로그 정규 분포

확률론에서 로그 정규 분포(또는 로그 정규 분포)는 로그가 정규 분포를 따르는 랜덤 변수의 연속 확률 분포다. 따라서 랜덤 변수 X가 로그 정규 분포를 따르는 경우 Y = ln(X)은 정규 분포를 따른다.^[1][2] 마찬가지로 Y가 정규 분포를 갖는 경우 Y, X = exp(Y)의 지수함수는 로그 정규 분포를 가진다. 로그 정규 분포를 따르는 랜덤 변수는 양의 실제 값만 사용한다. 이 모델은 의료, 경제 및 기타 주제(예: 에너지, 농도, 길이, 재무 수익 및 기타 지표)뿐만 아니라 정확하고 공학적인 과학에서 측정을 위한 편리하고 유용한 모델이다.

그 분포는 때때로 프랜시스 갈튼의 뒤를 이어 갈튼 분포 또는 갈튼의 분포로 언급된다.^[3] 로그 정규 분포는 맥알리스터, 지브라트, 콥-더글라스 같은 다른 이름과도 연관되어 있다.^[3]

로그 정규 공정은 많은 독립 랜덤 변수의 곱셈 산출물을 통계적으로 실현하는 것으로, 각 공정은 양수다. 이것은 로그 영역의 중심 한계 정리(때로는 기브라트의 법칙이라고도 함)를 고려함으로써 정당화된다. 로그 정규 분포는 랜덤 변수 X에 대한 최대 엔트로피 확률 분포로, 여기서 ln(X)의 평균과 분산이 지정된다.^[4]

정의들

생성 및 매개 변수

$Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$을(를) 표준 정규 변수로 하고$$, $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$과()0 ${\displaystyle \sigma >0}$을(를) 두 개의 실수로 한다. 그런 다음 랜덤 변수의 분포

${\displaystyle X=e^{\mu +\sigma Z}}$

매개변수 $[\displaystyle \mu$}과$$ $[\displaystyle \sigma }$을(를) 갖는 로그 정규 분포라고 한다$.$ 이것들은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$} 자체$의 기대값과 표준 편차가 아니라 변수의 자연 로그에 대한 기대값(또는 평균)과 표준 편차이다.

This relationship is true regardless of the base of the logarithmic or exponential function: if ${\displaystyle \log _{a}(X)}$ is normally distributed, then so is ${\displaystyle \log _{b}(X)}$ for any two positive numbers ${\displaystyle a,b\neq 1}$. Likewise, if ${\displ$$aystyle e^{$$Y}}$은(는) ${\displaystyle {로그}^{}}$ 정규 분포를 따르므로 Y ${\$ a$^{$$Y$ 여기서 ${\displaystyle 0<a\neq 1$

In order to produce a distribution with desired mean ${\displaystyle \mu _{X}}$ and variance ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$, one uses ${\displaystyle \mu =\ln \left({\frac {\mu _{X}^{2}}{\sqrt {\mu _{X}^{2}+\sigma _{X}^{2}}}}\right)}$ and ${\displaystyle {\sigma }^2}$${\displaystyle \sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac{\x}^{X}}}}}{X}^{X}^}}}}\오른쪽).$$}$

또는 "복제" 또는 "기하" 파라미터 $\mu {\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mu }^{}}$ = e μ = e$$μ = {\$displaystyle \mu ^{*=e^{\mu }},$ ${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\sigma }^{}}${\$displaystyle \sigma ^{*=e^{\sigma }}}$을 사용할 수 있다$$. 그들은 보다 직접적인 해석을 가지고 있다: $\mu {\displaystyle {}^{\ast }}$ ${\$는 분포의 중앙값이며$$,${\displaystyle {}^{}}\sigma {\displaystyle {}^{}}$ ${\$은(는) "스캐터" 간격을$$ 결정하는 데 유용하다(아래 참조).

확률밀도함수

A positive random variable X is log-normally distributed (i.e., ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{x},\sigma _{x}^{2})}$), if the natural logarithm of X is normally distributed with mean ${\displaystyle \mu }$ and variance ${\displaystyle \sigma ^{2}}$:

${\displaystyle \ln(X)\sim {\mathcal{N}(\mu ,\sigma ^{2})}$

$\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$과 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$을(를) 각각 N(0,1) 분포의 누적 확률 분포 함수와 확률 밀도 함수로 지정하면$$ 다음과^[1][3] 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\Pr(X\leq x)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\Pr(\ln X\leq \ln x)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\Phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\오른쪽)\\[6pt]&=\varphi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right){\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)=\varphi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right){\frac {1}{\sigma x}}\\[6pt]&={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi \,}}}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).\end{정렬}}}$

누적분포함수

누적분포함수는

${\displaystyle F_{X}(x)=\Phi \왼쪽({\frac {(\ln x)-\mu }{\sigma }}}$

여기서 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$은(는) 표준 정규 분포의 누적 분포 함수(예: N(0,1)이다$$.

이 또한 다음과 같이 표현할 수 있다.^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$

여기서 erfc는 보완적 오류 함수다.

다변량 로그 정규 분포

If ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})}$ is a multivariate normal distribution, then ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}=\exp({\boldsymbol {X}})}$ has a multivariate log-normal distribution^[5][6] with mean

${\displaystyle \operatorname {E}[{\boldsymbol{Y}]_{i}={{i}+{{1}\frac{1}{1}:{ii},}$

및 공분산 행렬

${\displaystyle \operatorname {Var}[{\boldsymbol {Y}]_{ij}=e^{\mu_{i}+\mu_{j}{{1}{1}2}}(\Sigma _{i}+\Sigma _{j}})(e^{ij-1}}$

다변량 로그 정규 분포는 널리 사용되지 않으므로 이 항목의 나머지 부분은 일변량 분포만을 다룬다.

특성함수 및 모멘트 생성함수

로그 정규 분포의 모든 모멘트가 존재하며

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$

$이것$은 z${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{\ln }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$( x${\displaystyle \frac{}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$-${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{\mu }{}}$+ ${\displaystyle \frac{n}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\sigma \mathrm{}}^{}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$) ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$sigma }}}}}}{\$sigma }}}}}}}}}$을 적분 안에$$ 두면 얻을 수 있다. 그러나 로그 정규 분포는 모멘트에 의해 결정되지 않는다.^[7] 이는 0의 근방에 정의된 모멘트 생성 기능을 가질 수 없음을 의미한다.^[8] 실제로 정의 적분($)$ 이후 인수 t {\$displaystyle \operatorname {E}[e^{tX}]$은(는) $인수{\displaystyle \mathrm{}}$ $t{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystytle t}$의 양수 값에 대해 정의되지 않는다$$$.$

특성 함수 $E{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle }$ [${\displaystyle }$e ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle X^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \operatorname$ {$E}[e^{itX}]$은 t의 실제 값에 대해 정의되지만$$ 음의 가상 부분이 있는 t의 어떤 복잡한 값에 대해서도 정의되지 않으므로 특성 함수는 원점에서 분석되지 않는다. 따라서 로그 정규 분포의 특성 함수는 무한 수렴 열로 나타낼 수 없다.^[9] 특히 테일러 공식 시리즈는 다음과 같이 갈린다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {(it)^{n}}{n!}}}e^{n\mu +n^{2}\n^{2}\ma ^{2}/2}}$

그러나, 여러 가지 대안적인 다이버전트 시리즈 표기가 얻어졌다.^{[9][10][11][12]}

$융합{\displaystyle }$ 영역에서$$ t ${\displaystyle$ t$}$이(가) 있는 특성$$ 함수 $\phi {\displaystyle (t}$) ${\displaystyle \varphi(t)}$에 대한 폐쇄형 공식은 알려져 있지 않다. 비교적 간단한 근사 공식은 닫힌 형태로 이용할 수 있으며, 다음과^[13] 같이 주어진다.

${\displaystyle \varphi (t)\approx {\frac {\exp \left(-{\frac {W^{2}(-it\sigma ^{2}e^{\mu })+2W(-it\sigma ^{2}e^{\mu })}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sqrt {1+W(-it\sigma ^{2}e^{\mu })}}}}$

여기서 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$은(는) Lambert W 기능이다. 이 근사치는 점근법을 통해 도출되지만, $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi$}의 수렴 영역 전체에 걸쳐 날카롭게 유지된다$.$

특성.

서로 다른 도메인에서의 확률

임의의 영역에서 로그 정규 분포의 확률 내용은 우선 변수를 정규 분포로 변환한 다음, 레이 트레이스 방법을 사용하여 숫자로 통합하여 원하는 정밀도로 계산할 수 있다.^[14] (Matlab 코드)

로그 정규 변수의 함수 확률

로그 정규 분포의 확률은 어느 도메인에서나 계산할 수 있기 때문에, 이는 로그 정규 변수의 모든 함수의 cdf(그리고 결과적으로 pdf 및 inverse cdf)도 계산할 수 있음을 의미한다.^[14] (매트랩 코드)

기하학적 또는 승수적 모멘트

로그 정규 분포의 기하학적 또는 곱셈 평균은 ${\displaystyle \mathrm{GM}}$ ${\displaystyle }$[ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mu }^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ μ μ =$displaystyle \operatorname {GM}[X]=e^{\mu }=\mu$ $^\{*\}\}\}\}\}.$ 중위수와 같다. 기하학적 또는 곱셈 표준 편차는 GSD${\displaystyle d}$ [ X ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\sigma }^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ∗ = { ${\displaystyle {\ast }^{}}$ \ ${\$ $^\{*\}\}\}\}\}.$^[15][16]

By analogy with the arithmetic statistics, one can define a geometric variance, ${\displaystyle \operatorname {GVar} [X]=e^{\sigma ^{2}}}$, and a geometric coefficient of variation,^[15] ${\displaystyle \operatorname {GCV} [X]=e^{\sigma }-1}$, has been proposed. 이 용어는 로그 정규 데이터의 곱셈 변동을 설명하기 위해 변동 계수와 유사하게 의도되었지만, GCV의 이 정의는 ${\displaystyle \mathrm{CV}}$ ${\displaystyle \operatorname${CV$}$ 그 자체의$$ 추정치로서 이론적 근거를 가지고 있지 않다(변동 계수 참조).

기하 평균이 산술 평균보다 작다는 점에 유의하십시오. 이는 AM-GM 불평등 때문이며, 로그가 오목함수인 결과물이다. 실은.

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}=e^{\mu }\cdot {\sqrt {e^{\sigma ^{2}}}}=\operatorname {GM} [X]\cdot {\sqrt {\operatorname {GVar} [X]}}.}$^[17]

금융에서는 $e{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {1\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{2}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\sigma {}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\$}{2$}}\sigma ^{2}}}$라는 용어가 볼록교정(colfix correction)으로 해석되기도$$ 한다. 확률론적 미적분학의 관점에서 보면, 이것은 이토의 기하학적 브라운 운동에 대한 보조정리에서와 같은 보정 용어다.

산술 모멘트

실제 또는 복잡한 숫자 n에 대해, 로그 정규 분포 변수 X의 n번째 모멘트는 다음과^[3] 같이 주어진다.

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +{\frac{1}{1}{1}{2}}:n^{2}\sigma ^{2}}.}$

특히 로그 정규 분포 변수 X의 산술 평균, 기대 제곱, 산술 분산 및 산술 표준 편차는 각각 다음과 같이 지정된다.^[1]

${\displaystyle{\begin{정렬}\operatorname{E}[X]&, =e^{\mu+{\tfrac{1}{2}}\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname{E}[X^{2}]&, =e^{2\mu +2\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname{바르}[X]&,=\operatorname{E}[X^{2}]-\operatorname{E}[X]^ᆾ=(\operatorname{E}[X])^ᆿ(e^{\sigma ^{2}}))=e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}))[4pt]\operatornam.e{SD}[X]&, ={\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}=\operatorname {E} [X]{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}},\end{aligned}}}$

The arithmetic coefficient of variation ${\displaystyle \operatorname {CV} [X]}$ is the ratio ${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {SD} [X]}{\operatorname {E} [X]}}}$. For a log-normal distribution it is equal to^[2]

${\displaystyle \operatorname {CV} [X]={\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}.}$

이 추정치는 기하 분산을 사용하기 때문에 "기하계 CV"(Geometric CV)라고도 한다.^[18][19] 산술 표준 편차와 달리 산술 변동의 산술 계수는 산술 평균과 독립적이다.

산술 평균과 산술 분산이 알려진 경우 파라미터 μ와 μ를 얻을 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\mu&=\ln \left({\frac{\operatorname{E}{2}}{\sqrt{\operatorname{E}[X^{2}]}}}\right[X]^)=\ln \leftᆱ,\\[4pt]\sigma ^{2}&, =\ln \left({\frac{\operatorname{E}[X^{2}]}{\operatorname{E}{2}}[X]^}\right)=\ln\.떠났다(1+{\frac {\operatorname {Var}{X]}{\operatorname {E}[X]^{2}}}\오른쪽).\end{정렬}}}$

한 확률 분포 고유하게 E[Xn])enμ+.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den 그 순간{에 의해 결정되지 않다.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}n≥ 1.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/2n2σ2. 즉, 동일한 모멘트를 가진 다른 분포가 존재한다.^[3] 사실, 로그 정규 분포와 같은 순간을 갖는 분포의 전체 집단이 있다.^{[citation needed]}

모드, 중위수, 분량

모드는 확률밀도함수의 전역 최대점이다. 특히 방정식$({\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle f{}^{}}$) ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle (\ln f')=0}$을(를) 풀면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다$.$

${\displaystyle \operatorname {Mode} [X]=e^{\mu -\sigma ^{2}.}$

로그 변환 ${\displaystyle \mathrm{변수}}$ Y${\displaystyle }$= ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$ X ${\displaystyle Y=\ln$ X$}$이(가) 정규$$ 분포를 가지며, 단조 변환 시 정량화가 유지되기 때문에 $X{\displaystyle }${\$displaysty$X}의$$ 정량화는 다음과 같다.

${\displaystyle q_{X}(\alpha )=e^{\mu +\sigma q_{\\\Phi }(\alpha )}=\mu ^{*}(\sigma ^{*})^{q_{\Phi }(\alpha )}}$

여기서 $Q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\phi \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\alpha }$) ${\displaystyle q_{\$$Phi }(\alpha )}$은 표준 정규 분포의 수량이다.

특히 로그 정규 분포의 중위수는 해당 분포의 승법 평균과 동일하다.^[20]

${\displaystyle \operatorname {Med} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}.}$

부분적 기대

임계값 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 대한$$ 랜덤 $변수{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 부분적 기대치는 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infit }xf_{X}(x)\,dx.}$

또는 조건부 기대의 정의를 사용하여 ( )= [ X> ( > k$){\displaystyle g(k)=\operatorname {E}[X\mid X>k]P(X >k)}$로 작성할 수 있다 로그 정규 랜덤 변수의 경우, 부분 기대치는 다음과 같다.

${\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x)\,dx=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}\,\Phi \!\left({\frac {\mu +\sigma ^{2}-\ln k}{\sigma }}\right)}$

여기서 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$은(는) 정규 누적 분포 함수다. 수식의 파생은 Talk 페이지에서 제공된다. 부분적 기대 공식은 보험과 경제에 적용되며 블랙-숄즈 공식으로 이어지는 부분 미분 방정식을 해결하는 데 사용된다.

조건기대

임계값 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 대한 로그 정규 랜덤 $변수{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 조건부 기대치는 부분적인 기대치를 해당 범위에 있을 누적 확률로 나눈 것이다$.$

${\displaystyle {\reasoned}E[X\mid X<k>&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}:}\cdot {\frac {\phi \frac{\ln(k)-\mu -\sigma ^{2}}:{\sigma }}{\\\\\\\\\\}}}}}}}}Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu }{\sigma }}}}\\[8pt]E[X\mid X\geqslant k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\mu +\sigma ^{2}-\ln(k)}{\sigma }}\right]}{1-\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu }{\sigma }}\right]}}\\[8pt]E[X\mid X\in [k_{1},k_{2}]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\ln(k_{2})-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]-\Phi \left[{\frac {\ln(k_{1})-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]}{\Phi \left[{\frac {\ln(k_{2})-\mu }{\sigma }}{\sigma }}\mu \ln(k_{1})-\mu }{\sigma }}}\liged}}}}}}}}$

대체 매개 변수화

$\mu {\displaystyle }$,${\displaystyle \mu }$,$$μ,$μ$,$$$\mu {\displaystyle {}^{}}$, μ${\displaystyle {,}^{}}$μ,$$ {\$displaystyle \mu ^{*},\sigma ^{*},$ 여기에 로그 정규 분포를 파라미터화하는 여러 가지 방법이 있다$.$ ProbNoto^[21][22], 확률 분포의 지식 기반 및 온톨로지에는 다음과 같은 7가지 형태가 있다.

• 로그 척도에 평균, μ, 표준 편차 μ를 포함한 로그 정규1(μ, μ)

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

• 로그 척도에 평균, μ, 분산이 있는 로그 정규2(μ, μ) μ, 둘 다

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol{\mu},{\boldsymbol{v}}}={\frac{1}{x{\sqrt{2\pi}}}}}}}}\explef[-{\n x-\mu}^{2}}:v\오른쪽]}$

• 자연 척도에서는 중위수, m, 로그 척도는^[23] 표준 편차인 로그 정규3(m,³)

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol{m},{\boldsymbol{\sigma}}}={\frac {1}{x\sqrt{2\pi }}}}}}}}확장 \{\frac {\ln(x/m){2}}오른쪽}$

• LogNormal4(m,cv), 중위수, m 및 변동 계수, cv(둘 다 자연 척도)

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {cv}})={\frac {1}{x{\sqrt {\ln(cv^{2}+1)}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln(cv^{2}+1)}}\right]}$

• LogNormal5(μ, μ)와 평균, μ, 정밀도 μ, 둘 다 로그 척도에^[24] 있음

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\tau }})={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}{\frac {1}{x}}\exp \left[-{\frac {\tau }{2}}(\ln x-\mu )^{2}\right]}$

• 중위수, m 및 기하학적 표준 편차 σ이_g 있는 로그일반6(m,³_g) 둘 다 자연척도에^[25] 있음

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma _{g}}})={\frac {1}{x\ln(\sigma _{g}){\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln ^{2}(\sigma _{g})}}\right]}$

• 로그일반7(μ_NN, μ) 평균, μ_N, 표준 편차 μ_N, 둘 다 자연척도에^[26] 있음

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu _{N}},{\boldsymbol {\sigma _{N}}}}}={\frac {1}{x{\sqrt {2\pi \ln \lift(1+\sigma _{N}/{{{{N}/ma) \{{{{{{{{N}^{{{{{N}}}}}}오른쪽)}}}}\exp \left(-{\frac {{\Big [}\ln x-\ln {\frac {\mu _{N}}{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}}{\Big ]}^{2}}{2\ln(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2})}}\right)}$

재모수화 예제

PFIM과^[27] PopED와 같은 두 가지 최적 설계 도구를 사용하여 모델을 실행하려는 경우를 생각해 보십시오.^[28] 전자는 LN2, 후자는 LN7 매개변수화를 각각 지원한다. 따라서 재모수화가 필요하다. 그렇지 않으면 두 도구는 다른 결과를 산출할 것이다.

For the transition ${\displaystyle \operatorname {LN2} (\mu ,v)\to \operatorname {LN7} (\mu _{N},\sigma _{N})}$ following formulas hold ${\displaystyle \mu _{N}=\exp(\mu +v/2)$${\text{ and }}\sigma _{N}=\exp(\mu +v/2)$${\sqrt {\exp(v)-1$

For the transition ${\displaystyle \operatorname {LN7} (\mu _{N},\sigma _{N})\to \operatorname {LN2} (\mu ,v)}$ following formulas hold ${\displaystyle \mu =\ln {\Big (}\m$$u _{N}/{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{{$N}^{2$}}:{{N}^{{N}}}{{{N}^{{N$

나머지 모든 재모수화 공식은 프로젝트 웹사이트의 사양 문서에서 찾을 수 있다.^[29]

다중, 역수, 검정력

• 상수에 의한 곱하기: If ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ then ${\displaystyle aX\sim \operatorname {Lognormal} (\mu +\ln a,\ \sigma ^{2})}$ for ${\displaystyle a>0.$$}$
• 역수: If ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ then ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Lognormal} (-\mu ,\ \sigma ^{2}).$$}$
• Power: If ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ then ${\displaystyle X^{a}\sim \operatorname {Lognormal} (a\mu ,\ a^{2}\sigma ^{2})}$ for ${\displaystyle a\neq 0.}$

독립 로그 정규 랜덤 변수의 곱하기 및 분할

If two independent, log-normal variables ${\displaystyle X_{1}}$ and ${\displaystyle X_{2}}$ are multiplied [divided], the product [ratio] is again log-normal, with parameters ${\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2}}$ [${\displaystyle \mu =\mu _{1}-\mu _{2}}$] and $$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle$ $\sigma }$ 여기서$$$\sigma {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2 ${\$ $_$${2}^{2$$}}}}}}.$ 이러한$$ $변수$의 산물로 쉽게 일반화된다.

More generally, if ${\displaystyle X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})}$ are ${\displaystyle n}$ independent, log-normally distributed variables, then ${\displaystyle Y=\prod _{j=1}^n{X}_j\sim \mathrm{Lognormal}(\sum _{j=1}^n{\mu }_j,\sum _{j=1}^n{\sigma }_j^2}$${\$$}$

곱셈 중심 한계 정리

The geometric or multiplicative mean of ${\displaystyle n}$ independent, identically distributed, positive random variables ${\displaystyle X_{i}}$ shows, for ${\displaystyle n\to \infty }$ approximately a log-normal distribution with parameters ${\displaystyle \mu =E[\ln(X_{i})]}$ 및 $\sigma {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle \text{var}}$[${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle ]}$/ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}={\mbox{var}}[\ln(X_{i})}]/n},$${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ 2$${\$displaysty \sigma ^{2$}}가$$ 유한하다고 가정한다.

사실, 무작위 변수는 똑같이 분포될 필요가 없다. ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$ ($){\displaystyle \ln(X_{i})$의 분포는 모두 유한 분산을 가지며 중앙 한계 정리 중 많은 변종 중 어떤 다른 조건도 만족시키기에 충분하다.

이것은 흔히 기브랏의 법칙으로 알려져 있다.

기타

로그 정규 분포에서 발생하는 데이터 집합에는 대칭 로렌츠 곡선이 있다(로렌츠 비대칭 계수 참조).^[30]

이 분포의 조화 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H$ $기하학적{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$ 및$$ 산술 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 평균은$$ 다음과 같다.^[31] 이러한 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}.}$

로그 정규 분포는 무한히 분할할 수 있지만,^[32] 안정적인 분포는 아니며, 쉽게 추출할 수 있다.^[33]

관련 분포

• If ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ is a normal distribution, then ${\displaystyle \exp(X)\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2}).$$}$
• If ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ is distributed log-normally, then ${\displaystyle \ln(X)\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ is a normal random variable.
• Let ${\displaystyle X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})\ }$be independent log-normally distributed variables with possibly varying ${\displaystyle \sigma }$ and ${\displaystyle \mu }$ parameters, and ${\displaystyle$$Y=\textstyle \sum _{j=1}^{n}X_{j$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의 분포는 닫힌 형태 표현식은 없지만$$ 오른쪽 꼬리에 있는$$ 다른 로그 정규 분포 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$에 의해 합리적으로 근사하게 추정할 수 있다.^[34] 0 부근에서의 확률밀도함수는 특징적이며^[33] 어떠한 로그 정규 분포와도 닮지 않았다. L.F.로 인해 일반적으로 사용되는 근사치. 펜톤(그러나 이전에 R.I. Wilkinson이 기술하고 Marlow가^[35] 정당화한 수학)은 다른 로그 정규 분포의 평균과 분산을 일치시켜 얻는다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[{\frac {\sum e^{2\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}}(e^{\sigma _{j}^{2}}-1)}{(\sum e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2})^{2}}}+1\right],\\\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2}\right]-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{정렬}}}$

모든 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 분산 매개 변수 parameter j = ${\displaystyle \sigma _{j}=\sigma }$을(를) 갖는$$ 경우, 이러한 공식은 다음과 같이 단순화된다$.$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[(e^{\sigma ^{2}}-1){\frac {\sum e^{2\mu _{j}}}{(\sum e^{\mu _{j}})^{2}}}+1\right],\\\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum e^{\mu _{j}}\right]+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{정렬}}}$

보다 정확한 근사치를 위해서는 몬테카를로 방법을 사용하여 누적분포함수와 pdf, 오른쪽 꼬리를 추정할 수 있다.^[36][37]

상관 로그 정규 분포 랜덤 변수의 합도 로그 정규 분포에^{[citation needed]} 의해 근사치를 구할 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}S_{+}&,=\operatorname{E}_{나는}\operatorname{E}[X_{나는}]=\sum _{나는}e^{\mu_{나는}+\sigma _{나는}^{2}/2}\\\sigma _{Z}^{2}& \left[\sum_{나는}X_{나는}\right]=\sum, =1{+}^{2}\,\sum _{i,j}\operatorname{심장.}_{ij}\sigma _{나는}\sigma _{j}\operatorname{E}[X_{나는}]\operatorname{E}{_{i,j}\operatorname{심장.}_{ij}\sigma _{나는}\sigma _{j}e^[X_{j}]=1{+}^{2}\,\sum.\mu _{나는}+\\sigma _{i}^{2}/2}e^{\mu_{j}+\sigma_{j}^{2}/2}\\\mu_{Z}&=\ln \left(S_{+}\right)-\sigma _{Z}^{2}/2\ed}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}정렬}$

• 만약 X번 국도 Lognormal ⁡(μ, 2σ){\displaystyle X\sim \operatorname{Lognormal}(\mu ,\sigma ^{2})}그 후에 X+c{X+c\displaystyle}지원과Three-parameter 대수 정규 분포할 ∈(c,+∞){\displaystyle x\in(c,+\infty)}.[38]E([X+c])E⁡[X]+c{\displaystyle \operatorname{E다고 한다}[X$+c]=\operatorname {E}$[${\displaystyle X}$$]+c$ ${\displaystyle \mathrm{Var}}$ ${\displaystyle }$[ X${\displaystyle }$+ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle \mathrm{Var}}$ ${\displaystyle }$[ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \operatorname {Var} [X+c]=\operatorname {Var} [X$
• 로그 정규 분포는 반경계 존슨의 수 분포의 특별한 경우다.^[39]
• If ${\displaystyle X\mid Y\sim \operatorname {Rayleigh} (Y)\,}$ with ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$, then ${\displaystyle X\sim \operatorname {Suzuki} (\mu ,\sigma )}$ (Suzuki distribution).
• CDF에 대한 근사치를 얻기 위해 로지스틱 분포에 기초하여 더 많은 기본 함수로^[40] 표현될 수 있는 로그 정규 분포를 대체할 수 있다.

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\왼쪽[{\frac {e^{}}{x}\오른쪽)^{\pi /(\sigma {\sqrt{3}}}}}+1\오른쪽)^{-1}.}$

이것은 로그 로지스틱 분포다.

통계적 추론

모수 추정

로그 정규 분포 모수 μ 및 μ의 최대우도 추정기를 결정하기 위해 정규 분포와 동일한 절차를 사용할 수 있다. 참고:

${\displaystyle L(\mu ,\sigma )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\varphi _{\mu ,\sigma }(\ln x_{i})}$,

여기서 ${\$는 정규 분포 $N{\displaystyle \mathcal{}}$(${\displaystyle \mu }$ ,${\displaystyle {}^{}}$ $){\displaystyle${\$mathcal{N}(\mu ,\sigma$^{$2})$의 밀도 함수다$.$ 따라서 로그 우도 함수는

${\displaystyle \ell (\mu ,\sigma \mid x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-\sum _{i}\ln x_{i}+\ell _{N}(\mu ,\sigma \mid \ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})}$.

첫 번째 항은 μ와 μ에 대해 일정하기 때문에 로그우도 함수인 $\mu {\displaystyle }$$$${\$$displaystyle$$\ell$$$}과$$(와)$$$\mu {\displaystyle }$ {\$displaystyle$ \$mu }$ 및$$$\mu {\displaystyle }$ {\$displaystyle$ \$sigma }$이(가) 모두 최대치에 도달하므로 최대우도 추정치는 μ와 동일하다$.$ 관측치 ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$ x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\ln }$ ${\displaystyle }$ x ${\displaystyle {}_{}}$, ,${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle \ln x_{1},\ln x_{2},\ln x_{n},$.

${\displaystyle {{\widehat{\mu }}}={\frac {\sum _{k}\ln x_{k}}{n}}}}}},\qquad {\widehat {\\widema }^{2}={\frac {\{k_{k}-{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

유한 n의 경우 이러한 추정기는 편향되어 있다. $\mu {\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$에 대한 치우침은 무시해도$$ 되지만 $^$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}2}^{\mathrm{}}}$ ${\$$}$에 대한 방정식에서 분모를 n-1로 대체하여 정규 분포에 대해 덜 편향된 $추정기$를 구한다$$$.$

개별 값 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$을 사용할 수 없지만$$, 표본의 $평균{\displaystyle \stackrel{}{}}$ x $`{\$ 및$$ 표준 편차 s는 예상 방정식을 풀어서 얻은 다음 공식에 의해 해당 파라미터가 결정된다.$\mu {\displaystyle \mathrm{}}$$[\$$displaystyle$ 및 분산$$ ${\displaystyle \mathrm{Var}}$ $][X][$X$$$]]$에서 $\mu {\displaystyle }$[\$displaystyle \mu }$ 및$$ $[\displaysty \sigma$ $\}:$

${\displaystyle \mu =\ln \left({\bar {x}}\ {\Big /}\ {\sqrt {1+{\frac {{\widehat {\sigma }}^{2}}{{\bar {x}}^{2}}}}}\right),\qquad \sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {{\widehat {\sigma }}^{2}}{{\bar {x}}$$^{2}}:}\오른쪽)}$.

통계

로그 정규 분포 데이터를 분석하는 가장 효율적인 방법은 정규 분포를 기반으로 잘 알려진 방법을 로그 변환된 데이터에 적용한 다음 적절한 경우 역변환 결과에 적용하는 것이다.

산란 간격

기본적인 예는 산점 구간으로 제시된다. For the normal distribution, the interval ${\displaystyle [\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]}$ contains approximately two thirds (68%) of the probability (or of a large sample), and ${\displaystyle [\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]}$ contain 95%. 따라서 로그 정규 분포의 경우

${\displaystyle [\mu ^{*}/\sigma ^{*},\mu ^{*}\cdot \sigma ^{*}]=[\mu ^{*}{}^{\times }\!\!/\sigma ^{*}]}$ contains 2/3, and

${\displaystyle [\mu ^{*}/(\sigma ^{*})^{2},\mu ^{*}\cdot (\sigma ^{*})^{2}]=[\mu ^{*}{}^{\times }\!\!/(\sigma ^{*})^{2}]}$ contains 95 %

개연성의 추정된 모수를 사용하면 이러한 간격에 데이터의 거의 동일한 백분율을 포함해야 한다.

$∗{\$에 대한 신뢰 구간

Using the principle, note that a confidence interval for ${\displaystyle \mu }$ is ${\displaystyle [{\widehat {\mu }}\pm q\cdot {\widehat {\mathop {se} }}]}$, where ${\displaystyle \mathop {se} ={\widehat {\sigma }}/{\sqrt {n}}}$ is the standard error and q is the 97.자유도가 n-1인 t 분포의 5% 퀀텀. 역변환으로 인해 $\mu {\displaystyle {}^{\ast }}$ ${\$에 대한 신뢰 구간이 발생한다$.$

${\displaystyle [{\widehat {\mu }}^{*}{}^{\times }\!\!/(\operatorname {sem} ^{*})^{q}]}$ with ${\displaystyle \operatorname {sem} ^{*}=({\widehat {\sigma }}^{*})^{1/{\sqrt {n}}}}$

자유 매개 변수 σ ${\displaystyle \sigma }$을(를) 수정하기 위한 엔트로피의 극단 원리

애플리케이션에서 σ ${\displaystyle \sigma}$은(는) 결정해야 할 매개 변수다$$. 생산과 소산에 의해 균형을 이룬 성장 과정의 경우, 섀넌 엔트로피의 극한 원리의 사용은 다음을 보여준다.

${\displaystyle {\regated}\big /}{\sqrt {6}\end{regated}}}$ ^[41]

그런 다음 이 값을 사용하여 로그 정규 분포의 경직 지점과 최대 지점 사이에 일부 스케일링 관계를 제공할 수 있다.^[41] 이 관계는 자연 로그의 베이스인 $e{\displaystyle }$= 2${\displaystyle .718}$… ${\displaystyle e=2.718\ldots }$에 의해 결정되며$,$ 최소 표면 에너지 원리와 기하학적 유사성을 보인다. 이러한 스케일링 관계는 여러 성장 과정(진부적 확산, 방울 튀김, 인구 증가, 욕조 소용돌이 소용돌이 속도, 언어 문자의 분포, 난기류의 속도 프로필 등)을 예측하는 데 유용하다. 예를 들어, 이러한 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma}$이(가) 있는 로그 정규 함수는 방울 충격 및 전염병 확산 시 두 번째로 생성된 물방울 크기와 잘 맞는다$$.^[43]

$\sigma {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 6\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$ 값은 드레이크 방정식에 확률론적 솔루션을 제공하는 데 사용된다$$.^[44]

발생 및 적용

로그 정규 분포는 자연 현상을 설명하는 데 중요하다. 많은 자연 성장 과정들은 로그 척도에 첨가되는 많은 작은 변화들의 축적에 의해 추진된다. 적절한 정규성 조건 하에서, "복제 중심 한계 정리"에 대한 위의 절에서 언급한 바와 같이, 결과로 누적된 변화의 분포는 로그 정규 분포를 통해 점점 더 잘 근사하게 추정될 것이다. 이것은 기업을 위해 이것을 공식화한 로버트 기브랫(1904–1980)의 이름을 따서 지브랏의 법칙이라고도 알려져 있다.^[45] 이러한 작은 변화들의 축적 속도가 시간이 지남에 따라 달라지지 않는다면 성장은 규모와 무관하게 된다. 그것이 사실이 아니라고 해도, 시간이 지남에 따라 증가하는 사물의 연령별 크기 분포는 로그 정규 분포를 따르는 경향이 있다.

두 번째 명분은 기본 자연 법칙이 양의 변수의 곱과 구분을 암시한다는 관찰에 근거한다. 그 예로는 질량과 거리를 결과력과 연결하는 간단한 중력법칙이나, 고리와 제품의 농도를 연결하는 용액 내 화학물질의 평형농도에 대한 공식 등이 있다. 관련된 변수의 로그 정규 분포를 가정하면 이러한 경우 모형이 일관된다.

이러한 정당화 중 어떤 것도 적용되지 않더라도, 로그 정규 분포는 종종 그럴듯하고 경험적으로 적절한 모델이다. 예를 들면 다음과 같다.

인간의 행동

• 인터넷 토론 포럼에 게시된 의견의 길이는 로그 정규 분포를 따른다.^[46]
• 온라인 기사(조크, 뉴스 등)에 대한 사용자의 체류 시간은 로그 정규 분포를 따른다.^[47]
• 체스 게임의 길이는 로그 정규 분포를 따르는 경향이 있다.^[48]
• 표준 자극과 일치하는 음향 비교 자극의 시작 기간은 로그 정규 분포를 따른다.^[17]
• 루빅스 큐브는 일반적이든 직접적이든 로그 정규 분포를 따르는 것처럼 보인다.^{[citation needed]}

생물학과 의학에서는

• 살아있는 조직의 크기(길이, 피부 면적, 무게) 측정.^[49]
• 2003년 SARS와 같이 전염성이 높은 전염병의 경우, 공공의 개입 통제 정책이 수반되는 경우 입원환자 수가 엔트로피를 가정하고 엔트로피 생산의 최대 비율의 원칙에 의해 표준 편차가 결정되면 자유 매개변수가 없는 로그 정규 분포를 만족시키는 것으로 나타난다.^[50]
• 생장 방향으로 생물 검체의 불활성 부속물(헤어, 발톱, 손톱, 치아) 길이.^{[citation needed]}
• 모든 유전체 영역에 대한 정규화된 RNA-Seq 판독 카운트는 로그 정규 분포에 의해 충분히 근사할 수 있다.
• PacBio 시퀀싱 읽기 길이는 로그 정규 분포를 따른다.^[51]
• 성인 인간의 혈압과 같은 특정 생리학적 측정(남성/여성의 하위 모집단에 대한 분리 후)^[52]
• C_max, 반감기 제거 및 제거율 상수와 같은 몇 가지 약동 변수.^[53]
• 신경과학에서 뉴런의 모집단에 걸친 발화율 분포는 대략 로그 정규 분포를 따르는 경우가 많다. 이것은 처음에는 피질과 선조체에서, 나중에는 해마와 엔토르히날피질에서,^[55] 그리고 다른 곳에서는 뇌에서 관찰되었다.^[56][57] 또한 내인성 이득 분포와 시냅스 체중 분포도 로그 정규^[58] 분포로 나타난다.
• 수술실 관리에서 수술 기간 분포.

콜로이드 화학 및 폴리머 화학에서

• 입자 크기 분포.
• 어금니 질량 분포.

따라서 건강한 개인의 측정 기준 범위는 평균에 대한 대칭 분포를 가정하는 것보다 로그 정규 분포를 가정하여 더 정확하게 추정한다.

수문학

• 수문학에서 로그 정규 분포를 사용하여 일일 강우량 및 하천 유량 월별 및 연간 최대값과 같은 변수의 극단값을 분석한다.^[59]

CumFreq와 함께 만들어진 오른쪽 이미지는 로그 정규 분포를 연간 최대 일일 강우량에 적합시킨 예를 보여주며, 또한 이항 분포를 기반으로 90% 신뢰 벨트를 보여준다.^[60]

강우 데이터는 누적 빈도 분석의 일부로 위치를 표시하여 나타낸다.

사회과학 및 인구통계학

• 경제학에서는 인구의 97%~99%의 소득이 로그-일반적으로 분배된다는 증거가 있다.(^[61]고소득자의 분포는 파레토 분포를 따른다.)^[62]
• If an income distribution follows a log-normal distribution with standard deviation ${\displaystyle \sigma }$, then the Gini coefficient, commonly use to evaluate income inequality, can be computed as ${\displaystyle G=\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma }{2}}\right)}$ where ${\displaystyle \opera$$torname {erf} }$ is the error function, since ${\displaystyle G=2\Phi \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)-1}$, where ${\displaystyle \Phi (x)}$ is the cumulative distribution function of a standard normal distribution.
• 금융, 특히 블랙-숄즈 모델에서 환율, 물가 지수, 주식 시장 지수의 로그의 변화는 정상으로^[63] 가정한다(이 변수들은 단순한 이자처럼 행동하지 않고 복리적으로 작용하며, 또한 승법적이다). 그러나 베누이트 만델브로트 등 일부 수학자들은 꼬리가 무거운 로그-레비 분포가 특히 증시 폭락 분석에 더 적합한 모델이 될 것이라고 주장해 왔다. 사실, 주가 분배는 전형적으로 뚱뚱한 꼬리를 보여준다.^[65] 주식시장 붕괴 시 변동사항의 지방 미분포는 중앙한계정리의 가정을 무효화한다.
• 사이언톨로지에서는 저널 기사와 특허에 대한 인용 횟수가 별개의 로그 정규 분포를 따른다.^[66][67]
• 도시 크기(인구)는 기브랏의 법칙을 만족시킨다.^[68] 도시 크기의 성장 과정은 크기에 비례하고 불변한다. 그러므로 중앙 한계 정리로부터 도시 크기의 통나무는 정상적으로 분포한다.

기술

• 신뢰성 분석에서 로그 정규 분포는 유지관리 가능한 시스템을 수리하기 위한 시간을 모형화하는 데 종종 사용된다.^[69]
• 무선 통신에서는 "dB나 neper와 같은 로그 값으로 표현되는 국소-평균 전력은 정규(즉, 가우스) 분포를 가진다."^[70] 또한 큰 건물과 언덕으로 인한 전파의 무작위적 방해(shadowing)는 흔히 로그 정규 분포로 모형화된다.
• 볼 밀링과 같이 무작위 충격에 의한 감산에 의해 생성된 입자 크기 분포.^{[citation needed]}
• 공개적으로 사용 가능한 오디오 및 비디오 데이터 파일(MIME 유형)의 파일 크기 분포는 5개의 크기 순서에 걸쳐 로그 정규 분포를 따른다.^[71]
• 컴퓨터 네트워크와 인터넷 트래픽 분석에서 로그 정규식은 단위 시간당 트래픽 양을 나타내는 좋은 통계 모델로 나타난다. 이것은 실제 인터넷 추적의 많은 그룹에 강력한 통계적 접근법을 적용함으로써 증명되었다. 이 맥락에서 로그 정규 분포는 (1) 시간 트래픽의 비율이 주어진 수준을 초과할 것이라는 예측(서비스 수준 계약 또는 링크 용량 추정에 대한 예측) 즉, 대역폭 프로비저닝에 기반한 링크 치수화와 (2) 95번째 백분위수 가격 책정을 예측하는 두 가지 주요 사용 사례에서 좋은 성과를 보여주었다.^[72]

참고 항목

• 굵은꼬리분포
• 로그 거리 경로 손실 모델
• 수정된 로그 정규 검정력-법률 분포
• 느린 페이딩

메모들

추가 읽기

• Crow, Edwin L.; Shimizu, Kunio, eds. (1988), Lognormal Distributions, Theory and Applications, Statistics: Textbooks and Monographs, 88, New York: Marcel Dekker, Inc., pp. xvi+387, ISBN 978-0-8247-7803-3, MR 0939191, Zbl 0644.62014
• 에이치슨, J.와 브라운, J.A.C. (1957) 케임브리지 대학 출판부의 로그 정규 분포.
• Limpert, E; Stahel, W; Abbt, M (2001). "Lognormal distributions across the sciences: keys and clues". BioScience. 51 (5): 341–352. doi:10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2.
• Holgate, P. (1989). "The lognormal characteristic function". Communications in Statistics - Theory and Methods. 18 (12): 4539–4548. doi:10.1080/03610928908830173.
• Brooks, Robert; Corson, Jon; Donal, Wales (1994). "The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion". Advances in Futures and Options Research. 7. SSRN 5735.

외부 링크

• 정규 분포는 로그 정규 분포임