확장 음이항 분포

확률과 통계에서 확장된 음이항 분포는 음이항 분포를 확장하는 이산 확률 분포다.추정 방법을 연구한 음이항 분포의^[1] 잘린 버전이다.^[2]null

보험수리적 과학의 맥락에서 K의 논문에서 그 분포가 일반적인 형태로 나타났다.헤스, A.리월드와 K.D.확장된^[3] 판제르 재귀가 작용하는 모든 분포를 특징으로 삼았을 때 슈미트.사례 m = 1의 경우, 분포는 이미 Willmot에^[4] 의해 논의되었고 로그 분포와 H.U. Gerber에 의한 음이항 분포와 함께 파라메트릭 계열에 투입되었다.^[5]null

확률 질량 함수

자연수 m ≥ 1과 실제 매개변수 p에 대해, r이 0 < p ≤ 1과 –m < –m + 1인 경우, ExtNegBin(m, r, p) 분포의 확률 질량 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle f(k;m,r,p)=0\qquad {\text{ for }}{0,1,\ldots,m-1\}$

그리고

${\displaystyle f(k;m,r,p)={\frac {{k+r-1 \choose k}p^{k}}{(1-p)^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{j+r-1 \choose j}p^{j}}}\quad {\text{for }}k\in {\mathbb {N} }{\text{ with }}k\geq m,}$

어디에

${\displaystyle {k+r-1 \k}={\frac {\감마(k+r)}{k!\,\감마(r)}}}=(-1)^{k}\-r \{-r \c}\qquad \qquad (1)을 선택하십시오.$

(일반화된) 이항계수이고 and은 감마함수를 나타낸다.null

확률생성함수

s ∈ (0, 1)에 대한 f (. ; m, r, ps)도 확률 질량 함수로서, 확률 생성 함수는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\regated}\sum _{k=m}^{{k=m}^{k=m}\f(p)^{-r}\&={\frac {(1-ps)^{j=0-}^{j+r-1}{j}}}}}}}}}{j}}}}}}}}}}}}}}{binom {j.^{j}{{j}}{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {j+r-1}{j}}}}{j}}}}}\qquad{\text{{}}}}}}{}s \leq {\frac {1}{p}}}}.\end{정렬}}}$

중요한 사례 m = 1에 대해, 따라서 r 1 (–1, 0)은 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle \varphi(s)={\frac {1-(1-ps)^{-r}{1-r}^{-r}}\qquad{\text{{}초 동안 \leq {\frac {1}{p}}.}$

참조