베타 음이항 분포

베타 음성 이항 분포

매개변수	> ${\displaystyle \alpha >0}$ 모양(실제) > ${\displaystyle \property >0}$ 모양(실제) > ${\displaystyle r>0}$ — 실험이 중지될 때까지의 성공 횟수(실제로 확장 가능)
지원	k ∈ { 0, 1, 2, 3, ...}
PMF	${\displaystyle {\frac {\mathrm {B}(r+k,\alpha +\beta )}{\mathrm {B}(r,\alpha )}}{\frac {\gamma(k+\beta )}{k!\\감마(\베타 )}}}$
평균	${\displaystyle{\case}{\frac {r\fract {r\precent{1}{\text{if}}\\property >1\\\\text{precent}\\end{case}}}}}}}$
분산	${\displaystyle {\frac {r(\reason +r-1)\reason(\fract +r-1)}{(\filency -2){{{n1}^{2}}}{{\text}}\profit &{\case{case}}}}}}}}}$
왜도	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {(\alpha +2r-1)(\alpha +2\beta -1)}{(\alpha -3){\sqrt {\frac {r(\alpha +r-1)\beta (\alpha +\beta -1)}{\alpha -2}}}}}&{\text{if}}\ \alpha >3\\\infty &{\text{otherwise}}\ \end{cases}}}$
MGF	존재하지 않음
CF	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta +r)\Gamma (\alpha )}}{}_{2}F_{1}(r,\beta ;\alpha +\beta +r;e^{it})\!$$}$ 여기서$$ $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$은(는) 감마함수$,$2 ${\displaystyle {F\mathrm{}}_{}}$ 1 {\$displaystyle${}_${2}F_{$1}1}은 초기하함수다.

확률론에서 베타 음이항 분포는 개별 랜덤 변수 X의 확률 분포로, 주어진 실험 내에서 일정하지만 각 실험에서 성공 확률 p가 무작위 변수 그 자체인 독립 베르누이 실험의 연속적인 성공에서 r의 성공을 얻는 데 필요한 실패 횟수와 같다.e 베타 분포를 따르는 것으로, 다른 실험들 사이에 변화한다.따라서 분포는 복합 확률 분포다.null

이 분포는 역 마르코프-폴랴 분포와 일반화된 워링 분포라고도 불린다.^[1]분포의 변화된 형태를 베타-파스칼 분포라고 부른다.^[1]null

베타 분포의 파라미터가 α와 β인 경우 및

${\displaystyle X\mid p\sim \mathrm {NB}(r,p),}$

어디에

${\displaystyle p\sim {\textrm {B}(\alpha ,\beta ),}$

X의 한계 분포는 베타 음의 이항 분포다.

${\displaystyle X\sim \mathrm {BNB}(r,\alpha ,\beta).}$

위의 경우 NB(r, p)는 음이항분포, B(α, β)는 베타분포다.null

정의

$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$이(가) 정수일 경우, PMF는 베타 함수의 관점에서 작성될 수 있다.

${\displaystyle f(k \alpha ,\beta ,r)={\binom {r+k-1}{k}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$.

보다 일반적으로 PMF를 작성할 수 있음

${\displaystyle f(k \alpha ,\beta ,r)={\frac {\감마(r+k)}{k!\\감마(r)}{\frac {\mathrm {B}(\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B}(\alpha ,\beta )}}}}$

또는

${\displaystyle f(k \alpha ,\beta ,r)={\frac {\mathrm {B} (r+k,\alpha +\beta )}{\mathrm {B} (r,\alpha )}}{\frac {\Gamma (k+\beta )}{k!$$\;\감마(\베타$ $)\}\}\}.$

감마선으로 표현된 PMF

베타 함수의 속성을 사용하여 정수 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$을(를) 가진 PMF를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다$$.

${\displaystyle f(k \alpha ,\beta ,r)={\binom {r+k-1}{k}}{\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +r+\beta +k)\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}}$.

보다 일반적으로 PMF는 다음과 같이 작성될 수 있다.

${\displaystyle f(k \alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!$$\\감마(r)}{\frac {\$frac$(\alpha +r)\감마(\beta +k)\감마(\beta$+k$)}{\Alpha +r+\beta +k)}{\Alpha (\alpha )\감마(\beta$ $)\}\}\}\}\}\}\}\}\}$

상승 Pochammer 기호로 표현된 PMF

PMF는 종종 $정수{\displaystyle }$ r$${\$displaystyle$r}에 대한 Pochammer 기호로 표시되기도 한다.

${\displaystyle f(k \cH00\r)={\frac {r^{{r^{(k)}\filency ^{(k)}}{k!(\fla +\filences )^{(r)}(r+\fla +)^{(k)}}}}}}}}}}}}$

특성.

식별 불가

베타 음이항은 식별이 불가능하며, 위의 농도나 특성함수에서 r$${\$displaystyle r}$과 β ${\displaystyle \beta }$을(를) 단순히 스와핑하여 변경되지 않는다는 것을 알아두면 쉽게 알 수 있다.따라서 추정을 $통해{\displaystyle }$ r$${\$displaystyle r$ $\beta {\displaystyle }${\$displaystyle \beta$} 또는$$ 둘 모두에 제약 조건을 적용할 것을 요구한다.null

기타 분포와의 관계

베타 음이항 분포는 $r{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle r=1}$일 때 베타 기하 분포를 특수한 경우로서 포함하고 있으므로 임의로 기하 분포를 잘 근접시킬 수 있다$.$또한 대형 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ 및$$ $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$에 대한 음의 이항 분포 임의의 웰에 근사하므로 대형 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha },$$\beta {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\$$bea$ $}$ 및$$ $}$에 대한 포아송 분포의 임의로 근사할 수 있다$.$

무거운 꼬리

스털링의 베타 함수에 대한 근사치를 보면 쉽게 알 수 있다.

${\displaystyle f(k \alpha ,\beta ,r)\sim {\frac(\Alpha +r)}{\\감마(r)\mathrm {B}(\alpha ,\beta )}{\frac {k^{r-1}{{(\beta +k)^{r+\alpha }}}}}}}}$

이는 베타 음의 이항 분포가 무거운 꼬리 부분이며 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$보다 작거나 같은 순간은 존재하지$$ 않음을 의미한다.null

베타 기하 분포

베타 기하 분포는 ${\displaystyle \mathrm{r}}$= 1 ${\displaystyle r=1}$에 대해 발생하는 베타 음이항 분포의 중요한 특별한 경우다$.$ 이 경우 pmf는 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle f(k}$ ${\displaystyle \alpha }$ ,${\displaystyle \beta }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle B\frac{\mathrm{}}{}}$(${\displaystyle \frac{\alpha }{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$,${\displaystyle \frac{\beta }{}}$+ k${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$(${\displaystyle \frac{\alpha }{}}$ ,${\displaystyle \frac{\beta }{}}$) ${\$alpha ,\$beta$ $)\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}.$

이 분포는 BTYD(Buy Till You Die) 모델에서 사용된다.null

또한 $\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \beta$=1}이$($가) 되면 베타$$ 기하학적 구조가 Yule-Simon 분포로 감소한다.그러나 베타 기하학의 변화된 버전의 관점에서 Yule-Simon 분포를 정의하는 것이 더 일반적이다.특히 $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$(${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$, 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ X$\sim BG(\alpha ,1)}$이면 $X{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$~ Y ${\displaystyle S}$(${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle$ X$+1\sim YS(\alpha$ $)\}.$

참고 항목

• 음이항 분포
• 디리클레 음 다항 분포

메모들

참조

• 존슨, N.L.; 코츠, S.; 켐프, A.W. (1993) 유니바리테 이산분포, 2판, 와일리 ISBN0-471-54897-9 (제6.2.3절)
• C.D. C.D.; Kemp, A.W. (1956) "일반화된 초지하 분포, 왕립통계학회지, 시리즈 B, 18, 202–211
• 왕, 자오량(2011년) "부정 이항 분포와 응용을 혼합", 통계 계획 및 추론 141(3), 1153-1160 도이:10.1016/j.jspi 2010.09.020

외부 링크

• 대화형 그래픽:일변량 분포 관계