다이버전트 급수

수학에서, 발산 급수는 수렴되지 않는 무한 급수이며, 이는 급수의 부분 합계의 무한 수열에는 유한한 한계가 없다는 것을 의미합니다.

시계열이 수렴되는 경우 시계열의 개별 항이 0에 근접해야 합니다.따라서 개별 항이 0에 근접하지 않는 급수는 분산됩니다.그러나 수렴이 더 강한 조건입니다. 항이 0에 접근하는 모든 급수가 수렴되는 것은 아닙니다.반례는 조화 급수이다.

${\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}+{\frac {1}{5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n}}.}$

고조파 급수의 발산성은 중세 수학자 니콜 오레스메에 의해 증명되었다.

특수한 수학적 맥락에서는, 일련의 차이를 의미하기 위해, 부분 합계의 시퀀스가 분산되는 특정 급수에 값을 객관적으로 할당할 수 있다.가산법 또는 가산법은 급수 집합에서 값까지의 부분 함수이다.예를 들어, Cesaro summary는 Grandi의 발산 급수를 지정합니다.

${\displaystyle 1-1+1+\cdots}$

가치1/2. Cesaro summating은 부분합 시퀀스의 산술 평균에 의존한다는 점에서 평균화 방법이다.다른 방법에는 관련 시리즈의 분석 연속성이 포함된다.물리학에는 매우 다양한 가산 방법이 있습니다.이러한 방법은 정규화에 관한 기사에서 자세히 설명되고 있습니다.

역사

19세기 이전에, 발산 급수는 레온하르트 오일러와 다른 사람들에 의해 널리 사용되었지만, 종종 혼란스럽고 모순된 결과를 초래했다.가장 큰 문제는 발산 급수의 합이 의미하는 바를 먼저 정의하지 않고, 모든 발산 급수가 자연 합을 가져야 한다는 오일러의 생각이었다.오귀스틴-루이 코시는 결국 (컨버전트) 급수의 합에 대한 엄격한 정의를 내렸고, 이후 한동안은 발산 급수가 수학에서 대부분 제외되었다.그들은 1886년 앙리 푸앵카레의 점근 급수 연구와 함께 다시 등장했습니다.1890년, Ernesto Cesaro는 어떤 발산 급수의 합을 엄밀하게 정의할 수 있다는 것을 깨닫고 Cesaro 합계를 정의했다.(이것은 1880년에 페르디난드 게오르크 프로베니우스에 의해 암묵적으로 사용된 체사로 합계의 첫 번째 사용은 아니었다. 체사로의 주요 공헌은 이 방법의 발견이 아니라 발산 급수의 합에 대한 명확한 정의를 제공해야 한다는 그의 생각이었다.)Cesarro의 논문 이후 몇 년 동안, 비록 이것들이 항상 양립할 수 있는 것은 아니지만, 몇몇 다른 수학자들은 발산 급수의 합에 대한 다른 정의를 내렸습니다: 다른 정의는 같은 발산 급수의 합에 대해 다른 답을 줄 수 있습니다; 그래서, 발산 급수의 합에 대해 이야기할 때, 어떤 합을 명시할 필요가 있습니다.n 1번 메서드가 사용되고 있습니다.

발산 급수를 가산하는 방법에 관한 정리

가산법 M은 모든 수렴 계열의 실제 제한과 일치할 경우 정규이다.이러한 결과는 원형 아벨의 정리로부터 M에 대한 아벨 정리라고 불린다.좀 더 미묘하게는 알프레드 타우버가 증명한 시제품에서 나온 타우버 이론이라고 불리는 부분적인 역전의 결과입니다.여기서 부분역치는 M이 급수 δ를 가산하고 어떤 측조건이 유지되면 δ는 애초에 수렴된 것임을 의미하며, 이러한 결과는 어떠한 측조건도 없이 M이 수렴 급수만을 가산한 것으로 간주됩니다(분산 급수에 대한 가산 방법으로는 사용할 수 없음).

수렴 급수의 합을 주는 함수는 선형이며, 한-바나흐 정리로부터 유계 부분 합계를 갖는 모든 급수의 합계로 확장될 수 있다.이것은 바나흐 한계라고 불립니다.서로 모순되는 확장자가 많고, 그러한 연산자가 존재함을 증명하려면 선택 공리 또는 존의 보조항과 같은 동등한 연산자를 호출해야 하기 때문에 이 사실은 실제로는 그다지 유용하지 않다.따라서 그것들은 비건설적입니다.

수학 분석의 영역으로서 발산 급수의 주제는 주로 아벨 합산, 세사로 합산, 보렐 합산과 같은 명시적이고 자연스러운 기술과 그들의 관계에 관한 것이다.비엔나의 타우베리안 정리의 등장은 푸리에 해석에서 바나흐 대수법에 예상치 못한 연관성을 도입하면서 주제에 신기원을 이루었다.

발산 급수의 합계는 또한 수치 기법으로서의 외삽법 및 시퀀스 변환과 관련이 있다.그러한 기술의 예로는 파데 근사치, 르뱅형 시퀀스 변환, 양자역학에서의 대차 섭동 이론을 위한 재규격화 기술과 관련된 순서 의존적 매핑 등이 있다.

합계법의 속성

가산법은 보통 급수의 부분합 시퀀스에 집중한다.이 시퀀스는 수렴되지 않지만 시퀀스의 초기 항의 평균을 점점 더 많이 취하면 평균이 수렴되며, 이 평균을 사용하여 시리즈의 합계를 평가할 수 있습니다.가산방법은 부분합부터 값까지의 일련의 함수로서 볼 수 있다.A가 일련의 시퀀스에 값을 할당하는 합계 방법인 경우 동일한 값을 해당 시리즈에 할당하는 직렬 합계 방법^Σ A로 기계적으로 변환할 수 있습니다.이러한 방법들이 각각 한계값과 합계에 해당하는 값에 도달하려면 이러한 방법들이 갖는 특성이 바람직하다.

• 규칙성.배열이 x로 수렴될 때마다 A(s) = x이면 가산법은 규칙적이다. 마찬가지로 대응하는 직렬 가산법은 A(a) = x를 평가한다^Σ.
• 직선성A는 정의된 시퀀스의 선형 함수일 경우 선형 함수이므로 시퀀스 r, s 및 실수 또는 복소 스칼라 k에 대해 A(k r + s) = k A(r) + A(s)가 된다.시계열 a의 항_n+1 a = s_n+1 - s는_n 시퀀스 s의 선형 함수이며 그 반대도 마찬가지이므로, 이는 A가 시계열의 항에서 선형 함수인 것과 같다^Σ.
• 안정성(반환성이라고도 함).s가 s에서 시작하는₀ 배열이고 sθ가 _nsθ = s - s가₀ 되도록 첫 번째 값을 생략하고 나머지 값에서 뺀 배열이면 A(s)가 정의되고 A(s) = s_n+10 + A(s)가 정의되는 경우에만 A(s)가 정의된다.마찬가지로,_n 모든 n에 대해 aθ = a일_n+1 때마다 A^Σ(a) = a₀ + A^Σ(a)^[1][2]이다.이를 나타내는 또 다른 방법은 이 방법으로 합산할 수 있는 시리즈에 대해 시프트 규칙이 유효해야 한다는 것입니다.

세 번째 조건은 덜 중요하며, 보렐 합계와 같은 일부 중요한 방법에는 해당 조건이 없습니다.^[3]

마지막 조건보다 더 약한 대안을 제시할 수도 있다.

• 한정된 재색인성.만약고 aᆮf(나는)에 대한 모든 i, 만약 관계가 일부 N∈ N{\displaystyle N\in \mathbb{N}} 이러한 짓)a′나는 모든 나입니다.;N, 그때 AΣ(를))AΣ(a′).(다시 말해서,′은 같은 시리즈로 a,.뿐만이 아니라최종적으로는 많은 용어를 재지정할 수 있습니다.이것은 안정성보다 약한 조건입니다. 왜냐하면 안정성을 나타내는 모든 가산법도 유한한 재인덱서빌리티를 나타내지만 그 반대는 사실이 아니기 때문입니다.)

두 가지 서로 다른 합계 방법 A와 B가 공유하는 바람직한 속성은 일관성이다. A와 B는 둘 다 값을 할당하는 모든 시퀀스에 대해 일치한다.(이 언어를 사용하면 표준합 δ와 일치할 경우 가산방법 A는 규칙적이다.)두 방법이 일치하고 한 방법이 다른 방법보다 더 많은 열을 합하면 한 방법이 더 많은 열을 합산하는 방법이 더 강합니다.

레빈형 시퀀스 변환 및 파데 근사치 같은 비선형 시퀀스 변환뿐만 아니라 재정규화 기술에 기초한 섭동 급수의 순서 의존적 매핑과 같은 규칙적이거나 선형적이지 않은 강력한 수치 합계 방법이 있다.

규칙성, 선형성 및 안정성을 공리로 삼으면, 기초 대수 조작에 의해 많은 발산 급수를 합칠 수 있다.이것은 왜 많은 다른 합계 방법이 특정 급수에 대해 같은 답을 제공하는지를 부분적으로 설명해 줍니다.

예를 들어, r 1 1일 때마다, 기하 급수는

${\displaystyle{\begin{정렬}(r,c)&,=\sum _{k=0}^{\infty}cr^{k}&, &, \\&,=c+\sum _{k=0}^{\infty}cr^{k+1}&,&{\text{(안정성)}}\\&,=c+r\sum _{k=0}^{\infty}cr^{k}&,&{\text{(직선성)}}\\&, =c+r\,G(r,c),&,&{\text{그래서}}\\G(r,c)&, ={\frac{c}{1-r}},{\text{지 않는 한 그건 무한대일 것이다}}&&\\\end{alig.ned}}}$

컨버전스에 관계없이 평가할 수 있습니다.보다 엄밀하게는, 이러한 특성을 가지고 있고 기하 급수에 유한 값을 할당하는 모든 합산 방법이 이 값을 할당해야 합니다.그러나 r이 1보다 큰 실수일 경우 부분합은 제한 없이 증가하며 평균화 방법에서는 무한대의 한계를 할당합니다.

고전적 가산법

직렬에 대한 두 가지 고전적 합법, 즉 일반 수렴과 절대 수렴은 합계를 특정 부분 합계의 한계로 정의합니다.이것들은 완전성을 위해서만 포함되어 있습니다.엄밀히 말하면, 이 방법들이 효과가 없는 경우에만 급수가 발산하기 때문에, 발산 급수에 대한 진정한 합계 방법이 아닙니다.발산 급수에 대한 대부분의 합산 방법은 이러한 방법을 더 큰 등급의 시퀀스로 확장합니다.

절대 수렴

절대 컨버전스는 모든 부분합_k1 a + ...의 순한계가 되는 수열(또는 집합)의 합계를 정의합니다. + a_kn(존재하는 경우)그것은 수열의 요소의 순서에 의존하지 않고, 고전적인 정리에 따르면 절대값의 순서가 표준적인 의미에서 수렴되는 경우에만 수열이 절대적으로 수렴된다고 한다.

계열의 합계

시리즈₀ a + a₁ + ...의 합계에 대한 코시의 고전적 정의는 부분합₀ a + ... + a_n 의 시퀀스의 한계로 합계를 정의합니다.이것은 시퀀스의 컨버전스에 대한 기본 정의입니다.

Nörlund는 다음을 의미합니다.

p가 p부터 시작하는₀ 일련의 양의 항이라고 가정합니다_n.또, 라고 가정해 봅시다.

${\displaystyle {p_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}\오른쪽 화살표 0.}$

이제 p를 사용하여 가중평균을 구함으로써 시퀀스 s를 변환하는 경우 설정

$\displaystyle t_{m}=s_{0}+p_{m-1}s_{1}+\cdots +p_{m}{p_{0}s_{m}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{m}}}}}$

그러면 n이 무한대로 가는 t의_n 한계는 Nörlund 평균_p N(s)이라고 불리는 평균이다.

Nörlund 평균은 규칙적이고 선형적이며 안정적입니다.또한 두 개의 Nörlund 평균은 모두 일치한다.

세자로 요약

Nörlund 평균 중 가장 중요한 것은 Cesaro 합계이다.여기서 p의 시퀀스를^k 정의하면

${\displaystyle p_{n}^{k}={n+k-1\choose k-1}$

그러면 Cesaro sum_k C는 C(s) = N_(p^k)(s)로_k 정의된다.Cesaro 합계는 k 0 0인 경우 Nörlund이므로 규칙적이고 선형적이며 안정적이며 일관적이다.C는₀ 일반 합계이고 C는₁ 일반 Cesaro 합계입니다.Cesaro 합계는 h > k이면 C가_h C보다_k 강하다는 특성을 가지고 있습니다.

아벨리언의 의미

예를₂ 들어, = {syslog₀₁, ,, ,, ...}은 무한대로 향하는 엄격히 증가하는 수열이며 θ₀ 0 0입니다.

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-\displayda _{n}x}}$

는 모든 실수 x >0 에 대해 컨버전스 합니다.그러면 아벨 평균_λ A는 다음과 같이 정의된다.

$\displaystyle A_{\lambda}(s)=\lim _{x\rightarrow 0^{+}f(x)}$

보다 일반적으로 f의 급수가 큰 x에 대해서만 수렴되지만 모든 양의 실수 x에 대해 분석적으로 연속될 수 있는 경우에도 위의 한계로 발산 급수의 합계를 정의할 수 있습니다.

이러한 유형의 일련의 시리즈를 일반화된 디리클레 시리즈라고 하며, 물리학 분야에서는 이를 열-커널 정규화 방법이라고 합니다.

아벨 평균은 규칙적이고 선형적이지만 안정적이지 않고 θ의 다른 선택 사이에서 항상 일관되는 것은 아니다.그러나 일부 특별한 경우들은 매우 중요한 합산 방법이다.

아벨의 합계

θ_n = n이면 아벨 합산법을 구한다.여기서

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-nx}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}}$

여기서 z = exp440x).그러면 x가 양의 reals를 통해 0에 가까워질 때 f(x)의 한계는 z가 양의 reals를 통해 아래에서 1에 가까워질 때 f(z)에 대한 멱급수의 한계이며, 아벨 합 A(s)는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle A(s)=\lim _{z\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}.}$

아벨 합계는 부분적으로 흥미롭습니다. 왜냐하면 그것은 Cesaro 합계와 일치하지만 더 강력하기 때문입니다: A(s) = C_k(s)가 정의될 때마다.따라서 아벨 합은 규칙적이고 선형적이며 안정적이며 Cesaro 합계와 일치합니다.

린델뢰프 가산

λ_n = n log(n)일 경우 (1에서 제외)는

${\displaystyle f(x)=a_{1}+a_{2}2^{-2x}+a_{3}3^{-3x}+\cdots.}$

그러면 L(s), Lindelöf sum(Volkov 2001) harv 오류: no target: CITREFVolkov2001(도움말)은 x가 양의 0이 되기 때문에 f(x)의 한계이다.린델뢰프 합계는 미타그-레플러 별의 검정력 계열을 합산하여 다른 응용 프로그램 중 멱급수에 적용할 때 강력한 방법입니다.

g(z)가 0 주위의 원반에서 분석되므로 수렴 반경이 양의 맥로린 계열 G(z)를 갖는다면 미타그-레플러 별의 L(G(z)=g(z)이다.게다가 g(z)에 대한 수렴은 별의 작은 부분 집합에서 균일하다.

분석 속행

몇 가지 집계 방법은 함수의 분석 연속성 값을 취하는 것을 포함한다.

멱급수 분석 연속성 분석

δax가_nⁿ 작은 복소수 x에 수렴하여 x = 0에서 x = 1까지의 일부 경로를 따라 분석적으로 연속될 수 있는 경우, 시리즈의 합계는 x = 1의 값으로 정의할 수 있습니다.이 값은 경로 선택에 따라 달라질 수 있습니다.분석^{[4][page needed]} 연속을 사용하여 발산 계열에 대해 잠재적으로 다른 합계의 첫 번째 예 중 하나는 칼렛이 제시했는데, 칼렛은 < \ $displaystyle$ 1$\leq$m <$n$ 이 다음과 같이 관찰했다.

$({displaystyle {1-x^{m}}{1-x^{n}}=param frac {1+x+\param +x^{m-1}}=1-x^{m}+x^{n}+x^{n2}+x^{n}\paramb})$

x ${\displaystyle =}$ {$style$ x$=1$에서 평가하면 다음과 같이 됩니다.

$({displaystyle 1-1+1+\displays = specfrac {m}{n}).}$

그러나 시리즈의 갭이 핵심이다.예를 들어 m ${\displaystyle =1}$ , ${\displaystyle \mathrm{n}}$ $=$ 3의 $경우{\displaystyle }$({$displaystyle m=1,n=$3$$}), 실제로는

${\displaystyle 1}$-${\displaystyle 1}$ +${\displaystyle 0}$ +${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle 1}$+${\displaystyle 0}$ +${\displaystyle }$1 - 1 + 1 + ${\displaystyle 1}$ - 1 +${\displaystyle }$1 + 1 - 1$dots$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ 3 { $displaystyle$1 - 1 + 0 + 1 - 1 + 1 + \ displays =$frac {1$} ${3}}$} 。따라서 다른 합계는$0{\displaystyle \mathrm{}}$ {$style$0$\}$s의 다른 위치에 대응합니다.

오일러의 합계

오일러 합계는 본질적으로 분석적 연속성의 명시적 형태이다.만약 어떤 멱급수가 작은 복소수 z에 수렴하여 직경이 -1/q + 1부터 1까지인 오픈디스크에 해석적으로 연속될 수 있고 1에서 연속적일 경우, q에서의 그 값은 δa_n 계열의 오일러 또는 (E,q) 합이라고 불린다.오일러는 분석 연속성이 일반적으로 정의되기 전에 이것을 사용했고, 분석 연속성의 멱급수에 대한 명시적 공식을 제공했습니다.

오일러 합계의 연산은 여러 번 반복될 수 있으며, 이는 본질적으로 z = 1 지점에 대한 멱급수의 해석적 연속성을 취하는 것과 같다.

디리클레 급수의 해석적 연속성

이 방법은 시리즈의 합계를 디리클레 시리즈의 분석 연속값으로 정의합니다.

${\displaystyle f(s)=paramfrac {a_{1}}{1^{s}}+{\frac {a_{2}}{2^{s}}+{\frac {a_{3}}{3^{s}}}+\cdots}$

s = 0(이것이 존재하며 고유할 경우).이 방법은 제타 함수 정규화와 혼동될 수 있습니다.

s = 0이 고립 특이점일 경우, 합계는 로랑 급수 팽창의 상수 항으로 정의된다.

제타 함수 정규화

시리즈가

${\displaystyle f(s)=flac {1}{a_{1}^{s}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}+{\frac {1}{a_{3}^{s}}+\cdots}$

(a의_n 양의 값의 경우) 큰 실수 s에 대해 수렴하고 s = -1까지 실선을 따라 해석적으로 연속될 수 있습니다. 그러면 s = -1에서의 값은 계열₁ a + a₂ + ...의 제타 정규화 합이라고 합니다.제타 함수 정규화는 비선형입니다.응용 프로그램에서 숫자_i a는 콤팩트 분해능을 가진 자기접점 연산자 A의 고유값인 경우가 있으며 f(s)는 A의^−s 트레이스입니다.예를 들어 A의 고유값이 1, 2, 3, ...인 경우 f(s)는 리만 제타 함수 δ이며, s = -1/12에서 값은 -1 + 2 + 3 + 4 + ......에 값을 할당합니다.s의 다른 값도 발산합 θ(0) = 1 + 1 + 1 + ...에 대한 값을 할당하는 데 사용할 수 있습니다. = -1/2, ζ22) = 1 + 4 + 9 + ... = 0 및 일반

$\displaystyle \zeta(-s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{s}=1^{s}+2^{s}+3^{s}+\cdots =-{\frac {B_{s+1}{s+1},},},$

여기서_k B는 베르누이 ^[5]숫자입니다.

적분 함수 평균

J(x) = δpx가_nⁿ 적분 함수일 경우, 직렬₀ a + ...의 J 합계는 다음과 같습니다.정의되어 있다

$\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {sum _{n}p_{n}(a_{0}+\cdots +a_{n})x^{n}}{\sum _{n}p_{n}},$

이 제한이 존재하는 경우.

J에 대한 급수가 유한한 수렴 반지름을 가지며 x = r에서 분산되는 이 방법의 변형이 있다.이 경우 합계를 위와 같이 정의할 수 있습니다. 단, 한계는 무한대가 아닌 x가 r인 경향이 있습니다.

보렐 가산

특별한 경우 J(x^x) = e일 때 이는 보렐 합계의 한 가지 (약한) 형태를 제공한다.

발리론의 방법

발리론의 방법은 보다 일반적인 적분 함수에 대한 보렐 합계의 일반화이다. 발리론은 특정한 조건에서 그것은 급수의 합을 다음과 같이 정의하는 것과 동등하다는 것을 보여주었다.

$\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty}{\sqrt {H(n)}{2\pi}}\sum _{h\in Z}e^{-{\frac {1}{2}H(n)}(a_{0}+\cdots +_a})$

여기서 H는 G의 두 번째 도함수이고^−G(n) c(n) = e이고₀ a + ...+ a는_h h < 0일 때 0으로 해석됩니다.

모멘트법

dμ가 실선상의 측정값이라고 가정하면 모든 모멘트는

$\displaystyle \mu _{n}=\int x^{n},d\mu }$

한정되어 있습니다.a + a₁ + ...의 경우₀라는 시리즈입니다.

${\displaystyle a(x)=black {a_{0}x^{0}}{\mu _{0}}+{\flac {a_{1}x^{1}}+\cdots }$

μ를 지지하여 모든 x에 대해 수렴한 다음, 시리즈의 (dμ) 합계는 적분의 값으로 정의된다.

$\displaystyle \int a(x),d\mu }$

정의되어 있는 경우.(숫자_n μ가 너무 빠르게 증가하면 측정값 μ가 고유하게 결정되지 않는다.)

보렐 가산

예를 들어, 양의 x에 대해^−x dμ = e dx이고 음의 x에 대해 0이면_n μ = n!이고, 이것은 합계의 값이 다음과 같이 주어지는 보렐 합계의 한 버전을 제공합니다.

$\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {frac {a_{n}t^{n}}{n!}, dt.}$

이것은 (Bα,α) 합이라고 불리는 변수 α에 따라 일반화되는데, 여기서 직렬₀ a + ...의 합이다.정의되어 있다

$\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {frac {a_{n}t^{n\alpha}}{\Gamma (n\alpha +1)}}},dt}$

이 적분이 존재하는 경우.또 다른 일반화는 적분 아래의 합계를 작은 t로부터의 분석 연속에 의해 치환하는 것이다.

기타 방법

BGN 초실수 가산

이 가산법은 초실수로 알려진 실수에 대한 확장을 사용하여 작동합니다.초실수에는 뚜렷한 무한값이 포함되어 있기 때문에, 이 숫자는 발산 급수의 값을 나타내는 데 사용될 수 있습니다.주요 방법은 합산되는 특정 무한값($일반적$으로 무한의 단위로 사용되는$$\$displaystyle \omega$을 지정하는 것입니다.BGN 메서드는 임의의 무한대($일반적으로 {\\$$displaystyle$\infty$)$로 가산하는 것이$아니라{\displaystyle }$ $\\displaystyle$obega로 라벨이 붙여진 특정 하이퍼리얼 무한대 값에 가산합니다.따라서 합계 형식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \sum _{x=1}^{\omega}f(x)}$

이를 통해 무한 컨텍스트에서 산술적 수열과 같은 유한 급수에 대한 표준 공식을 사용할 수 있습니다.$예$를 들어 이 방법을 사용하는 경우${\displaystyle \mathrm{수열1}}$+ ${\displaystyle 2}$ +${\displaystyle }$3 +$$… ({ $displaystyle 1$ + ${\displaystyle \frac{2}{}}$ + 3 + \$ldots$} )의 합계는${\displaystyle 2\frac{}{}}$ + ${\$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$ ( \ $displaystyle${ \ $frac$ \ $obmega ^$ { } { } { $\}$ + { $frac$ \ ${\displaystyle \frac{{frac\mathrm{}}^{}}{}}$$\$ } { 2 ( \ $frac$)$） 。$

하우스도르프 변환

하디(1949년, 11장).

쾰더 합계

허튼법

1812년 Hutton은 부분 합계 수열에서 시작하여 연속₀ s₁, s, ...를₀ 평균 s₁ + s/2₁₂, s + s/2, ...의 수열로 치환한 다음 한계를 취하는 연산을 반복적으로 적용하여 발산 급수를 합하는 방법을 도입했습니다(Hardy 1949, 페이지 21).

잉햄 가산성

시리즈₁ a + ...를 Ingham이라고 부릅니다.

$\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty}\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}{\frac {n}}\left[{\frac {x}}}\right]=s}$

Albert Ingham은 θ가 양수이면 (C,-θ) (Cesaro) 합계는 잉햄 합계를 의미하고, 잉햄 합계는 (C,θ) 합계를 의미한다는 것을 보여주었다(1949, 부록 II).

램버트 가산성

시리즈₁ a + ...람베르트는 s에 대한 합계라고 불린다.

$\displaystyle \lim _{y\rightarrow 0^{+}\sum _{n\geq 1)a_{n}{\frac {nye^{-ny}}{1-e^{-ny}}}=s.}$

어떤 k에 대해 (C,k) (Cesarro) 계열이 합산 가능한 경우, 램버트 합산 가능한 동일한 값이고, 계열이 램버트 합산 가능한 경우, 동일한 값 하디(1949, 부록 II)에 대한 아벨 합산 가능한 것이다.

르 로이의 합계

시리즈₀ a + ...르^{[citation needed]} 로이는 s에 대해 요약할 수 있다.

$\displaystyle \lim _{\zeta \rightarrow 1^{-}\sum _{n}{\frac {Gamma (1+\zeta n)}{\Gamma (1+n)}}a_{n}=s}$

하디(1949, 4.11)

미타그-레플러 합계

시리즈₀ a + ...를 Mittag-Leffler(M)라고 부릅니다.

$\displaystyle \lim _{\sum \rightarrow 0}\sum _{n}{\frac {a_{n}}{\Gamma (1+\gamn)}}=s}$

하디(1949, 4.11)

라마누잔 요약

라마누잔 합계는 라마누잔에 의해 사용되는 발산 급수에 값을 할당하는 방법이며 오일러-마클로린 합 공식에 기초한다.급수 f(0) + f(1) + ...의 라마누잔 합계정수에서의 f 값뿐만 아니라 비수점에서의 함수 f 값에도 의존하기 때문에 이 기사의 의미에서는 실제로는 합계 방법이 아닙니다.

리만 가산성

시리즈₁ a + ...(R,k) (또는 리만)이라고 한다.

$(\displaystyle \lim _{h\right 화살표 0}\sum _{n}a_{n}\leftflac \sin nh}\right)^{k}=s.}$

하디(1949, 4.17) 시리즈₁ a+...를₂ R의 합계로 부릅니다.

$\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2}{n}{\frac {sin ^{2}nh}{n^{2}h}}(a_{1}+\cdots +a_{n})=s.}$

Riesz는

만약_n θ가 실수의 증가 시퀀스를 형성하고,

${\displaystyle A_{\lambda}(x)=a_{0}+\cdots +a_{n}{\text{ for }}<x\leq \lambda _{n+1}}$

시리즈₀ a + ...의 Riesz(R, ,, ))의 합계.정의되어 있다

$\displaystyle \lim _{\opha \rightarrow \infty }{\frac {\opha ^{\kappa }}\int _{0}^{\opha }(x)A_{\lambda }(x)^{\kappa -1},dx}.$

발레-푸생 가산도

시리즈₁ a + ...를 VP(또는 Valée-Poussin)라고 부릅니다.

$\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=0}^{\frac {[\Gamma (m+1)]^{2}}{\Gamma (m+1-k)\Gamma (m+k)}=\lim _{m\rightarrow\infty}\left[a_{0}+a_{1]}{\frac {m}{m+1}}+a_{2}{\frac {m(m-1)}{(m+1)(m+2)}}+\cdots\right}=s,}$

여기서${\displaystyle }\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ (${\displaystyle x}$) {$displaystyle \Gamma (x)}$는 감마 함수입니다.하디(1949, 4.17).

「 」를 참조해 주세요.

• 실버맨-토플리츠 정리

메모들

레퍼런스

• 를 클릭합니다Arteca, G.A.; Fernández, F.M.; Castro, E.A. (1990), Large-Order Perturbation Theory and Summation Methods in Quantum Mechanics, Berlin: Springer-Verlag.
• 를 클릭합니다Baker, Jr., G. A.; Graves-Morris, P. (1996), Padé Approximants, Cambridge University Press.
• 를 클릭합니다Brezinski, C.; Redivo Zaglia, M. (1991), Extrapolation Methods. Theory and Practice, North-Holland.
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