라돈 측정법

수학(특히 측정 이론상)에서 요한 라돈의 이름을 딴 라돈 측정은 모든 콤팩트 세트에 유한한 하우스도르프 위상학적 공간 X의 σ-알게브라, 모든 보렐 세트에 대한 외측 정규, 오픈 세트에 대한 내측 정규에 관한 측정이다.^[1]이러한 조건들은 이 측정치가 공간의 위상과 "호환적"임을 보증하며, 수학적 분석과 수적 이론에 사용되는 대부분의 측정은 실로 라돈 측정이다.

동기

일반적인 문제는 어떤 의미에서 위상과 호환되는 위상학적 공간에서 척도의 좋은 개념을 찾는 것이다.이를 위한 한 가지 방법은 위상학적 공간의 보렐 집합에 대한 측정을 정의하는 것이다.일반적으로 이러한 조치에는 몇 가지 문제가 있다. 예를 들어 그러한 조치가 제대로 정의된 지원을 갖지 못할 수 있다.이론 측정에 대한 또 다른 접근방식은 국소적으로 압축된 하우스도르프 공간으로 제한하고, 콤팩트한 지지를 받는 연속 기능의 공간에 대한 양의 선형 함수에 해당하는 측도 고려하는 것이다(일부 저자는 이것을 라돈 측정의 정의로 사용한다).이것은 병리학적 문제가 없는 좋은 이론을 만들어내지만, 국소적으로 압축되지 않은 공간에는 적용되지 않는다.비음극성 조치의 제약이 없고 복잡한 조치가 허용된다면, 라돈 조치는 콤팩트한 지지로 지속적인 기능의 공간에 대한 연속 이중공간으로 정의할 수 있다.그러한 라돈 측정치가 실제라면 두 가지 양성 측정값의 차이로 분해될 수 있다.또한 임의의 라돈 측정은 네 가지 양의 라돈 측정으로 분해될 수 있으며, 기능의 실제와 상상의 부분은 각각 두 가지 양의 라돈 측정의 차이점이다.

라돈 측정 이론은 국지적으로 콤팩트한 공간에 대해 통상적인 이론의 좋은 성질을 대부분 가지고 있지만, 모든 하우스도르프 위상학적 공간에 적용된다.라돈 측정의 정의는 양의 기능에 해당하는 국소적 소형 공간에 대한 측정의 특성을 나타내는 일부 특성을 찾아 임의의 하우스도르프 공간에 대한 라돈 측정의 정의로 활용하는 것이다.

정의들

보렐의 σ-algebra에 대한 측정이 될 수 있도록 하우스도르프 위상학적 공간 X.

모든 오픈 세트 U에 대해 m(U)이 U의 모든 콤팩트 서브셋 K에 대한 m(K)의 우월성이라면 측정 m은 내부 정규 또는 타이트한 것으로 불린다.

보렐 세트 B에 대해 B를 포함하는 모든 오픈 세트 U에 대해 m(B)의 최소값이 m(U)이면 측정 m을 외부 정규 값이라고 한다.

측정 m은 X의 모든 지점이 m(U)이 유한한 근린 U를 갖는 경우 국소적으로 유한하다고 불린다.

m이 국소적으로 유한하다면, 그것은 m이 콤팩트 세트에 유한하다는 것을 따르고, 국소적으로 컴팩트한 하우스도르프 공간의 경우, 역도 또한 유지된다.
따라서 이 경우 국소 정밀도는 소형 하위 집합의 정밀도로 동등하게 대체될 수 있다.

측정 m은 내측 규칙적이고 국소적으로 유한한 경우 라돈 측정이라고 한다.국소 소형 공간에 대한 유한 측정과 같은 많은 상황에서 이는 외부 규칙성(라돈 공간 참조)을 의미하기도 한다.

(근본적으로는 '컴팩트'라는 단어를 도처에서 '폐쇄 콤팩트'로 대체함으로써, 라돈 대책의 이론을 하우스도르프가 아닌 공간으로 확장할 수 있다.그러나 이 연장에는 거의 적용이 없는 것 같다.)

국소적 소형공간에 대한 라돈측정법

기초 측정 공간이 국소적으로 콤팩트한 위상학적 공간인 경우, 라돈 측정의 정의는 콤팩트한 지지로 연속적인 기능의 공간에 연속적인 선형 함수의 관점에서 표현될 수 있다.이를 통해 기능 분석, 부르바키(2004) 하브텍스트 오류에 의해 취해진 접근방식: 목표 없음: CITREFBourbaki2004(도움말)^[which?] 및 다수의 다른 저자의 관점에서 측정과 통합을 개발할 수 있다.

방안

X 다음에 나오는 것은 국소적으로 콤팩트한 위상학적 공간을 나타낸다.X에 콤팩트한 지원을 하는 연속적 실질 가치 함수는 벡터 공간 $K{\displaystyle \mathcal{}(}$ ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle C_{}}$ $){\displaystyle {\mathcal{K}(X)=C_{C}(X)}$를 형성하는데$,$ 이는 자연적인 국소 볼록 위상을 부여할 수 있다.실제로 $K{\displaystyle \mathcal{}(X}$) ${\displaystyle {\mathcal {K}(X)}$은(는) 연속함수 $K$${\displaystyle (X,}$ ${\displaystyle K)}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}(X,$ K$)$의 공간과 콤팩트 세트 K에 포함된 지원을 결합한 것이다$$.각각의 공간 $K{\displaystyle \mathcal{}}$(${\displaystyle X}$, K${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal{K}}(X,K)$는 자연스레 균일한 수렴의 위상을 전달하여$$ 바나흐 공간으로 만든다.But as a union of topological spaces is a special case of a direct limit of topological spaces, the space ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X)}$ can be equipped with the direct limit locally convex topology induced by the spaces ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,K)}$; this topology is finer than the topology of균일한 수렴

m이 $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X,}$에 대한 라돈 측정인 경우 매핑$$

$\displaystyle I:f\mapsto \int f\,dm}$

$K{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle {\mathcal {K}(X)}$에서 R까지 연속적인 양의 선형 지도.긍정은 f가 음이 아닌 함수일 때마다 I(f) ≥ 0을 의미한다.위에서 정의한 직접 한계 위상에 관한 연속성은 다음 조건과 동등하다: X의 모든 콤팩트 서브셋 K에 대해, K에 포함된 지원으로 X의 모든 연속적인 실질 가치 함수 f에 대해, 상수 M이_K 존재한다.

${\displaystyle I(f) \leq M_{K}\sup _{x\in X}f(x) .}$

반대로, Riesz-Markov-Kakutani 표현 정리에 의해${\displaystyle ,}K{\displaystyle \mathcal{}}$ ( ${\displaystyle X}$ $){\displaystyle$ {\$mathcal{K$}(X$)}$에 있는 각각의 양의 선형 형태는 고유한 정규 보렐 측정에 관한 통합으로 발생한다$$.

실제 값 라돈 측정치는 $K{\displaystyle \mathcal{}}$( $){\displaystyle {\mathcal{K}(X)}$에 대한 모든 연속 선형 형태라고 정의된다$.$ 정확히 두 라돈 측정치의 차이점이다.이를 통해 국소 볼록한 $공간{\displaystyle \mathcal{}}$K (${\displaystyle X}$ $){\displaystyle${\$mathcal{K}(X)}$의 이중 공간으로 실제 값 라돈 측정값을 확인할 수 있다$.$이런 실질가치의 라돈 대책은 서명할 필요가 없다.예를 들어 sin(x)dx는 실질가치의 라돈 측정치지만, 적어도 한 개 이상은 유한한 두 측정치의 차이로 쓸 수 없기 때문에 연장 서명된 측정치조차 아니다.

일부 저자들은 (${\displaystyle \mathrm{긍정적}}$) $라돈{\displaystyle \mathcal{}}$ 측정을 K$$( X${\displaystyle }$){\$displaystyle$ {\$mathcal{K}}}$의 양의 선형 형태라고 정의하기 위해 선행 접근법을 사용한다$;$ 부르바키(2004) 하브트xt 오류: 대상이 없음: CITREFBourbaki2004 (도움말),^[which?] 휴이트 & 스트롬버그(1965) 또는 디우도네(1970)를 참조한다.본 설정에서는 위의 의미에서의 라돈 대책을 양성 측정이라고 하고, 상기와 같은 실질 가치 라돈 측정을 (실제) 측정이라고 하는 용어를 사용하는 것이 일반적이다.

통합

기능분석적 관점에서 국소적 공간에 대한 측정 이론의 구축을 완료하려면, 압축적으로 지원되는 연속 기능에서 측정(통합)을 확장할 필요가 있다.이는 다음과 같은 몇 가지 단계로 실제 또는 복합적인 가치 함수에 대해 수행할 수 있다.

1. 콤팩트하게 지원되는 연속함수 h μg에 대한 양수 μ(h)의 우월성(잠재적치)으로서 하한 반비콘틴 양성(실제값) 함수 g의 상위 적분 μ*(g)의 정의
2. 임의의 양의(실제 값) 함수 f에 대한 상위 적분 μ*(f)를 하위 반연속 함수에 대한 상위 적분 μ*(g)의 최소값으로 정의
3. 벡터 공간 F = F(X, μ)의 정의는 절대값의 상위 적분 μ*(f )가 유한한 X에 대한 모든 함수 f의 공간이며, 절대값의 상위 적분은 F에 대한 준규범을 정의하며, F는 준규범에 의해 정의된 위상에 관한 완전한 공간이다.
4. 연속적으로 압축적으로 지원되는 기능 공간의 F 내부 폐쇄로서 통합 가능한 기능의 공간¹ L(X, μ)의 정의
5. 연속성에 의한 확장으로서¹ L(X, μ)의 기능에 대한 적분 정의(L¹(X, μ)의 위상과 관련하여 μ가 연속적인지 확인한 후)
6. 집합의 표시기 함수의 적분(존재하는 경우)으로 집합의 측도를 정의한다.

X의 각 보렐 집합에 숫자를 할당하는 함수로 정의한 라돈 측정에서 시작하는 이론과 동일한 이론을 이 단계들이 생성하는지 검증할 수 있다.

R에 대한 Lebesgue 측정은 이 기능분석적 설정에서 몇 가지 방법으로 도입될 수 있다.첫째, 통합의 모든 기본 정의에 통합할 수 있기 때문에, 그것은 Daniel 일체형 또는 Riemann 일체형 같은 "초소형" 일체형에 의존할 수 있다.기초 통합에 의해 정의되는 조치(위에서 정의한 의미)는 정확하게 르베그 조치다.둘째, 리만이나 다니엘의 적분이나 그 밖의 유사한 이론에 의존하지 않으려면 먼저 하르 측정의 일반 이론을 전개하여 레베그 측정치를 정상화 조건 λ([0,1] = 1)을 만족하는 R에 대한 하르 측정 λ으로 정의할 수 있다.

예

다음은 라돈 대책의 모든 예다.

• 유클리드 공간에 대한 르베그 측정(보렐 하위 집합에 제한됨)
• 국소 소형 위상학 그룹에 대한 해어 측정
• 위상학적 공간에 대한 디랙 측정.
• 보렐 시그마 대수학으로$$ 유클리드 공간 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$에 대한 가우스 측정.
• 모든 폴란드 공간의 보렐 집합의 σ-알지브라에 대한 확률 측정.이 예는 앞의 예를 일반화할 뿐만 아니라, [0,1] 간격의 실제 값 연속함수의 공간에 대한 Wiener 측정과 같이 비로직적으로 컴팩트한 공간에 대한 많은 측도를 포함한다.
• $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 측정은 국소적으로 유한한 보렐 측정치인 경우에만 라돈 측정이다$$.

다음은 라돈 대책의 예가 아니다.

• 유클리드 공간에 대한 계수 측정은 국소적으로 유한하지 않기 때문에 라돈 측정치가 아닌 측정의 예다.
• 최대 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$과 동일한 서수의 공간, 순서 위상이 있는 최초의 언카운트할 수 없는 서수는 소형 위상학적 공간이다$.$1포인트 세트${\displaystyle }${${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{\Omega }\}\{\backslash }$$displaystyle \1,\Oomega$ 또는 0을(를) 포함하는 모든 보렐 세트에서 1과 같은 측정값은 보렐이지만 라돈은 아니다. 원포인트 세트 {${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$$}{\displaystyle \{\Oomega \}}}$은(는)은$$ 측정치가 0이지만 열려 있는 인접 영역은 측정치가 1이다.슈워츠(1974, 페이지 45)를 참조하라.
• X는 반쯤 열린 간격{ [ a ,): a< 1 $}$ {\$displaystyle \{[a,b):0\leq a<b\leq$ 1의 집합에 의해 생성된 토폴로지를 갖춘 간격[0, 1)이 되도록 한다.이 위상은 때때로 소르겐프리 선이라고 불린다.이 위상학적 공간에서 표준 르베그 측정치는 내부 정규식이 아니기 때문에 라돈이 아니다. 왜냐하면 컴팩트 세트는 기껏해야 셀 수 있기 때문이다.
• Z를${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,1]($또는 모든 폴란드 공간)에 설정된 번스타인이 되게 하라.Z에 설정된 콤팩트 세트는 카운트할 수 있으므로 Z의 지점에서 사라지는 측정치는 라돈 측정치가 아니다.
• $({\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$)${\$ $}}}$에 대한$$ 표준 제품 측정값${\displaystyle \cappa$ }}}은(는) 라돈 측정값이 아니며$$, 이는 각각 1보다 짧고 셀 수 없이 많은 폐쇄된 제품 내에 포함되기 때문이다.

우리는 직관적으로 라돈 측정은 르베그 측정과 디락 측정의 특성을 모두 가지고 있기 때문에 특히 레비 공정과 관련된 수학적 금융에 유용하다는 점에 주목한다. 르베그 측정과 달리, 한 점에 라돈 측정치가 반드시 0 측정치가 되는 것은 아니다.^[2]

기본 속성

감속된 라돈 대책

공간 X에서 라돈 측정값 m이 주어지면, 우리는 (보렐 세트에서) 다른 측정값 M을 정의 할 수 있다.

${\displaystyle M(B)=\inf\{m(V)\mid V{\text{}는 }B\subseteq V\subseteq X\}이(가) 있는 오픈 세트다.$

M 측정치는 외부 정규이고 국소적으로 유한하며, 개방형 집합의 경우 내부 정규이다.컴팩트 세트와 오픈 세트의 m과 일치하며, 컴팩트 세트에서 M과 동일한 고유한 내측 정규 측정치로 M으로부터 m을 재구성할 수 있다.M이 σ-핀라이트인 경우 m 측정치를 modulated라고 한다. 이 경우 m과 m은 동일하다.(m이 σ-finite인 경우 이는 M이 σ-finite라는 것을 의미하지 않기 때문에 σ-finite보다 절제되는 것이 더 강하다.)

유전적으로 린델뢰프 공간에서는 모든 라돈 측정치가 완화된다.

σ-완료되지만 완화되지는 않은 측정치 m의 예는 부르바키(2004, 섹션 1의 연습 5) 하브텍스트 오류: 대상이 없음: CITREFBourbaki2004 (도움말)^[which?]에 의해 다음과 같이 제시된다.위상 공간 X는 점의 Y 축(0,y)에 의해 주어진 실제 평면의 부분 집합과 m,n 양의 정수를 가진 점(1/n,m/n²)을 기초적으로 설정한다.위상은 다음과 같이 주어진다.단일점(1/n,m/n²)은 모두 오픈 세트다.점의 주변(0,y)의 베이스는 양의 정수 n에 대해 v - y u u ≤ 1/n로 형태(u,v)의 X의 모든 점으로 구성된 웨지에 의해 주어진다.이 공간 X는 국소적으로 좁다.측정 m은 y축이 측정값 0을 갖도록 하고, 점(1/n,m²/n)이³ 측정값 1/n을 갖도록 하여 주어진다.이 측정은 내측 정규 및 국부적으로 유한하지만 Y축을 포함하는 모든 오픈 세트가 무한을 측정하므로 외측 정규가 아니다.특히 y축에는 m-측정 0이 있지만 m-측정 무한도가 있다.

라돈 공간

위상 공간은 유한한 보렐 측정치가 라돈 측정치라면 라돈 공간, 국소 유한한 보렐 측정치가 라돈 측정치라면 강한 라돈으로 불린다.모든 서슬린 공간은 강한 라돈이며, 더욱이 모든 라돈 측정은 완화된다.

이중성

국소적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간에서 라돈 측정은 콤팩트한 지지로 연속 기능 공간에 대한 양의 선형 함수에 해당한다.이 재산이 라돈 대책 정의의 주요 동기인 만큼 놀라운 일도 아니다.

미터법 공간 구조

The pointed cone ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{+}(X)}$ of all (positive) Radon measures on ${\displaystyle X}$ can be given the structure of a complete metric space by defining the Radon distance between two measures ${\displaystyle m_{1},m_{2}\in {\mathcal {M}}_{+}(X)}$되려고

${\displaystyle \rho(m_{1},m_{2}):=\supp \왼쪽\{\왼쪽.\int _{X}f(x)\,d(m_{1}-m_{2})(x)\ \right \mathrm {continuous\,}f:X\to [-1,1]\subset \mathb {R}\right\}.}$

이 미터법에는 몇 가지 제한이 있다.예를 들어, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 라돈 확률 측정 공간$,$

${\displaystyle {\mathcal{P}(X):=\{m\in {\mathcal {M}_{+}(X)\mid m(X)=1\}}}$

라돈 측정지표에 대해 순차적으로 압축되지 않는다. 즉, 어떤 일련의 확률 측정이 라돈 측정지표에 대해 수렴되는 연속성을 갖는다는 것은 보장되지 않으며, 이는 특정 적용에 어려움을 나타낸다.한편, $X{\displaystyle }${\$displaystyle$X}이$$(${\displaystyle 가}$) 소형 메트릭스 공간이라면$,$ 와서스틴 메트릭은 P ( X )$displaystyle {\mathcal$ {\p$}(X)}$을(를) 소형$$ 메트릭 공간으로 바꾼다.

라돈 측정 기준의 수렴은 측정값의 수렴이 약하다는 것을 의미한다.

${\displaystyle \rho (m_{n}m)\to 0\Rightarrow m_{n}\rightarpoonup m,}$

그러나 역 함축적 의미는 일반적으로 거짓이다.라돈 측정 기준에서 조치의 수렴은 약한 수렴과 대조적으로 강한 수렴이라고 알려져 있다.

참조

• Bourbaki, Nicolas (2004a), Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1

라돈 측정 이론의 기능 분석적 개발 및 국소 소형 공간에 통합.

• Bourbaki, Nicolas (2004b), Integration II, Springer Verlag, ISBN 3-540-20585-3

하아르 측정: 일반 하우스도르프 공간에 대한 라돈 측정 및 보렐 시그마-알지브라에 대한 선형 함수 측면에서의 정의와 국소적으로 유한한 내부 정규 측정 간의 동등성.

• Dieudonné, Jean (1970), Treatise on analysis, vol. 2, Academic Press

Bourbaki 접근법의 단순화된 버전을 포함하며, 분리 가능한 메트리징 가능 공간에 정의된 측정에 특화되어 있다.

• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and abstract analysis, Springer-Verlag.
• König, Heinz (1997), Measure and integration: an advanced course in basic procedures and applications, New York: Springer, ISBN 3-540-61858-9
• Schwartz, Laurent (1974), Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures, Oxford University Press, ISBN 0-19-560516-0

외부 링크

• R. A. Minlos (2001) [1994], "Radon measure", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press