열 커널

열전도 및 확산에 대한 수학적 연구에서, 열 커널은 적절한 경계 조건을 가진 특정 영역의 열 방정식에 대한 기본적인 해결책이다. 또한 라플라스 연산자의 스펙트럼 연구에 있어 주요 도구 중 하나이며, 따라서 수학물리학 전반에 걸쳐 어느 정도 보조적인 중요성을 갖는다. 열 낟알은 특정 온도(일반적으로 0)에서 경계가 고정되어 있는 지역의 온도 진화를 나타내며, 열 에너지의 초기 단위는 t = 0의 지점에 위치한다.

1차원 열 방정식의 기본 솔루션. 빨강: $\phi {\displaystyle \mathrm{}(x}$, t${\displaystyle }$)의 시간 코스 ${\displaystyle \Phi (x,t$ 파란색: 선택한 두 포인트에$$ 대한$\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle t}$) {\$displaystyle \Phi (x_{0}t)}$의 시간 코스. 대화형 버전.

가장 잘 알려진 열 커널은 d차원 유클리드 공간 R의^d 열 커널로, 시간변동 가우스 함수의 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle K(t,x,y)={\frac {1}{{d/2}}:e^{-\ x-y\ ^{2}/4t}\,}$

이것은 열 방정식을 해결한다.

${\displaystyle {\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta_{x}K(t,x,y)\,}$

모든 t > 0과 x,y ∈ R에^d 대하여, 여기서 Δ는 초기 조건을 가진 라플라크 연산자 이다.

${\displaystyle \lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta(x-y)=\delta _{x}(y)}$

여기서 Δ는 Dirac 델타 분포이며, 한계는 분포의 의미에서 취한다. 매끄러운 기능마다 콤팩트한 서포트,

${\displaystyle \lim_{t\to 0}\int_{\mathbf {R}^{d}K(t,x,y)\pi(y)\,dy=\phi(x)}$

R의^d 보다 일반적인 도메인 Ω에서는, 그러한 명시적 공식은 일반적으로 가능하지 않다. 디스크나 사각형의 다음으로 간단한 경우는 각각 베셀 기능과 자코비 세타 기능을 포함한다. 그럼에도 불구하고, 열 커널(예를 들어 디리클레 문제에 대한)은 여전히 존재하며 경계가 충분히 규칙적이면 임의의 도메인 및 실제로 경계가 있는 리만 다지관에서는 t > 0에 대해 부드럽다. 보다 정확히 말하면, 이러한 일반적인 도메인에서 디리클레 문제에 대한 열 커널은 초기 경계 값 문제의 해결책이다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta K(t,x,y){\text{ for all }}t>0{\text{ and }}x,y\in \Omega \\[6pt]&\lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta _{x}(y){\text{ for all }}x,y\in \Omega \\[6pt]&K(t,x,y)=0,\quad x\in \partial \Omega {\text{ or }}y\in \partial \Omega .\end{정렬}}}$

임의의 도메인에서 열 낟알에 대한 형식적인 표현을 도출하는 것은 어렵지 않다. 연결된 영역(또는 경계가 있는 다지관) U.의 디리클레 문제를 고려한다. λ_n 라플라시안 디리클레트 문제의 고유값이 되도록 한다.

${\displaystyle \left\{\begin{array}{ll}\Delta \phi +\lambda \phi =0&{\phi =0&{\text}}}}}}\partial U.\end{array}}\rig}\right.}$

φ은_n 연관된 고유 기능을 나타내며 L²(U)에서 정문으로 정규화되도록 한다. 역 디리클레 라플라시안 Δ는⁻¹ 콤팩트하고 자기 결합 연산자여서 스펙트럼 정리는 고유값이 만족한다는 것을 내포한다.

${\displaystyle 0<{n}}{2}\leq \leq \cdots,\cdots,\cdda _{n}\ft.}$

열 커널에는 다음과 같은 표현이 있다.

${\displaystyle K(t,x,y)=\sum _{n=0}^{\n=0}^{-\lambda _{n}t}\phi _{n}(x)\phi _{n}(y).}$

(1)

합계의 부호 아래 시리즈를 공식적으로 구별하는 것은 이것이 열 방정식을 만족시켜야 한다는 것을 보여준다. 그러나 이 시리즈의 정합성과 규칙성은 상당히 섬세하다.

또한 열 커널은 관련 적분 변환과 함께 식별되기도 하며, φ에 의해 압축적으로 지원되는 매끄러운 변환을 위해 정의된다.

${\displaystyle T\phi =\int _{\Oomega }K(t,x,y)\phi(y)\dy.}$

스펙트럼 매핑 정리는 형태에서 T의 표현을 제공한다.

${\displaystyle T=e^{t\Delta }}$

다지관의 열 낟알에 대한 몇 가지 기하학적 결과가 있는데, 예를 들어, 짧은 시간 무증상 약물, 긴 시간 무증상 약물, 가우스 유형의 상/하한이다.

참고 항목

• 열 커널 시그니처
• 미낙시순다람-플라이젤 제타 함수
• 멜러 커널
• Weierstrass 변환#일반화

참조

• Berline, Nicole; Getzler, E.; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operators, Berlin, New York: Springer-Verlag
• Chavel, Isaac (1984), Eigenvalues in Riemannian geometry, Pure and Applied Mathematics, vol. 115, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-170640-1, MR 0768584.
• Evans, Lawrence C. (1998), Partial differential equations, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0772-9
• Gilkey, Peter B. (1994), Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah–Singer Theorem, ISBN 978-0-8493-7874-4
• Grigor'yan, Alexander (2009), Heat kernel and analysis on manifolds, AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, vol. 47, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4935-4, MR 2569498