로맥스 분포

로맥스

확률밀도함수
누적분포함수
매개변수	> ${\displaystyle \alpha >0}$ 모양(실제) > ${\displaystyle \lambda >0}$척도(실제)
지원	${\displaystyle x\geq 0}$
PDF	${\displaystyle {\data }\왼쪽[{1+{x \over \da }}}\{x \over \data }\right]^{-(\database +1)}}}}}}$
CDF	${\displaystyle 1-\왼쪽[{1+{x \over \lambda }}\오른쪽]^{-\message }}}$
퀀틸레	${\displaystyle \eftda \left[\left(1-p\오른쪽)^{-{\frac {1}{\p}}-1\right]}$
평균	>의 - 1 ${\displaystyle {\$displaystyle {\$displayda \over{\nump -1}{{\text$ $달리$ 정의되지 않음
중앙값	${\displaystyle \eftda \left\sqrt[{\reft }]{2}}-1\오른쪽)}$
모드	0
분산	${\displaystyle {\begin}{\lambda ^{2}\alpha -1)^{2}(\alpha -2}}:\nalpha >2\\infit &1<\alpha \leq 2\\\\\\\text}{{nexture}}}\case}}}}}}}}}}}}}}}}}}$
왜도	${\displaystyle {\frac {2(1+\buffer )}{\\nfrac -3}\\\\sqrt {\frac {\frac -2}{\buffer }}{\text{{}}}}}}}}{}\}}\pautseter3\,}$
엑스트라 쿠르토시스	${\displaystyle {\frac {6(\frac ^{3}+\filency ^{2}-6\pair -3)(\filency -4)}{\text{{{{}}}}}}$

로맥스 분포는 조건부로 파레토 타입 II 분포라고도 하며, 비즈니스, 경제, 보험수리적 과학, 대기열 이론 및 인터넷 트래픽 모델링에 사용되는 헤비테일 확률 분포다.^[1][2][3]그것은 K. S. 로맥스의 이름을 따서 지어졌다.본질적으로 파레토 분포로서 그 지원이 0에서 시작되도록 옮겨진 것이다.^[4]null

특성화

확률밀도함수

로맥스 분포에 대한 확률밀도함수(pdf)는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle p(x)={\data }\좌측[{1+{x \x \over \}}}}}^{-(\cHB +1)},\qquad x\geq 0,}$

형상 모수 > 0 ${\displaystyle \alpha >0}$과 척도 모수 > ${\displaystyle \lambda >0}$을(를) 사용하여밀도는 파레토 1형 분포와의 관계를 보다 명확하게 보여주는 방식으로 다시 작성할 수 있다.즉,

${\displaystyle p}$( ${\displaystyle x}$) =${\displaystyle \frac{\alpha }{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ( x${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\alpha {}^{}}{}}$) ${\displaystyle \frac{{\alpha }^{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1^{}}{}}$ ${\$1}.

중심적이지 않은 모멘트

$\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu$} 비중앙$$ $모멘트{\displaystyle }$E [ ${\displaystyle X^{}}$ ]${\displaystyle {}^{}}$]$${\$displaystyle E\left[X^{\nu$$$}\$alpha$}}}이$(가$) 형상 매개변수 $\alpha {\displaystyle }$${\$$displaysty \nu$}을 엄격히$$ 초과하는 경우에만 존재함$.$

${\displaystyle E\왼쪽(X^{\nu }\오른쪽)={\frac {\lambda ^{\nu }\감마(\alpha -\nu )}\감마(1+\nu )}{\감마(\alpha )}}}}}}$

관련 분포

파레토 분포와의 관계

로맥스 분포는 지원이 0에서 시작되도록 파레토 1형 분포로 전환한 것이다.구체적으로:

${\displaystyle {\text{}}Y\sim{\mbox{pareto}}(x_{m}=\lambda ,\alpha }),{\text{}}{}Y-x_{m}\mbox{Lomax}}(\alpha ,\lambda).}$

로맥스 분포는 pareto Type II 분포로_m, x=μ=0:^[5]

${\displaystyle {\text{}}X\sim{\mbox}{Lomax}(\alpha ,\lambda ){\text{{}}}}}}}}****(x_{m}=\lambda ,\alpha ,\mu =0\오른쪽).}$

일반화된 파레토 분포와의 관계

로맥스 분포는 파레토 분포가 일반화된 특수한 경우다.구체적으로:

${\displaystyle \mu =0,~\xi ={1 \over \over \cHBa ={\cHBa \over \cHB}$

베타 프라임 분포와의 관계

척도 모수 λ = 1을 갖는 로맥스 분포는 베타 프라임 분포의 특별한 경우다.X에 로맥스 분포가 있으면 X ${\displaystyle \frac{\lambda }{}}$ ~${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$′${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle {\frac$ {$X}{\lambda }}}\심$$\beta ^{\prime$}{\$prime }{\premium$}.

F 분포와의 관계

형상 모수 α = 1과 척도 모수 α = 1 및 척도 모수 α = 1의 로맥스 분포는 밀도 $($ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ (${\displaystyle \frac{1}{}}$+ ${\displaystyle \frac{x{}^{}}{}}$) ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\$ f(x)={\$frac {1}{$1+$x)^{2$를 갖는다.$}}}},$ F(2,2) 분포와 동일한 분포$.$이것은 지수분포를 갖는 두 개의 독립적이고 동일한 분포의 랜덤 변수의 비율의 분포다.null

q-exponent 분포와의 관계

로맥스 분포는 q-exponent 분포의 특별한 경우다.q-exponential은 이 분포를 한정된 간격으로 지지하도록 확장한다.Lomax 파라미터는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \cHB ={2-q} {q-1} 이상,~~\lambda ={1 \over \cHBDA_{q}(q-1)}$

(log-) 로지스틱 분포와의 관계

로맥스(모양 = 1.0, 척도 = λ) 분산 변수의 로그는 위치 로그(λ)와 척도 1.0을 갖는 로지스틱 분포를 따른다.이는 로맥스(모양 = 1.0, 척도 = λ)-분포가 형상 β = 1.0, 척도 α = 로그(λ)를 갖는 로그 로지스틱 분포와 같다는 것을 의미한다.null

감마-엑스포넨셜(척도-) 혼합물 연결부

로맥스 분포는 비율의 혼합 분포가 감마 분포인 지수 분포의 혼합으로 발생한다.λ k,θ ~ 감마(형상 = k, 척도 = θ)와 X λ ~ 지수(율 = λ)의 한계 분포는 로맥스(형상 = k, 척도 = 1/³)이다.비율 모수가 척도 모수에 대해 동등하게 재평가될 수 있으므로, 로맥스 분포는 지수(역감마 분포에 이은 지수 척도 모수)의 척도 혼합물을 구성한다.null

참고 항목

• 권력법
• 복합 확률 분포
• 과급수 분포(수분율의 혼합)
• 정규-외부 감마 분포(로맥스 혼합 분포를 사용한 정규 척도 혼합물)

참조