카우치 원금

수학에서, Augustin Louis Cauchy의 이름을 딴 Cauchy 기본값은 정의되지 않은 어떤 부적절한 통합에 값을 할당하는 방법이다.

공식화

cauchy principle value는 integrand $f$ 의 특이점 유형에 따라 다음 규칙에 따라 정의된다.

For a singularity at the finite number

b

\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\left[\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x~+~\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right]

<

a<b<c

a<b<c

{\displaystyle a<c>

와

a<b<c

함께, 여기서

b

는 기능

f

의 동작이 다음과 같은 어려운 지점이다.

\int _{a}^{b(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infult \cHB

어느

b>

에 대해서도.

\int _{b}^{c(x)\,\mathrm {d}x=\mp \inflt \infit \mp }

b<c.

<

b<c.

b.c.

에 대해 (표기 ± 및 ∓의 정확한 사용에 대해서는 + 또는 마이너스 참조).

b<c.

For a singularity at infinity (

\infty

)

\lim _{a\to \infit }\,\int_{-a}^{a(x)\,\mathrm {d}x

어디에

\int _{-\nf(x)\^{0}f(x)\,\mathrm {d}x=\pm \inflt \inft

그리고

\int _{0}^{\inf(x)\,\mathrm {d}x=\mp \inflt.

경우에 따라서는 유한수 $b$ 와 무한에서 모두 특이점을 동시에 다룰 필요가 있다.이것은 보통 양식의 한계에 의해 행해진다.

\lim _{\;\eta \to 0^{+}}\,\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}}\,\left[\,\int _{b-{\frac {1}{\eta }}}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,~+~\int _{b+\varepsilon }^{b+{\frac {1}{\eta }}}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right].

적분을 두 개의 독립적이고 유한한 한계로 분할할 수 있는 경우,

{\dapplaystyle \lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\왼쪽 \, {a}^{b-\b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d}x\, \\;\c;\infit }

그리고

{\dapplaystyle \lim _{\;\eta \to 0^{+}\;\왼쪽 \,\int_{b+\eta }^{c(x)\,\mathrm {d}x\, \\\\\\fitty,}

그러면 그 기능은 일반적인 의미에서 통합될 수 있다.원금 가치에 대한 절차의 결과는 일반 적분과 동일하다. 원금 가치의 정의와 더 이상 일치하지 않기 때문에 기술적으로 "원금 가치"가 아니다.Cauchy 기본값은

f(z):z=x+i\,y\;,

등고선

C

에 폴이 있는

x,y\in \mathbb {R} \;,

x,y\in \mathbb {R} \;,

,

f(z):z=x+i\,y\;,

x,y\in \mathbb {R} \;,

,

{\displaystyle f(z):z=x+i\,y\,},

x

f(z):z=x+i\,y\;,

, y

x,y\in \mathbb {R} \;,

x,y\in \mathbb {R} \;,

,

x,y\in \mathb {R

의 등고선 통합 측면에서도 정의할 수 있다

f(z):z=x+i\,y\;,

C (

C(\varepsilon )

)

{\displaystyle

C

(\varepsilon )}

을(를) 동일한 윤곽선으로 정의하십시오

C(\varepsilon )

. 여기서 극 주위의 반경

radius

의 디스크 내부 부분이 제거되었다.

함수

f(z)

f (

f(z)

)

f(z)

{\

displaystyle

f

(z)}

이(가) 아무리

C(\varepsilon )

C(\varepsilon )

(

display

) {\

displaystyle

C

(\varepsilon )}

에 대해 통합할 수 있다면

f(z)

, Cauchy principle 값은 다음과 같은 한도가 된다.^[1]

\displaystyle \vmsname {p.\!v.} \int _{C}f(z)\\mathrm {d} z=\lim _{\barepsilon \to 0^{+}\int_{C(\varepsilon )}f(z)\,\mathrm {d}z.}

Lebesgue-integrated 함수의 경우, 즉 절대값으로 통합할 수 있는 함수의 경우, 이러한 정의는 적분의 표준 정의와 일치한다.함수

f(z)

(

){\displaystyle f(z)}

가

f(z)

meromorphic인 경우, Sokhotski-Plemelj 정리는

C

에 대한 적분들의 기본값을 위아래로 약간 변위된 등고선을 가진 적분들의 평균값과 연관시켜 그러한 적분들에 잔여 정리를 적용할 수 있다.주된 가치 통합은 힐버트 변환의 논의에서 중심적인 역할을 한다.^[2]

분포이론

${C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )$ ${C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )$ ${C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )$ ( ${C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )$ ) ${\displaystyle {C_{c_}^{\infit }}}}}}}(\mathb {R})$ 을 범프 함수의 집합으로 ${C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )$ 두십시오 $\mathbb {R}$ 즉, 실제 $\mathbb {R}$ R $\mathbb {R}$ {\ $displaystyle \mathb {R}}$ 에 콤팩트하게 지지된 부드러운 함수의 공간. 그런 다음 지도에 두십시오.

\displaystyle \vmsname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}\오른쪽)\,:\,{C_{c}^{\nft }}}(\mathb {R})\to \mathb {C}}}}}

Cauchy 기본값을 통해 다음과 같이 정의된다.

왼쪽[\displaystyle \ft[\displayname {p].\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\right](u)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\mathbb {R} \setminus [-\varepsilon ,\varepsilon ]}{\frac {u(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\quad {\text{for }}u\in {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )}

분포다.지도 자체를 주값(표기법 p.v.)이라고 부르기도 한다.예를 들어, 이 분포는 수화 함수의 푸리에 변환과 Hubiside 스텝 함수에 나타난다.

분포로서 잘 정의됨

한계의 존재를 증명하기 위해.

\int_{0}^{0}^{+\inflat }{\frac {u(x)-u}x)}{x}\,\mathrm {d}x}x

Schwartz 함수

u(x)

(

u(x)

)

u(x)

의 경우

u(x)

먼저

{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}

-

{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}

) -

{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}

( - ) x

{\

x}}}}}}이

{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}

[0,\infty ),

(

[0 , {\

displaysty

[

0,\}

에 연속되어 있는지 관찰하십시오.

\lim _{\,x\searrow 0\,}\;{\bigl [}u(x)-u(-x){\Bigr ]}~=0~

그래서

\lim \{x\prow 0}\,{\frac {u(x)-u)x)}{x}}}~{x}=~\im _{\\\\\cH00\,{\frac {u'+u'(-x)}{1}~=~2u'(0),},

u'(x)

(

u'(x)

)

u'(x)

은(는) 연속적이고

u'(x)

L'Hopital의 규칙이 적용되기 때문에.

Therefore, $\int _{0}^{1}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x$ exists and by applying the mean value theorem to $u(x)-u(-x),$ we get:

\left \,\int _{0}^{1}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\,\right \;\leq \;\int _{0}^{1}{\frac {{\bigl  }u(x)-u(-x){\bigr  }}{x}}\,\mathrm {d} x\;\leq \;\int _{0}^{1}\,{\frac {\,2x\,}{x}}\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl  }u'(x){\Bigr  }\,\mathrm {d} x\;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl  }u'(x){\Bigr  }~.

그리고 더 나아가서:

\left \,\int _{1}^{\infty }{\frac {\;u(x)-u(-x)\;}{x}}\,\mathrm {d} x\,\right \;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl  }x\cdot u(x){\Bigr  }~\cdot \;\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\,x^{2}\,}}\;=\;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl  }x\cdot u(x){\Bigr  }~,

우리는 그 지도가

\operatorname {p.v.} \;\왼쪽({\frac {1}{\,x\,}}\,:\,{C_{c}^{\inflt })(\mathb {R})\mathb {C}}}}}}}

슈워츠 함수

u

u

에 대한 일반적인 세미노름에 의해 제한된다

u

따라서 이 지도는 분명히 선형인 것처럼 슈워츠 공간의 연속적인 기능이며 따라서 강화분포를 정의한다.

증명에는 0과 $x\,u$ $x\,u$ 의 인접 지역에서 무한대로의 경계가 되는 $x\,u$ u $x\,u$ 이(가) 계속 다를 수 있도록 $u$ $u$ $u$ 이(가) 필요할 뿐이라는 점에 유의하십시오.따라서 기본값은 콤팩트한 지원으로 통합할 $u$ 수 있고 0에서 구별할 수 있는 $u$ $u$ 과 같은 훨씬 더 약한 가정에 대해 정의된다.

더 일반적인 정의

주 값은 함수 $x$ $x$ 의 역분포이며 이 속성을 $x$ 가진 거의 유일한 분포입니다.

xf=1\quad \Leftrightarrow \quad \exists K:\;\;f=\operatorname {p.\!v.} \왼쪽({\frac {1}{x}\오른쪽)+K\delta ,

여기서

K

K

은

K

(는) 상수와

\delta

\delta

Dirac 분포.

보다 넓은 의미에서 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ { $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ ^{ $n}}}$ 에 대한 단일 적분 커널의 광범위한 클래스에 대해 주값을 정의할 수 있다 $\mathbb {R} ^{n}$ $K$ $K$ 이(가) 원점에 격리된 특이점을 가지고 있지만 $K$ 다른 "좋음" 함수라면 주값 분포는 콤팩트하게 정의된다.매끄러운 기능을 에 의해 변형했다.

[\displayname {p.\!v.} (K)]=\lim _{\varepsilon \to 0}\int_{\mathb {R}^{n}\setminus B_{\varepsilon }f(x)K(x)\,\mathrm {d}x.

그러한 한계는 잘 정의되지 않을 수도 있고, 잘 정의될 수도 있으며, 반드시 분포를 정의하지는 않을 수도 있다.그러나

K

K

이

K

(가) 원점을 중심으로 하는 모든 구에 대한 적분인

-n

-n

{\

displaystyle -n}

의 연속적인 동종 함수인 경우 잘 정의된다.예를 들어 리에즈 변환이 그렇다.

예

다음 두 가지 한계값을 고려하십시오.

\lim _{a\to 0+}\왼쪽(\int _{-1}^{-a}{d}x}+\int _{a}^{1}{a}^{1}{\frac {d}x}}\right)=0,

이것은 다르게 정의되지 않은 표현식의 Cauchy 기본 값이다.

\int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d}x},{\text{{}},{\text{{}}}{-\\flotty }+\text{\text{}}}}}}}}을(이)}}.

또한:

\lim_{a\to 0+}\왼쪽(\int_{-1}^{-2a}{\frac {d}x}+\int_{a}^{1}{a}^{1}{\frac {d}x}\right)=\ln 2.

마찬가지로, 우리는

\lim_{a\to \inflt }\int_{-a}^{a}{2x\,\mathrm {d}x^{x^{2}+1}=0,

이것이 다르게 정의되지 않은 표현식의 주된 값이다.

\int_{-\inflt _{-\inflt }{2x\,\mathrm {d}{x^{2}+1}:{\text{{}}}}{{-\inflt }+1}{{}\infltext{\infltext{\}}}}}}}}}}}}}}}}}\infltext)}}.

그렇지만

\lim _{a\to \inflt }\{-2a}^{a}{2x\,\mathrm {d}x^{x^{x^{2}+1}=-\ln 4.

표기법

다른 저자는 함수 $f$ $f$ 의 Cauchy principle value에 대해 다른 표기법을 사용한다 $f$

{\daystyle PV\int f(x)\,\mathrm {d} x,}

{\daystyle \mathrm {p.v.} \int f(x)\,\mathrm {d} x,}

{\daystyle \int _{L}^{*}f(z)\,\mathrm {d}z,}

디스플레이 스타일 -\!\!\!\!\!\int f(x)\,\mathrm {d} x,}

P

(CPV),

,

P,

P

P,

.

{\mathcal {P}},

{\mathcal {P},

P_{v},

P_{v},

{\displaystyle P_{v

(CPV),

(

(CPV),

P V ), {\displaystyle

(

V.P.

참고 항목

참조

^ Kanwal, Ram P. (1996). Linear Integral Equations: Theory and technique (2nd ed.). Boston, MA: Birkhäuser. p. 191. ISBN 0-8176-3940-3 – via Google Books.
^ King, Frederick W. (2009). Hilbert Transforms. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88762-5.

[Kanwal-1] Kanwal, Ram P. (1996). Linear Integral Equations: Theory and technique (2nd ed.). Boston, MA: Birkhäuser. p. 191. ISBN 0-8176-3940-3 – via Google Books.

[King-2] King, Frederick W. (2009). Hilbert Transforms. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88762-5.

[1]

[2]

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목차

공식화

분포이론

분포로서 잘 정의됨

더 일반적인 정의

예

표기법

참고 항목

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