음이항 분포

다른 텍스트(그리고 이 문서의 다른 부분)는 음의 이항 분포에 대해 약간 다른 정의를 채택한다.이러한 매개변수는 지원이 k = 0에서 시작되는지 k = r에서 시작되는지 여부, p가 성공 또는 실패 확률을 나타내는지 여부, r이 성공 또는 실패를 나타내는지 여부에 따라 구별할 수 있으며, 따라서 사용된 특정 매개변수를 식별하는 것이 주어진 텍스트에서 중요하다.
	확률질량함수; 주황색 선은 각 그림에서 10과 같은 평균을 나타내고 녹색 선은 표준 편차를 나타냅니다.
표기법
파라미터	r > 0 :실험이 정지될 때까지의 실패 횟수(실제로도 정의가 확장 가능); p ≤ [0,1] - 각 실험의 성공 확률(실제)
지지하다	k ∈ { 0 、 1, 2, 3, ...} : 성공 횟수
PMF	k ( k+ - k ) ( - ) k, \ k \ + r - \ k } \ ( 1 - )^{^{ }
CDF	1 - p ( + ,), \ k1, 정규화된 불완전 베타 함수
의미하다
모드
분산
왜도
예: 첨도
MGF
CF
PGF
피셔 정보
모멘트의 방법	;

확률론과 통계학에서 음이항 분포는 특정한 (랜덤하지 않은) 실패 횟수(^[2]r)가 발생하기 전에 일련의 독립적이고 동일한 분포의 베르누이 시행에서 성공 횟수를 모형화하는 이산 확률 분포입니다.예를 들어, 다이에 6을 굴리는 것을 성공으로 정의하고 다른 숫자를 굴리는 것을 실패로 정의할 수 있으며, 세 번째 실패(r = 3)가 확인되기 전에 얼마나 많은 성공적인 롤이 발생하는지 물어볼 수 있습니다.이 경우 나타나는 고장 횟수의 확률 분포는 음의 이항 분포가 됩니다.마찬가지로 음의 이항 분포를 사용하여 특정 기계가 고장 나기 전의 작업 일수를 모형화할 수 있습니다(r = 1).이것은 일종의 이항 분포입니다.

파스칼 분포(블레이즈 파스칼 이후)와 폴리아 분포(조지 폴랴의 경우)는 음이항 분포의 특수한 경우입니다.엔지니어, 기후학자 등에서는 정수값 정지시간 파라미터 r의 경우 "음수 이항" 또는 "Pascal"을 사용하고 실수값의 경우 "Polya"를 사용하는 것이 관례이다.

토네이도 발생과 같은 관련 이산 사건 발생의 경우, 폴리아 분포를 사용하여 포아송과 달리 평균과 분산을 다르게 함으로써 포아송 분포보다 더 정확한 모델을 제공할 수 있다.음의 이항 분포는 $\mu /(1-p)$ μ $\mu /(1-p)$ / ( $\mu /(1-p)$ 1 - $\mu /(1-p)$ $){$ $displaystyle$ \ $mu$ $\mu /(1-p)$ / ( $1$ - p $\mu /(1-p)$ 이며, 분포는 p $→$ $p\to 0$ (\ $displaystyle p\$ $to$ 0 $\mu$ 의 $p\to 0$ $p\to 0$ 에서 포아송과 동일합니다. 이 분포는 포아송 분포의 대안으로 유용하게 사용될 수 있습니다.예를 들어, 포아송 회귀 분석을 강력하게 수정하는 데 사용됩니다.역학에서는 감염 가능성이 개인에 따라 그리고 ^[3]환경에 따라 상당히 다를 수 있는 감염성 질환의 질병 전염 모델화에 사용되어 왔다.일반적으로 사건이 양의 공분산 항으로 인해 발생이 독립적이었던 경우보다 양의 상관 관계가 있는 발생이 더 큰 분산을 일으키는 경우에 적절할 수 있습니다.

"음수 이항"이라는 용어는 분포의 확률 질량 함수에 대한 공식에 나타나는 특정 이항 계수가 음수로 ^[4]더 간단하게 기록될 수 있기 때문에 발생할 수 있습니다.

정의들

독립적인 베르누이 시행의 시퀀스가 있다고 가정합니다.각 시행에는 "성공"과 "실패"라는 두 가지 잠재적 결과가 있습니다.각 시행에서 성공 확률은 p이고 실패 확률은 (1 - p)입니다.이 시퀀스는 사전 정의된 횟수 r의 성공이 발생할 때까지 관찰됩니다.여기서 본 랜덤 고장 수 X는 음의 이항(또는 Pascal) 분포를 가집니다.

X\sim \operatorname {NB} (r,p)

확률질량함수

음이항 분포의 확률 질량 함수는 다음과 같습니다.

f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)=binom {k+r-1}{r-1}(1-p)^{k}p^{r

여기서 r은 성공 횟수, k는 실패 횟수, p는 성공 확률입니다.이 공식은 사이드바의 대체 공식입니다.이 공식에서 평균은 ${(1-p)r}/{p}$ ( ${(1-p)r}/{p}$ ${(1-p)r}/{p}$ ) ${(1-p)r}/{p}$ / ${(1-p)r}/{p}$ { $(1-p) r$ / { $p$ $}$ 이고 ${(1-p)r}/{p}$ 분산은 ${(1-p)r}/{p^{2}}$ ( ${(1-p)r}/{p^{2}}$ ${(1-p)r}/{p^{2}}$ ) ${(1-p)r}/{p^{2}}$ / ${(1-p)r}/{p^{2}}$ 2 { $display$ style { ( $1-p)$ r} / {p $^{2$ 입니다.

여기서 괄호 안의 수량은 이항 계수이며 다음과 같습니다.

({displaystyle {k+r-1}{r-1}}=black {(k+r-1)!}{(r-1)!,(k)!}}=paramfrac {(k+r-1)(k+r-2)\paramm(r)}{(k)!}}.}

k+r 표본의 마지막이 정의상 성공이기 때문에 k+r-1 표본에서 k개의 고장이 선택됩니다.

이 수량은 "음수 이항"이라는 이름을 설명하는 대신 다음과 같은 방법으로 쓸 수 있다.

{\displaystyle\frac {(k+r-1)\displaym(r)}{(k)!}}\\[6pt]={}&(-1)^{k}{\frac {(-r)(-r-1)(-r-2)\flacm(-r-k+1)}{(k)!}=param1)^{k}{\binom {-r}{k}}.\end { aligned}}

마지막 식과 이항식을 사용하여 0 µp < 1 $q=1-p$ $q=1-p$ $q=1-p$ 1 $q=1-p$ - $q=1-p$ \ $display style$ q $q=1-p$ = 1 - $q=1-p$ p $q=1-p$ 0 0 、

{{-r}=(1-q)^{-r}=\sum _{k=0}^{\infty}{\binom {-r}{k}(-q)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty}{\binom {k+r-1}^{k}}}}{\infty}}}

따라서 확률 질량 함수의 조건은 실제로 아래와 같이 1이 된다.

_{k=0}^{\infty}{\binom {k+r-1}{k}(1-p)^{k}p^{r}=p^{r}=1

확률 질량 함수에 대한 위의 정의를 이해하기 위해, k + r 시행의 결과는 독립적으로 발생해야 하므로 r 성공과 k 실패의 모든 특정 시퀀스에 대한 확률은 p(1 - ^kp)라는 점에 유의하십시오^r.r번째 성공은 항상 마지막에 오므로 나머지 k + r - 1 시행 중에서 실패가 있는 k 시행을 선택하는 것이 좋습니다.조합적 해석으로 인해 위의 이항 계수는 k + r - 1 길이의 이 모든 시퀀스의 수를 정확하게 제공합니다.

누적분포함수

누적 분포 함수는 정규화된 불완전 베타 함수로 표시할 수 있습니다.

\displaystyle F(k;r,p)\equiv \Pr(X\leq k)=I_{p}(r,k+1)=1-I_{1-p}(k+1,r).}

이항 ^[5]분포의 누적 분포 함수로도 표시할 수 있습니다.

F(k;r,p)=F_{이항}(k;n=k+r,p).

대체 제제

일부 출처는 여기서의 1차 분포와 약간 다르게 음의 이항 분포를 정의할 수 있습니다.가장 일반적인 변화는 랜덤 변수 X가 서로 다른 것들을 세는 것입니다.다음 표에서 이러한 변화를 확인할 수 있습니다.

	X가 세고 있다...	확률질량함수	공식	대체식 (등가 이항 사용)	대체식 ( ${\textstyle n=k+r}$ ${\textstyle n=k+r}$ + ${\textstyle n=k+r}$ { $textstyle$ n = $k$ + r ${\textstyle n=k+r}$ 을 사용하여 인증됨)	지지하다
1	k개의 실패, r개의 성공	$\textstyle f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)=}$	${\textstyle {k+r-1}{k}}p^{r}(1-p)^{k}$ ^[6]^[7]^[8]	${\textstyle {k+r-1}{r-1}p^{r}(1-p)^{k}}$ ^[9]^[10]^[11]^[12]	${\textstyle {binom {n-1}{k}}p^{r}(1-p)^{k}}$	${\displaystyle{text}k=0,1,2,\ldots}$
2	n개의 시행, r개의 성공이 주어진 경우	$\textstyle f(n;r,p)\equiv \Pr(X=n)=}$	${\textstyle {n-1}{r-1}p^{r}(1-p)^{n-r}}$ ^[7]^[12]^[13]^[14]^[15]	${\textstyle {binom {n-1} {n-r}}p^{r}(1-p)^{n-r}$	${\textstyle {binom {n-1}{k}}p^{r}(1-p)^{k}}$	${\displaystyle{text}n=r,r+1,r+2,\dotsc}$
3	시행 n회, 고장 r회	$\textstyle f(n;r,p)\equiv \Pr(X=n)=}$	${\textstyle {n-1}{r-1}p^{n-r}(1-p)^{r}$	${\textstyle {n-1}{n-r}p^{n-r}(1-p)^{r}$	${{textstyle {binom {n-1}{k}}p^{k}(1-p)^{r}}$	${\displaystyle{text}n=r,r+1,r+2,\dotsc}$
4	n개의 시행이 주어진 경우 r 성공	$\textstyle f(r;n,p)\equiv \Pr(X=r)=}$	이항 분포는 다음과 같습니다. ( ${\textstyle {\binom {n}{r}}p^{r}(1-p)^{n-r}}$ ) ${\textstyle {\binom {n}{r}}p^{r}(1-p)^{n-r}}$ ( ${\textstyle {\binom {n}{r}}p^{r}(1-p)^{n-r}}$ 1 - ${\textstyle {\binom {n}{r}}p^{r}(1-p)^{n-r}}$ p ) ${\textstyle {\binom {n}{r}}p^{r}(1-p)^{n-r}}$ - r { \ $textstyle$ { \ $binom$ { $n$ } { $r$ } $p^$ { $r$ } ( 1 - ${\textstyle {\binom {n}{r}}p^{r}(1-p)^{n-r}}$ )^{ n - ${\textstyle {\binom {n}{r}}p^{r}(1-p)^{n-r}}$ r }			$\displaystyle\text{for}r=0,1,2,\dotsc,n}$

음의 이항 분포에 대한 이러한 정의는 약간 다르지만 동등한 방법으로 표현될 수 있습니다.첫 번째 대체 공식은 단순히 이항 계수의 등가 형식이다 ${\textstyle {\binom {a}{b}}={\binom {a}{a-b}}\quad {\text{for }}\ 0\leq b\leq a}$ 즉, ( ${\textstyle {\binom {a}{b}}={\binom {a}{a-b}}\quad {\text{for }}\ 0\leq b\leq a}$ ${\textstyle {\binom {a}{b}}={\binom {a}{a-b}}\quad {\text{for }}\ 0\leq b\leq a}$ ${\textstyle {\binom {a}{b}}={\binom {a}{a-b}}\quad {\text{for }}\ 0\leq b\leq a}$ ) ${\textstyle {\binom {a}{b}}={\binom {a}{a-b}}\quad {\text{for }}\ 0\leq b\leq a}$ ${\textstyle {\binom {a}{b}}={\binom {a}{a-b}}\quad {\text{for }}\ 0\leq b\leq a}$ ${\textstyle {\binom {a}{b}}={\binom {a}{a-b}}\quad {\text{for }}\ 0\leq b\leq a}$ a ${\textstyle {\binom {a}{b}}={\binom {a}{a-b}}\quad {\text{for }}\ 0\leq b\leq a}$ { $textstyle$ { $b } =$ ( ${\textstyle {\binom {a}{b}}={\binom {a}{a-b}}\quad {\text{for }}\ 0\leq b\leq a}$ - ${\textstyle {\binom {a}{b}}={\binom {a}{a-b}}\quad {\text{for }}\ 0\leq b\leq a}$ b ) {\ a { textstyle { a } { a - b } = $binom$ { a } { a - b} $}$ \ $leq b leq$ a ${\textstyle {\binom {a}{b}}={\binom {a}{a-b}}\quad {\text{for }}\ 0\leq b\leq a}$ 두 번째 대체 공식은 총 시행 횟수가 단순히 성공과 실패 횟수, 즉 ${\textstyle n=r+k}$ ${\textstyle n=r+k}$ + ${\textstyle n=r+k}$ \ $textstyle$ n = ${\textstyle n=r+k}$ r + $k$ 라는 것을 인식함으로써 식을 다소 단순화한다.이러한 두 번째 공식은 이해하기 더 직관적일 수 있지만, 용어가 많을수록 실용적이지 않을 수 있습니다.

여기서 X는 주어진 r번의 성공에서 발생한k번의 실패 횟수입니다.이 정의는 이 문서에서 사용되는 주요 정의와 매우 유사하지만, k개의 성공과 r개의 실패는 카운트 대상과 주어진 것을 고려할 때 전환됩니다.그러나 p는 여전히 "성공" 확률을 나타냅니다.
여기서 X는 지정된 r번의 성공 횟수에 대해 발생한 n번의 시행 횟수입니다.이 정의는 정의 #2와 매우 유사하지만 k개의 실패 대신 r개의 성공이 주어집니다.그러나 p는 여전히 "성공" 확률을 나타냅니다.

음의 이항 분포의 정의는 모수 r이 양의 실수 값을 취할 수 있는 경우로 확장될 수 있습니다.정수 이외의 수의 "실패"를 시각화하는 것은 불가능하지만, 확률 질량 함수를 통해 분포를 공식적으로 정의할 수 있습니다.정의를 실제 값(양) r로 확장하는 문제는 감마 함수를 기반으로 이항 계수를 실제 값으로 확장하는 것으로 요약된다.

{{displaystyle {k+r-1}{k}}=param frac {(k+r-1)(k+r-2)\paramm(r)}{k!}}=gamfrac {Gamma(k+r)}{k!,\Gamma(r)}}

원래 정의에 이 식을 대입한 후, X에 확률 질량 함수가 있는 경우 음의 이항(또는 폴랴) 분포를 갖는다고 합니다.

f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)=sq{Gamma(k+r)}{k!,\Gamma(r)}}{k}p^{r}\text{k}=0,1,2,\dotsc

여기서 r은 실수의 양수입니다.

음이항 ^[16]회귀 분석에서 분포는 평균 ${\textstyle m={\frac {pr}{1-p}}}$ ${\textstyle m={\frac {pr}{1-p}}}$ ${\textstyle m={\frac {pr}{1-p}}}$ 1 - ${\textstyle m={\frac {pr}{1-p}}}$ {\ $textstyle$ m $= subscfrac$ {pr}{ $1-p$ 로 지정되며, 선형 회귀 분석 또는 기타 일반화 선형 모형에서와 같이 설명 변수와 관련된다.평균 m에 대한 식에서 ${\textstyle p={\frac {r}{m+r}}}$ ${\textstyle p={\frac {r}{m+r}}}$ ${\textstyle p={\frac {r}{m+r}}}$ m + ${\textstyle p={\frac {r}{m+r}}}$ {\ $textstyle$ p = $sublicfrac {r}$ { $m+r}}$ 및 ${\textstyle p={\frac {r}{m+r}}}$ ${\textstyle 1-p={\frac {m}{m+r}}}$ ${\textstyle 1-p={\frac {m}{m+r}}}$ + ${\textstyle 1-p={\frac {m}{m+r}}}$ {\ $textstyle 1-p=sublicfrac {m}{m+r$ 을 ${\textstyle p={\frac {r}{m+r}}}$ 할 수 있으며, 이러한 식을 r-값의 확률 질량 함수에 대입하면 이 산출된다.m의 조건:

\displaystyle \Pr(X=k)=paramfrac {k!,\Gamma(r)}}}\leftfrac {r}{r+m}\right)^{r}\leftfrac {m}{r}\frac {r}\right)^{k}\text{}k=0,1,2,\dotsc}

그 후 분산은 ${\textstyle m+{\frac {m^{2}}{r}}}$ + ${\textstyle m+{\frac {m^{2}}{r}}}$ r {\ $textstyle$ m $+{\frac {m^{2}}{$ r ${\textstyle m+{\frac {m^{2}}{r}}}$ 로 표기할 수 있습니다.일부 저자는 ${\textstyle \alpha ={\frac {1}{r}}}$ $=$ 1 ${\textstyle \alpha ={\frac {1}{r}}}$ {\ $textstyle$ \alpha = $authfrac {1}{$ $r$ 로 ${\textstyle \alpha ={\frac {1}{r}}}$ 하고 이 컨텍스트에서 m ${\textstyle m+\alpha m^{2}}$ + ${\textstyle m+\alpha m^{2}}$ ${\textstyle m+\alpha m^{2}}$ {\ $textstyle$ m $+\alpha$ m $}$ {\alpha}로 표현하기를 선호합니다.는 "분산 파라미터", "형상 파라미터" 또는 "반복계수"^[17] 또는 "불균일성"^[11] 또는 "반복성"^[16] 파라미터로 불립니다."집약"이라는 용어는 개별 유기체의 수를 설명할 때 생태학에서 특히 사용된다.0을 향한 집적 파라미터 r의 감소는 유기체의 집적 증가에 대응하며, 무한대를 향한 r의 증가는 포아송 회귀에서 설명할 수 있듯이 집적 부재를 나타낸다.

대체 파라미터화

분포는 평균 μ 및 분산 θ의² 관점에서 모수화되기도 합니다.

{displaystyle}&p={displayfrac ^{2},\[6pt]&r=displayfrac {{2}-\mu },\[3pt]&\Pr(X=k)={k}{k+\frac ^2}}^{k}\leftfrac\frac{\frac^{2}}\오른쪽)^{\mu^{2}/(\fright)}.\end { aligned}

예

사탕을 팔다

팻 콜리스는 초등학교 6학년 수학여행 자금을 마련하기 위해 캔디바를 팔아야 한다.팻은 캔디바 다섯 개가 팔릴 때까지 집에 돌아오지 않기로 되어 있다.그래서 아이는 집집마다 돌아다니며 캔디바를 판다.집집마다 사탕 한 개가 팔릴 확률은 0.6이고 아무것도 팔리지 않을 확률은 0.4입니다.

마지막 캔디바를 n번째 집에서 팔 확률이 얼마나 되나요?

캔디 판매에 충분한 횟수의 성공이 정지 기준을 정의합니다(판매에 실패하는 것이 아니라).이 경우 k는 실패 횟수를 나타내고 r은 성공 횟수를 나타냅니다.NegBin(r, p) 분포는 k + r Bernouli(p) 시행에서 k개의 실패 및 r 성공 확률을 마지막 시행에서 성공으로 나타낸다는 점을 기억하십시오.캔디바 다섯 개를 판다는 것은 다섯 개의 성공을 의미한다.따라서 시행 횟수(즉, 주택)는 k + 5 = n입니다.관심이 있는 랜덤 변수는 주택의 수이므로 k = n - 5를 NegBin(5, 0.4) 질량 함수로 대체하고 주택 분포의 다음과 같은 질량 함수를 구한다(n ≤ 5).

f(n)={(n-5)+5-1 \choose n-5}\;(1-0.4)^{5}={n-1 \choose n-5}\;3^{5}\;\frac {2^{n-5}}}}.

팻이 10번째 집에서 끝날 확률은 얼마나 되나요?

(\displaystyle f(10)=0.1003290624).\,}

팻이 여덟 번째 집에 도착하기 전에 끝낼 확률은 얼마나 되나요?

8번째 하우스나 그 전에 끝내려면 팻은 5번째, 6번째, 7번째 또는 8번째 하우스에서 끝내야 합니다.이러한 가능성을 종합합니다.

f(5)=0.07776,

f(6)=0.15552,

f(7)=0.14062,

f(8)=0.12018,

\displaystyle \sum _{j=5}^{8}f(j)=0.59408.}

팻이 이웃에 서 있는 30채의 집을 다 쓸 확률은 얼마나 되나요?

이는 Pat이 30번째 하우스까지 5번째 하우스에서 끝나지 않을 확률로 표현될 수 있습니다.

(\displaystyle 1-\sum _{j=5}^{30}f(j)=1-I_{0.4}(5,30-5+1)\약 1~0.9999342=0.00000658).}

팻이 각 집에 팔릴 확률이 높기 때문에(60%), 그녀가 자신의 목표를 달성하지 못할 가능성은 매우 희박합니다.

입원 기간

병원 입원 기간은 음의 이항 ^[18]분포를 사용하여 잘 모델링할 수 있는 실제 데이터의 한 예입니다.

특성.

기대.

모수 $(r,$ $p)$ 가 있는 음의 이항 분포에서 예상되는 총 성공 횟수는 rp/(1 - p)입니다.이를 확인하기 위해 음의 이항식을 시뮬레이션하는 실험이 여러 번 수행된다고 가정합니다.즉, r개의 고장이 얻어질 때까지 $일련$ 의 시행이 수행된 다음 다른 시행 집합, 그리고 다른 시행 집합 등이 수행됩니다. $각$ 실험에서 수행된 시행 횟수를 a, $b,$ $c,$ ...로 기록하고 a $+ b$ + $c$ + ...을 $설정$ 합니다.= $N$ . 이제 총 Np 성공이 $예상$ 됩니다 $.$ 실험이 n번 $수행$ 되었다고 가정합니다.합계 nr개의 장애가 $발생$ 합니다.따라서 nr $= N$ (1 - $p)$ 이 될 $것$ 으로 예상되므로 N $/ n$ = $r /(1$ - $p)$ 가 됩니다. $N / n$ 은 실험당 평균 시행 횟수입니다.그것이 우리가 말하는 "기대"의 의미이다.실험당 평균 성공 횟수는 N $/ n$ - $r$ = $r /(1 - p)$ - $r$ = $rp /(1$ - $p)$ 입니다.이 값은 이 페이지 오른쪽에 있는 상자에 표시된 평균과 일치합니다.

분산

주어진 실패 횟수 r에 대한 성공 횟수를 셀 때 분산은 rp/(1 - p)²입니다.r번째 성공 이전의 실패 횟수를 셀 때 분산은 r(1 - p)/p입니다².

이항 정리와의 관계

Y가 모수가 n과 p인 이항 분포를 갖는 변량 변수라고 가정합니다.p + q = 1로 가정하고 p, q ≤ 0으로 가정합니다.

{{displaystyle 1=1^{n}=(p+q)^{n}}

뉴턴의 이항 정리를 사용하면, 이것은 동일하게 다음과 같이 쓸 수 있다.

{{displaystyle (p+q)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty}{n\choose k}p^{k}q^{n-k}}

합계의 상한이 무한대인 경우.이 경우 이항 계수는

\displaystyle {n \choose k}={n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)\over k!}.}

n이 정수일 뿐 아니라 실수일 때 정의됩니다.그러나 이항 분포의 경우 k > n이면 0이 됩니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

{\displaystyle(p+q)^{8.3)=\sum _{k=0}^{\infty}{8.3 \choose k}p^{k}q^{8.3-k}}

이제 r > 0을 사용하여 음의 지수를 사용한다고 가정합니다.

\displaystyle 1=p^{r}\cdot p^{-r}=p^{r}(1-q)=p^{r}\sum _{k=0}^{\infty}{-r \choose k}(-q)^{k}}{-r}

그러면 모든 항이 양수이고 항은

p^{r}{-r \choose k}(-q)^{k}

r이 정수일 경우 r번째 성공까지의 실패 횟수가 k와 같을 확률입니다(r이 음의 정수이고, 따라서 지수가 양의 정수일 경우, 위의 합계의 일부 항은 음이 아니므로 모든 음이 아닌 정수 집합에는 확률 분포가 없습니다).

여기서 r의 정수 이외의 값도 사용할 수 있습니다.그러면 적절한 음의 이항 분포가 있습니다.이것은 파스칼 분포의 일반화입니다.이것은 r이 양의 정수일 때 파스칼 분포와 일치합니다.

상부에서 을 상기하다

변수 p의 값이 동일한 독립 음수-이원 분포 랜덤 변수₁ r과₂ r의 합은 p는 같지만 r-값₁ r + r을₂ 갖는 음수-이원 분포입니다.

이 속성은 정의가 일반화될 때 지속되며 음이항 분포가 무한히 분할된다는 것을 확인할 수 있는 빠른 방법을 제공합니다.

반복관계

다음과 같은 반복 관계가 유지됩니다.

{begin{case}(k+1)-p\Pr(k)(k+r)=0,\[5pt]\Pr(0)=(1-p)^{r}\end{case}}

통계적 추론

모수 추정

p의 MVUE

p를 알 수 없고 r개의 성공이 발견될 때까지 표본 추출이 계속된다고 미리 결정된 실험이 수행된다고 가정합니다.실험에 충분한 통계량은 고장 횟수인 k입니다.

p를 추정할 때 최소 분산 불편 추정기는 다음과 같습니다.

({displaystyle {widehat {p}}=snapsfrac {r-1}{r+k-1})

최대우도 추정

r이 알려진 경우 p의 최대우도 추정치는 다음과 같습니다.

{p}}=squalfrac {r}{r+k}

하지만 이것은 편향된 추정치입니다.그러나 ^[20]역(r + k)/r은 1/p의 치우침이 없는 추정치입니다.

r을 알 수 없는 경우 p와 r에 대한 최대우도 추정기는 표본 분산이 표본 ^[21]평균보다 큰 표본에 대해서만 존재합니다.N iid 관측치(k₁, ..., k_N)에 대한 우도 함수는 다음과 같습니다.

L(r,p)=\prod _{i=1}^{N}f(k_{i};r,p),\!

여기서 로그우도 함수를 계산합니다.

\displaystyle \ell (r,p)=\sum _{i=1}^{N}\ln (k_{i}+r)-\sum _{i=1}^{N}\ln(r)+\sum _i=1}^{n}_k_{i}_{i}_i}\ln(\ln)-{i}}

최대값을 구하려면 r과 p에 대한 부분 도함수를 취하여 0으로 설정합니다.

{\frac {\partial \ell (r,p)}{\partial p}}=-\left[\sum _{i=1}^{N}k_{i}{\frac {1}{1-p}}\right]+Nr{\frac {1}{p}}=0

(

r

,

{\frac {\partial \ell (r,p)}{\partial p}}=-\left[\sum _{i=1}^{N}k_{i}{\frac {1}{1-p}}\right]+Nr{\frac {1}{p}}=0

p )

{\frac {\partial \ell (r,p)}{\partial p}}=-\left[\sum _{i=1}^{N}k_{i}{\frac {1}{1-p}}\right]+Nr{\frac {1}{p}}=0

∂

{\frac {\partial \ell (r,p)}{\partial p}}=-\left[\sum _{i=1}^{N}k_{i}{\frac {1}{1-p}}\right]+Nr{\frac {1}{p}}=0

- [

{\frac {\partial \ell (r,p)}{\partial p}}=-\left[\sum _{i=1}^{N}k_{i}{\frac {1}{1-p}}\right]+Nr{\frac {1}{p}}=0

i

{\frac {\partial \ell (r,p)}{\partial p}}=-\left[\sum _{i=1}^{N}k_{i}{\frac {1}{1-p}}\right]+Nr{\frac {1}{p}}=0

=

{\frac {\partial \ell (r,p)}{\partial p}}=-\left[\sum _{i=1}^{N}k_{i}{\frac {1}{1-p}}\right]+Nr{\frac {1}{p}}=0

{\frac {\partial \ell (r,p)}{\partial p}}=-\left[\sum _{i=1}^{N}k_{i}{\frac {1}{1-p}}\right]+Nr{\frac {1}{p}}=0

k

{\frac {\partial \ell (r,p)}{\partial p}}=-\left[\sum _{i=1}^{N}k_{i}{\frac {1}{1-p}}\right]+Nr{\frac {1}{p}}=0

-

{\frac {\partial \ell (r,p)}{\partial p}}=-\left[\sum _{i=1}^{N}k_{i}{\frac {1}{1-p}}\right]+Nr{\frac {1}{p}}=0

] +

N

{\frac {\partial \ell (r,p)}{\partial p}}=-\left[\sum _{i=1}^{N}k_{i}{\frac {1}{1-p}}\right]+Nr{\frac {1}{p}}=0

{\frac {\partial \ell (r,p)}{\partial p}}=-\left[\sum _{i=1}^{N}k_{i}{\frac {1}{1-p}}\right]+Nr{\frac {1}{p}}=0

p

=

{\frac {\partial \ell (r,p)}{\partial p}}=-\left[\sum _{i=1}^{N}k_{i}{\frac {1}{1-p}}\right]+Nr{\frac {1}{p}}=0

\

displaystyle

{ \

flac \ ell

( r , p ) { \

sum _ i

=

1

}^{

N }k

_ {

i }

+ \

left

[ \

sum

_ i ]

{\displaystyle\frac\ell(r,p)}{\left[\sum_{i=1}^{N}\psi(k_{i}+r)\right]-N\psi(r)+N\ln(p)=0}

어디에

\psi (k)={\frac {\Gamma '(k)}{\Gamma (k)}}\!

( k )

\psi (k)={\frac {\Gamma '(k)}{\Gamma (k)}}\!

=

\psi (k)={\frac {\Gamma '(k)}{\Gamma (k)}}\!

\psi (k)={\frac {\Gamma '(k)}{\Gamma (k)}}\!

k )

\psi (k)={\frac {\Gamma '(k)}{\Gamma (k)}}\!

(

\psi (k)={\frac {\Gamma '(k)}{\Gamma (k)}}\!

k )

γ

( k ) \

displaystyle

\

psi

( k ) =

fr frac { Gamma

' ( k ) } { \ Gamma ( k ) }

\psi (k)={\frac {\Gamma '(k)}{\Gamma (k)}}\!

} \ !}는

\psi (k)={\frac {\Gamma '(k)}{\Gamma (k)}}\!

디감마 함수입니다.

p에 대한 첫 번째 방정식을 풀면 다음과 같은 결과가 나옵니다.

({displaystyle p=param frac {Nr}{Nr+\sum _{i=1}^{N}k_{i}}})

두 번째 방정식에서 이를 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

({displaystyle {frac \ell (r,p)}{\sum r}=\left[\sum _ {i=1}^{N}\psi (k_{i}+right]-N\psi (r)+ln \frac {r}{r}{r+\sum {i=1}^{N}_n}_k}\n 오른쪽)

이 방정식은 닫힌 형식의 r에 대해 풀 수 없습니다.수치 해법을 원할 경우 뉴턴의 방법 등 반복 기법을 사용할 수 있다.또는 기대 최대화 알고리즘을 ^[21]사용할 수 있습니다.

발생 및 응용 프로그램

베르누이 프로세스의 대기 시간

r이 정수인 특수한 경우 음의 이항 분포를 파스칼 분포라고 합니다.이것은 일련의 독립적이고 동일한 분포의 베르누이 시행에서 특정 횟수의 실패와 성공 확률 분포입니다.성공 확률이 p인 k + r Bernouli 시행의 경우 음의 이항은 k개의 성공 및 r개의 실패 확률을 제공하며 마지막 시행에서 실패가 발생합니다.즉, 음의 이항 분포는 베르누이 공정에서 r번째 실패 이전의 성공 횟수에 대한 확률 분포이며, 각 시행에서 성공할 확률은 p입니다.베르누이 공정은 이산 시간 과정이므로 시행, 실패 및 성공 횟수는 정수입니다.

다음 예를 생각해 보겠습니다.주사위를 반복적으로 던지고 1을 실패로 간주한다고 가정합니다.각 시도에서 성공할 확률은 5/6입니다.세 번째 실패 이전의 성공 횟수는 무한 집합 {0, 1, 2, 3, ...}에 속합니다. 이 성공 횟수는 음수 이원 분포 랜덤 변수입니다.

r = 1일 때 첫 번째 실패 전 성공 횟수의 확률 분포(즉, (k + 1)번째 시행에서 첫 번째 실패가 발생할 확률)를 구합니다. 이는 기하 분포입니다.

f(k;r,p)=(1-p)\cdot p^{k}\!

과잉 분산 포아송

음의 이항 분포, 특히 위에서 설명한 대체 모수화에서 포아송 분포의 대안으로 사용할 수 있습니다.표본 분산이 표본 평균을 초과하는 무한 양의 범위에 걸친 이산 데이터에 특히 유용합니다.이러한 경우 평균이 분산과 동일한 포아송 분포에 대해 관측치가 과대산포됩니다.따라서 포아송 분포는 적절한 모형이 아닙니다.음의 이항 분포에는 포아송보다 모수가 하나 더 있으므로 두 번째 모수를 사용하여 평균과 독립적으로 분산을 조정할 수 있습니다.일부 이산 확률 분포의 누적량을 참조하십시오.

이는 북대서양의 열대성 사이클론 연간 수 또는 평균보다 ^[22]^[23]^[24]편차가 큰 유럽의 월~6개월 겨울철 온대성 사이클론 연간 수에도 적용된다.중간 정도의 과대 산포의 경우 과대 산포 포아송 ^[25]^[26]분포와 실질적으로 유사한 결과가 나올 수 있습니다.

음의 이항 분포는 또한 높은 처리량 RNA 및 DNA 염기서열 분석 ^[27]^[28]^[29]실험에서 이산 염기서열 판독 카운트의 형태로 데이터를 모델링하는 데 일반적으로 사용됩니다.

역사

이 분포는 1713년 Montmort에 의해 주어진 수의 ^[30]성공을 얻기 위해 실험에 필요한 시험 횟수의 분포로 처음 연구되었다.그것은 이전에 ^[31]파스칼에 의해 언급되었다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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[1]

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목차

정의들

확률질량함수

누적분포함수

대체 제제

대체 파라미터화

예

사탕을 팔다

입원 기간

특성.

기대.

분산

이항 정리와의 관계

반복관계

관련 분포

포아송 분포

감마-포아송 혼합물

기하학적으로 분포된 랜덤 변수의 합계 분포

복합 포아송 분포로 표현

(a, b, 0) 등급의 분포

통계적 추론

모수 추정

p의 MVUE

최대우도 추정

발생 및 응용 프로그램

베르누이 프로세스의 대기 시간

과잉 분산 포아송

역사

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레퍼런스

다른 텍스트(그리고 이 문서의 다른 부분)는 음의 이항 분포에 대해 약간 다른 정의를 채택한다.이러한 매개변수는 지원이 k = 0에서 시작되는지 k = r에서 시작되는지 여부, p가 성공 또는 실패 확률을 나타내는지 여부, ^[1]r이 성공 또는 실패를 나타내는지 여부에 따라 구별할 수 있으며, 따라서 사용된 특정 매개변수를 식별하는 것이 주어진 텍스트에서 중요하다.
확률질량함수 주황색 선은 각 그림에서 10과 같은 평균을 나타내고 녹색 선은 표준 편차를 나타냅니다.
표기법	${\displaystyle\mathrm{NB}(r,,p)}$
파라미터	r > 0 :실험이 정지될 때까지의 실패 횟수(실제로도 정의가 확장 가능) p ≤ [0,1] - 각 실험의 성공 확률(실제)
지지하다	k ∈ { 0 、 1, 2, 3, ...} : 성공 횟수
PMF	$k\mapsto {k+r-1 \choose k}\cdot (1-p)^{r}p^{k},$ k $k\mapsto {k+r-1 \choose k}\cdot (1-p)^{r}p^{k},$ ( k $k\mapsto {k+r-1 \choose k}\cdot (1-p)^{r}p^{k},$ + $k\mapsto {k+r-1 \choose k}\cdot (1-p)^{r}p^{k},$ - $k\mapsto {k+r-1 \choose k}\cdot (1-p)^{r}p^{k},$ k ) $k\mapsto {k+r-1 \choose k}\cdot (1-p)^{r}p^{k},$ ( $k\mapsto {k+r-1 \choose k}\cdot (1-p)^{r}p^{k},$ - $k\mapsto {k+r-1 \choose k}\cdot (1-p)^{r}p^{k},$ ) $k\mapsto {k+r-1 \choose k}\cdot (1-p)^{r}p^{k},$ $k\mapsto {k+r-1 \choose k}\cdot (1-p)^{r}p^{k},$ k $k\mapsto {k+r-1 \choose k}\cdot (1-p)^{r}p^{k},$ , \ $displaystyle$ k \ $mapsto { k$ + r - $1$ \ $choose$ k } \ $cdot$ ( 1 - $p$ )^{ $r }p$ ^{ $k$ }
CDF	$k\mapsto 1-I_{p}(k+1,\,r),$ 1 - $k\mapsto 1-I_{p}(k+1,\,r),$ p ( $k\mapsto 1-I_{p}(k+1,\,r),$ + $k\mapsto 1-I_{p}(k+1,\,r),$ , $k\mapsto 1-I_{p}(k+1,\,r),$ ) $k\mapsto 1-I_{p}(k+1,\,r),$ , \ $displaystyle$ k $\mapsto 1-I_{p}(k+$ 1, $r),$ 정규화된 $k\mapsto 1-I_{p}(k+1,\,r),$ 불완전 베타 함수
의미하다	${\displaystyle\frac {pr}{1-p}}$
모드	${\big \lfloor}{\frac {p(r-1)}{1-p}}{\big \text {if}}\r>1\0&{\text {if}\leq 1\end {cases}}$
분산	$(\displaystyle\frac{pr}{(1-p)^{2}}})$
왜도	${1+p}{\displayrt {pr}}$
예: 첨도	${{displaystyle {6}{r}}+{\frac {(1-p)^{2}}{pr}}$
MGF	${\frac {1-p} {1-pe^{t}} {\biggr} {\text{ for }t <-\log p$
CF	${\frac {1-p}{1-pe^{i,t}}{!r}{\text{\in \mathbb {R}}$
PGF	${\frac {1-p}{1-pz}}{!r}{\text{ for }} z <\frac {1}{p}}$
피셔 정보	${\displaystyle\frac{r}{(1-p)^{2}p}}$
모멘트의 방법	$r=black {E[X]^{2}} {V[X]-E[X]}}$ $p=1-{\frac {E[X]}{V[X]}$

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확률질량함수

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대체 제제

대체 파라미터화

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사탕을 팔다

입원 기간

특성.

기대.

분산

이항 정리와의 관계

반복관계

관련 분포

포아송 분포

감마-포아송 혼합물

기하학적으로 분포된 랜덤 변수의 합계 분포

복합 포아송 분포로 표현

(a, b, 0) 등급의 분포

통계적 추론

모수 추정

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