로그 로지스틱 분포

확률과 통계에서 로그 로지스틱 분포(경제학에서 Fisk 분포로 알려져 있음)는 음이 아닌 랜덤 변수에 대한 연속 확률 분포다. 그것은 예를 들어 진단이나 치료 후 암으로 인한 사망률과 같이 초기에 속도가 증가하고 나중에 감소하는 사건의 파라메트릭 모델로서 생존 분석에 사용된다. 또한 흐름과 강수량을 모델링하는 수문학, 부의 분배나 소득의 단순한 모델로서 경제학, 네트워크와 소프트웨어를 모두 고려한 데이터의 전송 시간을 모델링하는 네트워킹에도 이용되어 왔다.

로그 로지스틱 분포는 로그에 로지스틱 분포가 있는 랜덤 변수의 확률 분포다. 로그 정규 분포와 모양은 비슷하지만 꼬리가 더 무겁다. 로그 정규식과 달리 누적 분포 함수는 닫힌 형태로 작성할 수 있다.

특성화

사용 중인 분포에는 몇 가지 다른 매개변수가 있다. 여기에 표시된 것은 합리적으로 해석 가능한 매개변수와 누적 분포 함수에 대한 단순한 형태를 제공한다.^[3][4] 매개변수 > ${\displaystyle \alpha >0}$은 척도 파라미터로, 분포의 중위수도 된다. 파라미터 > ${\displaystyle \beta >0}$은 형상 파라미터다. 는 > 1 ${\displaystyle \beta >1}$일 때 단일하며, β ${\displaystyle \beta }$이(가) 증가하면 분산은 감소한다.

누적분포함수는

${\displaystyle{\begin}F(x;\alpha ,\beta )&={1 \over 1+(x/\alpha )^{-\beta }\\5pt]={x/\alpha )^{\beta }{}\beta }\\}={x^{\cHB } \over \cHB \cHB }+x^{\pair{}\end{aigned}}}}$

서 > 0 ${\displaystyle x>0$$},$> 0 ${\displaystyle \exput$ >0$},$ > ${\displaystyle \expect >0.$ {\displaystyle \put$}$

확률밀도함수는

${\displaystyle f(x;\reason ,\reason )={\frac {(\fract /\reason )^{\president -1}{\president -1}{1+(x/\reason )^{\n1}:{2}}:$

대체 매개 변수화

대체 파라미터는 로지스틱 분포와$$ 유사하게${\displaystyle \mu }$, s {\$displaystyle \mu$ ,s$}$쌍 $\mu {\displaystyle }$ , s에 의해 주어진다.

$\displaystyle \mu =\ln(\ln)(\displayst$

${\displaystyle s=1/\properties }$

특성.

순간

$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$의 원시 모멘트는 < , ${\displaystyle k<\beta ,}$이^[5][6](가) 주어졌을 때만 존재한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{k})&=\alpha ^{k}\operatorname {B} (1-k/\beta ,1+k/\beta )\\[5pt]&=\alpha ^{k}\,{k\pi /\beta \over \sin(k\pi /\beta )}\end{aligned}}}$

여기서 B는 베타 함수다. 평균, 분산, 왜도 및 첨도에 대한 표현은 여기서 파생될 수 있다. $쓰기$ b =${\displaystyle /}$ / ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle$ b$=\pi /\beta$} 편의상, 평균은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {E}(X)=\알파 b/\sin b,\quad \beta >1,}$

그리고 그 차이는

${\displaystyle \operatorname {Var}(X)=\알파 ^{2}\왼쪽(2b/\sin 2b-b^{2}/\sin ^{2}b\오른쪽),\quad \beta >2.}$

왜도와 첨도에 대한 노골적인 표현은 길다.^[7] $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$이(가) 무한대 경향이$$ 있기 때문에 평균은 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$ $\},$ 분산과 왜도는 0이 되고, 과도한 첨도는 6/5가 되는 경향이 있다(아래 관련 분포 참조).

퀀텀스

계량함수(누적분포함수 역)는 다음과 같다.

${\displaystyle F^{-1}(p;\alpha ,\beta )=\alpha \left({\frac {p}{1-p}\오른쪽)^{1/\beta }}$

중위수는 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$ $\},$ $하위{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 사분위는 ${\displaystyle 3^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle {\beta }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ 3$^{-1/\beta }\alpha },$ 상위$$ 사분위는 3 /${\displaystyle {\beta }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$α {\$displaystystyle 3$^{1$/\beta$}}\alpha$$}}}.

적용들

생존 분석

로그 로지스틱 분포는 생존 분석을 위한 하나의 모수 모델을 제공한다. 더 일반적으로 사용되는 Weibull 분포와 달리 비단조 위험 함수를 가질 수 있다: > ,${\displaystyle \beta >1,}$ 위험 함수는 단조롭게 감소한다($\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$ ≤$$ 1). 누적분포함수를 폐쇄형식으로 작성할 수 있다는 사실은 특히 관측 중단이 있는 생존 데이터의 분석에 유용하다.^[8] 로그 로지스틱 분포는 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alph}$이(가) 그룹마다 다르도록$$ 허용함으로써 가속된 고장 시간 모델의 기초로 사용할 수 있으며, 또는 보다 일반적으로 ${\displaystyle \alpha }$$${\$displaystyle \alpha$$$${\displaystyle \}}$에 영향을 $미치지만{\displaystyle }$${\displaystyle }$β {\$displaysty \$)가 아닌 공변량을 도입하여 사용할 수 있다.공변량의 선형 함수로서$$ $pha )}.$^[9]

생존 기능은

${\displaystyle S(t)=1-F(t)=[1+(t/\alpha )^{\beta }^{\beta }}^{-1},}$

그래서 위험 함수는

${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}}{S(t)}}}={\frac {(\beta /\alpha )^{\beta -1}{1+(t/\alpha )^{\beta}}}}}.}$

형상 모수 ${\displaystyle \mathrm{\beta }}$= 1 ${\displaystyle \beta =$1}을$($를) 갖는 로그 로지스틱 분포는 기하 분포 계산 프로세스에서 시간 간 분포의 한계 분포다$$.^[10]

수문학

로그 로지스틱 분포는 하천 유량과 강수량을 모델링하기 위해 수문학에서 사용되어 왔다.^[3][4]

최대 일일 강우량 및 하천 유량과 같은 월별 또는 연도별 극단값은 로그 정규 분포를 따르는 경우가 많다.^[11] 그러나 로그 정규 분포에는 숫자 근사치가 필요하다. 분석적으로 해결할 수 있는 로그 로지스틱 분포가 로그 정규 분포와 비슷하기 때문에 대신 사용할 수 있다.

파란색 그림은 로그 로지스틱 분포를 최대 10월 1일 강우량에 맞추는 예를 보여주고 있으며, 이항 분포를 바탕으로 90% 신뢰 벨트를 보여준다. 강우 데이터는 누적 주파수 분석의 일부로 플롯 위치 r/(n+1)로 표시된다.

경제학

로그 로지스틱은 경제에서 부의 분배 또는 소득 분배의 단순한 모델로 사용되어 왔으며, 여기서 그것은 Fisk 분배라고 알려져 있다.^[12] $지니계수$는 1 /${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle$ 1$/\beta }$ 입니다$.$^[13]

네트워킹

로그 로지스틱스는 일부 데이터가 컴퓨터의 소프트웨어 사용자 응용프로그램을 떠나 다른 컴퓨터, 응용 프로그램 및 네트워크 세그먼트를 통과하여 처리된 후 같은 응용 프로그램에 의해 응답이 수신되는 초기 기간 동안 모델로서 사용되어 왔으며, 그 대부분은 하드 실시간 보장(fo)이 없다.r 예: 응용 프로그램이 인터넷에 연결된 원격 센서에서 나오는 데이터를 표시하는 경우). 그것은 로그 정규 분포나 그 밖의 것들보다 더 정확한 확률론적 모델로서, 그 시대적 순서에서 급격한 체제 변화가 적절히 감지되는 한, 그것보다 더 정확한 확률론적 모델이다.^[14]

관련 분포

• $X{\displaystyle }$~ L ${\displaystyle L}$(${\displaystyle \alpha }$ ,${\displaystyle \beta }$) ${\displaystyle X\sim$ ${\displaystyle \mathrm{LL}}$$(\alpha ,\beta )}$인 경우, ${\displaystyle K}$~ ${\displaystyle L}$(${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha }$ ,${\displaystyle \beta }$)${\displaystyle }$. ${\displaysty kX\sim LL(k\alpha ,\beta$) .$}$
• $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$(${\displaystyle \alpha }$ ,${\displaystyle \beta }$) ${\displaystyle X\sim$ ${\displaystyle \mathrm{LL}}$$(\alpha ,\beta )}$인 경우, ${\displaystyle 1}$ / ${\displaystyle X}$~ L${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$ /${\displaystyle \alpha }$ ,${\displaystyle \beta }$) ${\displaystyle 1$/X$\sim LL(1/\alpha$,\$beta$ $)\}.$
• ${\displaystyle L}$(${\displaystyle \alpha }$ ,${\displaystyle \beta }$)${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \text{Dagum}}$(${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ )${\displaystyle LL(\alpha ,\beta )\sim${\$textrm {Dagum}(1,\alpha$,\$beta )}($다금 분포).
• ${\displaystyle L}$(${\displaystyle \alpha }$ ,${\displaystyle \beta }$) ~${\displaystyle \text{SinghMaddala}}$(${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \alpha }$ ,${\displaystyle \beta }$) ${\displaystyle LL(\alpha ,\beta )\심 {\textrm {SinghMaddala}}(1,\alpha ,\beta )}($싱-Maddala 분포).
• ${\displaystyle \text{LL}}$(${\displaystyle \gamma }$ ,${\displaystyle \sigma }$ )${\displaystyle }$~ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \gamma }$, ${\displaystyle \sigma }$) ${\displaystyle {\textrm {LL}(\gamma ,\sigma )\심 \beta '(1,1,\gamma ,\sigma )}($베타 프라임 분포).
• X가 스케일 매개 변수 $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle \alpha$}과$$ 형상 매개 변수 $\beta {\displaystyle }${\$displaystyle \beta }$을(를) 포함하는 로그 로지스틱 분포를 갖는 경우, Y = log(X)는$$ 위치 매개 변수 ${\displaystyle \mathrm{로그}\alpha }$($$\$displaystyle \log$(\$alpha )$와 척도$변수$ 1 /${\displaystyle \beta }$. {\$displaystybeta.$
• 로그 로지스틱 분포의 형상$$ 모수 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$이(가) 증가함에 따라 모양이 점점 (매우 좁은) 로지스틱 분포와 닮아간다. 비공식적으로:

${\displaystyle LL(\alpha ,\beta )\to L(\alpha ,\alpha /\beta )\quad {\text{as}\qad \beta \to \inft.}$

• 형상 모수 $\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \beta =1}$ 및 척도 모수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이(가$)$ 있는 로그 로지스틱 분포는 위치 모수 ${\displaystyle \mathrm{\mu }}$= 0 ${\displaysty$ $\mu$$$=$0$$\},$ 형상 모수${\displaystyle \mathrm{\mu }}$ = 1 ${\$$displaystyparameter$ $\alpha {\displaystyle }$: ${\$ci1} 및 척도 일반화된 파레토 분포와 동일하다$$.$tyle \reason :}$

$[\displaystyle LL(\alpha ,1)=GPD(1,\alpha ,1)]}$

• 다른 파라미터(시프트 파라미터)를 추가하면 공식적으로 이동 로그 로지스틱 분포가 발생하지만, 이는 일반적으로 다른 파라미터로 간주되어 분포가 아래쪽으로 경계 또는 경계될 수 있다.

일반화

특수한 경우 로그 로지스틱 분포를 포함하기 때문에 몇 가지 다른 분포를 일반화된 로그 로지스틱 분포라고 부르기도 한다.^[13] 여기에는 Burr Type XII 분포(Singh-Maddala 분포라고도 함)와 Dagum 분포가 포함되며, 두 가지 모두 두 번째 형상 모수를 포함한다. 두 가지 모두 두 번째 종류의 훨씬 더 일반화된 베타 배포의 특별한 경우다. 로그 로지스틱의 또 다른 간단한 일반화는 이동된 로그 로지스틱 분포다.

또 다른 일반화된 로그 로지스틱 분포는 메탈로그 분포의 로그 변환으로, $여기$서 p ${\displaystyle p}$의 측면에서 파워 시리즈 확장이 로지스틱 분포 변수 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$ $및$ {$${\$displaystyle \sigma }$으로 대체된다$.$ 그 결과 로그-metalog 분포는 매우 형상 플뢰도가 높다.xible은 단순 폐쇄형 PDF 및 퀀텀 기능을 가지며 선형 최소 제곱이 있는 데이터에 적합할 수 있으며 로그 로지스틱 분포가 특별한 경우라고 가정한다.

참고 항목

• 확률 분포: 반무한 구간에서 지원되는 중요한 분포 목록

참조