나카가미 분포

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나카가미

확률밀도함수
누적분포함수
매개변수	${\displaystyle \mathrm{m}}$ ${\displaystyle \text{또는}}$ ${\displaystyle \mathrm{\mu \ge }}$ 0.5 ${\displaystyle m{\text{} 또는 }\mu \geq$ 0.$5}$ 모양$$(실제) > ${\displaystyle \Oomega {\text{ 또는 }\\omega >0}$ 스프레드(실제)
지원	${\displaystyle x>0\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac{2m^{m}{\Gamma (m)\오메가^{{m}}}x^{2m-1}\exp \left(-{\frac {m}{\Oomega}}}}}}}오른쪽)}$
CDF	${\displaystyle {\frac {\\gamma \left(m,{\frac {m}{\Oomega }}x^{2}\오른쪽)}{\Gamma(m)}}}}$
평균	${\displaystyle {\frac {\brac {1}{1}:{2}}:}{\Gama (m)}}}{\frac {}{m}\오른쪽)^{1/2}}$
중앙값	단순 닫힘 양식 없음
모드	${\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}\왼쪽({\frac {(2m-1)\오메가{m}\오른쪽)^{1/2}}$
분산	${\displaystyle \Oomega \left(1-{\frac {1}{1}{m}}\left(m+{\frac {1}{1}2}})}{\Gamma(오른쪽)^{2}\right)}}}$

나카가미 분포 또는 나카가미-m 분포는 감마 분포와 관련된 확률 분포다. 나카가미 분포 패밀리는 형상 모수 $m{\displaystyle }$≥ ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle m\geq$1$/2}$과 확산 > ${\displaystyle \Oomega >0}$의 두 번째 모수를 가진다

특성화

확률밀도함수(pdf)는^[1]

${\displaystyle f(x;\,m,\Oomega )={\frac {2m^{m}{m}}{2m-1}\exp \left(-{\frac {m}{}{\frac }{}}}\ik)\x\geq 0}$

여기서( / > 0) ${\displaystyle (m\geq$1/$2,{\text{$및$}\Oomega >0)}$

누적분포함수는^[1]

${\displaystyle F(x;\,m,\Oomega )=P\왼쪽(m,{\frac {m}{\Oomega }}}x^{2}\오른쪽)}$

여기서 P는 정규화(하위) 불완전한 감마함수다.

파라메트리제이션

매개$$ 변수 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ 및 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$은^[2](는)

${\displaystyle m={\frac {\frac(\operatorname {E} \left[X^{2}\right]\right)^{2}}:{\operatorname {Var} \left[X^{2}\right],},},},},}$

그리고

$\displaystyle \Oba =\operatorname {E} \left[X^{2}\오른쪽]}$

모수 추정

다른 방법으로 분포를 적합시키는 방법은 σ = Ω/m 및 m으로 파라메트리 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \Oomega$} 및 m을 = = Ω/m 및 m로 재모수하는 것이다.^[3]

나카가미 ${분포}_{}$로부터 ${독립\mathrm{}}_{}{}_{}$ $X{}_{}$ 1${}_{}$ x $1_{}$, …, $X_{}$n${}_{}$= x n {\$textstyle X_{1}=x_${1$},\ldots, X_{n}=$x_{n$$$}}}}}}}$을(를) 받으면 우도 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle L(\sigma ,m)=\왼쪽({\frac {2}{\Gamma(m)\sigma ^{m}}\오른쪽)^{n}\좌(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\오른쪽)^{2m-1}\ex \ex \exprac{\sum_{i=1}x_{i}^{2}}:{\ma }\오른쪽).}$

그 로그는

${\displaystyle \ell (\sigma ,m)=\log L(\sigma ,m)=-n\log \Gamma (m)-nm\log \sigma +(2m-1)\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}-{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{\sigma }}.}$

그러므로

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \ell }{\partial \sigma }}={\frac {-nm\sigma +\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{\sigma ^{2}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial \ell }{\partial m}}=-n{\frac {\Gamma '(m)}{\Gamma (m)}}-n\log \sigma +2\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}.\end{정렬}}}$

이 파생상품들은 오직 다음에야 사라진다.

${\displaystyle \sigma ={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}:{nm}}}}}}$

m에 관한 파생상품이 소멸되는 m 값은 뉴턴-래프슨 방법을 포함한 수치적 방법에 의해 발견된다.

임계 지점에서 전지구적 최대치가 달성되므로 임계점은 (m,³)의 최대 우도 추정치임을 알 수 있다. 최대 우도 추정의 공차 때문에 Ω에 대한 MLE도 얻는다.

세대

나카가미 분포는 감마 분포와 관련이 있다. In particular, given a random variable ${\displaystyle Y\,\sim {\textrm {Gamma}}(k,\theta )}$, it is possible to obtain a random variable ${\displaystyle X\,\sim {\textrm {Nakagami}}(m,\Omega )}$, by setting ${\displaystyle k=m}$, ${\displaystyle \theta =$$\Oomega /m}$및 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의 제곱근 사용$:$

${\displaystyle X={\sqrt {Y}}.\,}$

$또는{\displaystyle }$ 나카가미 분포 $f{\displaystyle (y}$; m ,${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle f(y;\,m,\Oomega )}$을(를) ${\displaystyle \mathrm{2m}}$ ${\displaystyle k}$로 설정한$$$$ 후 무작위 변수의 스케일 변환에 따라 카이 분포에서 생성할 수 있다$$. 즉, 나카가미 랜덤 $변수{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$은(는) 아래와 같이$$ 카이 분산 랜덤 변수 Y${\displaystyle }$~ $y{\displaystyle }$ (${\displaystyle \mathrm{2m}}$)${\displaystyle Y\sim \chi($2m$)$에 $대한$ 단순한 스케일 변환에 의해 생성된다.

${\displaystyle X={\sqrt {(\Oomega /2m)Y}}.}$

카이-분포의 경우 자유도 ${\displaystyle \mathrm{2m}}$(\$displaystyle$ 2m$})$는 정수여야 하지만$$$$ 나카가미의 경우 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$은 1/2보다 큰 실제 숫자가 될 수 있다. 이것이 결정적인 차이이므로 나카가미-m은 치-제곱 분포의 일반화로 간주되는 감마 분포와 유사하게 치-제곱 분포의 일반화로 간주된다.

기록 및 응용 프로그램

나카가미 분포는 1960년에 처음 제안되어 비교적 새로운 것이다.^[4] 그것은 여러 경로를^[5] 가로지르는 무선 신호의 감쇠를 모델링하고 사라지는 채널이 무선 통신에 미치는 영향을 연구하기 위해 사용되어 왔다.^[6]

관련 분포

• m을 단위 간격(q = m; 0 < q < q < 1))으로 제한하면 나카가미-q 분포(Hoyt 분포라고도 한다.^[7][8][9]

"극좌표(반경과 각도)로 다시 쓰여진 이바리산 정상 랜덤 변수의 참 평균 주위의 반경은 호이트 분포를 따른다. 이와 동등하게, 복합 정규 랜덤 변수의 계수는 다음과 같다.

• 2m = k로 나카가미 분포는 스케일링된 기 분포를 제공한다.
• $m{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$ 나카가미 분포는 스케일링 반 정규 분포를 제공한다$.$
• 나카가미 분포는 일반화된 감마 분포의 특정한 형태로서 p = 2 및 d = 2m이다.

참고 항목

• 정규 분포
• 감마 분포
• 수정된 반정규 분포
• 정규 분포 및 상관 관계가 없는 것이 독립성을 의미하지 않음
• 역수 정규 분포
• 비율 정규 분포
• 표준정상표
• 하위 가우스 분포

참조