유한요소법

미분 방정식
Navier – 장애물 주위의 공기 흐름을 시뮬레이션하는 데 사용되는 Stokes 미분 방정식
범위
필드 자연과학 공학 기술 천문학 물리 화학 생물학 지질학 응용 수학 연속체 역학 카오스 이론 동적 시스템 사회과학 경제학 모집단 역학
분류
종류들 보통의 부분적 미분 대수 적분 미분 프랙셔널 선형 비선형 변수 유형별 종속 및 독립 변수 오토노마스 결합/분리 정확한 동종/비동종 특징들 주문 교환입니다. 표기법
프로세스와의 관계 차이(이산 아날로그) 확률적 확률적 부분 지연
솔루션
존재와 고유성 피카르-린델뢰프 정리 페아노 존재 정리 카라테오도리의 존재 정리 코시-코왈레프스키 정리
일반적인 토픽 브롱스키안 위상 세로 위상 공간 랴푸노프 / 점근 / 지수 안정성 수렴 속도 시리즈 / 통합 솔루션 수치 적분 디랙 델타 함수
해결 방법 감사 특징의 방법 오일러 지수 반응 공식 유한차이 (크랭크-니콜슨) 유한 요소 무한 요소 유한 부피 갤러킨 페트로프갈레르킨 적분 계수 통합 변환 섭동 이론 룽게쿠타 변수 분리 미결정 계수 파라미터의 변동
사람
목록. 아이작 뉴턴 조제프 푸리에 고트프리드 라이프니츠 레온하르트 오일러 에밀 피카르 유제프 마리아 호엔 브론스키 에른스트 린델뢰프 루돌프 립시츠 오귀스틴 루이 코시 존 크랭크 필리스 니콜슨 칼 다비드 톨메 룽지 마르틴 쿠타
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유한요소법(FEM)은 공학 및 수학적 모델링에서 발생하는 미분방정식을 수치적으로 푸는 데 널리 사용되는 방법입니다.일반적인 문제 영역에는 구조 분석, 열 전달, 유체 흐름, 질량 수송 및 전자파 전위의 전통적인 분야가 포함됩니다.

FEM은 두 개 또는 세 개의 공간 변수(즉, 일부 경계값 문제)에서 편미분 방정식을 풀기 위한 일반적인 수치 방법이다.문제를 해결하기 위해 FEM은 큰 시스템을 유한 요소라고 불리는 더 작고 단순한 부분으로 세분합니다.이는 공간 차원에서의 특정 공간 이산화에 의해 달성되며, 이는 객체의 메쉬 구성, 즉 한정된 수의 포인트를 갖는 솔루션의 수치 도메인을 통해 구현된다.경계값 문제의 유한요소법 공식화는 마침내 대수 방정식의 체계를 낳는다.이 메서드는 도메인에서 ^[1]알 수 없는 함수에 근사합니다.이러한 유한 요소를 모델링하는 단순한 방정식은 전체 문제를 모델링하는 더 큰 방정식 시스템으로 통합됩니다.그런 다음 FEM은 변동 계산을 통해 관련된 오차 함수를 최소화함으로써 해법을 근사한다.

FEM을 사용하여 현상을 연구하거나 분석하는 것을 FEA(Finite Element Analysis)라고 합니다.

기본 개념

도메인 전체를 보다 단순한 부분으로 세분화하면 다음과 같은 ^[2]몇 가지 이점이 있습니다.

• 복잡한 지오메트리의 정확한 표현
• 이종 재료 특성 포함
• 전체 솔루션의 간단한 표현
• 국소 효과 캡처

이 방법의 일반적인 작업에는 다음이 포함됩니다.

1. 문제의 영역을 하위 도메인의 집합으로 분할하고, 각 하위 도메인은 원래 문제에 대한 요소 방정식 세트로 표현된다.
2. 최종 계산을 위해 모든 요소 방정식을 글로벌 방정식 시스템으로 체계적으로 재결합합니다.

글로벌 방정식 시스템은 알려진 해법 기술을 가지고 있으며, 수치적 답을 얻기 위해 원래 문제의 초기 값에서 계산할 수 있습니다.

위의 첫 번째 단계에서 요소 방정식은 연구해야 할 원래의 복잡한 방정식에 국소적으로 근사하는 단순한 방정식입니다.여기서 원래 방정식은 종종 편미분 방정식(PDE)입니다.이 과정의 근사치를 설명하기 위해, 유한 요소 방법은 일반적으로 갤러킨 방법의 특수한 경우로 소개된다.수학 언어에서 프로세스는 잔차 및 가중치 함수의 내적적분을 구성하고 적분을 0으로 설정하는 것입니다.간단히 말하면, 시험 함수를 PDE에 적합시켜 근사 오차를 최소화하는 절차입니다.잔차는 시행 함수로 인한 오차이며 가중치 함수는 잔차를 투영하는 다항식 근사 함수입니다.이 프로세스는 PDE에서 모든 공간적 파생물을 제거하며, 따라서 PDE는 다음과 같이 로컬로 근사합니다.

• 정상 상태 문제에 대한 일련의 대수 방정식,
• 일시적인 문제에 대한 일련의 상미분 방정식

이 방정식 집합이 요소 방정식입니다.기본 PDE가 선형인 경우 선형이며, 그 반대도 마찬가지입니다.정상상태 문제에서 발생하는 대수 방정식 집합은 수치 선형 대수법을 사용하여 풀며, 과도 문제에서 발생하는 일반 미분 방정식 집합은 오일러의 방법이나 룽게-쿠타 방법과 같은 표준 기술을 사용하여 수치 적분에 의해 풀린다.

상기 (2)단계에서는 서브도메인의 로컬 노드에서 도메인의 글로벌 노드로의 좌표 변환을 통해 요소 방정식으로부터 글로벌 방정식을 생성한다.이 공간 변환에는 기준 좌표계와 관련하여 적용된 적절한 방향 조정이 포함됩니다.프로세스는 하위 도메인에서 생성된 좌표 데이터를 사용하여 FEM 소프트웨어에 의해 수행되는 경우가 많습니다.

FEM의 실제 적용은 유한 요소 분석(FEA)으로 알려져 있습니다.엔지니어링에 적용되는 FEA는 엔지니어링 분석을 수행하기 위한 계산 도구입니다.여기에는 복잡한 문제를 작은 요소로 분할하기 위한 메시 생성 기술의 사용과 FEM 알고리즘으로 코드화된 소프트웨어의 사용이 포함됩니다.FEA를 적용할 때 복잡한 문제는 일반적으로 오일러-베르누이 빔 방정식, 열 방정식 또는 PDE 또는 적분 방정식 중 하나로 표현되는 나비에-스토크스 방정식과 같은 기초 물리학이 있는 물리적 시스템인 반면, 복잡한 문제의 분할된 작은 요소는 물리적 시스템의 다른 영역을 나타낸다.

FEA는 복잡한 영역(자동차나 송유관 등)의 문제 분석, 도메인이 변경되었을 때(이동경계에서의 고체반응 중 등), 도메인 전체에 걸쳐 원하는 정밀도가 변화했을 때 또는 솔루션이 원활하지 않을 때 사용할 수 있습니다.FEA 시뮬레이션은 다양한 고충실도 ^{[citation needed]}상황에서 하드 프로토타입의 여러 생성 및 테스트 인스턴스를 제거하므로 귀중한 리소스를 제공합니다.예를 들어 정면 충돌 시뮬레이션에서는 차량 전면과 같은 "중요한" 부분의 예측 정확도를 높이고 후방 부분을 줄일 수 있습니다(이를 통해 시뮬레이션 비용을 절감할 수 있습니다).또 다른 예는 수치 기상 예측에서 비교적 조용한 지역보다는 고도로 비선형적인 현상(대기의 열대성 사이클론 또는 바다의 소용돌이)을 개발하는 데 대해 정확한 예측을 하는 것이 더 중요하다.

이 접근방식에 대한 명확하고 상세하며 실용적인 설명은 ^[3]엔지니어를 위한 유한 요소 방법에서 찾을 수 있습니다.

역사

유한요소법의 발명 연대를 인용하기는 어렵지만, 이 방법은 토목 및 항공 공학에서 복잡한 탄성 및 구조 해석 문제를 해결해야 하는 필요성에서 비롯되었다.그 개발은 A에 의한 작업으로 거슬러 올라갈 수 있다. Hrennikoff와^[4] R. 1940년대^[5] 초반의 쿠란트.또 다른 개척자는 요안니스 아가리스였다.소련에서 이 방법의 실용적 적용의 도입은 보통 레오나드 ^[6]오가네시안이라는 이름으로 연결된다.또한 1950년대 후반과 1960년대 초에 펑캉에 의해 댐 건설의 연산을 바탕으로 중국에서 독립적으로 재발견되었고, 그곳에서 변화 원리에 기초한 유한 차분법이라고 불렸다.이러한 선구자들이 사용하는 접근법은 다르지만, 한 가지 본질적인 특징을 공유한다: 연속적인 도메인을 보통 요소라고 불리는 이산적인 하위 도메인 세트로 분리하는 것이다.

Hrennikoff의 연구는 격자 유추를 이용하여 도메인을 이산화하는 반면, Courant의 접근법은 실린더의 비틀림 문제에서 발생하는 2차 타원 편미분 방정식을 풀기 위해 도메인을 유한 삼각 부분영역으로 분할한다.Courant는 Rayleigh, Ritz 및 Galerkin이 개발한 PDE에 대해 많은 초기 결과를 바탕으로 진화적인 기여를 했습니다.

그 유한 요소 법은 1960년대와 1970년대 J.H. 아지리스의 슈투트가르트 대학교, R.W.Clough에서 UC버클리, OCZienkiewicz에서 동료들 어니스트 힌턴. 미국, 브루스 Irons[7]과 스완지 대학교, 필립 G.Ciarlet은 파리 대학에서에서 다른 사람들과 직장 동료들과 직장 동료들과 상황의 전개에 의해 그것의 진정한 자극제를 얻었다. 6그리고 리처드 갤러거와 코넬 대학 동료들.이 몇 년 동안 이용 가능한 오픈 소스 유한 요소 프로그램에 의해 추가적인 추진력이 제공되었습니다.NASA는 NASTRAN의 원래 버전을 후원했고 UC Berkeley는 유한 요소 프로그램 SAP^[8] IV를 널리 이용할 수 있도록 했습니다.노르웨이에서는 선박분류학회 Det Norske Veritas(현 DNV GL)가 1969년 ^[9]선박 분석에 사용하기 위해 Sesam을 개발했다.유한 요소 방법에 대한 엄격한 수학적 기초는 1973년 Stren and ^[10]Fix의 출판과 함께 제공되었다.이 방법은 전자파, 열전달 및 유체역학 ^[11][12]등 다양한 공학 분야에서 물리적 시스템의 수치 모델링을 위해 일반화되었습니다.

기술적인 논의

유한요소법의 구조

유한요소법은 가변식, 이산화 전략, 하나 이상의 솔루션 알고리즘 및 후처리 절차에 의해 특징지어진다.

변분 공식의 예로는 갤러킨법, 불연속 갤러킨법, 혼합법 등이 있다.

이산화 전략은 (a) 유한요소 메쉬의 작성, (b) 기준요소에 대한 기준함수의 정의(형상함수라고도 함) 및 (c) 기준요소의 메쉬 요소로의 매핑을 포함하는 명확하게 정의된 일련의 절차를 의미하는 것으로 이해된다.이산화 전략의 예로는 h-version, p-version, hp-version, x-FEM, 등지학적 분석 등이 있다.각 이산화 전략에는 장점과 단점이 있습니다.이산화 전략을 선택할 때 합리적인 기준은 특정 모델 등급에서 가장 광범위한 수학적 모델 집합에 대해 거의 최적의 성능을 실현하는 것이다.

다양한 수치 솔루션 알고리즘은 직접 솔버와 반복 솔버의 두 가지 범주로 분류할 수 있습니다.이러한 알고리즘은 가변 공식화 및 이산화 전략의 선택에 따라 달라지는 행렬의 희소성을 이용하도록 설계되었습니다.

후처리 절차는 유한 요소 솔루션에서 관심 데이터를 추출하기 위해 설계된다.솔루션 검증 요건을 충족하기 위해 포스트 프로세서는 대상 수량의 관점에서 사후 오류 추정을 제공할 필요가 있습니다.근사 오차가 허용 가능한 것보다 클 경우 자동 적응 프로세스 또는 분석가의 조치에 의해 이산화가 변경되어야 한다.초수렴을 실현하기 위한 매우 효율적인 포스트 프로세서가 몇 가지 있습니다.

문제 P1 및 P2의 예시

다음 두 가지 문제는 유한 요소 방법을 보여줍니다.

P1은 1차원적인 문제이고

${\displaystyle {\mbox{ P1 }:\displaystyle {case}u'(x)=f(x){\mbox{in }}(0,1),\u(0)=u(1)=0,\end{case}}}$

$여기$서 f${displaystyle$ f$}$를 $지정$하면$$u{$displaystyle$u}는$$ x${displaystyle$x$\}$의 알 수 없는 $함수$이고 u${$u}는$$ x${displaystyle$x$\}$에 대한 u${displaystyle$u}의 두 번째 도함수입니다.

P2는 2차원 문제(디리클레 문제)

${\displaystyle {mbox{P2}:{case}u_{xx}(x,y)+u_{y}(x,y)=f(x,y)&{\mbox{in}}}\Omega,\u=0&{\mbox{ on}}}\displaystyle \Omega,\end{case}}}}$

여기서$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ {$displaystyle$\$}$는 ${\displaystyle \mathrm{경계}}$$$ {$displaystyle \partial \Omega}$이(가$$$$$) 좋은$(예를 들어 매끄러운 매니폴드 또는 폴리곤)${\displaystyle }$평면에서 연결된 열린 $영역$이며 ${\displaystyle u_{}}$$$x {$displaystyle u_x}$와 ${\displaystyle y_{}}${$displaystyle uy$$}$는 wi$}$의 두 번째 도함수를 나타냅니다.$각각{\displaystyle }$ x$(디스플레이$ $스타일$ x$)$와 y$(디스플레이 스타일$ y$)$를 $기준$으로 합니다.

문제 P1은 반파생 계산으로 직접 해결할 수 있다.단, 이 BVP(Boundary Value Problem)의 해결방법은 공간차원이 1개일 때만 유효하며 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle +}$ u${\displaystyle {}^{}}$= $=$ ${\displaystyle f}$ \ $displaystyle u$ + u ' $=$f $\}$와 같은 고차원적인 문제나 문제로 일반화되지 않으므로 P1의 유한요소법을 개발하여 P2로 일반화하고자 한다.

이 설명은 두 단계로 진행되며, FEM을 사용하여 경계값 문제(BVP)를 해결하기 위해 수행해야 하는 두 가지 필수 단계를 반영합니다.

• 첫 번째 단계에서는 원래 BVP를 약한 형태로 다시 표현합니다.보통 이 단계에서는 계산이 거의 필요 없습니다.변환은 종이 위에서 수작업으로 이루어집니다.
• 두 번째 단계는 이산화이며, 여기서 약한 형태는 유한 차원 공간에서 이산화된다.

이 두 번째 단계 이후, 우리는 원래 BVP를 대략적으로 해결할 큰 그러나 유한 차원 선형 문제에 대한 구체적인 공식을 가지고 있다.이 유한 차원 문제는 컴퓨터에서 구현됩니다.

약한 제형

첫 번째 단계는 P1과 P2를 동등한 약한 제제로 변환하는 것이다.

P1의 약한 형태

$사용자가$$$P1을 해결한 $경우{\displaystyle }$, 변위 경계 조건을 만족하는 $부드러운{\displaystyle }$ 함수$$v{$displaystyle$ $v$$}($$x$ $=$ $0 =$ 0$$= $0$$$、 x $= 1$ $any$ )의 경우, 다음과 같이 됩니다.

(1) $\int {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$f (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle v}$ (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle d}$ x $=$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}^{}}$ u${\displaystyle {\}}^{}}$ （${\displaystyle x}$) ${\displaystyle v}$( x )${\displaystyle }$d$$ . {$displaystyle$ \$int _$ {$0}^{1$}$f(x)$ v(x) , ph(x) , $ph=\$int _{$0}^{1}u'(x)$ v(x$)$ , ph (x ) , phatus ) }

반대로,${\displaystyle }$u${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle =\mathrm{u}}$ ( 1) $=$ ${\displaystyle 0}$ { $displaystyle$u($0)=u($1)=0$$$}$인$u$가 $매끄러운{\displaystyle }$ 함수${\displaystyle }$v ($x)$에 대해 (1)을 만족하는 $경우{\displaystyle }$, 이$$u { $displaystyle$v$(x)$가 $P1$을 해결한다는 것을 보여줄 수 있습니다.두 번 연속적으로 $미분$할 수 있는 u$($평균값 정리)에 대한 입증이 더 쉽지만 분포적 의미에서도 증명될 수 있다.

(1)의 오른쪽에 있는 부품별 통합을 사용하여 새로운 연산자 또는 $지도{\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle }$u , ${\displaystyle v}$ $){$ $displaystyle \phi (u$,$$v$)$를 ${\displaystyle \mathrm{정의}}$합니다.

(2)∫ 01f())v())d))∫ 01u″())v())dx)너′())v())01− ∫ 01u′())v′())d))−∫ 01u′())v′())d)≡− ϕ(u, v),{\displaystyle{\begin{정렬}\int _ᆺ^ᆻf())v())\,dx&, =\int _{0}^{1}u"())v())\,dx\\&, =u'())v(.x)_{0}^${1}-\int _{0}^1}u'(x)v'(x)',filen\\&=-int _{0}^1}u'(x)v'(x),filen\equiv -\phi (u,v),\end {aligned}}$

여기서는 v${\displaystyle }$(${\displaystyle 0)}$ ${\displaystyle =v}$ (${\displaystyle 1)}$ $=$ {$displaystyle$v(0)=$v($1)=$0$이라는 $가정$을 사용했습니다.

P2의 약한 형태

Green의 아이덴티티 형식을 사용하여 부품별로 통합하면 $사용자가$$$P2를 해결하면 $다음$과 같이 v$\displaystyle\$$phi$$$$(u,v)$를 정의할 수 있습니다.

$\displaystyle \int _{\Omega }fv,ds=-\int _{\Omega }\cdot \cdla v,ds\equiv -\phi (u,v),}$

여기서 ${\$ { $displaystyle$\ $cdot$ $}$는 그라데이션,$\{\backslash {\displaystyle }$ { displaystyle \ cdot$}$은 2차원 평면에서의 도트곱을 나타냅니다.${\displaystyle 다시}$ ${\(\displaystyle\!\phi)$을 적절한 $공간{\displaystyle {}_{}^{}}$ $( we)$에서 내부 제품으로 변환할 수 있습니다.$(\$$displaystyle$\$displaystyle\partial\$obega$)$에 있는$we{\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle$$\$displaystyle\partial\$ope$ ）의 구분이 가능함수도 가정했습니다.$(\displaystyle$ v$\in$ H_${0}^{1}(\Omega)}($소볼레브 공간 참조).솔루션의 존재와 고유성도 나타낼 수 있습니다.

솔루션의 존재와 고유성을 입증하는 개요

${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}^{}}$ 0${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ( ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 1}$ $){$ $displaystyle$ H _ { $0$}^{$1}$ ($0 ,$${\displaystyle 1}$ )의${\displaystyle }$$절대{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{연속}}$ $함수$라고 대략적으로 $생각$할 수 있습니다. ($,$1$$) $($$x$ ${\displaystyle =}$0 { $displaystyle$$$$$$x$=$0$$$} $및{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$ $=$ 1 {$displaystyle$ x $= 1$ （$$ solevo ） 참조).${\displaystyle 이러한}$ 함수는 (약하게) 한 번 구별이 가능하며 대칭 쌍선형 지도 ${\$ {\$displaystyle \!,\phi}$는 ${\displaystyle {H0\mathrm{}}_{\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle 0,}$ 1)${\displaystyle H_{0}^1$} ($0$$,1)$을 힐베르트 공간으로 $변환$하는 내적을 정의하는 것으로 밝혀졌다(상세한 증거는 중요하지 않음).한편, 왼쪽의${\displaystyle {}_{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$1 ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle v}$( x )$$d ${\displaystyle x}$ {\$displaystyle \int$_ {$0}^{f(x) v(x)$ dx$}$도 내적이며, 이번에는 Lp $공간{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {L2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}0,}$1)$$\$displaystyle$ L$^{2}$ $(0,$1) dx$$에서는 표현에 대한 응용이다.$$ 해결(2)과 그에 따른 P1.이 솔루션은 ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}1}$ ( 0${\displaystyle }$,${\displaystyle 1}$ $){$ $displaystyle H_{0}^{$1}($0,1$의 $멤버$일 뿐이지만 f$${\$displaystyle$ f$}$의 경우 타원규칙성을 사용하여 매끄럽습니다.

이산화

P1과 P2는 일반적인 sub-problem(3)으로 이어진다 discretized을 기다리고 있다.그 기본적인 아이디어는 5선형 문제가 발생할 있다.

u(H 01{\displaystyleu\in H_{0}^{1}}는 다음과 같다.

${\displaystyle \forall v\in H_{0}^{1},\, -\phi(u,v)=\int fv}.$

는 유한 차원의. 버전과:

그런{\displaystyleu\in V}너 ∈ V 찾기(3).

${V,\ v\in\displaystyle \forall, -\phi(u,v)=\int fv}.$

H0의 여기에서 V{V\displaystyle}는 유한 차원의. 부분 공간 1{\displaystyle H_{0}^{1}}.에는 V{V\displaystyle}(하나의 가능성은 분광 법으로 이어진다)을 위한 많은 선택 가능한 있다.그러나 유한 요소 법을 우리는piecewise 다항식 함수의 우주 V{V\displaystyle}.

문제 P1의 경우

우리는(0,1){\displaystyle(0,1)}, 0와 x{\displaystyle)}의 n{n\displaystyle}값을 선택 cmx, x;⋯<>)^n+;x_{1}<, \cdots <x_{n+1}=1}와 우리가 V{V\displaystyle}을 정의하는:간격 0<>1개체의<>1=1{\displaystyle 0=x_{0}< x_{n}&lt한다.

${{displaystyle V=\{v:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} \;:v_mbox{는 연속형,}v _{x_{k},x_{k+1}}}{\mbox{는 }k=0,\displays, nsmbox{, 및 }}v(0)=0}}}에 대해 선형입니다.$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 x 0 $=$ {$style x_{0$}=$0$$}$ 및 x${\displaystyle n_{}}$ + $=$ ${\displaystyle 1}$ {$style$ $x_{n+1}=1$을 $정의$합니다. V$${$display$ V$}$의 함수는 미적분의 기본 정의에 따라 구분할 수 없습니다.실제로 v${\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}}$$$V { $display style$$$v \ $in$ V$$} $v$ 、 $x{\displaystyle }$ $= x$= x _ {$k$} , ${\displaystyle \mathrm{k}}$ ${\displaystyle =}$1${\displaystyle }$, ${\displaystyle ...}$ ,$$ { \ $displaystyle$k$$= 1, $\ldots$, n$$} 에서는 일반적으로 미분이 정의되지 않습니다. 단, x { $style x}$의 다른 모든 값에 이 미분을 사용할 수 있습니다.rts.

문제 P2의 경우

V$${\$displaystyle$ V$}$는$\omega {\displaystyle \mathrm{}}$ {\displaystyle $\Omega$ $\}$의 함수 집합이어야 $합니다{\displaystyle }$.오른쪽 그림에서는 평면(아래)에서 15면 다각형 $영역{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$ {\$displaystyle \Omega$}의 삼각측량과 각 삼각형의 부분 선형 함수(위, 컬러)를 나타냅니다.$공간$$$V는 선택된 $삼각측량$의 각 삼각형에서 선형으로 구성된 함수로 구성됩니다.

기초가 되는 삼각형 메쉬가 점점 미세해짐에 따라 이산 문제(3)의 해답이 어떤 의미에서 원래의 경계값 문제 P2의 해답으로 수렴되기를 바란다.이 메쉬 정밀도를 측정하기 위해 삼각측정은 매우 작은 실값 > { $displaystyle$ h > $0$}에 의해 색인화 됩니다.이 매개변수는 삼각측량에서 가장 크거나 평균인 삼각형의 크기와 관련이 있습니다.삼각측량을 세분화함에 따라 $V$의 공간도$h$와 $함께{\displaystyle }$ 변화해야 하므로 문헌상$$V\$displaystyle$가 아닌 V h\${\displaystyle {displaystyle}_{}}$$$$V_{h}$로 표기되는 경우가 많다.이러한 분석은 실시하지 않기 때문에, 이 표기법은 사용하지 않습니다.

기준 선택

분해를 완료하기 위해서는$$V의 $기준$({$displaystyle$ V$\})$을 $선택$해야 합니다. 1차원적인 경우, 각 ${\displaystyle {제어점}_{}}$x k({$displaystyle$$x_${k})에$$대해$V$의 부분 $선형{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {함수}_{}}$v k({$displaystyle$$v_$${$$k$})를 선택합니다.$(*$$displaystyle x_{k$}) 및$$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle j}$, j$,$ j, $neq$$k$마다 0이 $됩니다$.

${\displaystyle v_{k}(x)=sys}{x-x_{k-1} \over x_{k},-x_{k-1} & {\mbox{if}x\in [x_{k-1},x_{k},\{x\over x_{k+1},{k-1}&{k-1}}}, {k-1}, {k-1}, {x}, {k-1}, {x}, {case}, {case}, {k-1}, {case}, {case}, {case}, {c$

k ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle n}${$style$ k$=1,\display,n$의 $경우{\displaystyle }$, 이 기준은 시프트 및 스케일링된 텐트 함수입니다.2차원 케이스에서는 평면 영역$δ$의 삼각측량에서 $정점{\displaystyle {}_{}}$ x $(\$$x_$${k$$\})$당 $기본함수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$k(\$displaystyle v_{$k$$$$})를 다시 선택한다. $함수{\displaystyle {}_{}}$ v$$(\$displaystyle v_{$k$$})는 V(\$displaystyle$ V$)$의 고유함수이다.${\displaystyle }$${\displaystyle x_{}}$ k에서는 1$({displaystyle$ $x_$${k$$}),$ x${\displaystyle {}_{}j}$에서는${\displaystyle }$0(\$displaystyle x_{j$입니다$.$

작성자에 따라 "확정 요소 방법"의 단어 "element"는 도메인의 삼각형, 분할 선형 기저 함수 또는 둘 다 참조합니다.예를 들어 곡선 영역에 관심이 있는 저자는 삼각형을 곡선 원형으로 대체하고 요소를 곡선형이라고 설명할 수 있습니다.반면 일부 저자는 "부분적 선형"을 "부분적 2차" 또는 "부분적 다항식"으로 대체합니다.그러면 저자는 "고차 다항식" 대신 "고차 원소"라고 말할 수 있다.유한 요소 방법은 삼각형(3-d의 사각형 또는 다차원 공간의 고차 단순형)으로 제한되지 않지만, 사각형 하위 도메인(3-d의 사각형, 프리즘 또는 피라미드 등)에서 정의할 수 있습니다.고차 형상(곡선 요소)은 다항식 및 비다항식 형상(예: 타원 또는 원)으로 정의할 수 있습니다.

높은 차수의 구간 다항식 기저 함수를 사용하는 방법의 예로는 hp-FEM과 스펙트럼 FEM이 있다.

보다 고도의 실장(적응적인 유한 요소 방법)은 (오류 추정 이론에 근거해) 결과의 품질을 평가하고 솔루션 중에 메쉬를 수정하는 방법을 사용하여 연속체 문제의 정확한 해결책으로부터 몇 가지 범위 내에서 대략적인 해결책을 달성하는 것을 목표로 한다.메쉬 적응성은 다양한 기술을 활용할 수 있으며, 가장 일반적인 기술은 다음과 같습니다.

• 이동 노드(r-adaptivity)
• 정제(및 정제되지 않은) 요소(h-적응성)
• 기본 함수의 순서 변경(p-적응성)
• 위의 조합(hp-adaptivity)입니다.

기초의 소규모 지원

이 기본 선택의 주요 장점은 내부 제품이

$\displaystyle v_{j},v_{k}\rangle =\int _{0}^{1}v_{j}v_{k},bangle}$

그리고.

${\displaystyle \phi (v_{j},v_{k})=\int _{0}^{1}v_{j}'v_{k}',param}$

will be zero for almost all ${\displaystyle j,k}$. (The matrix containing ${\displaystyle \langle v_{j},v_{k}\rangle }$ in the ${\displaystyle (j,k)}$ location is known as the Gramian matrix.)1차원의 경우 ${\displaystyle v_{}}$ k$({$의 $지원$은 간격 $[{\displaystyle x_{}}$ -${\displaystyle {}_{}}$1, ${\displaystyle x_{}}$k +$]({$$displaystyle$[$x_{k-1},x_{k+$1$\}\})$입니다.따라서${\displaystyle }$v ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ k$k${ displaystyle $v_j$},$v_k${\$rangle$ ${\displaystyle \}}$의 인테그랜드가 됩니다$.$j- > { $display$j - k $> 1$ 、 tically 0 。

마찬가지로 평면 케이스에서 x $($j$$})와$$x k(x$\displaystyle x_{$k$$})가 삼각측량의 가장자리를 공유하지 않는 $경우{\displaystyle {}_{}}$ 적분은

$\displaystyle \int _{\Omega }v_{j}v_{k},ds}$

그리고.

$\displaystyle \int _{\Omega}\nabla v_{j}\cdot \nabla v_{k},ds}$

둘 다 제로입니다.

문제의 매트릭스 형식

u${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =\underset{k}{\overset{}{}}}$ k ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ v${\displaystyle {}_{}{k}_{}}$ (${\displaystyle x}$) { $displaystyle$$u$ ( x )$=$ \ $sum$_ { k$$= { k } v$$${\displaystyle {\_}_{}}$ { $k$} ($x$ ) 및$$ $f{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ f$k$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{k}}}}$ ($x$) $=$_ { n f$=$ { $k_f$}^{ $n$$$} 라고 $입력$합니다.$yle$j$$= 1$,\syslog$ ,$n$ 이 됩니다.

${\displaystyle -}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{k}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle {nu}_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$ （ ${\displaystyle {}_{}{k}_{}}$ , ${\displaystyle v_{}}$j ) ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ f ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ f k ${\displaystyle {}_{}}$ v ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x}${ $displaystyle -$ \ $sum$_ {$k$=$1 }^{n}u_{k}\phi$ ( v_{k$},v_{j})=$ \$sum _$ k $=$1 $nu_{k}$

u$${\$displaystyle \mathbf {u}$ $및$ f {\$displaystyle \mathbf {f}$로 열 벡터$({\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle u_{}{}^{}}$n)를$나타내면$t {\$displaystyle (u_{1},\dots,$$u_${n})$^{t}$ 및$$${\displaystyle }$(${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle f_{}{}^{}}$n ) ${\displaystyle t^{}}${ $displaystyle (f_{1},\display, f_{n}^{t$ 입니다.

${\displaystyle L=(L_{ij})}$

그리고.

${\displaystyle M=(M_{ij})}$

엔트리가 다음과 같은 행렬이다

$(\displaystyle L_{ij}=\phi(v_{i},v_{j})}$

그리고.

${\displaystyle M_{ij}=\int v_{i}v_{j}display}$

(4)을 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

${\displaystyle -}$ ${\displaystyle L\mathbf{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f\mathbf{}}$ .${\displaystyle }${$displaystyle -L\mathbf$ {$u} = M\mathbf {f} .}$ (5)

$f$ ${\displaystyle (}$x ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{k}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}{k}_{}}$ (${\displaystyle x}$) { $display$f ( x ) = \ $sum _$ { k ${\displaystyle =}$ 1 }^{n$}f_{k}v_{k}(x$$)\}$ 일반 함수${\displaystyle }$f $(x$의 경우${\displaystyle ,}$ (3) v (${\displaystyle x}$) $display$ v$$(${\displaystyle x_{}}$의 $문제{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$ )$매트릭스{\displaystyle }$ M$(\displaystyle$ M$)$이 사용되지 않으므로,

${\displaystyle -}$ ${\displaystyle L\mathbf{}}$ ${\displaystyle u\mathbf{}}$ $=$b {\$displaystyle -L\mathbf {u}$ =\$mathbf {b$$$, (6)

$여기$서 b ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}{n}_{}}$ ) ${\displaystyle t^{}}${\$displaystyle \mathbf {b}$ =($b_{1}\display, b_{n}^{t})$ 및$$ ${\displaystyle b_{}}$ j ${\displaystyle {}_{}}$ j$=$ ${\displaystyle 1}$ , … ,$$n {$displaystyle j_$${j}$에 대한 b = \$int$ $fv_$${$j}sn$}$$t$$.,$ $n$

앞에서 설명한 바와 같이$$L\${\displaystyle {displaystyle}_{}}$ L$\$$m$과$$M\$displaystyle$ M$\$displaystyle $M$은 기본 함수 $vk\$displaystyle v_{$k}$의 $지원이{\displaystyle }$$$ 적기 때문에 대부분의 엔트리가 0입니다.따라서 이제 $미지$의$$u$(\displaystyle \mathbf {u})$에서 선형 시스템을 풀어야 합니다. $행렬{\displaystyle }$L(\$displaystyle$ L$)$의 엔트리는 대부분 0입니다.

이러한 행렬을 희소 행렬이라고 하며, 이러한 문제에 대한 효율적인 해결사가 있습니다(실제로 행렬을 반전시키는 것보다 훨씬 더 효율적입니다).또한 L$${\$displaystyle$ L$}$은 대칭이며 양의 확정이므로 켤레 구배법 등의 기법이 바람직하다.너무 크지 않은 문제의 경우, 희박한 LU 분해와 콜레스키 분해는 여전히 잘 작동합니다.예를 들어, MATLAB의 백슬래시 연산자(스퍼스 LU, 스퍼스 콜레스키 및 기타 인수분해 방법 사용)는 100,000개의 정점과의 메시에 충분할 수 있습니다.

$행렬{\displaystyle }$ L$({displaystyle$L})은$$ 보통 강성 행렬이라고 $하며{\displaystyle }$행렬 M({$displaystyle$M})은 질량 행렬이라고 합니다.

유한요소법의 일반형식

일반적으로 유한요소법은 다음과 같은 과정을 특징으로 한다.

• $\omega {\displaystyle \mathrm{}}${ $displaystyle$\$Omega$ $\}$의 그리드를 선택합니다.이전 처리에서는 그리드가 삼각형으로 구성되었지만 정사각형이나 곡선 폴리곤을 사용할 수도 있습니다.
• 그런 다음 기본 함수를 선택합니다.여기서는 부분 선형 기저 함수를 사용했지만, 부분 다항식 기저 함수를 사용하는 것도 일반적입니다.

별도의 고려사항은 기본 함수의 부드러움이다.2차 타원 경계값 문제의 경우, 단순히 연속적인 것으로 충분한 부분 다항식 기저 함수(즉, 도함수는 불연속적이다)고차 편미분 방정식의 경우 평활기 기저 함수를 사용해야 합니다.예를 들어, ${\displaystyle u_{}}$ x${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ + ${\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ y $=$ ${\displaystyle f}$ { $displaystyle u_${xxx$}+u_{yy}=$f$\}$와 같은 4차 문제의 경우 ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$ 1$${ $displaystyle C^{$1$\}\}$이라는 부분별 2차 기본 함수를 사용할 수 있습니다.

$또{\displaystyle }$ 다른 고려사항은 H ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 1$({$의 예에서 유한차원 $공간{\displaystyle }$V$(\$$displaystyle$ V$)$와 무한차원 공간 V(\$displaystyle$ V$)$의 관계이다.위의 예는 그러한 방법이다.이 조건이 충족되지 않으면 부적합 요소 방법을 얻을 수 있는데, 그 예로는 각 에지 중간점에서 연속적인 메시 위의 부분 선형 함수 공간이 있다.이러한 함수는 일반적으로 가장자리를 따라 불연속적이므로 이 유한 차원 공간은 원래 ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}^{}}$ 0 $({$의 부분 공간이 아닙니다.

일반적으로는 특정 메쉬를 가져와 분할하는 알고리즘이 있습니다.정밀도를 높이는 주된 방법이 메쉬를 세분화하는 것이라면 h-method가 있다(h는 일반적으로 메쉬에서 가장 큰 요소의 직경이다).와 같이 $h의$$$에러가 C< ${\$ \ $displaystyle$ C < \ $infty }$ 및 > \ $displaystyle$ p $> 0$에 대해 C ${\displaystyle {}^{}}$ { $displaystyle$ Ch^ {$p$ 에 $의해{\displaystyle }$ 위쪽으로 경계되어 있는 것을 나타내는 경우는 순서 p 메서드가 있습니다.특정 가설(예를 들어, 도메인이 볼록한 경우)에서 $순서{\displaystyle }$d\$displaystyle$d 방법의$$ 부분 다항식에는 $순서{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle =}$ d +$$ {$displaystyle p=d$1}의 오차가 있습니다.

h를 작게 하는 대신 기저함수에 사용되는 다항식의 정도를 증가시키면 p-방법이 있다.이 두 가지 정제 유형을 조합하면 hp-method(hp-FEM)를 얻을 수 있습니다.hp-FEM에서 다항식 정도는 요소마다 다를 수 있다.균일한 p가 큰 고차법을 스펙트럼 유한요소법(SFEM)이라고 부릅니다.이것들은 스펙트럼 방법과 혼동해서는 안 된다.

벡터 편미분 방정식의 경우 기본 함수는 ${\displaystyle {}^{}}$n \$displaystyle \mathbb {R}$^{$n$ 의 $값$을 취할 수 있습니다.

다양한 유형의 유한 요소 방법

AEM

Applied Element Method(적용 요소 방법) 또는 AEM은 FEM 및 이산 요소 방법(DEM)의 기능을 모두 결합합니다.

A-FEM

증강 유한 요소 방법은 PuM에서 언급한 바와 같이 추가 DoF 없이 약하고 강한 불연속성을 모델링하는 것을 목표로 한 Yang과 Lui에 의해 도입되었습니다.

일반화 유한요소법

Generalized Finite Element Method(GFEM; 일반화 유한요소법)는 미지의 솔루션에서 사용 가능한 정보를 반영하여 양호한 국소 근사를 보장하는 함수가 아닌 함수로 구성된 국소 공간을 사용한다.그런 다음 단일성의 파티션이 이러한 공간을 "결합"하여 근사 부분 공간을 형성하기 위해 사용됩니다.GFEM의 효과는 경계가 복잡한 도메인 문제, 마이크로스케일 문제 및 경계층 ^[13]문제에 적용되었을 때 나타났다.

혼합 유한 요소법

혼합 유한 요소법은 편미분 방정식 문제의 이산화 과정에서 추가적인 독립 변수가 노드 변수로 도입되는 유한 요소 방법의 한 종류이다.

변수 – 다항식

hp-FEM은 가변 크기 h와 다항식 도 p의 요소를 적응적으로 결합하여 예외적으로 빠른 지수 수렴 ^[14]속도를 달성한다.

hpk-FEM

hpk-FEM은 적응적으로 결합하고, 가변 크기 h의 요소, 국소 근사치 p의 다항식 정도 및 국소 근사치의 전역 미분성(k-1)을 사용하여 최상의 수렴 속도를 달성한다.

XFEM

확장 유한요소법(XFEM)은 GFEM(Generalized Finite Element Method)과 PUM(Partition of Unity Method)에 기초한 수치기법으로, 불연속함수를 갖는 미분방정식에 대한 해답공간을 풍부하게 함으로써 기존의 유한요소법을 확장한다.확장된 유한 요소 방법은 관심 문제와 관련된 도전적인 특징인 불연속성, 특이성, 경계 계층 등을 자연스럽게 재현할 수 있도록 근사 공간을 풍부하게 한다.일부 문제의 경우, 문제의 특징을 근사 공간에 포함시키면 수렴 속도와 정확성을 크게 개선할 수 있는 것으로 나타났다.또한, XFEM으로 불연속성 문제를 처리하면 불연속성 표면을 메쉬하고 재메쉬할 필요성이 억제되므로, 메쉬 에지로 불연속성을 제한하는 비용으로 기존의 유한 요소 방법과 관련된 계산 비용과 투영 오류를 줄일 수 있다.

몇 가지 연구 코드가 이 기술을 다양한 정도로 구현합니다. 1.GetFEM++ 2. xfem++ 3. openxfem++

XFEM은 Altair Radios, ASTER, Morfeo 및 Abaqus 등의 코드에도 실장되어 있습니다.일부 플러그인과 실제 코어 구현(ANSYS, SAMCEF, OOFELIE 등)을 통해 다른 상용 유한 요소 소프트웨어에 점점 더 많이 채택되고 있습니다.

Scale Boundary Finite Element Method(SBFEM; 스케일링 경계 유한요소법)

SBFEM(Scaled Boundary Finite Element Method)의 도입은 Song and Wolf(1997)^[15]에서 비롯되었다.SBFEM은 파괴 역학 문제의 수치 분석 분야에서 가장 유익한 기여 중 하나이다.유한요소 공식화 및 절차와 경계요소 이산화의 장점을 결합한 반분석적 기초해법이다.그러나 경계요소법과 달리 근본적인 미분해법은 필요하지 않다.

S-FEM

S-FEM, Smoothed Finite Element Methods는 물리적 현상의 시뮬레이션을 위한 수치 시뮬레이션 알고리즘의 특정 클래스이다.메쉬프리 방법과 유한 요소 방법을 결합하여 개발되었습니다.

스펙트럼 원소법

스펙트럼 요소 방법은 유한 요소의 기하학적 유연성과 스펙트럼 방법의 급성 정확도를 결합한다.스펙트럼 방법은 고차 라그랑지안 보간법에 기초하고 특정 직교 ^[16]규칙에서만 사용되는 약한 형태의 부분 방정식의 근사해이다.

메쉬프리 방식

불연속 갤러킨법

유한 요소 한계 분석

스트레치 그리드 방식

루비냑 반복

루비냑 반복은 유한 요소 방법의 반복 방법입니다.

결정소성유한요소법(CPFEM)

결정 소성 유한 요소법(CPFEM)은 프란츠 로터스가 개발한 고급 수치 도구입니다.금속은 결정 집합체로 볼 수 있으며 변형 시(예: 이상 응력 및 변형률 국재화) 이방성을 보인다.슬립(전단 변형률)에 기초한 CPFEM은 루틴 중에 결정 이방성을 고려하기 위해 전위, 결정 방향 및 기타 텍스처 정보를 계산할 수 있습니다.현재는 재료 변형, 표면 거칠기, 파단 등의 수치 연구에 적용되고 있습니다.

Virtual Element Method(VEM; 가상 요소 방식)

Beirang da Veiga et al. (2013)^[17]가 모방 유한 차분(MFD) 방법의 확장으로 도입한 가상 요소 방법(VEM)은 임의 요소 기하학에 대한 표준 유한 요소 방법의 일반화이다.이렇게 하면 모양이 매우 불규칙하고 볼록하지 않은 일반 폴리곤(또는 3D 다면체)을 입력할 수 있습니다.가상이라는 이름은 로컬 형상 함수 기반에 대한 지식이 필요하지 않으며 실제로 명시적으로 계산되지 않는다는 사실에서 유래했습니다.

그라데이션 이산화 방법과의 링크

일부 유형의 유한 요소 방법(적합, 부적합, 혼합 유한 요소 방법)은 GDM(Gradient Discretization Method)의 특수한 경우이다.따라서 일련의 문제(선형 및 비선형 타원 문제, 선형, 비선형 및 퇴화 포물선 문제)에 대해 확립된 GDM의 수렴 특성은 이러한 특정 유한 요소 방법에도 적용된다.

유한차분법과의 비교

이 섹션은 어떠한 출처도 인용하지 않습니다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 섹션의 개선에 도움을 주십시오. 조달되지 않은 자재는 제거될 수 있습니다.(2010년 11월) (이 템플릿메시지의 삭제 방법과 삭제 타이밍에 대해 설명합니다)

유한 차분법(FDM)은 PDE의 근사해법의 대체 수단입니다.FEM과 FDM의 차이점은 다음과 같습니다.

• FEM의 가장 매력적인 특징은 복잡한 형상(및 경계)을 비교적 쉽게 처리할 수 있다는 것입니다.기본 형태의 FDM은 직사각형 모양과 간단한 변경을 처리할 수 있도록 제한되지만, FEM에서 기하학적 구조를 처리하는 것은 이론적으로 간단합니다.
• FDM은 보통 불규칙 CAD 기하학에는 사용되지 않으며 직사각형 또는 블록 모양 ^[18]모형에는 더 자주 사용됩니다.
• 유한 차이의 가장 매력적인 특징은 구현이 매우 쉽다는 것입니다.
• FDM을 FEM 접근 방식의 특수한 경우로 간주할 수 있는 몇 가지 방법이 있습니다.예를 들어, 각 직사각형이 두 개의 삼각형으로 분할된 정규 직사각형 망사에 의해 문제가 이산화된 경우, 1차 FEM은 포아송 방정식의 FDM과 동일합니다.
• 예를 들어 FDM에서는 그리드 점 사이의 근사 품질이 낮기 때문에 유한 요소 근사의 수학적 기초를 보다 소리 나게 고려해야 하는 이유가 있습니다.
• FEM 근사치의 품질은 해당 FDM 접근 방식보다 더 높은 경우가 많지만, 이는 매우 문제에 따라 다르며 그 반대의 예를 몇 가지 제공할 수 있습니다.

일반적으로 FEM은 구조역학의 모든 유형의 분석(고체 또는 구조물의 역학에서의 변형 및 응력 해결)에서 선택되는 방법이며, CFD(계산유체역학)는 FDM 또는 유한체적법(FVM)과 같은 다른 방법을 사용하는 경향이 있습니다. CFD 문제는 일반적으로 문제를 큰 유형으로 분해해야 합니다.ge 셀 수/그리드 포인트 수(표준 등)에 따라 솔루션 비용은 각 셀 내에서 보다 단순하고 낮은 차수의 근사치를 선호합니다.이는 특히 자동차나 비행기 주변의 공기 흐름이나 기상 시뮬레이션과 같은 '외부 흐름' 문제에 해당됩니다.

어플

기계 공학 분야의 산하에 있는 다양한 전문 분야(항공, 생체 기계 및 자동차 산업 등)는 일반적으로 제품의 설계 및 개발에 통합 FEM을 사용합니다.최신 FEM 패키지에는 열, 전자파, 유체 및 구조 작업 환경 등의 특정 구성 요소가 포함되어 있습니다.구조 시뮬레이션에서 FEM은 강성 및 강도 시각화를 생성하고 중량, 재료 및 ^[19]비용을 최소화하는 데 큰 도움이 됩니다.

FEM은 구조물이 구부러지거나 뒤틀리는 위치를 세부적으로 시각화할 수 있으며 응력과 변위의 분포를 나타냅니다.FEM 소프트웨어는 시스템의 모델링과 분석의 복잡성을 제어하기 위한 광범위한 시뮬레이션 옵션을 제공합니다.마찬가지로 대부분의 엔지니어링 애플리케이션에 대응하기 위해 필요한 정확도 수준과 관련된 계산 시간 요건을 동시에 관리할 수 있습니다.FEM을 사용하면 전체 설계를 제작하기 전에 구성, 세분화 및 최적화할 수 있습니다.메시는 모델의 필수적인 부분이며 최상의 결과를 얻으려면 신중하게 제어해야 합니다.일반적으로 메쉬 내의 요소 수가 많을수록 이산화된 문제의 해결 방법이 정확해집니다.다만, 결과가 수렴하는 값이 있어, 한층 더 메쉬를 정교하게 해도 ^[20]정확도가 향상되지 않습니다.

이 강력한 설계 도구는 많은 산업용 ^[22]애플리케이션에서 엔지니어링 설계의 표준과 설계 프로세스의 방법론을 모두 크게 개선했습니다.FEM의 도입으로 컨셉에서 생산 ^[22]라인으로 제품을 이동하는 시간이 크게 단축되었습니다.주로 FEM을 ^[23]사용한 개선된 초기 프로토타입 설계를 통해 테스트 및 개발이 가속화되었습니다.요약하자면, FEM의 이점은 정확성 향상, 설계 향상, 중요한 설계 매개 변수에 대한 더 나은 통찰력, 가상 프로토타이핑, 하드웨어 프로토타입 감소, 설계 주기 및 비용 절감, 생산성 향상, ^[22]수익 증가입니다.

1990년대에 FEM은 확률 모델을^[24] 수치적으로 해결하기 위한 확률적 모델링과 나중에 신뢰성 ^[25]평가를 위한 용도로 제안되었다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

추가 정보

• G. Allaire와 A.Craig: 수치 분석 및 최적화: 수학적 모델링과 수치 시뮬레이션 입문.
• K. J. Bath: 유한 요소 분석의 수치적 방법, 프렌티스 홀(1976).
• 토마스 J.R.휴즈:유한 요소 방법: 선형 정적 및 동적 유한 요소 분석, 프렌티스 홀(1987).
• J. Chaskalovic:엔지니어링 과학을 위한 유한 요소 방법, Springer Verlag, (2008).
• Endre Süli: 편미분방정식을 위한 유한요소법.
• O.C. 지엔키에비치, R. L. 테일러, J. Z.Zhu : 유한요소법: 기초와 기초, Butterworth-Heinemann(2005)
• N. Ottosen, H. Peterson : 유한요소법 소개, 프렌티스홀(1992)
• Zohdi, T. I. (2018) 샘플 테스트 및 프로젝트 등 초보자용 유한 요소 프라이머 확장 버전.제2판 https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-70428-9