조밀하게 정의된 연산자

수학 - 특히 연산자 이론에서 - 조밀하게 정의된 연산자 또는 부분적으로 정의된 연산자는 부분적으로 정의된 함수의 한 유형이다.위상학적 의미에서, 그것은 "거의 거의 모든 곳에서" 정의되는 선형 연산자다.기능 분석에서 밀도 있게 정의된 연산자는 선행 연산자보다 더 큰 등급의 객체에 적용하고자 하는 연산자로 종종 발생한다.

정의

$한{\displaystyle }$위상$$벡터 $공간$ X , {\$displaystyle$ X}에서 $다른$ 위상 벡터 공간 Y${\displaystyle }$, Y , {\$displaystyle Y}$까지$조밀$하게 정의된 선형 연산자 T {\$displaystyle$ $T$$}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaysty X}$의 조밀한 선형 하위 공간 $⁡(T)$에 정의되고 값을$$ 취합한 선형 연산자 입니다.${\displaystyle Y,}$ written ${\displaystyle T:\operatorname {dom} (T)\subseteq X\to Y.}$ Sometimes this is abbreviated as T : X → Y when the context makes it clear that ${\displaystyle X}$ might not be the set-theoretic domain of ${\displaystyle T.}$

예

Consider the space ${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$ of all real-valued, continuous functions defined on the unit interval; let ${\displaystyle C^{1}([0,1];\mathbb {R} )}$ denote the subspace consisting of all continuously differentiable functions.Equip ${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$ with the supremum norm ${\displaystyle \ \,\cdot \,\ _{\infty }}$; this makes ${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$ into a real Banach space.$D$ ${\displaystyle D}$ 분화 연산자 D {\displaystyle D}

is a densely defined operator from ${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$ to itself, defined on the dense subspace ${\displaystyle C^{1}([0,1];\mathbb {R} ).}$ The operator D is an example of an unbounded linear operator, since이러한 무한정성은 분화 $연산자{\displaystyle }$ D ${\$$displaystyle$ $D}$을(를$)$ $0$의 전체$([ 0$ 1 ${\displaystyle ]}$; R )로$어떤$ 식으로든 지속적으로 확장하고자 하는 경우에 문제를 일으킨다$.$$}$

반면, Paley-Wiener 적분은 밀도 있게 정의된 운영자의 연속적인 확장을 보여주는 예다.추상적인 Wiener 공간 $i{\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle$ i$:$J가 $조정$된 $H$$\to E}$ ${\displaystyle :=}$ i${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$→ H${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ j$:=i^{*}:$$E^{*}\to H,}$ there is a natural continuous linear operator (in fact it is the inclusion, and is an isometry) from ${\displaystyle j\left(E^{*}\right)}$ to ${\displaystyle L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} ),}$ under which ${\displaystyle j(f)\in j\left(E^{*}\right)$$\subseteq H}$ goes to the equivalence class ${\displaystyle [f]}$ of ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} ).}$ It can be shown that ${\displaystyle j\left(E^{*}\right)}$ is dense in ${\displaystyle H.}$ Since the above inclusion is c연속적인 고유 연속 선형 확장 $I{\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ L ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle E}$ ,${\displaystyle }$, ;${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle I:$$H\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}$ of the inclusion ${\displaystyle j\left(E^{*}\right)\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}$ to the whole of ${\displaystyle H.}$ This extension is the Paley–Wiener map.

참고 항목

• 폐쇄 그래프 정리(기능분석) – 연속성 추론을 위한 정리
• 부분 함수 – 실제 정의 영역이 겉보기 영역보다 작을 수 있는 함수

참조

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). An introduction to partial differential equations. Texts in Applied Mathematics 13 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. pp. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0. MR 2028503.