스켈람 분포

스켈람

확률 질량 함수 Skellam 분포에 대한 확률 질량 함수의 예.수평축은 지수 k. (함수는 k의 정수값으로만 정의된다.연결 라인은 연속성을 나타내지 않는다.)
매개변수	${\displaystyle \mu _{1}\geq 0,~~\mu _{2}\geq 0}$
지원	${\displaystyle k\in \{\ldots ,-2,-1,1,2,\ldots \}}$
PMF	${\displaystyle e^{-(\mu _{1}\!+\\!\mu _{2}}\왼쪽 사진\frac {\mu _{1}{{1}{\mu _{2}}\\오른쪽)^{k/2}\!\!I_{k}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}}}}$
평균	${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}\,}$
중앙값	해당 없음
분산	${\displaystyle \mu _{1}+\mu _{2}\,}$
왜도	${\displaystyle {\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}:{{1}\mu _{1}+\mu _{2}^{3/2}}:$
엑스트라 쿠르토시스	${\displaystyle 1+{\frac {3}{\mu _{1}+\mu _{2}}:$
MGF	${\displaystyle e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}e^{t}+\mu _{2}e^{-t}}}}}}$
CF	${\displaystyle e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}e^{it}+\mu _{2}e^{-it}}}}}}$

스켈람 분포는 통계적으로 독립된 두 개의 랜덤 $변수{\displaystyle {}_{}}$ N ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$${1}-N_{2$} 및$$ $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle N_{$$1$}-{2}}의$$ $차이$에 대한 이산 확률 분포로$,$${\displaystyle {}_{}}$각$$ 포아송 분포는 각각 ${\displaystyle {예상\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $μ$ 1 {\displa} ${\$displa}이다.$ystyle \mu _$${1},$ ${\displaystyle {\mu 2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 단순한 광자 소음이 있는 두 이미지의 차이 통계는 물론, 야구, 하키, 축구 등 모든 점수가 같은 스포츠에서의 포인트 스프레드 분포를 기술하는데 유용하다.null

이 분포는 종속적인 Poisson 랜덤 변수의 차이에 대한 특별한 사례에도 적용 가능하지만, 두 변수가 차이점에 의해 취소되는 공통의 첨가제 랜덤 기여를 갖는 명백한 경우: 자세한 내용과 적용은 Karlis & Ntzoufras(2003)를 참조한다.null

평균 ${\displaystyle {\mu 1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $_$${1}-$$N_{$2}}의 독립된 포아송 분포 랜덤 변수 두 개 사이의$$ 차이 $K{\displaystyle }$= N ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$- N ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $K=N_{1}-$$N_{$$2$}}에 대한 Skellam 분포의 확률 질량 함수는 다음을 통해 주어진다$$.

${\displaystyle p(k;\mu _{1},\mu _{2}=\Pr\{K=k\}=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})\left({\mu _{1} \mu _{2}}\오른쪽)^{k/2}I_{k}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}}}}$

여기서 I_k(z)는 첫 번째 종류의 변형된 베셀 함수다.k는 정수기 때문에 I_k(z)=I _k (z)가 있다.null

파생

평균 μ를 갖는 포아송 분포 랜덤 변수의 확률 질량 함수는 다음과 같다.

$\displaystyle p(k;\mu )={\mu ^{k} \over k!}e^{-\mu }\,}$

$k{\displaystyle }$≥ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle k\geq 0}($그 외에는 0).$두$ 개의 독립 계수 $K{\displaystyle }$= ${\displaystyle {N\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$의$$차이에 대한 스켈람 확률 질량 함수는 (Skellam, 1946)의 두 가지 포아송 분포의 콘볼루션이다$.$

${\displaystyle {\begin{aligned}p(k;\mu _{1},\mu _{2})&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }p(k+n;\mu _{1})p(n;\mu _{2})\\&=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\sum _{n=\max(0,-k)}^{\infty }{{\mu _{1}^{k+n}\mu _{2}^{n}} \over {n!(k+n)!}}}\end{정렬}}$

포아송 분포는 카운트의 음수 값에 대해 0이기 때문에( 0; )= 0) ${\displaystyle (p(N<0;\mu )=0$ $n{\displaystyle 0}$ 0$${\$displaysty n\geq$ 0$}$ 및$$${\displaystyle }n{\displaystyle }$ + k${\displaystyle \mathrm{k}}$ 0 ${\displaystystyle n+k\gq$ 0$\}$ .상기 합계가 다음과 같은 것을 함축하고 있음을 알 수 있다.

${\displaystyle {\p(k;\mu _{1},\mu _{2}}}{p(-k;\mu _{1}}}=\left\frac {\1}{1}{1}mu _{2}}: 오른쪽)^{k}}}$

따라서:

${\displaystyle p(k;\mu _{1},\mu _{2}=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2}}\좌측 \mu_{1}{1} \over \mu _{2}}\오른쪽)^{k/2}I_{k}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}}}}$

여기서 I (z)는 첫 번째 종류의 변형된 베셀 함수다.$\mu {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}}{2}}}$에 대한 특별한 경우는 어윈(1937)에 의해 다음과$$ 같다.

${\displaystyle p\left(k;\mu ,\mu \right)=e^{-2\mu }I_{ k}(2\mu).}$

작은 인수에 대해 수정된 베셀 함수의 제한 값을 사용하여 $\mu {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mu _{2}=0$에 대한 스켈람 분포의 특별한 경우로서 포아송 분포를 복구할 수 있다.

특성.

이산 확률 함수인 만큼 Skellam 확률 질량 함수는 다음과 같이 정규화된다.

${\displaystyle \sum _{k=-\infit }^{\p(k;\mu _{1},\mu _{2}=1).}$

포아송 분포의 확률 생성 함수(pgf)는 다음과 같다.

${\displaystyle G\left(t;\mu \right)=e^{\mu(t-1)}.}$

스켈람 확률 질량 함수에 대한 pgf, $G{\displaystyle (t;}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}\{\backslash$$displaystyle$ G($t;\mu _{1},\mu _{2}})$는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin}G(t;\mu _{1},\mu _{2}=\sum _{k=-\infit }^{p.{p;\mu _{1},\mu _{2}t^{k}\\[4pt]&&gt;=G\왼쪽(t;\mu _{1}\오른쪽)G\ft(1/t;\mu _{2}\오른쪽)\[4pt]&=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{1}t+\mu _{2}/t}\end{정렬}}}$

확률 생성 함수의 형태는 총액의 분포 또는 독립된 스켈람 분산 변수의 수만큼의 차이가 다시 스켈람 분산이라는 것을 의미한다는 점에 유의한다.때때로 두 개의 스텔람 분산 변수의 선형 결합이 다시 스텔람 분산이라고 주장하지만$,{\displaystyle }$ ± ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \pm 1}$ 이외의 승수는 어떤 스텔람 분포도 만족할 수 없는 방식으로 분포의 지지와 모멘트의 패턴을 변화시킬 것이기$$ 때문에 이는 분명 사실이 아니다.null

모멘트 생성 기능은 다음과 같이 제공된다.

${\displaystyle M\left(t;\mu _{1},\mu _{2}\오른쪽)=G(e^{t};\mu _{1},\mu _{2}}=\sum _{k=0}^{\t^{k}}\over k!}\,m_{k}}})$

즉_k, 원시 모멘트를 산출한다. 정의:

${\displaystyle \Delta \{\stackrel {\mathrm {def}}{=}\\mu _{1}-\mu _{2}\,}$

${\displaystyle \mu \\stackrel {\mathrm {def}}{=}\(\mu _{1}+\mu _{2}/,},}$

그러면 그 날순간_k m은

${\displaystyle m_{1}=\왼쪽.\Delta \right.\,}$

${\displaystyle m_{2}=\왼쪽.2\mu +\Delta ^{2}\right.\,}$

${\displaystyle m_{3}=\왼쪽.\Delta(1+6\mu +\Delta ^{2})\right.\,}$

중심 _k 순간 M은

${\displaystyle M_{2}=\왼쪽.2\mu \right,\,}$

${\displaystyle M_{3}=\왼쪽.\Delta \right,\,}$

${\displaystyle M_{4}=\왼쪽.2\mu +12\mu ^{2}\오른쪽..\,}$

평균, 분산, 왜도 및 첨도 초과 값은 각각 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\operatorname {E}(n)&=\Delta ,\[4pt]\sigma ^{2}=2\mu,\[4pt]\delta / (2\mu )^{3/2},\[4pt]감마 _{2&=1/1/2}\end{정렬}}}$

누적 생성 함수는 다음을 통해 제공된다.

${\displaystyle K(t;\mu _{1},\mu _{2})\\\stackrel {\mathrm {def}{}}}}\ln(M(t;\mu _{1}, \2})=\sum _{k=0}^{t^{k}\cover k!},\kappa _}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

누적액을 산출하는 방법:

$\displaystyle \kappa _{2k}=\왼쪽.2\mu \ \right.}$

$\displaystyle \kappa _{2k+1}=\왼쪽.\델타 \오른쪽..}$

μ₁ = μ인₂ 특별한 경우, 첫 번째 종류의 수정된 베셀 함수의 점증적 팽창은 큰 μ를 산출한다.

${\displaystyle p(k;\mu ,\mu )\sim {1 \over {\sqrt {4\pi \mu }}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\{4k^{2}-1^{2}\}\{4k^{2}-3^{2}\}\cdots \{4k^{2}-(2n-1)^{2}\} \over n!\,2^{3n}\,(2\mu )^{n}}\right].}$

(Abramowitz & Stegun 1972, 페이지 377).또한 이 특수한 경우에 k도 크면 2μ의 제곱근의 순서에 따라 분포가 정규 분포를 따르는 경향이 있다.

${\displaystyle p(k;\mu ,\mu )\sim {e^{-k^{2}/4\mu }\\\cH}\\\cH}\\\sqrt {4\pi \}}}}}}.}$

이러한 특별한 결과는 다른 수단의 보다 일반적인 사례로 쉽게 확장될 수 있다.null

0 이상의 무게에 대한 한계

$X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \mathrm{Skellam}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\mu \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle$ X$\sim \operatorname {Skellam}(\mu _{1},\mu$ $_{2$$})$가μ 1 < {\$displaystyle$ \$mu \$1}{2}}인 경우$,$

${\displaystyle {\frac {\exp(-({\sqrt {\mu _{1}}}-{\sqrt {\mu _{2}}})^{2})}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{2}}}-{\frac {e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}}{2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}}}}-{\frac {e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}}{4\mu _{1}\mu _{2}}}\leq \Pr\{X\geq 0\}\leq \exp(-({\sqrt {\mu _{1}}}-{\sqrt {\mu _{2}}})^{2})}$

자세한 내용은 포아송 분포#포아송 경주에서 확인할 수 있다.

참조

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (June 1965). Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables (Unabridged and unaltered republ. [der Ausg.] 1964, 5. Dover printing ed.). Dover Publications. pp. 374–378. ISBN 0486612724. Retrieved 27 September 2012.
• 어윈, J. O. (1937년) "같은 포아송 분포에 따른 두 독립 변수의 차이의 주파수 분포." 왕립통계학회 저널: 시리즈 A, 100(3), 415–416. JSTOR 2980526
• Karlis, D., Ntzoufras, I.(2003) "이변산 포아송 모델을 이용한 스포츠 데이터 분석"왕립통계학회지, 시리즈 D, 52(3), 381–393. doi:10.111/1467-9884.00366
• 카를리스 D.와 Ntzoufras I.(2006).카운트 데이터의 차이에 대한 베이지안 분석.의학의 통계, 25, 1885–1905. [1]
• Skellam, J. G. (1946) "두 포아송 변수의 차이에 대한 주파수 분포는 다른 모집단에 속한다."왕립통계학회지, 시리즈 A, 109(3), 296. JSTOR 2981372