적인 예로는 이진 연산으로서의 결합을 가지는 문자열과 ID 요소로서의 빈 문자열이 있다.비어 있지 않은 문자열로 제한하면 모노이드 문자열이 아닌 세미그룹에 대한 예가 된다.덧셈이 있는 양의 정수는 단모형이 아닌 정류적 의미군을 형성하는 반면, 음이 아닌 정수는 단모형을 형성한다.아이덴티티 요소가 없는 세미그룹은 아이덴티티 요소만 추가해도 쉽게 모노이드로 변할 수 있다.결과적으로 모노이드들은 집단 이론보다는 세미그룹 이론에서 연구된다.세미그룹은 다른 방향으로 그룹을 일반화하는 퀘이시그룹과 혼동해서는 안 된다.퀘이시그룹에서의운영은연관될 필요가 없지만,퀘이시그룹은 그룹으로부터 분열의개념을 보존한다.일반적으로 세미그룹(또는 모노이드)의 분할은 불가능하다.

세미그룹에 대한 공식적인 연구는 20세기 초에 시작되었다.초기 결과에는 임의 함수가 그룹 이론의 편향 역할을 대체하는 변환 세미그룹으로서 어떤 세미그룹을 실현하는 세미그룹을 위한 케이리 정리가 포함된다.유한한 세미그룹 분류의 깊은 결과는 요르단-로즈 이론과 유사하다.유한집단에 대한 홀더 분해.그린의 관계와 같은 세미그룹을 연구하는 다른 기술들은 그룹 이론에서 어떤 것도 닮지 않았다.

유한한 세미그룹 이론은 1950년대 이후 이론 컴퓨터 과학에서 특히 중요한데, 이는 유한한 세미그룹과 유한한 오토마타 사이의 통사적 단모이드를 통한 자연적인 연결고리 때문이다.확률론에서 세미그룹들은 마르코프 과정과 연관되어 있다.^[1]응용 수학의 다른 영역에서, 세미그룹들은 선형 시간 변화 시스템을 위한 기본 모델이다.부분 미분 방정식에서, 세미그룹들은 시간과 독립된 공간 진화를 가진 모든 방정식과 연관된다.

특별한 등급의 세미그룹, 추가적인 속성을 가진 세미그룹들이 있으며, 이것은 특정한 어플리케이션에 나타난다.이러한 클래스 중 일부는 그룹의 모든 속성은 아니지만 일부 추가 특성을 보여줌으로써 그룹에 더 가깝다.이 중 정규 세미그룹, 정통 세미그룹, 비자발적인 세미그룹, 역세미그룹 및 취소 세미그룹을 언급한다.또한 사소한 그룹을 제외하고는 어떤 그룹도 포함하지 않는 흥미로운 계층도 있다; 후자의 종류는 밴드 및 그 부류 즉, 대수학적 구조도 순서화된 smilats이다.

대수구조
그룹다운 그룹 세미그룹 / 모노이드 랙 앤 퀀들 Quas그룹과 루프 아벨 군 마그마 거짓말군 집단 이론
반지 같은 울리다 Rng 세미닝 근링 정류 링 통합 도메인 밭 디비전 링 리 링 링 이론
격자 모양의 격자 세미라티체 보완 격자 총순번 헤이팅 대수 부울 대수 선반 지도 격자 이론
모듈형 모듈 연산자와 그룹화 벡터 공간 선형대수학
대수적 유사 대수학 연상적 비연관적 구성 대수 리 대수 등급이 매겨진 바이알게브라 호프 대수
v t

정의

세미그룹이란 이진 연산 " "${\displaystyle \cdot$ $\}"$과 함께$$ S ${\displaystyle S}$을(를) 세트하는 $것$이다(즉, 함수 $\cdot {\displaystyle }$: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \times }$ S${\displaystyle }$→ ${\displaystyle S}$ → S ${\displaystyle \cdot$:연관 특성을 충족하는 $S\time S\rightarrow S}$ $):$

모든 $a{\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \in }$ S ${\displaystyle a,b,$${\displaystyle c}$$\in S}$에 대해$,$ 방정식${\displaystyle }$( ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle c}$ =${\displaystyle \cdot }$ (${\displaystyle bb}$ c${\displaystyle }$) ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdodot$ c$)}$이 유지된다$$.

더 간결하게, 세미그룹들은 연상 마그마이다.

Sem그룹 예

• 빈 semigroup: 빈 집합은 빈 함수를 이진 연산으로 하여 semigroup을 형성한다.
• 하나의 요소를 가진 세미그룹: 기본적으로 오직 하나(특히, 이소모르프까지 단 하나), 연산 a · a = a를 가진 싱글톤 {a}이(가) 있다.
• 두 가지 요소를 가진 세미그룹: 본질적으로 다른 다섯 가지 요소가 있다.
• "플립-플롭" 단면체: 스위치의 세 가지 작업을 나타내는 세 가지 요소를 가진 세미그룹 - 셋트, 리셋, 아무것도 하지 않는다.
• 추가가 있는 양의 정수 집합.(0을 포함하면, 이것은 모노이드로 된다.)
• 최소 또는 최대 정수의 집합.(양/음의 무한대가 포함되면, 이것은 단조형이 된다.)
• 매트릭스 곱하기와 함께 주어진 크기의 사각형이 아닌 행렬.
• 반지의 곱셈이 있는 반지의 이상.
• Semigroup 연산으로서 문자열을 연결한 고정 알파벳 Ⅱ에 대한 모든 유한 문자열 집합, 즉 "Ⅱ에 대한 자유로운 semigroup"이라고 한다.빈 문자열을 포함하면, 이 세미그룹은 σ을 통한 자유로운 모노이드(monoid)가 된다.
• F의 모든 콘볼루션 파워와 함께 확률분포 F, 콘볼루션을 수술로 한다.이것은 콘볼루션 세미그룹이라고 불린다.
• 변환 세미그룹과 모노이드.
• 위상학적 공간에서 그 자체로 함수의 구성과 함께 연속적인 함수의 집합은 정체성의 역할을 하는 정체성 함수를 가진 단노이드(monoid)를 형성한다.좀 더 일반적으로, 범주의 어떤 대상의 내형성은 구성 하의 단모형을 형성한다.
• 하이퍼플레인의 배열 면의 산물.

기본개념

아이덴티티와 제로

Sem그룹 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}($$또는$ 더 일반적으로, magma)의 왼쪽 $ID$는$$S {\$displaystyle$S$$}의 ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ {\$displaystyle$ x$}$에 대한$$요소 e {\$displaystyle$$$e}이다$.$ $마찬가지$로 오른쪽 ID는 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displays$}에 대한 $요소$ f$}$이다$.$$S$ ${\displaystyle S$ ${\displaystyle x}$ $f{\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle xf=x$ 왼쪽과 오른쪽 ID를 모두 단측 ID라고 한다.세미그룹은 하나 이상의 왼쪽 정체성을 가질 수 있지만 오른쪽 정체성은 가질 수 없으며, 그 반대도 마찬가지다.

양면적 정체성(또는 정의로운 정체성)은 좌우 정체성을 모두 가진 요소다.양면적인 정체성을 가진 세미그룹을 모노이드라고 부른다.세미그룹은 기껏해야 한 가지 양면적인 정체성을 가질 수 있다.만약 세미그룹이 양면적인 정체성을 가지고 있다면, 그 두면적인 정체성은 세미그룹에서 유일한 단면적인 정체성이다.만약 세미그룹이 왼쪽 아이덴티티와 오른쪽 아이덴티티를 모두 가지고 있다면, 그것은 양면 아이덴티티(따라서 독특한 일방 아이덴티티)를 가지고 있다.

A semigroup ${\displaystyle S}$ without identity may be embedded in a monoid formed by adjoining an element ${\displaystyle e\notin S}$ to ${\displaystyle S}$ and defining ${\displaystyle e\cdot s=s\cdot e=s}$ for all ${\displaystyle s\in S\cup \{e\}}$.^[2][3]S ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ S$^{1}$라는 표기법은 필요한 경우 ID를 결합하여$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $S$$}$에서 얻은 모노이드(단일체의 경우$$ ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$= S ${\displaystyle$ S$^{1}=S})$를 의미한다.^[3]

마찬가지로, 모든 마그마는 기껏해야 하나의 흡수 요소를 가지고 있는데, 세미그룹 이론에서는 이것을 0이라고 부른다.위의 구조와 유사하게, 모든 $sem그룹{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$에 대해$$S $0{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$을(를) 포함하는 sem그룹인$$S ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\$S^{$0}}$을(를) 정의할 수 있다$.$

서브그룹과 이상

세미그룹 운영은 서브셋 수집에 대한 작업을 유도한다. 세미그룹 S의 서브셋 A와 B를 고려할 때, 일반적으로 AB로 쓰여진 제품 A · B는 세트 { ab in A와 B}이다. (이 개념은 그룹을 위한 것과 동일하게 정의된다.)이 연산의 관점에서 부분집합 A를 부른다.

• AA가 A의 하위 그룹인 경우, 하위 그룹
• AS가 A의 부분 집합인 경우 올바른 이상
• SA가 A의 부분 집합인 경우 왼쪽 이상

A가 왼쪽 이상과 오른쪽 이상 둘 다라면 이상(또는 양면 이상)이라고 한다.

S가 세미그룹이라면, S의 서브그룹 컬렉션의 교차점 역시 S의 서브그룹이다.그래서 S의 하위 그룹들은 완전한 격자를 형성한다.

최소한의 이상이 없는 세미그룹의 예는 추가되는 양의 정수 집합이다.상호 교환적 의미집단의 최소 이상은, 그것이 존재할 때, 그룹이다.

그린의 관계는 5가지 등가관계로 구성 요소들이 창출하는 주요 이상적 관점에서 특징지어지는 일련의 관계로서, 세미그룹의 이상과 구조물의 관련 개념을 분석하는 데 중요한 도구다.

모든 요소가 세미그룹의 다른 요소와 통근하는 속성을 가진 부분집합을 세미그룹의 중심이라고 한다.^[4]세미그룹의 중심은 사실상 서브그룹이다.^[5]

동형성 및 합치성

semigroup 동형성은 semigroup 구조를 보존하는 함수다.함수 f: S → T는 두 개의 세미그룹 사이의 방정식이라면 동형상이다.

f(ab) = f(a)f(b)

모든 요소 a, b in S에 대해 holds. 즉, 지도 f 적용 후 또는 적용 전 sem그룹 작업을 수행할 때 결과는 동일하다.

모노이드 사이의 세미그룹 동형성은 그것이 단성 동형이라면 정체성을 보존한다.그러나 단성 동형식이 아닌 세미그룹 동형체(semigroup homoporism)가 있다. 예를 들어, $정체성$이 없는$$$$세미그룹 $S{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ $S$$}$을 S 1 {\$displaystyle$ S$^{1}$에 표준적으로 내장하는 경우$.$ 단성 동형체 특성을 갖는 조건은 더 자세히 논의된다.$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$→ ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$$S_{0}\to S_{1$}는$$ 세미그룹 동형상이다.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 이미지도 세미그룹이다$$.${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$${$$0}}$이(가) ID 요소 e ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ {\$displaystyle e_{0}$을$($를$)$ 가진 모노이드인 경우$,$ $f{\displaystyle }$($e$ ${\$$displaystyle$ f$}$의 영상에 있는 ID$$ 요소인 $경우{\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$1 {\$displaystyle S_{$1}도 e ${\displaystyle 1_{}}$을$($)를$$ 가진 단일 요소인 경우$e_{1}$및$$ $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}는 f ${\displaystyle f}$의 이미지에 속하며$$$,$ ${\displaystyle {}_{}{e\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ )$$= e 1 {\$displaystyle$f($e_{0$}=e_${1$ 즉 $f{\displaystyle }${\$displaystystyf}$는 단일 동형상이다.특히 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 허탈적이라면 그것은 단성 동형상이다.

두 개의 세미그룹 S와 T는 이소모픽 계열의 동형성이 존재한다면 이소모픽 계열이라고 한다 : S → T. 이소모픽 계열의 구조는 같다.

semigroup${\displaystyle }$consurance ~ {\$displaystyle \sim }$은(는$)$ semigroup 작업과 호환되는 동등성 관계다.That is, a subset ${\displaystyle \sim \;\subseteq S\times S}$ that is an equivalence relation and ${\displaystyle x\sim y\,}$ and ${\displaystyle u\sim v\,}$ implies ${\displaystyle xu\sim yv\,}$ for every ${\displaystyle x,y,u,v}$ in S. Like any equivalence relation,semigroup concluence${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \sim}$은(는) concluence 클래스를 유도한다$$.

${\displaystyle [a]_{\sim }=\{x\in S\mid x\sim a\}}}$

세미그룹 작업은 조합 클래스에서 이진$$ 연산${\displaystyle }$operation ${\displaystyle$\ \ $}$을(를) 유도한다.

${\displaystyle [u]_{\sim }\properties [v]_{\sim }=[uv]_{\sim }}}}}}}}}$

$~{\displaystyle }$ ${\displaystyle \sim }$이(가) 조합이므로${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \sim }$의 모든 조합 클래스의 집합은 $\{{\displaystyle }${\$displaystyle \circ}$을(를) 가진 세미그룹을 형성하고$,$ 지수 세미그룹 또는 요인 세미그룹이라고 하며 $S{\displaystyle }$/${\displaystyle }$~ ${\displaystystyle S/\!$$\!\sim }$. The mapping ${\displaystyle x\mapsto [x]_{\sim }}$ is a semigroup homomorphism, called the quotient map, canonical surjection or projection; if S is a monoid then quotient semigroup is a monoid with identity ${\displaystyle [1]_{\sim }}$. Conversely, the kernel of any semigroup homomorphism is a s이민을 가다이러한 결과는 보편적 대수학에서 최초의 이소형성 정리의 구체화에 지나지 않는다.일치 클래스 및 인자 모노이드들은 문자열 재작성 시스템에서 연구 대상이다.

S에 대한 핵융합은 S의 내형성의 알맹이다.^[6]

Semgroup S는 포함에 의해 주문된 S에 대한 조합의 어떤 제품군이 최대 요소를 갖는 경우 조합에 대한 최대 조건을 만족한다.조른의 보조정리법에 따르면, 이것은 상승 체인 조건이 유지된다고 말하는 것과 같다: S에 무한히 상승하는 결합 체인은 없다.^[7]

세미그룹의 모든 이상적인 I는 x = y 또는 x와 y가 모두 I에 있는 경우 x ρ y로 정의된 합치성 ρ을 통해 요인 세미그룹인 리스 인자 세미그룹을 유도한다.

시세와 구획

다음 개념은^[8] 세미그룹이 다른 세미그룹에 포함되어 있다는 생각을 소개한다.

Semgroup T는 S에서 T까지의 굴절적 Semgroup morphism이 있는 경우 Semgroup S의 몫이다.예를 들어 (${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ 2 ${\displaystyle Z\mathbb{}}$,${\displaystyle }$+${\displaystyle }$) ${\displaystyle(\mathb {Z} /2\$$mathb$$${$Z},+)$은 정수의 나머지 modulo 2를 취하는 것으로 구성된 형태론을 사용하여$$($/4 Z ,$ ${\displaystyle )}$의 지수다$.$

세미그룹 T는 세미그룹 S를 나눈다. T가 서브그룹 S의 지수인 경우$$ $T{\displaystyle }${ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T\preceq$ S$}$에 주목한다.특히 S의 서브그룹들이 T를 나누는 반면 S의 지분이 반드시 있는 것은 아니다.

그 두 관계 모두 전이적이다.

세미그룹 구조

S의 하위 집합 A에 대해 A를 포함하는 S의 가장 작은 하위 그룹 T가 있으며, 우리는 A가 T를 생성한다고 말한다.S의 단일 원소 x는 서브세미그룹 { xⁿ n z⁺ Z }을 생성한다. 이것이 유한하면 x는 유한한 순서라고 하고, 그렇지 않으면 무한정 순서가 된다고 한다.세미그룹은 그것의 모든 요소가 유한한 순서의 경우 주기적이라고 한다.단일 요소에 의해 생성되는 세미그룹을 모노제닉(또는 순환)이라고 한다.만약 모노제닉 세미그룹이 무한하다면, 그것은 덧셈의 작동으로 양의 정수의 세미그룹에 이형성이 있다.유한하고 비어 있지 않은 경우 최소 한 개의 공증전자를 포함해야 한다.그것은 모든 비어있지 않은 주기적인 semgroup이 적어도 하나 이상의 idempotent를 가지고 있다는 것을 따른다.

또한 그룹인 서브그룹을 서브그룹이라고 부른다.세미그룹의 하위그룹과 그것의 특유한 요소들 사이에는 밀접한 관계가 있다.각 부분군에는 정확히 한 개의 ID 요소 즉, 부분군의 ID 요소가 포함되어 있다.semigroup의 각 IDempotent e에 대해 e를 포함하는 고유한 최대 하위 그룹이 있다.각 최대 부분군은 이런 방식으로 발생하므로, 특이점과 최대 부분군 사이에는 일대일 일치성이 있다.여기서 최대 부분군이라는 용어는 집단 이론에서 표준 용도와 다르다.

질서가 유한할 때 더 많은 것을 흔히 말할 수 있다.예를 들어, 모든 비어 있지 않은 유한한 세미그룹은 주기적이며, 최소의 이상과 최소 한 개의 유휴자원을 가지고 있다.주어진 크기(1보다 큰)의 유한한 세미그룹의 수는 (확실히) 같은 크기의 그룹의 수보다 크다.예를 들어, 두 요소 집합인 {a, b}, 8개의 형태 세미그룹에^{[note 2]} 대해 가능한 16개의 "복제표" 중에서, 이들 중 4개만이 모노이드이고 2개의 형태 그룹만 있다.유한한 세미그룹 구조에 대한 자세한 내용은 Krohn-Rodes 이론을 참조하십시오.

세미그룹의 특수계급

• 모노이드(monoid)는 정체성 요소를 가진 세미그룹이다.
• 그룹은 아이덴티티 요소와 역 요소를 가진 세미그룹이다.
• 서브그룹이란 세미그룹 운영에 따라 폐쇄되는 세미그룹의 서브셋이다.
• 취소 세미그룹은 취소 특성을 가진 그룹이다:^[9] a · b = a · c는 b = c를 의미하며 b · a = c · a와 유사하다.
• 밴드는 idempotent의 운영을 하는 sem그룹이다.
• 세미라티스는 운영이 전위적이고 상호 작용적인 세미그룹이다.
• 0-모듈의 세미그룹.
• 변환 세미그룹: 모든 유한한 세미그룹 S는 대부분의 S + 1 상태에서의 (상태-) 집합 Q의 변환으로 나타낼 수 있다.그런 다음 S의 각 요소 x는 Q를 그 자체로 매핑한다: Q → Q. 그리고 sequence xy는 Q의 각 Q에 대해 q(xy) = (qx)y로 정의된다.분명히 시퀀싱은 연관 연산이며, 여기서는 함수 구성과 동등하다.이 표현은 모든 자동 또는 유한 상태 기계(FSM)의 기본이다.
• 자전거 세미그룹은 사실 단일형이며, pq = 1이라는 관계 하에 두 개의 발전기 p와 q에 있는 자유 세미그룹이라고 설명할 수 있다.
• C-세미그룹₀.
• 정규 세미그룹.모든 원소 x는 xyx=x와 yxy=y를 만족하는 역 y를 적어도 하나 이상 가지고 있다. x와 y 원소를 "상호 역 y"라고 부르기도 한다.
• 역세미그룹은 모든 요소가 정확히 하나의 역세미를 갖는 정규세미그룹이다.대안으로, 정규 세미그룹은 만약 두 개의 idempotent가 통근하는 경우에만 역행한다.
• Affine semigroups: Z의^d 세분화된 하위 그룹과 이형화된 세미그룹이다.이 세미그룹들은 서로 교환 대수학을 적용하고 있다.

조합형 세미그룹의 구조 정리

반일률적인 관점에서 상호 교환적인 세미그룹에 대한 구조 정리가 있다.^[10]반일격$({\displaystyle }$또는 더 정확하게는 만남-세밀라티체)(${\displaystyle L}$,${\displaystyle }$≤${\displaystyle }$) ${\displaystyle (L,\leq )}$은 부분적으로 순서화된 집합으로, $a{\displaystyle }$ ,${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ L ${\displaystyle a,b\in$ L$}$ 원소의 $모든$ 쌍이 가장 큰 하한을 가지고 있으며, ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaysty$ a$\wedge$ b$}$로 표시된다$.$$\wedge {\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge }$ 작업은 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$을(를) 추가 유휴 상태 법칙을 $충족$하는 세미그룹으로 만들어$$ ${\displaystyle a}$= ${\displaystyle a}$ = ${\displaystyle a\wedge a=a}$을(를) 만든다$.$

동형상 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle S}$→ L ${\displaystyle f:$임의의 세미그룹에서$$ $반밀라티스로 S\to$ L$},$ ${\displaystyle \mathrm{각각}}$의 역 ${\displaystyle {이미지}_{}}$S ${\displaystyle {}^{}}$= f - ${\displaystyle 1^{}\{\}}$ ${\displaystyle S_{a}=f^{-1}\{a\}}}}}$은(비었을 가능성이 있음) 세미그룹이다.게다가 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은(는) $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L$에 의해 등급이 매겨진다$$.

${\displaystyle S_{a}S_{b}\subseteq S_{a\wedge b}.}$

If ${\displaystyle f}$ is onto, the semilattice ${\displaystyle L}$ is isomorphic to the quotient of ${\displaystyle S}$ by the equivalence relation ${\displaystyle \sim }$ such that ${\displaystyle x\sim y}$ if and only if ${\displaystyle f(x)=f(y)}$.이 동등성 관계는 위에서 정의한 것과 같은 세미그룹 조합이다.

우리가 조합에 의해 조합된 세미그룹의 몫을 취할 때마다, 우리는 또 다른 조합된 세미그룹을 얻는다.구조 정리는 모든 상호 교환적 의미군 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에$$대해 이 동등성 관계에 $의한$ S ${\displaystyle S}$의 몫이 반일률인${\displaystyle }$가장$$ 훌륭한 일치점이 있다고 말한다.$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$에 의해$$이 반모형 $f{\displaystyle }$ {\$displaystyle S}$에서 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$까지 동형상 f ${\displaystyle$ f$}$가 표시된다$.$ 앞서 언급한 $대로{\displaystyle }$ S ${\\displaystyty S}$는 이 반모형에 의해 등급이 매겨진다$$.

게다가 성분 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\$는 모두 아르키메데스 세미그룹이다.아르키메데스 세미그룹(Archimedious semigroup)은 어떤 한 $쌍$의 ${\displaystyle \mathrm{요소}}$ x${\displaystyle }$, y ${\displaystyle x,y}$이$($가) 주어지는 경우 x ${\displaystyle n^{}}$= ${\displaystyle y}$ z ${\\displaystyle$ $x$$^{n}=yz}$와 같은 $요소{\displaystyle }$ z$$${\displaystystyle$ z$}$ 및 >0}이 있다$.$

The Archimedean property follows immediately from the ordering in the semilattice ${\displaystyle L}$, since with this ordering we have ${\displaystyle f(x)\leq f(y)}$ if and only if ${\displaystyle x^{n}=yz}$ for some ${\displaystyle z}$ and ${\displaystyle n>0}$.

분수군

Semigroup S의 분수 그룹 또는 그룹 완료는 S의 요소에 의해 생성되는 G = G(S) 그룹이며, 모든 공식 xy = z는 S에서 관계로서 참이다.^[11]S의 각 원소를 해당 발전기로 보내는 명백한 Sem그룹 동형성 j : S → G(S)가 있다.이것은 S에서 그룹까지의 형태에 대한 보편적 특성을 가지고 있다:^[12] 어떤 그룹 H와 어떤 세미그룹 동형성 k : S → H로 볼 때, k=fj와 함께 독특한 그룹 동형성 f : G → H가 존재한다.우리는 G를 S의 동형상 이미지를 포함하고 있는 "가장 일반적인" 집단으로 생각할지도 모른다.

중요한 질문은 이 지도가 내재된 세미그룹을 특징짓는 것이다.이것이 항상 필요한 것은 아니다: 예를 들어 S를 2진법(semilattice)의 예로서 이항(set-theistic) 교차를 갖는 일부 집합 X의 서브셋의 세미그룹으로 삼는다(이는 반일격(semilattice)의 예다.A부터A = A는 S의 모든 요소에 대해 유지하며, 이는 G(S)의 모든 생성자에 대해서도 해당되어야 하며, 따라서 사소한 그룹이다.S가 취소재산을 가지고 있다는 것은 임베디빌리티를 위해 분명히 필요하다.S가 일치할 때 이 조건도 충분하고^[13] 세미그룹의 그로텐디크 그룹은 분수 그룹의 구성을 제공한다.비확정적 세미그룹에 대한 문제는 세미그룹에 대한 최초의 실질적인 논문으로 추적될 수 있다.^[14][15]아나톨리 몰체프는 1937년에 임베디빌리티에 필요한 충분한 조건을 제공했다.^[16]

부분 미분 방정식의 세미그룹 방법

세미그룹 이론은 부분 미분 방정식 분야의 몇몇 문제를 연구하는데 사용될 수 있다.대략적으로, sem그룹 접근방식은 시간에 의존하는 부분 미분 방정식을 함수 공간에 대한 일반적인 미분 방정식으로 간주하는 것이다.예를 들어, 공간 간격(0, 1) ⊂ R 및 횟수 t 0 0의 열 방정식에 대해 다음과 같은 초기/경계 값 문제를 고려하십시오.

${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u(t,x)=\partial _{x}^{2}u(t,x),&x\in (0,1),t>0;\\u(t,x)=0,&x\in \{0,1\},t>0;\\u(t,x)=u_{0}(x),&x\in (0,1),t=0.\end{case}}}$

렛 X² = L(0, 1) R)은 구간(0, 1)을 도메인으로 하는 제곱합성 실질 가치 함수의 L 공간이고^p, A는 도메인을 가진 두 번째 파생 연산자가 되도록 한다.

${\displaystyle D(A)={\big \{}u\in H^{2}((0,1);\mathbf {R}){\big u(0)=u(1)=0{\big \},}$

여기서 H는² 소볼레프 공간이다.그렇다면 위의 초기/경계값 문제는 공간 X의 일반적인 미분방정식에 대한 초기값 문제로 해석될 수 있다.

${\displaystyle {\begin{case}{\dot {u}(t)=Au(t);\\u(0)=u_{0}.\end{case}}}$

경험적 접근 수준에서 이 문제의 해결책은 u(t) = exp(tA)u로₀ "생각"된다.그러나 엄격한 치료를 위해서는 tA의 지수화에 의미를 부여해야 한다.t의 함수로써 exp(tA)는 X에서 그 자체로 연산자의 sem그룹으로, t = 0 시간의 초기 state₀ u를 t의 state u(t) = exp(tA)u로₀ 가져간다.연산자 A는 세미그룹의 극소수 발전기라고 한다.

역사

세미그룹에 대한 연구는 그룹이나 링과 같은 더 복잡한 공리를 가진 다른 대수학적 구조들에 뒤쳐졌다.많은 출처들은^[17][18] (프랑스어로) 이 용어가 1904년 Elements de la Téory des Groups Estraits(추상 그룹 이론의 요소)에서 J.-A. de Séguier에게 처음 사용된 것으로 보고 있다.이 용어는 1908년 해롤드 힌튼의 '유한질서의 그룹론'에서 영어로 사용된다.

Anton Sushkevich는 세미그룹에 대한 첫 번째 비교 결과를 얻었다.그의 1928년 논문 "Uber die endlichen Grupen das Gesetz der indeutigen Umkehrbarkeit"("독특한 부정의 법칙이 없는 유한 집단에서")은 유한 단순 세미그룹의 구조를 결정했고 유한한 세미그룹의 최소 이상(또는 그린의 관계 J-class)은 단순하다는 것을 보여주었다.^[18]그 때부터, 세미그룹 이론의 기초는 데이비드 리스, 제임스 알렉산더 그린, 에브게니 세르게비치 리아핀, 알프레드 H. 클리포드, 고든 프레스톤에 의해 더욱 세워졌다.후자 두 사람은 1961년과 1967년에 각각 세미그룹 이론에 관한 두 권짜리 단전집을 출간했다.1970년, Sem그룹 포럼(현재 Springer Verlag 편집)이라는 새로운 정기 간행물이 Sem그룹 이론에 전적으로 전념하는 몇 안 되는 수학 학술지 중 하나가 되었다.

세미그룹 대표이론은 1963년 보리스 쉰이 세트 A의 이진관계와 세미그룹 제품의 관계 구성을 이용해 개발했다.^[19]1972년 한 대수학회에서 셰인은 A에 관한 관계의 sem그룹인 B에_A 관한 문헌을 조사했다.^[20]1997년에 Schein과 Ralph McKenzie는 모든 세미그룹이 2진 관계의 전이적 세미그룹에 이형성이 있다는 것을 증명했다.^[21]

최근 몇 년 동안, 그 분야의 연구자들은 역세미그룹과 같은 세미그룹의 중요한 계층에 나타나는 전용 단전형과 더불어 특히 유한한 오토마타의 경우 대수적 오토마타 이론과 기능분석에서 응용에 초점을 맞춘 단전형으로 더욱 전문화되었다.

일반화

그룹형 구조
	토털리티α	연관성	아이덴티티	반전성	동시성
세미그룹체	필요없음	필수의	필요없음	필요없음	필요없음
소분류	필요없음	필수의	필수의	필요없음	필요없음
조로이드	필요없음	필수의	필수의	필수의	필요없음
마그마	필수의	필요없음	필요없음	필요없음	필요없음
퀘이시그룹	필수의	필요없음	필요없음	필수의	필요없음
유니탈 마그마	필수의	필요없음	필수의	필요없음	필요없음
세미그룹	필수의	필수의	필요없음	필요없음	필요없음
루프	필수의	필요없음	필수의	필수의	필요없음
역세미그룹	필수의	필수의	필요없음	필수의	필요없음
모노이드	필수의	필수의	필수의	필요없음	필요없음
정류단모노이드	필수의	필수의	필수의	필요없음	필수의
그룹	필수의	필수의	필수의	필수의	필요없음
아벨 군	필수의	필수의	필수의	필수의	필수의
^α 많은 선원에 의해 사용되며 다르게 정의되는 폐쇄 공리는 동등하다.

세미그룹의 연관성 공리가 떨어지면 결과는 마그마(magma)로, 닫힌 M × M → M을 갖는 이진 연산을 갖춘 세트 M에 지나지 않는다.

다른 방향으로 일반화하는 n-ary sem그룹(n-semigroup, polyadic semigroup 또는 multiary semigroup)은 이진 연산 대신 n-ari 연산으로 semigroup을 세트 G로 일반화하는 것이다.^[22]연관법칙은 다음과 같이 일반화된다:3차 연관성은 (abc)de = a(bcd)e = ab(cde), 즉, 인접한 3개 원소와의 문자열 abcde이다.N-ary 연관성은 N개의 인접 요소와 함께 길이가 n + (n - 1)인 문자열이다.2개 그룹의 세미그룹은 단지 세미그룹일 뿐이다.더 많은 공리는 n-arry 집단을 이끈다.

세 번째 일반화는 이항 관계를 총합해야 한다는 요건이 해제된 세미그룹이다.범주가 모노이드들을 같은 방식으로 일반화함에 따라, 세미그룹들은 범주와 같이 행동하지만 정체성이 결여되어 있다.

여러 저자들은 때때로 상호 교환적인 세미그룹에 대한 비위생적인 일반화를 고려했다.^{[note 3]}

참고 항목

• 흡수원소
• 바이오더드 세트
• 빈 sem그룹
• 일반화 역수
• 아이덴티티 요소
• 빛의 연관성 시험
• 양자역학 세미그룹
• 세미그룹링
• 약한 역수

메모들

인용구

참조

일반 참조

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• Clifford, Alfred Hoblitzelle; Preston, Gordon Bamford (2010) [1967]. The algebraic theory of semigroups. Vol. 2. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0272-4.
• Grillet, Pierre Antoine (1995). Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-9662-4. Zbl 0830.20079.
• Grillet, Pierre Antoine (2001). Commutative Semigroups. Springer Verlag. ISBN 978-0-7923-7067-3. Zbl 1040.20048.
• Hollings, Christopher (2009). "The Early Development of the Algebraic Theory of Semigroups". Archive for History of Exact Sciences. 63: 497–536. doi:10.1007/s00407-009-0044-3.
• Hollings, Christopher (2014). Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-1493-1. Zbl 1317.20001.
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특정 참조

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• Lothaire, M. (2011) [2002]. Algebraic combinatorics on words. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 90. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-18071-9. Zbl 1221.68183.