발진 적분

수학적 분석에서 발진 적분은 분포의 한 유형이다.발진적 통합은 순진한 수준에서 서로 다른 통합을 사용하는 것처럼 보이는 많은 엄격한 주장을 한다.많은 미분 방정식에 대한 대략적인 솔루션 연산자를 진동 통합으로 나타낼 수 있다.

정의

진동 적분 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$은(는) 다음과 같이 공식적으로 기록된다.

${\displaystyle f(x)=\int e^{i\phi (x,\xi )}\,a(x,\xi )\,\mathrm {d}\xi \xi}$

where ${\displaystyle \phi (x,\xi )}$ and ${\displaystyle a(x,\xi )}$ are functions defined on ${\displaystyle \mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N}}$ with the following properties.

1) 함수 ${\displaystyle$\$pi$$$}은$$(는) 실제 값이며, 도 1의 양의 균일하며$,{\displaystyle }$ { $\xi {\displaystyle }$${\displaystyle }$= 0${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ $\{\$$xi =0\}}$와는 무한히 다른 기능을 가지고 있다고 가정한다$.$ 또한, $\{\$$displaystystytype$ $a}$의 지원에는 중요한 포인트가 없다고$$ 가정한다. 이와 같은 함수$\varphi {\displaystyle }$.$aystyle \phi }$은(는) 보통 위상함수라고 불린다$$.어떤 맥락에서는 보다 일반적인 기능을 고려하며, 여전히 위상 함수로 언급된다.

2) The function ${\displaystyle a}$ belongs to one of the symbol classes ${\displaystyle S_{1,0}^{m}(\mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N})}$ for some ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$. Intuitively, these symbol classes generalize the notion of positively h정도 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$의 이종 함수$.$ 위상 함수 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$과 마찬가지로$,$ 경우에 따라 ${\displaystyle a}$ $함수$는 더 일반적이거나 단지 다른 등급으로 간주된다$$.

언제 m<>− N{\displaystyle f())}converges())모든){\displaystyle)}서 f()){\displaystyle f())}의 정의의 더 이상 논의는 필요 없다고 공식적인 적분을 정의하는 f{\displaystyle m<, -N}. 그러나 m≥− N{m\geq -N\displaystyle}이 진동하는 적분이다. 여전히적분이 수렴하지 않더라도$$ R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 분포로 정의된다.In this case the distribution ${\displaystyle f(x)}$ is defined by using the fact that ${\displaystyle a(x,\xi )\in S_{1,0}^{m}(\mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N})}$ may be approximated by functions that have exponential decay in ${\displayst$$yle \xi }$. 가능한 한 가지 방법은 설정을 하는 것이다.

${\displaystyle f(x)=\lim \opsilon \rightarrow 0^{+}\int e^{i\xi )\,a(x,\x)\e^{-\ipsilon \xi ^{2}/2}\mathrm {d} \xi}}$

강화 분포의 의미로 한도를 취하는 경우.부품별 통합을 사용하면 이 한계가 잘 정의되어 있으며 슈워츠 공간의 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$에 작용하는$$ 결과 $분포{\displaystyle }$ f${\displaystyle (x}$) ${\displaystyle f(x)}$이(가) 주어지는 것과$$ 같은 차동 연산자 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(가) 있음을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle \langle f,\psi \langle =\int e^{i\phi(x,\xi )}L\left(a(x,\xi )\\\psi(오른쪽)\\\\\\\mathrm {d}\mathrmatrm {d}\xi }}}}}}$

이 일체형이 절대적으로 수렴되는 곳이지연산자 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은(는) 고유하게 정의되지 않지만 위상 함수 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi$ $기호$ a ${\displaystyle a$ $N{\displaystyle }$$$${\displaystyle N}$에만 의존하는 방식으로 선택할 수 있다$.$ 실제로 $정수{\displaystyle }$ M$${\$displaystyle M}$이 있다$$.연산자 $L{\displaystyle }$ $displaystyle$$L}$을(를$)$ 찾으면 위의$$ 통합이 $C{\displaystyle (1}$+ ${\displaystyle \xi {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle M^{}}$ ${\$$xi$ $)^{-M}$에 의해 충분히$$ 커진다.이것이 기호 클래스의 정의의 주요 목적이다.

예

많은 친숙한 분포는 진동 통합으로 쓰여질 수 있다.

1) Fourier 반전 정리는 델타 함수 $\Delta {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ )${\displaystyle \delta (x)}$이(가) 다음과 같다는 것을 암시한다.

${\displaystyle {\frac {1}{{(\pi )}^{n}}\int_{\mathb {R}^{n}^{n}e^{ix\cdot \,\mathrm {d} \xi.}$

위에서부터 이 진동 적분을 정의하는 첫 번째 방법과 가우스인의 푸리에 변환을 적용하면 델타 함수에 근접한 잘 알려진 일련의 함수를 얻게 된다.

${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }e^{-\varepsilon \xi ^{2}/2}\mathrm {d} \xi =\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{({\sqrt {2\pi \varepsilon }})^{n}}}e^{- x ^{2}/(2\varepsilon )}.}$

이 경우$$ 연산자 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은(는) 예를 들어

${\displaystyle L={\frac {(1-\Delta _{x})^{k}}{{{k}}}}{{k}}}}}}}}}}}$

여기서 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$은$($는) x {\$displaystyle$ x$}$ 변수에$$ 대한 라플라크식이고 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$은$({\displaystyle }$는) (${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1${\displaystyle /}$ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystystyle (n-1)/2}$보다 큰 정수입니다$.$ 실제로 이$$ $L{\displaystyle }$ ${\\dis L$을(L}

${\displaystyle \langle \delta ,\psi \rangle =\psi (0)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }L(\psi )(x,\xi )\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} x,}$

그리고 이 통합은 절대적으로 수렴된다.

2) 차동 연산자의 슈워츠 커널은 진동 적분으로 쓸 수 있다.과연

${\displaystyle L=\sum \limits _{\alpha \leq m}p_{\\alpha }(x)D^{\alpha }}}}}$

여기서 $D{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$=${\displaystyle {\mathrm{}}_{\alpha }^{}}$ = ${\displaystyle \alpha {}^{}{}_{}^{}}$/ i ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ $displaystyle D^{\alpha }=\partial _{x}^{$x}^{\$alpha }/i^{ \alpha$ $\}\}\}\}\}\}\}\}\}\},$ $그러면{\displaystyle }$ L ${\displaystystyle L}$의 커널이 주어진다$$.

${\displaystyle {\frac {1}{{n1}^{n}}\int _{\mathb {R}{n}}^{n}e^{i\xi \cdot (x-y)}\sum \limits \\\ \leq m}p_{\lapta }\},\mathrmathrmax}\d}}$

라그랑지 분포와의 관계

모든 라그랑고 분포는 진동 통합으로 로컬로 나타낼 수 있다. (Hörmander(1983) 참조)반대로 모든 진동 적분은 라그랑고 분포다.이것은 진동 통합으로 표현될 수 있는 분포의 유형에 대한 정확한 설명을 제공한다.

참고 항목

Wikiquote는 다음과 관련된 인용구를 가지고 있다: 진동 적분

• 리만-레베그 보조정리
• 판데르 코르푸트 보조정리

참조

• Hörmander, Lars (1983), The Analysis of Linear Partial Differential Operators IV, Springer-Verlag, ISBN 0-387-13829-3
• Hörmander, Lars (1971), "Fourier integral operators I", Acta Math., 127: 79–183, doi:10.1007/bf02392052