지수안정성

보다 일반적인 동적 시스템에 대한 점근 안정성의 정의를 제공하는 Lyapunov 안정성을 참조하십시오. 기하급수적으로 안정된 모든 시스템도 증상이 없을 정도로 안정적이다.

제어 이론에서 연속 선형 시간 변이 시스템(LTI)은 시스템이 엄격히 음의 실제 부품을 갖는 고유값(즉, 입력-출력 시스템의 극)을 갖는 경우에만 기하급수적으로 안정적이다. (즉, 복합 평면의 왼쪽 반쪽).^[1] 이산 시간 입력-출력 LTI 시스템은 그 전달 기능의 극이 복잡한 평면의 원점을 중심으로 한 단위 원 안에 엄격히 놓여 있는 경우에만 기하급수적으로 안정적이다. 지수 안정은 점증적 안정성의 한 형태다. LTI가 아닌 시스템은 이들의 수렴이 지수 붕괴에 의해 제한되는 경우 기하급수적으로 안정적이다.

실제적 결과

기하급수적으로 안정된 LTI 시스템은 유한 입력 또는 0이 아닌 초기 조건이 주어졌을 때 "폭발"(즉, 무한 출력)되지 않는 시스템이다. 더욱이 시스템에 고정된 유한 입력(즉, 스텝)이 주어지면 출력에서 발생하는 모든 진동은 지수 속도로 붕괴되며, 출력은 새로운 최종 정상 상태 값에 대해 점증적으로 경향을 보일 것이다. 시스템에 대신 Dirac 델타 임펄스가 입력으로 주어지면, 유도된 진동은 소멸되고 시스템은 이전 값으로 되돌아간다. 진동이 사라지지 않거나, 임펄스가 가해질 때 시스템이 원래의 출력으로 되돌아가지 않으면, 시스템은 그 대신 약간 안정적이다.

기하급수적으로 안정적인 LTI 시스템 예

기하급수적으로 안정된 두 시스템의 충동 반응

오른쪽 그래프는 유사한 두 시스템의 충동 반응을 보여준다. The green curve is the response of the system with impulse response $y(t)=e^{-{\frac {t}{5}}}$ , while the blue represents the system $y(t)=e^{-{\frac {t}{5}}}\sin(t)$ . Although one response is oscillatory, both return to the original value o시간 경과에 따른 f 0

실제 사례

국자에 대리석을 넣는다고 상상해보라. 그것은 국자의 가장 낮은 지점에 정착할 것이고, 방해받지 않는 한 그곳에 머물 것이다. 이제 디락 델타 임펄스에 근사치인 공을 밀어 넣는다고 상상해 보십시오. 대리석은 앞뒤로 굴러가지만 결국 국자 바닥에 다시 고정될 것이다. 시간이 지남에 따라 대리석의 수평 위치를 그리는 것은 위의 이미지에서 푸른 곡선과 같이 점차 줄어드는 정현상을 줄 것이다.

이 경우에 한 단계 입력하면 대리석이 국자 바닥에서 떨어져 굴러갈 수 없도록 지지해야 한다. 시스템이 약간만 안정적이거나 완전히 불안정한 경우처럼, 무게와 동일한 일정한 힘 아래 레이들 바닥에서 계속 이동하지 않을 것이다.

이 예에서 시스템은 모든 입력에 대해 안정적이지 않다는 점에 유의해야 한다. 대리석을 충분히 크게 밀면 국자 밖으로 떨어져 떨어져서 바닥에 닿아야 멈추게 된다. 따라서 일부 시스템의 경우 특정 입력 범위에 걸쳐 시스템이 기하급수적으로 안정적이라는 것을 명시하는 것이 적절하다.

참고 항목

참조

^ 데이비드 N. Cheban (2004년), 비자율적 분산형 동력학 시스템의 글로벌 유치자. 페이지 47

외부 링크

파라미터 추정 및 점근안정성 인조필터링, 아나스타시아 파파빌리유 2004년 9월 28일

[1] 데이비드 N. Cheban (2004년), 비자율적 분산형 동력학 시스템의 글로벌 유치자. 페이지 47

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