모수의 변동

미분 방정식
장애물 주위의 공기 흐름을 시뮬레이션하는 데 사용되는 Navier-Stokes 미분 방정식
범위
필드 자연과학 공학 천문학 물리학 화학 생물학 지질학 응용 수학 연속체 역학 혼돈 이론 다이너믹 시스템 사회과학 경제학 인구역학
분류
종류들 보통 부분적 차동알지브라질 인터그로 차동 분수 선형 비선형 변수 유형별 종속변수와 독립변수 자율적 콤플렉스 결합/분리됨 정확한 동종/비동종 특징들 주문 연산자 표기법
프로세스와의 관계 차이(구체 아날로그) 스토카스틱 확률적 부분 지연
해결책
존재와 고유성 피카르-린델뢰프 정리 페아노 존재 정리 카라테오도리의 존재 정리 카우치-코왈레프스키 정리
일반 주제 룬스키안 위상 초상화 위상공간 랴푸노프 / 점근증 / 지수 안정성 수렴율 시리즈/적분 솔루션 수치적 통합 디라크 델타 함수
솔루션 방법 감사 특성방법 오일러 지수 반응식 유한차이 (크랭크-니콜슨) 유한요소 무한요소 유한 부피 갤러킨 페트로프-갈러킨 집적인자 적분 변환 섭동 이론 룬게쿠타 변수의 분리 결정되지 않은 계수 모수의 변동
사람
리스트 아이작 뉴턴 고트프리드 라이프니즈 레온하르트 오일러 에밀 피카르 요제프 마리아 회네브로이스키 에른스트 린델뢰프 루돌프 립시츠 아우구스틴루이코치 존 크랭크 필리스 니콜슨 칼 데이비드 톨메 룬지 마르틴 쿠타
v t

수학에서 상수의 변동이라고도 하는 모수의 변동은 이질적인 선형 보통 미분 방정식을 푸는 일반적인 방법이다.

1차 비균형 선형 미분방정식의 경우 대개 인자를 통합하거나 결정되지 않은 계수를 훨씬 덜 노력하여 해결책을 찾는 것이 가능하지만, 그러한 방법은 추정을 포함하며 모든 비균형 선형 미분방정식에 대해 효과가 없는 경험적 접근법을 활용한다.

매개변수의 변동은 또한 선형 부분 미분 방정식까지 확장되며, 특히 열 방정식, 파동 방정식 및 진동 판 방정식과 같은 선형 진화 방정식의 불균형 문제까지 확장된다. 이 설정에서 이 방법은 흔히 두하멜의 원리로 더 많이 알려져 있는데, 이 원리는 이 방법을 처음 적용한 장마리 두하멜(1797–1872)의 이름을 따서 이름이 붙여졌다. 때로는 매개변수 자체의 변동을 두하멜의 원리라고 하며 그 반대의 경우도 있다.

역사

매개변수의 변동 방법은 처음에는 스위스 수학자 레오나르드 오일러(1707–1783)에 의해 스케치되었고, 이후 이탈리아-프랑스 수학자 조셉-루이스 라그랑(1736–1813)에 의해 완성되었다.^[1]

목성과 토성의 상호 섭동을 연구하던 중 1748년 오일러의 작품에는 천체의 궤도 원소 변이법의 전조가 나타났다.^[2] 오일러는 지구의 움직임에 대한 1749년 연구에서 궤도 원소에 대한 미분 방정식을 얻었다.^[3] 1753년, 그는 달의 움직임에 대한 연구에 이 방법을 적용했다.^[4]

라그랑쥬는 이 방법을 1766년에 처음 사용했다.^[5] 1778년과 1783년 사이에 그는 두 개의 회고록 시리즈에서 이 방법을 더 발전시켰다. 하나는 행성의^[6] 움직임의 변화에 관한 것이고 다른 하나는 세 개의 관측에서 혜성의 궤도를 결정하는 것이다.^[7] 1808–1810년 동안 라그랑주는 세 번째 논문 시리즈에서 매개변수 변동의 방법을 제시하였다.^[8]

직관적 설명

강제 산포되지 않는 스프링의 방정식을 적절한 단위로 고려하십시오.

$[\displaystyle x](t)+x(t)=F(t)]}$

여기서 x는 평형 x = 0에서 스프링의 변위를 나타내며, F(t)는 시간에 따라 달라지는 외부 적용 힘이다. 외부 힘이 0일 때, 이것은 균일한 방정식이다. (어느 용액은 일정한 총 에너지로 진동하는 스프링에 해당하는 사인 및 코사인 선형 결합이다.)

우리는 아래와 같이 물리적으로 해결책을 구성할 수 있다. $시간{\displaystyle }$ t${\displaystyle }$= ${\displaystyle s}${\$displaystyle t=s$$}$ 및${\displaystyle }t{\displaystyle }$ =${\displaystyle s}$ + ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s}${\$dsstyle$ t$=s+ds$ 용액에 해당하는 모멘텀은 순변화 $F{\displaystyle (s)}$ ${\displaystyle d}$ ${\$($displaystyle F)\,ds}$를 갖는다($$참조: 임펄스(물리학). 현재 시간 t > 0에서 0과 t 사이의 s를 위해 이 방법으로 얻은 용액을 선형적으로 중첩하여 이 방정식의 용액을 구한다.

$t{\displaystyle }$= ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t=s$에서 솔루션에 추가되는$$ 작은 임펄스 $s$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s}$ ${\ds}$을(를) 나타내는 균일한 초기 값 문제는 다음과 같다.

${\displaystyle x'+x(t)=0,\quad x(s)=0,\x'=F(s)\,ds.}$

이 문제에 대한 고유한 해결책은 $x{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle F}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$- s${\displaystyle }$) ${\displaystyle d}$ s ${\displaystyle x(t)=F(s)\sin(t-s)\ds}$이라고 쉽게 볼 수 있다$.$ 이 모든 해결책의 선형 중첩은 다음 적분에서 주어진다.

${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{0}F\sin(t-s)\,ds.}$

이것이 필요한 방정식을 충족하는지 확인하려면:

${\displaystyle x''=\int _{0}^{0}F\cos(t-s)\,ds}$

${\displaystyle x'(t)=F(t)-\int _{0}^{t}F\sin(t-s)\,ds=F(t)-x(t),}$

필요한 경우(라이브니즈 적분 규칙 참조).

모수의 일반적인 변화 방법은 이질적인 선형 방정식을 해결할 수 있다.

${\displaystyle Lx(t)=F(t)}$

2차 선형 미분 연산자 L을 순력으로 간주하여, 따라서 시간 s와 s+ds 사이에 용액에 전달되는 총 임펄스는 F(s)ds이다. $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\$을(를) 기준으로 동일 초기 값 문제의 솔루션 표시

${\displaystyle Lx(t)=0,\quad x(s)=0,\x'=F(s)\,ds.}$

그렇다면 비균형 방정식의 특정한 해법은 다음과 같다.

${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{0}x_{s}(t)\,ds,}$

극소수의 균질 용액을 선형적으로 중첩시킨 결과 고차 선형 미분 연산자에 대한 일반화가 있다.

실제로, 매개변수의 변동은 일반적으로 동종 문제의 근본적 해결책과 관련되며, 극소수 $해결책{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$ 그 다음$$ 선형 독립적 기본 해결책의 명시적 선형 결합 관점에서 제시된다. 강제 산포되지 않는 샘의 경우, 커널 ${\displaystyle \sin t}$(${\displaystyle t}$- s ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \sin \cos }$ s ${\displaystyle \mathrm{coses}\sin }$ s - sin ${\displaystyle \backslash }$ ${\displaystyle \mathrm{coses}}$ ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \sin$=\$sin$ t$=\cos s-\sin$ s$\cos$ t$}$은 근본 해결책으로의 관련 분해이다$$.

방법 설명

순서 n의 일반적인 비균형 선형 미분 방정식 지정

${\displaystyle y^{(n)}(x)+\sum _{i=0}^{n-1a_{i}(x)y^{(x)}(x)=b(x).}$

(i)

$y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle y{}_{}}$( ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle y_{1}(x),\ldots ,y_{n}(x)}$을(를) 해당 동종 방정식의 용액의 기본 시스템이 되게 하라$$.

${\displaystyle y^{(n)}(x)+\sum _{i=0}^{n-1a_{i}(x)y^{(i)}(x)=0.}$

(ii)

그러면 비균형 방정식의 특정 해법은 다음과 같다.

${\displaystyle y_{p}(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}y_{i}(x)}}$

(iii)

$여기$서 c ${\displaystyle i_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle c_{i}(x)}$은(는) 조건을 충족하는 것으로 가정되는 서로 다른 기능이다$$.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n_{i}'(x)y_{i}^{(j)}=0,\cHB j=0,\ldots,n-2.}$

(iv)

(iiii)로 시작하여 (iv)의 반복적인 사용과 결합된 반복적인 분화는 (iii)를 제공한다.

${\displaystyle y_{p}^{p}^{(x)=\sum _{i=1}c_{n}y_{i}^{i}^{i}^{i}(x),\display j=0,\ldots,n-1\,}$

(v)

마지막 분화에서 얻을 수 있는 것이 있다.

${\displaystyle y_{p}^{n}^{n(x)=\sum _{n_{i}'(x)y_{i-1}^{n-1)+(x)+_{i=1}^{n1}c_{i}y}{i}^{n}(x)\,\,}$

(vi)

(iiii)를 (i)로 대체하고 (v)와 (vi)를 적용하여 다음과 같이 한다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n_{i}'(x)y_{i}^{(n-1)}(x)=b(x)}$

(iii)

n 방정식의 선형 시스템(iv 및 vii)은 크레이머의 항복 규칙을 사용하여 해결할 수 있다.

${\displaystyle c_{i}'(x)={\frac {W_{i}(x)}{W(x)}}},\\quad i=1,\ldots,n}$

where ${\displaystyle W(x)}$ is the Wronskian determinant of the fundamental system and ${\displaystyle W_{i}(x)}$ is the Wronskian determinant of the fundamental system with the i-th column replaced by ${\displaystyle (0,0,\ldots ,b(x)).$$}$

그러면 비균형 방정식의 특정 해법은 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y_{i}(x)\\int {\frac {W_{i}(x)}{W(x)}}}}\\mathrm {d} x.}$

예

1차 방정식

${\displaystyle y'+p(x)y=q(x)}$

해당 동종 방정식의 일반적인 해결책(아래 설명)은 원래 (동종) 방정식에 대한 보완적 해결책이다.

${\displaystyle y^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$+ ${\displaystyle p}$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ y$'+p(x)y=0}$.

이 균일한 미분 방정식은 다음과 같은 다른 방법으로 해결할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}y+p(x)y=0}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}=-p(x)y}$

${\displaystyle {dy \over y}=-{p(x)\,dx}}$

${\displaystyle \int{\frac {1}{y}\,dy=-\int p(x)\,dx}$

${\displaystyle \ln y =-\int p(x)\,dx+C}$

${\displaystyle y=\pm e^{-\int p(x)\,dx+C}=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}}$

따라서 본래의 방정식에 대한 보완적 해결책은 다음과 같다.

${\displaystyle y_{c}=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}}$

이제 우리는 비균형 방정식을 풀어나간다.

${\displaystyle y'+p(x)y=q(x)}$

매개 변수의 방법 변동을 이용하여, 특정 용액은 보완적 용액에 알 수 없는 함수 C(x)를 곱하여 형성된다.

${\displaystyle y_{p}=C(x)e^{-\int p(x)\,dx}}$

특정 용액을 비균형 방정식으로 대체하면 C(x)를 찾을 수 있다.

${\displaystyle C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}-c(x)p(x)e^{-\int p(x)\,dx}+p(x)C^{-\int p(x)\,dx}=q(x)}$

${\displaystyle C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)}$

${\displaystyle C'(x)=q(x)e^{\int p(x)\,dx}}$

${\displaystyle C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+C_{1}}$

우리는 단 하나의 특정 솔루션만 필요하므로 단순성을 위해$$ ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$1 = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle C_{1}=0}$을 임의로 선택한다. 따라서 특정 해결책은 다음과 같다.

${\displaystyle y_{p}=e^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx}$

미분 방정식의 최종 해법은 다음과 같다.

${\displaystyle {\displaysty}y&=y_{c}+y_{p}\\&=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}+e^{-\int p(x)\,dx}\int Q(x)e^{\int p(x)\,dx\end}}}}}}}$

이것은 요인을 통합하는 방법을 재창조한다.

특정 2차 방정식

우리가 해결하자

$(\displaystyle y'+4y'+4y=\cosh x}$

우리는 미분방정식의 일반적인 해법, 즉 동분방정식의 해법들을 찾고자 한다.

$(\displaystyle y'+4y'+4y=0)}$

특성 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle \lambda ^{2}+4\lambda +4=(\lambda +2)^{2}=0}$

$\lambda {\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \lambda =-2}$이(가) 반복된 루트이기$$ 때문에 u₁ = e^−2x, u₂ = xe라는^−2x 하나의 솔루션에 대해 x의 인자를 도입해야 선형 독립성을 보장할 수 있다. 이 두 가지 기능의 Wronskian은

${\displaystyle W={\begin{vmatrix}e^{-2x}&xe^{-2x}\\-2e^{-2x}&-e^{-2x}(2x-1)\\\end{vmatrix}}=-e^{-2x}e^{-2x}(2x-1)+2xe^{-2x}e^{-2x}=e^{-4x}.}$

Wronskian은 0이 아니기 때문에, 두 함수는 선형적으로 독립적이기 때문에, 이것은 사실 동질 미분 방정식에 대한 일반적인 해법이다(단순한 부분집합이 아니다).

우리는 기능 A(x)와 B(x)를 추구하기 때문에 A(x)u₁ + B(x)u는₂ 비동종 방정식의 특정한 해법이다. 우리는 단지 통합만 계산하면 된다.

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over W}u_{2}(x)b(x)\,\mathrm {d} x,\;B(x)=\int {1 \over W}u_{1}b(x)\,\mathrm {d} x}$

이 예제에 대해 기억하십시오.

$(\displaystyle b(x)=\cosh x}$

그것은

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over e^{-4x}}xe^{-2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=-\int xe^{2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=-{1 \over 18}e^{x}\left(9(x-1)+e^{2x}(3x-1)\right)+C_{1}:{1}$

${\displaystyle B(x)=\int {1 \over e^{-4x}e^{-2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=\int e^{2x}\cosh x\,\mathrm {d} x={1 \e^{}e^{2x}\좌)+++++++++++++++++++++++++=C_{2}}:$

여기서 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ C ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}은$$ 통합의 상수다.

일반 2차 방정식

우리는 형태에 대한 미분방정식을 가지고 있다.

${\displaystyle u'+p(x)u'+q(x)u=f(x)}$

그리고 우리는 선형 연산자를 정의한다.

${\displaystyle L=D^{2}+p(x)D+q(x)}$

여기서 D는 차동 연산자를 나타낸다. 따라서 ${\displaystyle u(}$${\displaystyle x}$)$$= ${\displaystyle f}$ ( x ) = f (${\displaystyle x}$) ${\$$displaystyle$ $Lu(x)=f(x)}$ 등식을 풀어야 하는데 여기서 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$과(${\displaystyle x)}$ ${\displaystystyle u(x)}$이(가$$) 알려져 있다$$$.$

우리는 먼저 해당 동질 방정식을 풀어야 한다.

${\displaystyle u'+p(x)u'+q(x)u=0}$

우리가 선택한 기술로 일단 이 동질적 미분 방정식에 대한 두 개의 선형 독립 솔루션을 얻으면 (이 ODE는 2차 방정식이기 때문에) u와₁ u라고₂ 부르면 매개변수의 변동을 진행할 수 있다.

이제 형태라고 가정하는$$ 미분방정식$u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$( ${\displaystyle x}$) {\$displaystyle$ u_{G$}(x)}$에 대한 일반적인 해결책을 모색한다.

${\displaystyle u_{G}(x)=A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x).}$

Here, ${\displaystyle A(x)}$ and ${\displaystyle B(x)}$ are unknown and ${\displaystyle u_{1}(x)}$ and ${\displaystyle u_{2}(x)}$ are the solutions to the homogeneous equation. (Observe that if ${\displaystyle A(x)}$ and ${\displaystyle B(x)}$ are const개미, 그러면 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ G${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x}$) = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle Lu_{G}(x)=0}.)$ 위의 것은 하나의 방정식에 불과하고 우리는 두 가지 알 수 없는 함수를 가지고 있기 때문에 두 번째 조건을 부과하는 것이 타당하다. 다음 항목을 선택하십시오.

${\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'{2}(x)=0.}$

지금

${\displaystyle {\begin}u_{G}'(x)&=\좌측(A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x)\우측)'''\\&=\왼쪽(A(x)u_{1}(x)\오른쪽)+\왼쪽(B(x)u_{2}(x)\오른쪽)''\\&=A'(x)u_{1}(x)+A(x)u_{1}'+B'(x)+B'{2}(x)+B(x)u_{2}(x)_{2}'(x)\\&=A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\\&=A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\end{aligned}}}$

다시 구분(중간 단계 표시)

${\displaystyle u_{G}"(x)=A(x)u_{1}"+B(x)u_{2}"(x)+A'(x)+A''(x)+B'(x)u_{2}'(x)'(x)).}$

이제 우리는 L의 액션을 u로_G 쓸 수 있다.

${\displaystyle Lu_{G}=A(x)Lu_{1}(x)+B(x)Lu_{2}(x)+A'+A'(x){1}(x)+B'(x)_{2}'(x)'(x)).}$

u와₁ u는₂ 해결책이기 때문에, 그러면

${\displaystyle Lu_{G}=A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}'(x)).}$

우리는 방정식의 체계를 가지고 있다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}.}$

확장 중,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)\\A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}.}$

그래서 위의 시스템은 정확하게 조건을 결정한다.

${\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'{2}(x)=0.}$

${\displaystyle A'(x)u_{1}'+B'(x)u_{2}'(x)=Lu_{G}=f.}$

우리는 이러한 조건으로부터 A(x)와 B(x)를 구하므로, 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}}$

우리는 (A′(x), B′(x)^T를 위해 해결할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}={\frac {1}{W}{{\begin}{bmatrix}u_{2}'(x)&u_{2}(x)\-u_{1}(x)\end{bmatrix}{bmatrix}0\f\end{bmatrix},},}$

여기서 W는 u와₁ u의₂ Wronskian을 의미한다. (우리는 u와₁ u가₂ 선형적으로 독립적이라는 가정으로부터 W가 nonzero라는 것을 알고 있다.) 그렇게

${\displaystyle {\begin{aligned}A'(x)&=-{1 \over W}u_{2}(x)f(x),&B'(x)&={1 \over W}u_{1}(x)f(x)\\A(x)&=-\int {1 \over W}u_{2}(x)f(x)\,\mathrm {d} x,&B(x)&=\int {1 \over W}u_{1}(x)f(x)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

동질 방정식은 비교적 쉽게 풀 수 있는 반면, 이 방법은 비균형 방정식의 일반용액의 계수를 계산할 수 있으므로, 비균형 방정식의 완전한 일반용액을 결정할 수 있다.

$A{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle A(x)}$ 및 $B$(x) ${\displaystyle B(x)}$은(는) 각각 임의의 가법 상수(통합의 상수)까지만 결정된다는$$ 점에 유의하십시오. $추가{\displaystyle }$ 용어는 정의상$$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 솔루션인 u와₁$$u의₂ 선형 조합에 불과하므로$$ A(${\displaystyle x}$) ${\$$displaystyle$ $A(x)}$ 또는$$ $x)$에 상수를 추가해도 ${\displaystyle {Lu}_{}}$ G$(x)의$값은 변경되지 않는다$$.

메모들

참조

• Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). Theory of Ordinary Differential Equations. McGraw-Hill.
• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2005). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th ed.). Wiley. pp. 186–192, 237–241.
• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society.

외부 링크

• 온라인 노트 / Lamar University Paul Dawkins의 교정쇄.
• PlanetMath 페이지.
• LAGRANGE의 파라미터 변동 방법에 관한 참고사항