연속체 역학

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시리즈의 일부
연속체 역학
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi}{displaystyle}}$ 픽의 확산 법칙
법률 보수 덩어리 모멘텀 에너지 불평등 클라우시우스듀헴(엔트로피)
고체 역학 변형 탄력성 선형의 소성 후크의 법칙 스트레스 유한 변형률 미량 변형률 호환성. 구부러지다 컨택 메카니즘 마찰의 재료고장론 파괴 역학
유체역학 유체 스태틱스 · 다이내믹스 아르키메데스의 원리 · 베르누이의 원리 나비에-스토크스 방정식 푸아세유 방정식 · 파스칼의 법칙 점성 (뉴욕 · 비뉴욕) 부력 · 믹싱 · 압력. 액체 접착 모세관 작용 크로마토그래피 응집력(화학) 표면 장력 가스 대기. 보일의 법칙 샤를의 법칙 복합가스 법칙 픽의 법칙 게이-루삭의 법칙 그레이엄의 법칙 플라즈마
레올로지 점탄성 레오메트리 레오미터 스마트 유체 전기기후학 자기 지질학 강유체
과학자 베르누이 보일 코시 찰스 오일러 픽 게이루삭 그레이엄 후크 뉴턴 경이다. 나비에 놀 파스칼 스토크스 트루즈델
v t

연속체 역학은 이산 입자가 아닌 연속 질량으로 모델링된 물질의 기계적 거동을 다루는 역학 분야입니다.프랑스의 수학자 오귀스틴 루이 코시는 19세기에 이러한 모형을 최초로 만들었다.

설명.

시리즈의 일부
고전 역학
$({displaystyle {textbf {F}}=squalfrac {d}{dt}})(m*textbf {v}})$ 운동 제2법칙
역사 타임라인 교재
나뭇가지 응용의 천상의 연속체 다이내믹스 운동학 동력학 스태틱스 통계
기초 액셀러레이션 각운동량 커플 달랑베르의 원리 에너지 동적인 잠재적인 힘. 기준범위 관성 기준 프레임 충동 관성/관성 모멘트 덩어리 기계력 기계 작업 순간. 모멘텀 공간 스피드 시간을 토크 속도 가상 작업
제제 뉴턴의 운동 법칙 해석역학 라그랑주 역학 해밀턴 역학 루시아 역학 해밀턴-야코비 방정식 아펠 운동 방정식 쿱만-본 노이만 역학
주요 토픽 감쇠비 변위 운동 방정식 오일러의 운동 법칙 가공의 힘 마찰 고조파 발진기 관성/비관성 기준 프레임 평면 입자 운동 역학 움직임(선형) 뉴턴의 만유인력의 법칙 뉴턴의 운동 법칙 상대 속도 강체 역학 오일러 방정식 단순 고조파 운동 진동
회전 원운동 회전 기준 프레임 구심력 원심력 반응성 코리올리 힘 진자 접선 속도 회전 속도 각도 가속도/변위/주파수/속도
과학자 케플러 갈릴레오 호이겐스 뉴턴 경이다. 호록스 핼리 모페르튀이 다니엘 베르누이 요한 베르누이 오일러 달랑베르 클라이어트 라그랑주 라플라스 해밀턴 포아송 코시 러스 리우빌 어필 깁스 쿠프만 폰 노이만
물리 포털 카테고리
v t

연속체 모형은 물체의 실체가 차지하는 공간을 채운다고 가정한다.이러한 방식으로 물체를 모델링하는 것은 물질이 원자로 이루어져 연속적이지 않다는 사실을 무시합니다. 그러나 원자간 거리보다 훨씬 더 긴 길이의 척도로, 그러한 모형은 매우 정확합니다.이러한 모델은 질량 보존, 운동량 보존 및 에너지 보존과 같은 물리적 법칙을 사용하여 이러한 물체의 동작을 설명하는 미분 방정식을 도출하는 데 사용될 수 있으며, 물질에 대한 일부 정보는 구성 관계에 의해 제공됩니다.연속체 역학은 고체 및 유체가 관측되는 특정 좌표계와는 독립적인 물리적 특성을 다룬다.그런 다음 물리적 특성은 좌표계로부터 독립적인 특성을 가진 수학적 객체인 텐서로 표현됩니다.좌표계를 사용하면 이러한 텐서를 계산적으로 표현할 수 있습니다.

연속체의 개념

공간은 고체, 액체, 그리고 기체를 구성하는 분자를 분리한다.재료는 미세한 수준에서 균열과 불연속성이 있습니다.그러나 물리적 현상은 물질이 연속체로 존재한다면 모델링될 수 있습니다. 즉, 물체의 물질이 지속적으로 분포하고 그것이 차지하는 전체 공간을 채운다는 것을 의미합니다.연속체는 부피가 큰 물질의 성질을 가진 무한소 원소들로 지속적으로 세분될 수 있는 물체입니다.연속체 가정의 타당성은 명확한 주기성이 확인되거나 미세 구조의 통계적 균질성과 에르고디시티가 존재하는 이론적 분석에 의해 검증될 수 있다.보다 구체적으로 연속체 가설/가정은 힐-만델 조건에 기초한 대표적인 기본 체적과 척도 분리의 개념에 달려 있다.이 조건은 구성 방정식(선형 및 비선형 탄성/비탄성 또는 결합장)에 대한 실험자와 이론가의 관점 사이의 연결과 미세 구조의 공간 및 통계적 평균화 방법을 제공한다.스케일의 분리가 유지되지 않는 경우 또는 RVE(대표 볼륨 요소) 크기보다 더 미세한 분해능의 연속체를 확립하고 싶은 경우, 통계 볼륨 요소(SVE)가 채용되어 랜덤 연속체 필드가 발생합니다.그 후 후자는 확률 유한 요소(SFE)에 대한 미세 역학 기반을 제공한다.연속체 역학과 통계 역학을 연결하는 SVE 및 RVE의 수준.실험적으로, RVE는 구성 반응이 공간적으로 균질한 경우에만 평가될 수 있다.

도입 예로서 자동차 교통량

간결성을 위해 차선이 1개뿐인 고속도로에서의 교통량을 고려해 보십시오.다소 의외로, 그리고 그 효과에 경의를 표하기 위해 연속체 역학은 자동차의 밀도에 대한 편미분 방정식(PDE)을 통해 자동차의 움직임을 효과적으로 모델링합니다.이 상황의 익숙함은 일반적으로 연속체 모델링의 기초가 되는 연속체-이산 이분법의 일부를 이해하는 데 힘을 준다.

모델링을 시작하려면 다음을 $정의$합니다. x ${\style$ x$}$는 고속도로를$$ 따라 거리(km 단위),$t{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ t$}$는 시간(분 단위),${\displaystyle }\rho {\displaystyle }$($x,$는 고속도로(차선 내 $차량{\displaystyle }$/km 단위), u${\displaystyle (x,}$t$)\display style$ $u$$(x, t)$는 평균 속도입니다.y) 차량의 'at' $위치{\displaystyle }$ x$(\display style$x$)$를 선택합니다.

보존은 PDE(부분미분방정식)를 도출한다.

자동차는 나타나지 않고 사라진다.x ${\displaystyle =a}$ ( $)$에 위치한 그룹 뒤쪽의 특정 차량에서 x $= b$($$$t )$에 $위치$한 전방의 특정 차량까지 모든 차량 그룹을 고려하십시오$.$이 $그룹$ N $=$ ${(}_{}^{}$ $a_{}^{}$( ${}_{}^{}$) $b_{}^{}$( t )$\rho$( $x$, $t$ ) d$$ { $textstyle$ N=\$int _{a(t)}^{b(t)}\rho(x$,t$),g$ 차량이 보존되므로, '앞/뒤에 있는 차량${\displaystyle \text{'}}$은 다른 차량 ${\displaystyle d}$가 될 수 ${\displaystyle 있습니다}$.

${\displaystyle{\begin{정렬}{}{\frac{dN}{dt}}&={\frac{d}{dt}}_{a ᆨ}^{b ᆩ}\rho(x,t)\,dx\\& \int, =\int _{를}^{b}{\frac{\partial \rho}{\partial지}}\,dx+\rho(b,t){\frac{db}{dt}}-\rho}(a,t){\frac{다}{dt}\\&, =\int _{를}^{b}{\frac{\partial \rho}{\partial지}}\,dx+\rho(b,t)u(b,t)-\rho(a,t)u(a,t)\\&,=\int _{를}^{b}\left는 경우에는{\frac{\p.artial \rho}{\p아티알 t}}+{\frac {\frac x}(\rho u)\right] artel {aligned}}$

이 적분이 0인 것은 모든 그룹, ${\displaystyle 즉}$ 모든${\displaystyle \mathrm{간격}}$에 대해 유지된다[a, b] {displaystyle $[a, b]${\$displaystyle$ x$\}$$$integration이 $0$인 경우에만 적분이 0이 될 수 있다.따라서 보존은 1차 비선형 보존 PDE를 도출한다.

$(\displaystyle\frac\rho}{\frac\frac}{\fracx}=0})$

고속도로의 모든 위치에 배치됩니다.

이 보존 PDE는 자동차 교통뿐만 아니라 유체, 고체, 군중, 동물, 식물, 산불, 금융 거래자 등에도 적용됩니다.

관찰이 문제를 해결합니다.

앞의 PDE는 2개의 미지수를 가진 방정식이기 때문에 다른 방정식이 적절한 문제를 형성해야 합니다.이러한 추가 방정식은 일반적으로 연속체 역학에서 필요하며 일반적으로 실험에서 비롯됩니다.자동차 교통의 경우, 밀도의 감소 함수인 일부 실험적으로 결정된 $함수{\displaystyle }$V(\$displaystyle$ V$$$)$에 대해 자동차는 일반적으로 밀도에 따라 속도 $u{\displaystyle }$ $=$로 이동한다는 것이 잘 알려져 있다.예를 들어 링컨 터널의 실험에서 (${\displaystyle \mathrm{저밀도}}$를 제외하고) 적합도는 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle =}$ V (${\displaystyle }$) ) ${\displaystyle \mathrm{=}}$ ${\displaystyle \mathrm{27}}$.5 ${\displaystyle \ln }$⁡${\displaystyle }$( 142 /${\displaystyle \rho }$) { $display$= V $(\rho$ ) =$27.5 ln (ln$ / $rho )}$^{[1][page needed]} $$(자동차/km 밀도의 경우 km/시)에 의해 얻어지는 것으로 밝혀졌다.

따라서 자동차 교통의 기본 연속체 모델은 PDE입니다.

$(\displaystyle\frac\rho}{\frac}{\fracx}[\rho V(\rho)]=0}$

${\displaystyle (x,}$ $)$ ({$displaystyle \rho (x, t$)}) 고속도로의$$ 차 밀도에 대한 $계산$입니다.

주요 분야

연속체 역학 연속 재료의 물리학 연구	고체 역학 정의된 정지 형태를 가진 연속 물질의 물리학 연구.	탄력성 가해진 응력이 제거된 후 정지된 형태로 되돌아가는 재료에 대해 설명합니다.
		소성 충분한 응력을 가한 후 영구적으로 변형되는 재료를 설명합니다.	레올로지 고체 및 유체 특성을 모두 가진 재료에 대한 연구.
	유체역학 힘을 받으면 변형되는 연속 물질의 물리학에 대한 연구.	비뉴턴 유체 적용된 전단 응력에 비례하는 변형률을 받지 마십시오.
		뉴턴 유체는 가해진 전단 응력에 비례하여 변형률을 겪는다.

연속체 역학의 추가 영역은 기묘한 쌍곡선 응력-변형 관계를 나타내는 탄성 발포체로 구성된다.엘라스토머는 진정한 연속체이지만, 공극의 균질한 분포는 특이한 ^[2]성질을 준다.

모델의 공식화

연속체 역학 모델은 3차원 유클리드 공간의 영역을 모델링할 재료 $본체{\displaystyle \mathcal{}}$ B$(\$에 할당하는 것으로 시작합니다.이 영역 내의 점을 입자 또는 재료 점이라고 합니다.물체의 다른 구성이나 상태는 유클리드 공간의 다른 영역에 해당합니다.$시각{\displaystyle }$t {\$displaystyle$ t$}$의 신체 구성에 대응하는 부위는 ${\displaystyle t_{}}$ ($)${$displaystyle \kappa$ _${t}({\mathcal {B$로 라벨이 붙어 있습니다.

특정 구성의 체내 특정 입자는 위치 벡터에 의해 특징지어진다.

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}x_{i}\mathbf {e} _{i}$

${\displaystyle {}_{}}$서 e$(\displaystyle$ \$mathbf {e} _{$i$$})는 문제에 대해 선택된 참조 프레임의 좌표 벡터입니다(그림 1 참조).이 벡터는 일부 참조 구성(예: 초기 시간 구성$)$에서 입자 $X의$함수로 표현될 수 있습니다. 따라서 다음과 같습니다.

$\displaystyle \mathbf {x} = \kappa _{t}(\mathbf {X})}$

이 함수는 모델이 물리적으로 이해하기 위해 다양한 특성을 가져야 합니다.${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ($)$ ) {$displaystyle$ \$kappa _$ { t } ($$cdot$$ )는 다음과 같아야 ${\displaystyle {\mathrm{합니다}}_{}}$.

• 시간이 흐르면서 몸이 사실적으로 변하기 때문에
• 항상 전체적으로 반전할 수 있기 때문에 차체가 자신을 교차할 수 없습니다.
• 거울 반사를 생성하는 변환은 본질적으로 가능하지 않기 때문에 방향 보존이 가능합니다.

모델의 수학적 공식화에서는 운동을 기술하는 미분방정식을 공식화할 수 있도록 ${\displaystyle {\theta }_{}}$t (${\displaystyle }$θ $)$ { $displaystyle$ \$kappa _${t$}(cdot)}$도 2배 연속 미분 가능하다고 가정한다.

연속체의 힘

연속체 역학은 강체가 아닌 변형 가능한 물체를 다룬다.고체는 전단 강도를 갖는 변형 가능한 물체이며, 고체는 전단력(고체가 작용하는 물질 표면과 평행한 힘)을 지지할 수 있다.반면에 유체는 전단력을 지탱하지 못한다.고체와 유체의 기계적 거동에 대한 연구를 위해 이것들은 연속적인 물체로 추정되는데, 이것은 물질이 원자들로 이루어져 있고, 빈 공간이 있고, 분리된 상태임에도 불구하고 그것이 차지하는 공간의 전체 영역을 채운다는 것을 의미한다.따라서 연속체 역학이 연속체 내의 점이나 입자를 언급할 때, 그것은 원자간 공간이나 원자 입자의 점을 묘사하지 않고, 오히려 그 점을 차지하는 신체의 이상화된 부분을 묘사한다.

뉴턴과 오일러의 고전 역학에 따라 유형체의 움직임 이것은 두개 종류의 있는 것으로 가정한다 외부적으로 적용하는 힘의 작용으로:표면 힘 FC(_{C}}과 몸 힘 FB(_{B}}.[3]따라서 총 하중 F{\와 같이 생산된다.경멸하다$신체$ 또는 신체 일부에 적용되는 플레이 스타일$(\mathcal$ {F$})$은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

$({displaystyle {mathcal {F}}=\mathbf {F}_{C}+\mathbf {F}_{B})$

표면력

단위 면적당 힘으로 표현되는 표면력 또는 접촉력은 다른 물체와의 기계적 접촉의 결과로 신체의 경계 표면에 작용하거나 신체의 각 부분과 표면의 어느 한쪽에 대한 기계적 상호작용의 결과로 신체의 일부를 묶는 가상의 내부 표면에 작용한다(Uler-C).auchy의 응력 원리).물체가 외부 접촉력에 의해 작용될 때, 뉴턴의 선형 운동량과 각 운동량의 보존에 대한 운동의 제3법칙에 따르면, 내부 접촉력은 신체 내부의 지점에서 지점으로 전달된다.내부 접촉력은 구성 방정식을 통한 신체의 변형과 관련이 있다.내부 접촉력은 신체의 물질 ^{[4][full citation needed]}구성과 무관하게 신체의 움직임과 어떻게 관련이 있는지 수학적으로 설명할 수 있다.

신체의 체적 전체에 걸친 내부 접촉력의 분포는 연속적인 것으로 가정한다.때문에 d. 따라서, T(n, x, t)field[5][전체 표창 필요한]은 몸의 특정한 구성에서 주어진 시간 t{\displaystyle t\,\!}에서 이러한 분포를 나타내는 접촉력 밀도 또는 코오 시 견인((\mathbf{n},\mathbf{x},t)}. 그건 벡터장이 존재하그 우편에 대해 Epends특정 재료점의$osition{\displaystyle \mathbf{}}$ x(\$displaystyle \mathbf {x})$뿐만$$ 아니라 일반 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$n(\$displaystyle \mathbf {n$^{[6][page needed]}에 의해 정의된 표면 요소의 로컬 방향에도 적용됩니다.

차체 일부를 경계로 하는 특정 내부 표면 $S$의 $정규{\displaystyle \mathbf{}}$ 벡터$$n(\$displaystyle$ $\mathbf {n$$!\})$을 가진 차동 $영역{\displaystyle }$ $displaystyle dS,\!)$는 양쪽 포트 사이에서 발생하는 $접촉력{\displaystyle }$ $displaystyle$d\$mathbf {F}$_$${$C,\$c!})가 발생합니다.S$displaystyle$ S$,\backslash !)$의 각 측면에 있는 본체의 ons.는 다음과 같습니다.

${\displaystyle d\mathbf {F}_{C}=\mathbf {T}^{(\mathbf {n})},dS}$

${\displaystyle {여기}^{}}$서${\displaystyle {}^{}}$T ( n${\displaystyle {}^{}}$)$$\$displaystyle \mathbf {T}$^{(\$mathbf {n})}$는 표면 ^{[7][full citation needed]}트랙션으로, 응력 벡터,^{[8][full citation needed] [9][page needed]}트랙션 ^{[10][full citation needed]}벡터라고도 합니다.응력 벡터는 프레임 유도 벡터입니다(오일러-코치의 응력 원리 참조).

그런$$ 다음 $특정{\displaystyle }$ 내부 $표면$S의 총 접촉력은 모든 차등 $표면{\displaystyle }$ d의 접촉력 합계(표면 적분)로 ${\displaystyle \mathrm{표시}}$됩니다${\displaystyle .}$ d \ $displaystyle dS$ , \ !$\}$ :

$\displaystyle \mathbf {F} _{C}=\int _{S}\mathbf {T}^{(\mathbf {n})},dS}$

연속체 역학에서 존재하는 힘이 물체를 하나로 고정시키고 중력을 ^{[10][full citation needed][11][full citation needed]}포함한 모든 외부 영향이 없을 때 그 형태를 유지하는 데 필요한 원자간 힘(이온, 금속, 반데르발스 힘)뿐이라면 물체는 응력이 없는 것으로 간주됩니다.특정 구성으로 차체를 제작하는 동안 발생하는 응력도 차체 내 응력을 고려할 때 제외됩니다.따라서 연속체 역학에서 고려되는 스트레스는 신체의 변형에 의해 생성된 스트레스일 뿐이며, sc. 스트레스의 상대적인 변화만 고려되며 스트레스의 절대값은 고려되지 않는다.

보디포스

체력은 체적(또는 질량)에 작용하는 신체^{[12][full citation needed]} 외부의 원천에서 발생하는 힘입니다.몸의 힘이 외부의 원천에 기인한다고 말하는 것은 신체의 다른 부분들(내부 힘) 사이의 상호작용이 접촉력만을 ^{[7][full citation needed]}통해 나타난다는 것을 의미한다.이러한 힘은 중력장(중력) 또는 전자기장(전자력)과 같은 힘 장에 있는 물체의 존재 또는 물체가 움직일 때의 관성력으로부터 발생한다.연속체의 질량은 연속적으로 분포하는 것으로 가정되므로 질량에 기인하는 힘도 연속적으로 분포한다.따라서, 체력은 ^{[13][full citation needed]}물체의 전체 체적에 걸쳐 연속적인 것으로 가정되는 벡터장으로 지정된다. 즉, 체력의 모든 점에 작용한다.체력은 체력 $밀도{\displaystyle \mathbf{}}$ b${\displaystyle (x\mathbf{}}$,${\displaystyle t}$)(\$displaystyle \mathbf {b}(\mathbf {x}$ , $t)}($질량 단위당)로 나타나며, 이는 프레임 유도 벡터장이다.

중력의 경우 힘의 세기는 물질의 $($$x$$,$ $)$에 따라 다르거나 비례하며 단위질량당 힘($style b_i$$,\!)$ 또는 ${\displaystyle {단위질량당}_{}}$ 부피${\displaystyle ({}_{}}$b\$style$$b_i$$,\backslash !)$로 지정된다.$splaystyle p_{i},\!}$ 입니다.이 두 사양은 재료 밀도를 통해 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ i ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ \$displaystyle \rho b_{i$} $= p_{i},\!}$등식으로 관련지어집니다. 마찬가지로 전자력의 강도는 전자장의 강도(전하)에 따라 달라집니다.

연속체에 가해지는 총 체력은 다음과 같이 표현된다.

$\displaystyle \mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} ,dm=\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV}$

신체에 작용하는 힘과 접촉력은 주어진 지점에 상대적인 힘의 모멘트(토크)로 이어진다.따라서 원점에 대해 적용된 총 $토크{\displaystyle \mathcal{}}$M(\$style\$display\$mathcal {M})$은 다음과 같다.

${\displaystyle {mathcal {M}}=\mathbf {M}_{C}+\mathbf {M}_{B}}$

재료의 기계적 거동 분석에서 일반적으로 고려되지 않는 특정 상황에서는 두 가지 유형의 힘, 즉 커플^{[note 1][note 2]} 응력(표면 커플링,^{[12][full citation needed]} 접촉 토크)^{[13][full citation needed]}과 신체 모멘트를 포함해야 한다.커플 응력은 표면에 가해지는 단위 면적당 모멘트입니다.신체 모멘트(body couple)는 단위 부피당 또는 단위 질량당 신체 부피에 적용되는 모멘트입니다.둘 다 스트레스가 양극화된 유전체 전기장의 작용으로 고체를 위한 분석에서 중요한 높은 곳이나 분자 구조 고려 사항(예를 들어 뼈)속으로 흡수되는지 재료, 외부 자기장의 액션, 금속의 탈구 이론에 따라 고체이다.[8][전체 표창 필요한][9][페이지 필요한][12][전체 표창 필요한].

힘만으로 생성되는 모멘트에 더해 신체 커플링과 커플링 응력을 나타내는 재료를 극성 ^{[9][page needed][13][full citation needed]}재료라고 합니다.무극성 재료는 힘의 모멘트만 있는 재료입니다.연속체 역학의 고전적인 분야에서는 응력 이론의 발전은 비극성 물질에 기초한다.

따라서, (좌표계의 원점과 관련하여) 물체에 가해진 모든 힘과 토크의 합은 다음과 같이 구할 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\int _{V}\mathbf {a},dm=\int _{S}\mathbf {T},dS+\int _{V}\rho \mathbf {b},dV}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {T} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,dV}$

운동학: 움직임과 변형

연속체의 구성이 바뀌면 변위가 발생합니다.물체의 변위는 강체 변위와 변형이라는 두 가지 요소로 구성됩니다.강체 변위는 모양이나 크기를 변경하지 않고 몸을 동시에 이동 및 회전하는 것으로 구성됩니다.변형은 초기 또는 미형식 구성 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}0\mathcal{}}$ (${\displaystyle }$B$$)(\$displaystyle \kappa$ _${0}({\mathcal {B}))$에서 현재$$ 또는 변형 구성 ${\displaystyle t_{}}$ t$)(\displaystyle \kappa$ _${t}({\mathcal {B}))$로 본체의 형상 및/크기가 변경됨을 의미합니다(그림 2).$$

연속체의 운동은 변위의 연속적인 시간 순서이다.따라서 입자가 경로선을 나타내는 공간의 일련의 점을 차지하도록 물질 본체는 서로 다른 시간에 서로 다른 구성을 차지합니다.

연속체의 움직임 또는 변형 중에는 다음과 같은 점에서 연속성이 있다.

• 언제든지 닫힌 곡선을 형성하는 재료 점은 이후 언제든지 닫힌 곡선을 형성합니다.
• 언제든지 닫힌 표면을 형성하는 재료 점은 이후 언제든지 닫힌 표면을 형성하며 닫힌 표면 내의 물질은 항상 그 안에 남아 있게 됩니다.

이후의 모든 설정이 참조되는 참조 설정 또는 초기 상태를 식별하는 것이 편리합니다.기준 구성은 본체가 차지하지 않는 구성일 필요는 없습니다.보통 ${\displaystyle \mathrm{t}}$ $=$ 0 { $displaystyle$ t$= 0$ } 에서의 설정은 참조 설정인 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$0 (${\displaystyle B\mathcal{}}$) \ $displaystyle$\$kappa$_ { $0$（ { \ $mathcal${$B$}$$）으로 간주됩니다.기준 구성과 관련하여 입자의 위치 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ X$(\$의 성분 $(\$})를$$ 재료 또는 기준 좌표라고 합니다.

고체의 움직임이나 변형, 유체의 흐름을 분석할 때는 시간 경과에 따른 구성의 순서나 진화를 설명할 필요가 있습니다.움직임에 대한 한 가지 설명은 재료 설명 또는 라그랑지안 설명이라고 하는 재료 또는 참조 좌표의 관점에서 이루어집니다.

라그랑지안 기술

라그랑지안 기술에서는 입자의 위치와 물리적 특성이 재료 또는 참조 좌표 및 시간으로 설명된다.이 경우 기준 구성은 t ${\displaystyle =}$ $({displaystyle$ t$=0$에서의 구성입니다. 기준 프레임에 서 있는 관찰자는 시간이 경과함에 따라 물질 본체가 공간 내에서 이동함에 따라 위치 및 물리적 성질의 변화를 관찰합니다.얻어진 결과는 초기 시각 및 기준 설정 ${\displaystyle {선택}_{}}$과는 무관합니다. $display$0${\displaystyle }$($$B ) \ displaystyle \ $kappa$_ { $0$（ { \ $mathcal${ B$}$ ）$$。이 설명은 일반적으로 고체 역학에서 사용됩니다.

라그랑지안 기술에서 연속체의 운동은 매핑 $함수{\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle )}$) {$displaystyle \chi$( \$cdot$) $$} (그림2)로 표현된다.

$\displaystyle \mathbf {x} = \chi(\mathbf {X} ,t)}$

이는 초기 구성 ${\displaystyle {\kappa \mathrm{}}_{}}$0 (${\displaystyle B\mathcal{}}$) ( \ $displaystyle$\$kappa$$$_ { $0$$$} ( { \ $mathcal${ $B$}$$)를$$ 현재 구성 ${\displaystyle t_{}}$t ($)$에 매핑하여 위치 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$x $display$ ${\displaystyle {}_{}{\mathbf{}}_{}}$style 을 $제공$합니다.$thbf{\displaystyle \mathbf{}}$${x} =x_{i}\mathbf {e} _{i$$}$ {{$displaystyle$ X$}$ {$displaystyle$$\mathbf {X}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle B\mathcal{}}$) {displaystyle $\kappa _0}({\mathcal {B$ )의 위치 벡터를 가진 $입자{\displaystyle }$X가 전류를 차지합니다.$e$ $\kappa$ _${t}({\mathcal {B}}})$ $시간{\displaystyle }$t {\$displaystyle$t}}.$성분들을$$$공간 좌표라고 합니다$.$

물질 본체의 특징을 ${\displaystyle {설명}_{}}$하거나$$특징짓는 물리적 및 운동학적 특성 $Pij…({$ 열역학적 특성 및 유속은 위치 및 시간의 연속 함수로 표현된다(${\displaystyle {예}_{}}$: ${\displaystyle {}_{}}$ $=$ ${\displaystyle \dots (X}$ ,${\displaystyle }$t )$${$displaystyle$P_p ={$ij}).$$athbf {X},t$ 입니다.

스칼라, 벡터 또는 텐서일 수 있는 연속체의 $특성{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{Pi}}_{}}$j$…(\$의 물질적 파생물은 움직이는 연속체의 특정 입자 그룹에 대한 해당 성질의 시간 변화율이다.재료 도함수는 실체 도함수 또는 결합 도함수 또는 대류 도함수라고도 합니다.그것은 그 입자 그룹과 함께 이동하는 관찰자에 의해 측정되었을 때 특성이 변화하는 속도로 생각할 수 있다.

라그랑지안 기술에서 $Pi$ j$…$의 $재료{\displaystyle {}_{}}$ 도함수는 단순히 시간에 대한 편도함수이며, 위치 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ X$(\$는 시간에 따라 변하지 않으므로 일정하게 유지된다.이렇게 해서

${{displaystyle {d}{dt}}[P_{ij\ldots}(\mathbf {X},t)]=sqrac {\display t}[P_{ij\ldots}(\mathbf {X},t)]}}$

$순간위치{\displaystyle \mathbf{}}$x(\$displaystyle \mathbf {x})$는 입자의 특성이며, 그 재료 파생물은 입자의 $순간유속{\displaystyle \mathbf{}}$v(\$displaystyle \mathbf {$v$} })$이다.따라서 연속체의 유속장은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \mathbf {v} = displaydot {mathbf {x}} = displayfrac {d\mathbf {x} {dt} = displayfrac \chi (\mathbf {X} , t} } }$

마찬가지로 가속 필드는 다음과 같습니다.

$({displaystyle \mathbf {a} = dot {mathbf {v}} = displaydot {mathbf {x}} = displayfrac {d^{2}\chi(\mathbf {X} } } = displayfrac {x} = displayfrac {dot {dt} {x} {dt} } {dt} } {dt} } {dot {dt} } } } } = t} = t}$

라그랑지안 기술에서의 연속성은 기준 구성에서 재료 지점의 현재 구성으로의 매핑의 공간적 및 시간적 연속성으로 표현된다.연속체를 특징짓는 모든 물리량은 다음과 같이 기술된다.이러한 의미에서 $함수{\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$ ($$\ $displaystyle$\ $chi$( \ $cdot$)$및$ ${\displaystyle {\mathrm{Pi}}_{}}$ j ${\displaystyle {}_{}}$ ( ${\displaystyle )}$ $){$ $displaystyle P_{ij\ldots$} ( \ $cdot$)는$$ 보통 2번째 또는 3번째 순서로 연속적인 공간과 시간에 대한 연속적인 미분을 갖는 단일값이다.

오일러식 기술

연속성을 통해${\displaystyle }현재{\displaystyle }$ x$(\$에 있는 파티클이 초기설정 또는 참조설정 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$0 (${\displaystyle B\mathcal{}}$$)(\$$displaystyle \kappa _0}({\mathcal {B$에서 어디에 위치했는지를 역추적할 수 있습니다.이 경우 동작의 설명은 다음과 같습니다.공간 좌표의 관점에서 만들어지며, 이 경우 공간 설명 또는 오일러식 설명으로 불린다. 즉, 현재 구성이 기준 구성으로 간주된다.

달랑베르가 소개한 오일러의 설명은 현재 구성 ${\displaystyle {\delta }_{}t\mathcal{}}$ ( B$$) ( \ $displaystyle$\ $kappa$_ { $t$} ( { \ $mathcal${$B}$)에 초점을 맞추고 있으며, 시간이 경과함에 따라 개별 입자가 시공을 이동할 때 발생하는 것에 주의를 기울이는 대신 공간의 고정된 지점에서 일어나는 일에 주의를 준다.이 접근법은 유체 흐름의 연구에 편리하게 적용되며, 가장 큰 관심의 운동학적 특성은 기준 시간에 유체 ^[16]본체의 형태가 아닌 변화가 일어나는 속도이다.

수학적으로, 오일러식 설명을 사용하는 연속체의 운동은 매핑 함수에 의해 표현된다.

${\displaystyle \mathbf {X} =\chi ^{-1}(\mathbf {x},t)}$

현재 구성 provides ${\displaystyle t_{}}$(${\displaystyle B\mathcal{}}$) \ $displaystyle$\ $mathbf${ $x }$를 차지하고 있는 파티클의 트레이스를 제공합니다.{ displaystyle \ $kappa$_ { $t$} ( { \$mathcal$ { B $}$ )$$$to$ 、 초기 구성$$${\displaystyle \kappa 0\mathcal{}{}_{}}$(${\displaystyle }$\ $displaystyle$ \ $mathbf$ {$X$}$$$）$ 。$ppa$ _${0}({\mathcal$ {B$\}\})\}.$

이 역함수가 존재하기 위해 필요하고 충분한 조건은 종종 간단히 야코비안이라고 언급되는 야코비안 행렬의 행렬식이 0과 달라야 한다는 것이다.따라서,

$\displaystyle J=\left {frac X_{i}}\right =\left {frac X_{i}{\frac X_{J}\right \neq 0}$

오일러식 설명에서 물리적 $특성{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{Pi}}_{}}$j $…(\$\ldots$})$는 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle P_{ij\ldots}=P_{ij\ldots}(\mathbf {X},t)=P_{ij\ldots}[\chi ^{-1}(\mathbf {x},t,t])=p_{ij\ldots}(\mathbf {x},t)}$

여기서 Lagrangian 설명의 ${\displaystyle {\mathrm{Pi}}_{}}$j $…({$${ij\$$ldots})$의 기능 형태는 Oilerian 설명의 $pi$j $…({$\ldots$})$의 형식과 동일하지 않습니다.

${\displaystyle {\mathrm{pi}}_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$…${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x\mathbf{}}$ ,${\displaystyle t}$) { $displaystyle p_{ij\ldots$}(\$mathbf {x}$ , t$)$의 재료 도함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {d}{dt}[p_{ij\ldots}(\mathbf {x},t)] = scap frac {\dots}{\mathbf {x},t}+{\frac {\dots}{p_j}$

이 방정식의 오른쪽에 있는 첫 번째 항은 위치$x{\displaystyle \mathbf{}}$(\$displaystyle$ \$mathbf${x$\})$에서 $발생$하는 특성 ${\displaystyle {\mathrm{pi}}_{}}$ j ${\displaystyle {\dots (}_{}x\mathbf{}{}_{}}$t$)$의 국소 변화율$displaystyle p_{ij\ldots}, t)$을 나타냅니다.오른쪽의 두 번째 항은 대류 변화율과 기여도를 나타냅니다.공간(운동)에서 입자가 변화하는 위치

오일러 기술에서의 연속성은 흐름 속도장의 공간적, 시간적 연속성과 연속적 미분성으로 표현된다.모든 물리량은 현재 구성에서 벡터 $위치{\displaystyle \mathbf{}}$ x$\$의 함수로 매 순간 이와 같이 정의됩니다.

변위 필드

변형되지 않은 구성 및 변형 $구성$에서 입자$P$의 위치에 결합하는 벡터를 $변위{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle 벡터\mathbf{}{}_{}}$ ${\displaystyle (X,}$ t ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}_{}}$ i$$e \$mathbf {u$} $(\mathbf$ {$X}$ , t$) = u_{i$} \$mathbf {e}$_$\{$$i$} ,${\displaystyle }$$u$} )라고 합니다.$\$$U_{J}\mathbf {E}_{J$ 오일러식 설명에서.

변위장은 체내의 모든 입자에 대한 모든 변위 벡터의 벡터장으로, 변형된 구성과 변형되지 않은 구성을 관련짓습니다.변위장의 관점에서 연속체의 변형이나 움직임의 해석을 하는 것이 편리하며, 일반적으로 변위장은 재료 좌표의 관점에서 다음과 같이 표현된다.

$\displaystyle \mathbf {u}(\mathbf {X},t)=\mathbf {b} +\mathbf {x}(\mathbf {X},t)-\mathbf {X} \qquad {i}=\alpha _{iJ}_{x} {x}{{}}}}}{{}}}}}}}}}{{\mathb}}}}}}}}}}}}}}{\mathmathb}}}}}}}}}}}}}}J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$

또는 공간 좌표의 관점에서 보면

${\displaystyle \mathbf {U}(\mathbf {x},t)=\mathbf {b} +\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x},t})\qquad {{text{or}\qquad U_{J}=b_{J}+{J}\alpha_{x}_{X}_{X})$

$여기$서 ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle$ \$alpha _{$Ji}}는$$$$ 단위 $벡터{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ J$${\$displaystyle \mathbf {E}_{J}}$와 e ${\$를 가진 재료 좌표계와 공간 좌표계 사이의 방향 코사인입니다.따라서

$\displaystyle \mathbf {E}_{J}\cdot \mathbf {e}_{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$

그 후 $($디스플레이 $스타일$ U_${i})$와 $($ U_${J})$의 $관계$는 다음과 같습니다.

$\displaystyle u_{i}=\alpha_{iJ}U_{J}\qquad\text{or}\qquad U_{J}=\alpha_{Ji}u_{i}$

알고 있으니까

$\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}$

그리고나서

$\displaystyle \mathbf {u}(\mathbf {X},t)=u_{i}\mathbf {e}_{i}=u_{i}(\alpha_{iJ}\mathbf {E}_{J})=U_{J}\mathbf {E}_{J}=\mathbf {U}(\mathbf {x},t)}$

변형되지 않은 구성에 대해 좌표계를 중첩하는 것이 일반적이며,$$그 결과 b = 0${\displaystyle \mathbf$ {$b{\displaystyle \mathbf{}}$} $=$이 되고 방향 코사인은 크로네커 델타가 됩니다.

$\displaystyle \mathbf {E}_{J}\cdot \mathbf {e}_{i}=\delta _{iJ}$

이렇게 해서

$\displaystyle \mathbf {u}(\mathbf {X},t)=\mathbf {x}(\mathbf {X},t)-\mathbf {X}\qquad u_{i}=x_{i}-\mathbf {iJ}X}_{x}_{x})J}}$

또는 공간 좌표의 관점에서 보면

${\displaystyle \mathbf {U}(\mathbf {x},t)=\mathbf {x} -\mathbf {X}(\mathbf {x},t)\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}}}}$

지배 방정식

연속체 역학은 특정 길이와 시간 척도에 대해 연속적으로 근사할 수 있는 재료의 거동을 다룬다.이러한 물질의 역학을 지배하는 방정식에는 질량, 운동량 및 에너지의 균형 법칙이 포함됩니다.지배 방정식의 체계를 완성하기 위해서는 운동학적 관계와 구성 방정식이 필요하다.구성 관계의 형태에 대한 물리적 제한은 모든 조건에서 열역학 제2법칙을 충족하도록 요구함으로써 적용될 수 있다.고체의 연속체 역학에서, 열역학 제2법칙은 클라우시우스가-엔트로피 부등식의 듀헴 형식이 충족된다.

밸런스 법칙은 체적 내 수량(질량, 운동량, 에너지)의 변화율이 다음 세 가지 원인에 의해 발생해야 한다는 생각을 나타냅니다.

1. 물리량 자체가 부피의 경계를 이루는 표면을 통해 흐릅니다.
2. 볼륨 표면에 물리적 양의 원천이 있거나, 또는
3. 볼륨 내부에 물리적 양의 소스가 있습니다.

${\$ { $displaystyle$\ $Omega }$를 본체(유클리드 공간의 열린 부분 집합)로 하고 ${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{\omega }}$ ${$ \ $displaystyle \ partial$\$Omega }$를 표면($the${ \ $displaystyle$ \ Omega$$}$$의 경계)으로 합니다.

본체의 재료 점의 움직임을 지도에서 설명하도록 합니다.

$\displaystyle \mathbf {x} = \mathbf {X} = \mathbf {x} (\mathbf {X} )$

$여기$서 X$(\$는 초기 구성에서 점의 $위치$이고 x$(\$는 변형 구성에서 동일한 점의 위치입니다.

변형 구배는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=paramfrac {\display\mathbf {X}}=\displayla \mathbf {x} ~.}$

균형법

f${\displaystyle }$(${\displaystyle x\mathbf{}}$ ,${\displaystyle t}$) {$displaystyle$ f$(\mathbf {x}$ , $t)$ } 를$$ 체내를 흐르는 물리량이라고 $합니다{\displaystyle }$.g${\displaystyle (x\mathbf{},}$ $)$ {$style$ g$(\mathbf {x},t)}$를 바디 표면의 소스, h${\displaystyle (x\mathbf{},}$ $)$ {$displaystyle$ h$(\mathbf {x},t)}$를 바디 내부의 소스라고 $합니다{\displaystyle }$.n${\displaystyle }$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$,${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$ \$mathbf${n}(\$mathbf {x}$ , t$)$을 표면에 수직인 외부 단위$$ {\$displaystyle \partial \Omega$라고 $합니다{\displaystyle \mathbf{}.}$v (${\displaystyle x\mathbf{}}$ ,${\displaystyle t}$ )$${ $displaystyle \mathbf {x$} , t$}$ (\$mathbf {x$ } )는$$ 물리 입자의 유속도를 전달하는 흐름량입니다.또한 경계면$$(\$displaystyle\partial\Omega)$$$가 이동하는 속도를 n$(\$ 방향으로)로 합니다.

그러면 균형 법칙이 일반적인 형태로 표현될 수 있다.

${\displaystyle {cfrac {d}{dt}}\left[\int _{\Omega }f(\mathbf {x},t)~{\text{d}V}}\right]=\int _{\int \Omega }f(\mathbf {x},t)[u_{n}(\mathbf {x},t)-\mathbf {v}(\mathbf {x},t})-\mathbf {v}~{text}A}}+\int _{\partial \Omega}g(\mathbf {x},t)~{\text{d}A}}+\int _{\Omega }h(\mathbf {x},t)~{\text{dV}}}~}$

$함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle (x\mathbf{},}$ $)$ {$style$ f$(\mathbf {x}, t$ $g{\displaystyle (x\mathbf{},}$ $)$ {$displaystyle$ g$(\mathbf {x},$ t$)\}$ $및{\displaystyle }$ h${\displaystyle (x\mathbf{},}$ $)$ {$displaystyle$ h$(\mathbf {x}, t)}$는 물리량 균형에 따라 스칼라 값, 벡터 값 또는 텐서 값이 될 수 있습니다.신체에 내부 경계가 있을 경우, 점프 불연속성도 밸런스 법칙에 명시해야 한다.

만약 우리가 오일러의 관점을 취한다면, 고체에 대한 질량, 운동량, 에너지의 균형 법칙은 다음과 같이 쓰여질 수 있다. (질량과 각운동량 방정식에 대한 소스 항이 0이라고 가정함)

$(\displaystyle {\dot {rho } + \rho (\boldsymbol {\cdot \mathbf {v})&=0&\qad {\text {balance of Mass}} ~ {\rho}-{\boldsymbol})}}\{\bold symbol {\bold }}&=bold symbol {\bold }^{T&\qquad {각운동량의 균형(코치의 제2법칙)}}\rho~{\boldsymbol {e}-{\boldsymbol {\mathbf {v}}+{\boldsymbol {\bla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s&=0&qad 에너지 균형.}}\end {aligned}}$

$위$의 식 ${\displaystyle (}$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$ ,${\displaystyle t}$) { $displaystyle \rho$( \ $mathbf { x$, $t{\displaystyle \mathbf{}}$$$) $}$는 질량 밀도(전류)이고$$ρ { displaystyle $\rho$ v${\displaystyle }$(${\displaystyle x\mathbf{}}$ , $){$ $displaystyle$\ $mathbf { v }(\mathbx )$의 재료 시간 도함수입니다.$splaystyle${\$dot {mathbf {v}}$은 v$${\$displaystyle \mathbf$${v$$\}\},$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x\mathbf{}}$${\displaystyle }$,$t ),$ {$displaystyle$ {$sigma },$ {$t$$}$는 코시 스트레스 텐서,${\displaystyle }b{\displaystyle \mathbf{}}$ , $},$ {$displaystyle \mathbf$}, {$mathbf}$의 $재료{\displaystyle \mathbf{}}$ 시간파생성입니다$.$$le$ e$(\mathbf$$${$x},t)$는 단위 질량당 내부 에너지, e$$$displaystyle$ ${dot {e})$는$$e {\${\displaystyle displaystyle\mathbf{}}$ e$\},$${\displaystyle }$q${\displaystyle (x,}$ t${\displaystyle )}$ {$displaystyle \mathbf${q$$$}(\mathbf${x$},t$})는 열속 $벡터$, $(x)$의 물질 $시간{\displaystyle }$ 미분입니다.니트 질량

기준 구성(라그랑주 관점)과 관련하여 균형 법칙은 다음과 같이 기술할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\rho ~\det({\boldsymbol{F}})-\rho _{0}&, =0&,&\qquad{미사 \text{균형}}\\\rho _{0}~{\ddot{\mathbf{)}}}-{\boldsymbol{\nabla}}_{\circ}\cdot{\boldsymbol{P}}_{0}~\mathbf{b}및 ^{T}-\rho, =0&,&\qquad{선형 운동량의 \text{균형}}\\{\boldsymbol{F}}\cdot{\boldsymbol{P}}^{T}&^{\bo.ldsymbol{P}}\cdot{\boldsym{F}}^{T}&\qquad {text {각운동량의 균형}\rho _{0}~{\dot {e}}-{\bold symbol {P}}^{T}:{\dot {\boldsymbol {F}}+{\boldsymbol {\cdot}\mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&\qquad {에너지 균형} {텍스트}}}\end {aligned}}$

상기 중 P$(\$는 첫 번째 Piola-Kirchhoff 응력 텐서이고 ${\displaystyle {\rho \mathrm{}}_{}}$ 0$(\$은 기준 구성의 질량 밀도이다.첫 번째 피올라-키르호프 응력 텐서는 다음과 같이 코시 응력 텐서와 관련이 있다.

$\displaystyle {\boldsymbol {P}=J~{\boldsymbol {F}}{-T}~{\text{where}}~J=\det({\boldsymbol {F}}})$

또는 다음과 같이 첫 번째 피올라-키르호프 응력 텐서의 전치인 공칭 응력 $텐서{\displaystyle \mathit{}}$N(\$displaystyle\boldsymbol {N})$을 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={T}=J~{\boldsymbol {F}}{-1}\cdot {\boldsymbol {N}}~}$

그러면 균형 법칙이

${\displaystyle{\begin{정렬}\rho ~\det({\boldsymbol{F}})-\rho _{0}&, =0&,&\qquad{미사 \text{균형}}\\\rho _{0}~{\ddot{\mathbf{)}}}-{\boldsymbol{\nabla}}_{\circ}\cdot{\boldsymbol{N}}_{0}~\mathbf{b}및 -\rho, =0&,&\qquad{선형 운동량의 \text{균형}}\\{\boldsymbol{F}}\cdot{\boldsymbol{N}}&){\boldsymbol.{N}}^{T}\cdot {Boldsymbol {F}}^{T}&\qquad {text {각운동량의 균형}\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {F}}+{\boldsymbol {F}}_{\boldsymbol {q}~{\cdot \mathbf {q}={0}_s}_0}_s}}}\end {aligned}}$

위의 방정식의 연산자는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {v} = \sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\frac x_{j}} \mathbf {e} _{i} \otimes \mathbf {e} _ {e} _{j} = v_i} {e}{S}=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial x_{j}}~\mathbf {e}_{i}=\partial _{j}~\mathbf {e}_{i}~}.$

$여기$서$$v {\$displaystyle \mathbf {v}$는 벡터 필드,$S{\displaystyle \mathit{}}$ {\$displaystyle \boldsymbol {S}}$는 2차 텐서 필드, $e{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$ _${i$}}는 현재 구성에서 직교 정규 기준의 구성요소입니다.또한.

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {v} = \sum _{i,j=1}^{3} {\frac {\frac X_{j}} {\mathbf {E} _{i} \mathbf {E} _{i} \ times \mathbf {E} _{i} {j}_{\cdot}\cdot {boldsymbol {S}=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial X_{j}}~\mathbf {E}=S_{ij,j}~\mathbf {E}_{i}}$

$여기$서$$v {\$displaystyle \mathbf {v}$는 벡터 필드,$S{\displaystyle \mathit{}}$ {\$displaystyle \boldsymbol {S}}$는 2차 텐서 필드, $E{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ {\$displaystyle \mathbf {E}$ _${i}}$는 참조 구성의 직교 정규 기반 구성요소입니다.

내부 제품은 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}:\boldsymbol {B}=\sum _{i,j=1}^3}A_{ij}~B_{ij}=\operatorname {filename}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}^{T}}~.}$

클라우시우스듀헴 부등식

클라우시우스Duhem 부등식은 탄성 플라스틱 재료에 대한 열역학 제2법칙을 표현하기 위해 사용될 수 있다.이 불평등은 자연 과정의 불가역성에 관한 진술이며, 특히 에너지 소산이 수반될 때 그렇습니다.

전절의 밸런스 법칙과 마찬가지로 단위질량당 수량의 플럭스, 수량원 및 내부밀도가 있다고 가정합니다.이 경우 관심의 양은 엔트로피입니다.따라서 관심 영역에 엔트로피 플럭스, 엔트로피 소스, 내부 질량 밀도$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle$ \$rho)$ 및$$ 내부 고유 엔트로피(단위 질량당 엔트로피)$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle \eta)$가 있다고 가정한다.

$(\displaystyle \Omega)$를 영역으로 하고$(\displaystyle \partial \Omega)$를 경계로 합니다.열역학 제2법칙은 이 영역의$$$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$\$displaystyle\eta$ 증가율이$$δ$$$\displaystyle\$Omega에 공급된 δ\displaystyle\$lo$\eta와 물질에 의한 내부 엔트로피 밀도 $\displaystyle\rho\$eta의$$ 합보다 크거나 같다고 기술하고 있다.지역을 드나드는 알.

$∂$ { $displaystyle \ ∂$ \ $displaystyle$$u$$$_$$ { $n$$\}{\displaystyle \mathrm{}}$$$∂ ∂ ∂ $、 ∂$ \ $displaystyle$ \ $mathbf$$${ $v{\displaystyle \mathbf{}}$ $\}$ ∂ 。$n$ ${$ $displaystyle$\$mathbf$${$ n$$} ∂$$∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂∂∂ ∂ ∂ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂$l \Omega$ $영역{\displaystyle }$ 내 물질의 밀도({$displaystyle \rho})$는$$q$({$는 표면의 엔트로피 플럭스, $({displaystyle$r})는$$ 단위질량당 엔트로피원으로 한다.그러면 엔트로피 부등식은 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle {cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega}\rho ~\eta ~{\text{d})V}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{d}A}}+\int _{\partial \Omega}{\bar {q}}~{\text{d}A}}+\int _{\Omega}\rho ~r~{\text{d}V}}}.$

스칼라 엔트로피 플럭스는 q ${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x\mathbf{}}$ ) ${\displaystyle \cdot }$ n$$\ $displaystyle { q$ } = - { \ $boldsymbol${ $psi$} （ $mathbf { x$ } \$cdot$ \ $mathbf${ n$}$） $under{\displaystyle \stackrel{}{}}$ the the the - = = - ${\displaystyle n\mathit{}}$ n n n ${\displaystyle n\mathbf{}}$ n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

$(\displaystyle\boldsymbol\psi }}(\mathbf {x}) = displayac {\mathbf {q}(\mathbf {x})} {T}}~;~r=cfrac {s}{T}}}$

$여기$서$$q {\$displaystyle \mathbf {q}$는 열 플럭스 벡터,$s{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ s$}$는 단위 질량당 에너지원,$T{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ T$}$는 시간$t{\displaystyle }$ {\$displaystyle$$$t$\}$에서$재료 지점의$절대 온도입니다$.$

그러면 클라우시우스가...적분 형태의 듀헴 부등식:

${\displaystyle {{\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{d})V}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{d}A}-\int _{\partial \Omega}{\cfrac {mathbf {q} \cdot \mathbf {n} {T} ~ {\text{d}A}}+\int _{\Omega}{\cfrac {rho ~s}{T}}~{\text{d}V}}}}}:$

우리는 엔트로피 부등식이 다음과 같이 미분 형태로 쓰여질 수 있다는 것을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle {rho ~{\dot {eta }}\geq - {\boldsymbol {nabla }}\cdot \left({\cfrac {mathbf {q}}})+{\cfrac {rho ~s}{\c}T}}}}}:$

코시 스트레스와 내부 에너지 측면에서 클라우시우스-Duhem 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle {rho ~({\dot {e}-T}~{\dot {\boldsymbol {nabla}}}}:{\mathbf {v}\leq - {\cfrac {q}\cdotsymbol {nabla}}}T}:{\boldsymboldmbl}}}$

적용들

• 연속체 역학
  • 고체 역학
  • 유체역학
• 공학 기술
  • 토목 공학
  • 기계 공학
  • 항공우주공학
  • 바이오메디컬 엔지니어링
  • 화학 공학

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설명 메모

레퍼런스

인용문

인용된 작품

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외부 링크

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