보렐 분포

보렐 분포

매개변수	${\displaystyle \mu \in [0,1]}$
지원	${\displaystyle n\in \{1,2,3,\ldots \}}$
PMF	${\displaystyle {\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}{n!}}}$
평균	${\displaystyle {\frac {1}{1-\mu }}$
분산	${\displaystyle {\frac {\mu }{{(1-\mu )^{3}}}}}$

보렐 분포는 분기 프로세스와 대기열 이론을 포함한 맥락에서 발생하는 이산 확률 분포다.프랑스의 수학자 에밀 보렐의 이름을 따서 지은 것이다.null

만약 어떤 유기체가 가지고 있는 자손의 수가 포아송 분포를 이루고, 각 유기체의 평균 자손 수가 1명 이하라면, 각 개인의 자손은 궁극적으로 멸종될 것이다.그 상황에서 개인이 궁극적으로 갖는 자손의 수는 보렐 분포에 따라 분포된 랜덤 변수다.null

정의

X의 확률 질량 함수가 다음과 같이 주어진다면 이산 랜덤 변수 X는 모수 μ∈[0,1]로 보렐 분포를^[1][2] 갖는다고 한다.

${\displaystyle P_{\mu }(n)=\Pr(X=n)={\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}{n!}}}$

n = 1, 2, 3에 대해 ....null

파생 및 분기 프로세스 해석

Galton-Watson 분기 프로세스가 평균 μ의 공통 자손 분포 Poisson을 갖는 경우 분기 프로세스의 총 개인 수는 매개변수 μ의 Borel 분포를 가진다.

Galton-Watson 분기 프로세스의 총 개인 수가 X가 되도록 하자.그러면 분기 프로세스의 전체 크기와 관련 무작위 보행에^[3][4][5] 대한 타격 시간 사이의 일치점이 제공된다.

${\displaystyle \Pr(X=n)={\frac {1}{n}\Pr(S_{n}=n-1)}$

여기서 S_n = Y₁ + … + Y_n 및 Y … Y는_1n 분기의 자손 분포인 독립 분포 랜덤 변수다.이 공통 분포가 평균 μ를 가진 포아송 분포인 경우, 랜덤_n 변수 S는 평균 μn을 가진 포아송 분포를 가지므로 위에서 주어진 보렐 분포의 질량 함수가 된다.null

분기 공정의 m세대는 평균 크기 μ를^{m − 1} 가지므로 X의 평균은 다음과 같다.

${\displaystyle 1+\mu +\mu ^{2}+\cdots ={\frac {1}{1-\mu }}.}$

대기열 이론 해석

도착률 μ 및 공통 서비스 시간 1이 있는 M/D/1 대기열에서, 대기열의 대표적인 바쁜 기간의 분포는 매개변수 μ가 있는 Borel이다.

특성.

P_μ(n)가 Borel(μ) 랜덤 변수의 확률 질량 함수인 경우 분포에서 나온 크기 편향 표본의 질량 함수 P^∗
_μ(n)는 다음과_μ 같이 주어진다(즉, nP(n)에 비례하는 질량 함수는

${\displaystyle P_{\mu }^{*(n)=(1-\mu ){\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}{n-1)!}}.}$

알두스와^[7] 핏만은

${\displaystyle P_{\mu }(n)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\mu }P_{\lambda }^{*(n)\,d\lambda.}$

즉, 이것은 보렐(μ) 랜덤 변수가 크기 편향된 보렐(μU) 랜덤 변수와 동일한 분포를 가지며 여기서 U는 [0.1]에 균일한 분포를 가진다.null

이러한 관계는 다음과 같은 다양한 유용한 공식으로 이어진다.

${\displaystyle \operatorname {E} \좌({\frac {1}{X}\우)=1-{\frac {\mu }{2}.}$

보렐-탄너 분포

보렐-탄너 분포는 보렐 분포를 일반화한다.k를 양의 정수가 되게 하라.X₁, X₂, … X가_k 독립적이고 각각 모수 μ를 갖는 보렐 분포를 갖는다면, 이들의 합 W = X₁ + X₂ + + + X는_k 모수 μ와 k를 갖는 보렐-타너 분포를 갖는다고 한다.^[2][6][8] 이는 1세대에서 k명의 개인으로 시작하는 포아송-갈튼-왓슨 프로세스에서 총 개인 수 또는 대기열에서 k개의 작업으로 시작하는 M/D/1 큐를 비우는 데 걸리는 시간의 분포를 제공한다.사례 k = 1은 단순히 위의 보렐 분포일 뿐이다.null

k = 1에 대해 위에 제시된 무작위 보행 통신을 일반화한다.^[4][5]

${\displaystyle \Pr(W=n)={\frac {k}{n}}\Pr(S_{n}=n-k)}$

여기서 S는_n 평균 nμ의 포아송 분포를 가진다.그 결과 확률 질량 함수는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \Pr(W=n)={\frac {k}{n}{n}{\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-k}{n-k}}{n-k)!}}}$

n = k, k + 1, ...에 대해

참조

외부 링크

• Mathematica의 Borel-Tanner 분포.