홀로모르픽 함수

정사각형 그리드(상단) 및 등각 지도

(하단) 아래의 이미지.

수학에서 홀로모르픽 함수는 복잡한 좌표 공간 $C$ 의ⁿ 도메인에서 각 점의 인접 지역에서 복잡하게 구별되는 하나 이상의 복잡한 변수의 복합 값 함수다. 이웃에 복잡한 파생상품의 존재는 매우 강한 조건이다. 그것은 홀로모르프 함수가 무한히 다르고 자신의 테일러 시리즈(분석적)와 국소적으로 동일하다는 것을 암시한다. 복합 분석에서 홀로모르픽 함수는 연구의 중심 대상이다.

분석함수라는 용어는 종종 "홀로모르픽 함수"와 상호 교환하여 사용되지만, "분석적"이라는 용어는 더 넓은 의미로 정의되어 그 영역의 각 지점의 인접 지역에서 수렴적 파워 시리즈로 쓸 수 있는 어떤 기능(실제, 복합 또는 더 일반적인 유형의 기능)을 나타낸다. 모든 홀로모르픽 함수는 복잡한 분석 기능이며, 그 반대의 경우도 복합 분석에서 주요한 정리라는 것이다.^[1]

홀로모르프 함수는 규칙함수라고도 한다.^[2]^[3] 전체 복합 평면이라는 영역이 있는 홀모형 함수를 전체 함수라고 한다. " $점 0$ z에서의 고형체"라는 문구는 단지 $z$ 에서₀ 다를 뿐 아니라, 복잡한 평면에서 $z$ 의₀ 일부 인접 지역 내의 모든 곳에서 차별화됨을 의미한다.

정의

f (z)

= z

̅

함수 f(z)는 0에서 복잡하게 구별할 수 없다. 위에서 표시한 대로

f (z)

- f

(0)

/ z -

0

의 값은 0에 접근하는 방향에 따라 달라지기 때문이다. 실제 축을 따라

f

는

함수

g

(z)

=

z

와 같고 한계는

1인

반면, 가상 축을 따라

f

는

h (z)

=

-z

와 같고 한계는

-1

이다. 다른 방향은 아직 다른 한도를 산출한다.

단일 복합 변수의 복합 값 함수 $f$ 가 주어진 경우, 해당 영역의 점 $z$ 에서₀ $f$ 의 파생상품은 한계에^[4] 의해 정의된다.

f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}{f(z_{0}){f(z_{0})}{f(z)-f({0}}}}} \over z-z_{0}}}

이는 모든 수량이 복잡하다는 점을 제외하면 실제 기능에 대한 파생상품의 정의와 같다. 특히, $복합수$ z가 $z$ 에₀ 접근함에 따라 한계는 취해지고, 복합 $평면$ 에서₀ z에 접근하는 $어떤$ 복합값의 순서에 대해서도 동일한 값을 가져야 한다. 한계가 존재한다면, 우리는 $f$ 가 포인트 $z$ 에서₀ 복잡하게 구별될 수 있다고 말한다. 이 복잡한 차별성의 개념은 실제 차별성과 몇 가지 속성을 공유한다: 그것은 선형이고 제품 규칙, 지수 규칙, 그리고 체인 규칙을 따른다.^[5]

만약 $f$ 가 오픈 세트 $U$ 의 모든 $점$ 에서₀ 복잡하게 구별될 수 있다면, 우리는 $f$ 가 $U$ 에서는 홀로모르픽이라고 말한다. $우리$ 는 f가 $어떤 0$ 이웃에서 복잡하게 구별될 수 있다면, 우리는 $point 0$ z에서는 홀로모르픽이라고 말한다.^[6] 우리는 $A$ 의 이웃에서 $F$ 가 홀로모픽이라면 어떤 비개방형 집합 $A$ 에서는 홀로모픽이라고 말한다. 병리학적 비예로서 $f (z)$ = $z$ 가 부여한 함수는 정확히 한 지점( $z 0$ = 0)에서 복잡하게 구별이 가능하며, 이러한 이유로 $f$ 가 복잡하게 구별되는 0 $주위$ 에 오픈 세트가 없기 때문에 $0$ 에서 홀로모르픽이 아니다.

실제의 차별성과 복잡한 차별성 사이의 관계는 다음과 같다. 복합함수 $f (x$ + $iy)$ = $u (x,$ y $)$ + $iv (x,$ y $)$ 가 홀모픽인 경우, $u$ 와 $v$ 는 $x$ 와 y에 대한 부분파생상품을 먼저 가지고 있으며, Cauchy-Remann 방정식을 만족한다.^[7]

{\frac {\fract u}{\property x}={\fract v}{\fract y}}{\mbox{\nd}}\pqquad {\fract u}=-{\fract v}{\fract v}}},},},},},},},},},},},

$또는$ 동등하게 z $̅$ 에 대한 $f$ 의 Wucinger 파생상품, $z$ 의 복잡한 결합상품은 0이다.^[8]

{\frac {\flac}{\reverline {\z}}}=0,

즉, 대략 $f$ 는 $z$ 의복잡한 결합체로부터 기능적으로 독립적이다.

연속성이 주어지지 않는다면, 그 역이 반드시 진실인 것은 아니다. 간단한 역학은 $u$ 와 $v$ 가 연속적인 첫 번째 부분파생상품을 가지고 있고 Cauchy-Remann 방정식을 만족한다면 $f$ 는 홀모픽이라는 것이다. 증명하기가 훨씬 더 어려운 만족스러운 역학은 루만-멘초프 정리인데, $만약$ f가 연속적인 $것$ 이라면 $u$ 와 v는 첫 번째 부분파생상품을 가지고 있고(그러나 반드시 연속적인 것은 아님), Cauchy-Remann 방정식을 만족시킨 다음 $f$ 는 홀로모르핀이다.^[9]

용어.

The term holomorphic was introduced in 1875 by Charles Briot and Jean-Claude Bouquet, two of Augustin-Louis Cauchy's students, and derives from the Greek ὅλος (hólos) meaning "whole", and μορφή (morphḗ) meaning "form" or "appearance" or "type", in contrast to the term meromorphic derived from μέρος (méros) meaning "part". 홀로모르픽 함수는 복잡한 평면의 영역에서 전체 함수("hole")를 닮고, 용적함수(특정 분리 극을 제외하고 홀로모르픽을 의미하는 것으로 정의됨)는 복잡한 평면의 영역에서 전체 함수의 합리적인 부분("part")을 닮는다.^[10] 코치는 대신 syectic이라는 용어를 사용했었다.^[11]

오늘날, "고형함수"라는 용어는 때때로 "분석함수"보다 선호된다. 복잡한 분석의 중요한 결과는 모든 홀로모르픽 함수가 복잡한 분석이라는 것이다. 이는 정의에서 분명히 따르지 않는 사실이다. 그러나 "분석적"이라는 용어는 널리 사용되고 있다.

특성.

복잡한 분화는 선형이고 제품, 지수, 체인 룰에 순응하기 때문에, 홀로모픽 함수의 합, 제품, 구성 등은 홀모픽이며, 분모가 0이 아닌 곳이면 어디든 두 개의 홀모픽 함수의 몫은 홀모픽이다.^[12] 즉, 함수 $f$ 와 $g$ 가 도메인 $U$ 에서 홀로모르픽이라면 $f$ + $g$ , $f$ - $g$ , $fg$ $,$ f $fg$ 도 마찬가지다. 더욱이, $f / g$ 는 $g$ 가 U에 0이 없으면 홀로모르픽이고, 그렇지 않으면 meromorphic이다.

실제 평면 $R$ 으로² $C$ 를 식별하는 경우, 홀모픽 함수는 두 개의 부분 미분 방정식 집합인 Cauchy-Remann 방정식을 해결하는 연속적인 첫 번째 파생 모델이 있는 두 개의 실제 변수의 함수와 일치한다.^[7]

모든 홀모픽 함수는 실제와 가상의 부분 $f (x$ + $iy)$ = $u (x,$ $y)$ + $iv (x,$ $y)$ 로 분리될 수 있으며, 이들 각각은 $u$ 의 고조파 결합과 $함께$ $R 2$ (각각 라플레이스의 방정식 $\nabla 2 u$ = $\nabla 2 v$ = $0$ 을 만족)에 대한 고조파 함수다.^[13] 반대로 단순하게 연결된 도메인 Ω⊂ $R$ 의² 모든 고조파 함수 $u (x,$ y $)$ 는 홀로모르픽 함수의 실제 부분이다. $v$ 가 상수까지 고유하게 $u$ 의 고조파 결합인 경우 $f (x$ + $iy)$ = $u (x,$ y $)$ + $iv (x,$ $y)$ 는 홀모픽이다.

Cauchy의 적분 정리는 루프를 따라 모든 홀로모르프 함수의 등고선 적분이 사라짐을 암시한다.^[14]

\point _{\put }f(z)\,dz=0.

여기서 $γ$ 은 단순하게 연결된 $복합영역$ U $c$ C에서 시작점이 종점과 같은 정류 가능한 경로로 $f$ : $U$ → $C$ 는 홀로모르픽 함수다.

Cauchy의 통합 공식은 디스크 내부의 모든 기능 홀모픽은 디스크의 경계에서 그것의 값에 의해 완전히 결정된다고 말한다.^[14] 게다가: $U$ ⊂ $C$ 가 복잡한 도메인이라고 $가정$ 하면 f : U → $C$ 는 홀모픽 함수이고 닫힌 디스크 $D =$ ${z$ : $z 0$ - z ≤ $r}$ 은 $U$ 에 완전히 포함되어 있다. $γ$ 은 $D$ 의 경계를 이루는 원이 되게 한다. 그리고 $D$ 의 내부에 있는 모든 $a$ 에 대해:

f(a)={\frac {1}{2\pi i}\point _{\point _{\frac {f(z)}{z-a}\,dz

등고선 적분을 시계 반대 방향으로 취한다.

파생상품 $f'(a)$ 는 Cauchy의 분화식을 사용하여 등고선 적분으로^[14] 작성할 수 있다.

f'(a)={1 \over 2\pi i}\point _{\f(z) \over (z-a)^{2}}\,dz,

a $주위$ 에 한 번 감기는 간단한 루프를 위해

f'(a)=\lim \lim \limits _{\frac {i}{2{\mathcal{A}(\gamma )}}\point _{\gamma }f(z)\,d{\bar {z},},}

최소의 양의 루프를 a $주위$ 에 $γ$ .

첫 번째 파생상품이 0이 아닌 지역에서는 홀로모르프 함수가 일치한다. 즉, 작은 그림의 각도와 모양(크기는 아님)을 보존한다.^[15]

모든 홀로모르프 함수는 분석적이다. 즉, 홀로모르픽 함수 $f$ 는 그 영역의 각 지점 $a$ 에서 모든 순서의 파생상품을 가지고 있으며, 그것은 $a$ 의 이웃에 있는 $a$ 의 자체적인 테일러 시리즈와 일치한다. $사실$ , f는 그 시점에서 중심이 되고 기능의 영역 내에 놓여 있는 어떤 디스크의 $a$ 의 테일러 시리즈와 일치한다.

대수학적 관점에서 볼 때, 오픈 세트의 홀로모르픽 함수 집합은 정류 링과 복잡한 벡터 공간이다. 또한 오픈 세트 $U$ 의 홀모픽 기능 세트는 오픈 세트 $U$ 가 연결된 경우에만 통합 도메인이다. ^[8] 사실, 그것은 지역적으로 볼록한 위상학적 벡터 공간이며, 세미몬트가 콤팩트한 서브셋의 최상층이다.

기하학적 관점에서, $함수$ f는 만약 $z$ 의₀ 인접지역 $U$ 에 있는 그것의 외부 파생상품 $df$ 가 어떤 연속적인 $함수$ f $'$ 에 $대해$ f $'(z) dz$ 와 같을 경우에만 $z$ 에서₀ 홀로모르픽이다. 에서 따르다.

\textstyle 0=d^{2}f=d(f^{\premy }dz)=df^{\premy }\premy dz

$df'$ 는 $dz$ 에도 비례하여 파생 $f'$ 자체가 홀로모르픽이므로 $f$ 는 무한히 다를 수 있음을 암시한다. 마찬가지로 $d (f dz)$ = f $f dz$ ∧ $dz$ = $0$ 은 단순하게 연결된 $영역$ U에서 홀로모르픽 함수 $f$ 도 $U$ 에서 통합할 수 있음을 의미한다.

( $전적$ 으로₀ U에 놓여 있는 $z$ 에서 ${\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}$ 까지의 $경로$ 에 대해서는 ${\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}$ ${\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}$ ( z ${\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}$ ) ${\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}$ = ${\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}$ ${\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}$ + ${\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}$ ${\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}$ ${\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}$ ${\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}$ z ${\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}$ ; ${\textstyle F_{\gamma }(z)=$ 를 정의한다. $F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}$ 요르단 곡선 정리 및 일반화된 스토크스의 정리에 비추어 ${\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}$ $F γ ($ $z)$ 는 경로 $γ$ 의 특정 선택과는 무관하므로 $F$ $(z 0)$ = $F 0$ (z)와 $dF$ = $fz$ (fz)를 $가지는$ U에서 잘 정의된 함수다.

예

복합 계수가 있는 $z$ 의 모든 다항 함수는 전체 함수(전체 복합 평면 $C$ 의 홀모픽)이며, 지수 함수 $exp$ $z$ 와 ${\textstyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$ ${\textstyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$ ${\textstyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$ = ${\textstyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$ ${\textstyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$ ( ${\textstyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$ ${\textstyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$ ( ${\textstyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$ ) + ${\textstyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$ ( - ${\textstyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$ ) ${\$ 1}:{ $1}{bigl (}xp(iz))}).$ $+\expiz){\bigr )}$ 및 ${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ z ${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ = ${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ - 1 ${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ i( ${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ exp ${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ ( ${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ z ${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ ) ${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ - ${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ exp ${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ ( ${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ - ${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ ${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ $){\$ 1}{1}{2 $}}:i{\exp(iz)-\bigr)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}($ cf. 오일러의 공식). 복합 로그 함수 $로그$ $z$ 의 주 분기는 도메인 $C$ $\$ { $z$ ∈ R : z≤ $0}$ 에서 홀로모르픽이다. ${\textstyle {\sqrt {z}}=\exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$ 함수는 z ${\textstyle {\sqrt {z}}=\exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$ = ${\textstyle {\sqrt {z}}=\exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$ ${\textstyle {\sqrt {z}}=\exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$ ( ${\textstyle {\sqrt {z}}=\exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$ ${\textstyle {\sqrt {z}}=\exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$ ${\textstyle {\sqrt {z}}=\exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$ ${\textstyle {\sqrt {z}}=\exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$ $){\$ z ${\bigr )}}}}}}$ 로 정의할 수 있으며, 따라서 ${\textstyle {\sqrt {z}}=\exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$ 로그 $z$ 가 어디에 있든 홀모픽이다. $역수함수$ 1/ $z$ 는 $C$ \ { $0}$ 에서 홀로모르픽이다. (역수함수, 그리고 다른 이성함수는 $C$ 에서 meromorphic이다.)

Cauchy-Remann 방정식의 결과로, 모든 실제 값 홀모픽 함수는 일정해야 한다. 따라서 절대값 $z$ , 주장 $arg(z),$ 실제 부분 $Re(z),$ 가상 부분 임 $(z)$ 은 홀모픽이 아니다. 홀로모르픽이 아닌 연속함수의 또 다른 대표적인 예는 복합결합 $z̅$ 이다. (복합결합은 반홀로모르픽이다.)

여러 변수

홀로모르픽 함수의 정의는 간단한 방법으로 여러 복잡한 변수에 일반화된다. $D$ 를 Polydisk로 하고 $C$ 의ⁿ 오픈 서브셋을 나타내며, $f$ : D → $C$ 로 한다. 함수 $f$ 는 $n개$ 의 복잡한 변수에서 $f$ 가 수렴 전력 시리즈와 동일한 $p$ 의 개방된 인접성이 있는 경우 $D$ 의 p $지점$ 에서 분석한다.^[16] $f$ 가 그 영역의 각 지점에서 분석되는 경우, holomorphic이 되도록 정의한다. 오스굿의 보조정리기는 (다변수 코우치 적분식을 사용하는) 연속함수 $f$ 의 경우, 이것은 각 변수에서 holomorphic이 $되는$ 것과 동등하다는 것을 보여준다( $n$ - $1$ 좌표가 고정되어 있다면 $f$ 의 제약은 나머지 좌표의 holomorphic 함수라는 것을 의미한다). 하토그스의 정리는 연속성 가설이 불필요하다는 것을 증명한다: $f$ 는 각 변수에서 개별적으로 홀오모르픽인 경우에만 홀오모르픽이다.

보다 일반적으로, 그 영역의 모든 콤팩트한 부분 집합에 걸쳐 정사각형 통합이 가능한 몇 가지 복잡한 변수의 함수는 분포의 관점에서 Cauchy-Remann 방정식을 만족하는 경우에만 분석적이다.

몇 가지 복잡한 변수의 함수는 어떤 면에서 단일 복합 변수의 함수보다 더 복잡하다. 예를 들어, 파워 시리즈 융합 영역이 반드시 열린 공은 아니다. 이러한 영역은 로그 콘벡스 라인하르트 도메인이며, 그 중 가장 간단한 예는 폴리디스크다. 하지만, 그들은 또한 몇 가지 근본적인 제약을 받는다. 단일 복합 변수의 함수와는 달리, 더 큰 도메인으로 확장할 수 없는 홀모픽 함수가 있는 가능한 도메인은 매우 제한적이다. 그런 세트를 홀로모피의 영역이라고 한다.

복합 미분 $(p,0)$ 형태 $α$ 는 그 반홀로모픽 $돌베오트$ $파생상품$ 이 0인 경우에만 홀로모르핀이다 $.$

기능 분석으로 확장

홀로모픽 함수의 개념은 기능 분석의 무한 차원 공간까지 확장될 수 있다. 예를 들어, Frechet 또는 Gateaux 파생상품은 복잡한 숫자의 영역에 걸쳐 Banach 공간의 홀로모픽 함수의 개념을 정의하는 데 사용될 수 있다.

참고 항목

참조

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^ 원래 프랑스어 용어는 홀로모프와 메로모프였다. Briot, 샤를 오귀스트, 꽃다발, 장 클로드(1875년)."§15 fonctions holomorphes".Théorie(fonctions elliptiques(2판).Gauthier-Villars.를 대신하여 서명함. 14–15.Lorsqu'une fonction., une dérivée et monotrope, quand 데 라 변수가 meutdansunecertaine partie du 계획,nous dironsqu'elle. holomorphe danscette partie(계획하고 있다.Nous indiquons 파 cette dénominationqu'elle. 외견상의 무기를 잡fonctions entièresqui jouissent 드 ces propriétés danstoute l'étendue(계획.[...]우네 분수 rationnelle admet comme pôles 레 racines(dénominateur,c'estune fonction holomorphe danstoute partie(계획 qui necontient aucun 드 ses pôles.Lorsqu'une fonction.holomorphe dans une partie 마치 계획,excepté 앙 certains pôles,nous dirons qu'elle. méromorphedans cette partie(계획, c'est-à-dire 유사한 구동 보조 분수 rationnelles. 함수,monotropic, 비행기의 특정 부분의 변수 움직임은 파생물이 지속적인 있는 경우, 우리는 이것이 비행기의 그 지역에 적인. 있다고 말한다.[...] 유리 분수 사이에는 천지 사실을 인정하는 우리는 이 이름은 비행기의 전체 범위에서 이러한 속성을 즐기전체 기능을 닮았다고 하며, 분모의 뿌리, 어떤 기둥을 함유하고 있지 않는 비행기의 이러한 모든 부분에 있는 적인. 기능을 의미한다. 함수가 비행기의 부분에서, 어떤 극점 근처에서 제외한 적인., 우리는 이것이 비행기의 합리적인 분수를 닮은 말하는 것은 그 부분에. 해결을 유리 있다고 말한다.
Harkness, James; Morley, Frank (1893). "5. Integration". A Treatise on the Theory of Functions. Macmillan. p. 161.
^ 브리오트와 부케는 또한 이전에 1859년 초판에서 카우치의 용어인 샤넥틱(프랑스어)을 채택한 바 있다. Briot, Charles Auguste; Bouquet, Jean-Claude (1875). "§10". Théorie des fonctions doublement périodiques. Mallet-Bachelier. p. 11.
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추가 읽기

Blakey, Joseph (1958). University Mathematics (2nd ed.). London: Blackie and Sons. OCLC 2370110.

외부 링크

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[2] "Analytic function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994], retrieved February 26, 2021

[3] Adam Getchel. "Regular Function". MathWorld. Retrieved February 26, 2021.

[4] Ahlfors, L, Complex Analysis, 3 Ed. (McGraw-Hill, 1979).

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[Mark-7] 마르쿠셰비치, A.I.복합 변수의 함수 이론(Prentice-Hall, 1965) [3권]

[Gunning-8] Gunning, Robert C.; Rossi, Hugo (1965). Analytic Functions of Several Complex Variables. Prentice-Hall series in Modern Analysis. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall. pp. xiv+317. ISBN 9780821869536. MR 0180696. Zbl 0141.08601.

[9] Gray, J. D.; Morris, S. A. (1978), "When is a Function that Satisfies the Cauchy-Riemann Equations Analytic?", The American Mathematical Monthly (published April 1978), 85 (4): 246–256, doi:10.2307/2321164, JSTOR 2321164.

[10] 원래 프랑스어 용어는 홀로모프와 메로모프였다. Briot, 샤를 오귀스트, 꽃다발, 장 클로드(1875년)."§15 fonctions holomorphes".Théorie(fonctions elliptiques(2판).Gauthier-Villars.를 대신하여 서명함. 14–15.Lorsqu'une fonction., une dérivée et monotrope, quand 데 라 변수가 meutdansunecertaine partie du 계획,nous dironsqu'elle. holomorphe danscette partie(계획하고 있다.Nous indiquons 파 cette dénominationqu'elle. 외견상의 무기를 잡fonctions entièresqui jouissent 드 ces propriétés danstoute l'étendue(계획.[...]우네 분수 rationnelle admet comme pôles 레 racines(dénominateur,c'estune fonction holomorphe danstoute partie(계획 qui necontient aucun 드 ses pôles.Lorsqu'une fonction.holomorphe dans une partie 마치 계획,excepté 앙 certains pôles,nous dirons qu'elle. méromorphedans cette partie(계획, c'est-à-dire 유사한 구동 보조 분수 rationnelles. 함수,monotropic, 비행기의 특정 부분의 변수 움직임은 파생물이 지속적인 있는 경우, 우리는 이것이 비행기의 그 지역에 적인. 있다고 말한다.[...] 유리 분수 사이에는 천지 사실을 인정하는 우리는 이 이름은 비행기의 전체 범위에서 이러한 속성을 즐기전체 기능을 닮았다고 하며, 분모의 뿌리, 어떤 기둥을 함유하고 있지 않는 비행기의 이러한 모든 부분에 있는 적인. 기능을 의미한다. 함수가 비행기의 부분에서, 어떤 극점 근처에서 제외한 적인., 우리는 이것이 비행기의 합리적인 분수를 닮은 말하는 것은 그 부분에. 해결을 유리 있다고 말한다.
Harkness, James; Morley, Frank (1893). "5. Integration". A Treatise on the Theory of Functions. Macmillan. p. 161.

[11] 브리오트와 부케는 또한 이전에 1859년 초판에서 카우치의 용어인 샤넥틱(프랑스어)을 채택한 바 있다. Briot, Charles Auguste; Bouquet, Jean-Claude (1875). "§10". Théorie des fonctions doublement périodiques. Mallet-Bachelier. p. 11.

[12] Henrici, Peter (1993) [1986], Applied and Computational Complex Analysis Volume 3, Wiley Classics Library (Reprint ed.), New York - Chichester - Brisbane - Toronto - Singapore: John Wiley & Sons, pp. X+637, ISBN 0-471-58986-1, MR 0822470, Zbl 1107.30300.

[13] Evans, Lawrence C. (1998), Partial Differential Equations, American Mathematical Society.

[Lang-14] Lang, Serge (2003), Complex Analysis, Springer Verlag GTM, Springer Verlag

[15] Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd ed.), New York: McGraw–Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157

[16] Gunning 및 Rossi, 여러 복합 변수의 분석 기능, 페이지 2.

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