트레이시-위덤 분포

크레이그 트레이시와 해롤드 위덤(1993년, 1994년)이 도입한 트레이시-위덤 분포는 랜덤 에르미트 행렬의 정규화된 최대 고유값의 확률 분포다.그 분포는 프레드홀름 결정요소로 정의된다.null

실제적인 측면에서 트레이시-위돔은 시스템에서 약하게 대 강하게 결합된 구성 요소의 두 단계 사이의 교차 함수다.^[1]그것은 임의의 permutations,[2]의 Kardar-Parisi-Zhang equation,[3]에 비대칭 단순한 배제 과정의 단계 초기 condition,[4]으로 현재 변동(고등 기술 교육 훈련 계획)과 lo를의 행동의 단순화된 수학적 모델에서 대규모 통계 자료로 가장 긴 증가하고 이어서 일어나는 것의 길이의 분포에 나타납니다.congest임의 입력에 대한 mmonmerexence 문제.^[5]증가하는 방울(또는 기질)의 인터페이스 변동이 Prahofer & Sophn(2000년)이 예측한 TW 분포 ${\displaystyle {F\mathrm{}}_{}}$ ${{\$${$$1$}($$$또는{\displaystyle {}_{}}$ F ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}${\$displaysty F_{1$에 의해 설명된다는 실험 테스트는 Takuchi & Sano(2010년) 및 Takuchietuchi 외 연구(2011년)를 참조한다.null

분포 F는₁ 다변량 통계량에 특히 관심이 많다.^[6]F_β, β = 1, 2, 4의 보편성에 대한 설명은 Deift(2007)를 참조한다.유전자 데이터로부터 인구 구조를 유추하기 위한 F의₁ 적용은 패터슨, 프라이스 & 라이히(2006)를 참조한다.2017년, 분배 F는 무한히 분리할 수 없다는 것이 증명되었다.^[7]null

정의

트레이시-위덤 분포는 다음과 같은 한계로 정의된다.^[8]

${\displaystyle F_{2}(s)=\lim _{n\rightarrow \infit }\operatorname {Prob} \left(\lambda _{\max }-{\sqrt{2n})({\sqrt{1}{1/6}}\leq s\rig\오른쪽)})})}$

여기서 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {max}_{}}$ ${\$은 랜덤 행렬의 최대 고유값을 나타낸다.${\displaystyle \sqrt{\mathrm{2n}}}$ ${\$만큼의 시프트를 사용하여 분포가 0에 집중되도록 한다$$.분포의 표준 편차가 $n{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$/ ${\displaystyle {6\mathrm{}}^{}}$ ${\$로 크기 때문에 곱하기$$ by (2${\displaystyle }$) ${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}1\sqrt{\mathrm{}}{}^{}}$/ ${\displaystyle {6\mathrm{}}^{}}$ ${\$ n$^{-1/6}$를 사용한다$.$

등가제식

트레이시-위덤 분포의 누적 분포 함수는 프레드홀름 결정 인자로 주어질 수 있다.

${\displaystyle F_{2}=\det(I-A_{s})\,}$

A 연산자 A는_s Airy 함수에 의해 Airy 함수에 의해 주어지는 커널로 하프 라인(s, ∞)의 정사각형 통합 함수에 대해 A를 사용한다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {Ai}(x)\mathrm {Ai} '(y)-\mathrm {Ai}(x)\mathrm {Ai}(y)}{x-y}}\,}$

그것은 또한 통합으로 주어질 수 있다.

${\displaystyle F_{2}=\ex \left(-\int_{s}^{\infit }(x-s)q^{2}(x)\dx\right)}}$

타입 II의 Pinlevé 방정식의 해법에 관하여

${\displaystyle q^{\premy \premy \s}=sq+2q^{3}\,}$

여기서 q는 헤이스팅스-McLeod 솔루션이라고 불리며 경계 조건을 충족한다.

${\displaystyle \displaystyle qs\sim {Ai}s,s\오른쪽 화살표 \infit .}$

기타 Tracy-Widom 분포

분포 F는₂ 무작위 행렬 이론에서 단일 앙상블과 연관된다.직교(β = 1) 및 공감 앙상블(β = 4)에 대한 유사한 트레이시-위돔 분포 F와₁ F가₄ 있으며, 이 분포는 동일한 Pinlevé 초월 ^[8]q:

${\displaystyle F_{1}(s)=\ex \left(-{\frac {1}{2}}\int_{s}^{s}{s}^{s}q(x)\,dx\right)\,\왼쪽(F_{2}s\right)^{1/2}}$

그리고

${\displaystyle F_{2}(s/{\sqrt{2}}:)=\cosh \left({\frac {1}{2}}\int_{s}^{s}{s}q(x)\,dx\right)\,\좌측(F_{2}s){1/2}.}$

모든 β > 0에 대한 트레이시-위덤 분포 F의_β 정의의 확장은 라미레스, 라이더 & 비라그(2006)를 참조한다.null

수치 근사

Edelman & Persson(2005)이 MATLAB를 사용하여 먼저 유형 II와 V의 Pinlevé 방정식에 대한 수치 해답을 얻고 베타 앙상블의 무작위 행렬의 고유값 분포를 수치적으로 평가하기 위한 수치 기법을 제시하였다.이러한 근사 기법은 Bejan(2005)에서 더욱 분석적으로 정당화되었으며 S-PLUS에서 Pinlevé II와 Tracy-Widom 분포(β = 1, 2, 4)의 수치적 평가에 사용되었다.이러한 분포는 Bejan(2005)에서 인수 값에 대해 0.01의 증분으로 4자리 유의한 숫자로 표로 작성되었다. p-값에 대한 통계 표도 이 연구에서 제공되었다.보르네만(2010)은 F의_β 수치평가를 위한 정확하고 빠른 알고리즘과 β = 1, 2, 4의 밀도함수 f_β(s) = dF_β/ds를 제공했다.이러한 알고리즘은 분포 F의_β 평균, 분산, 왜도 및 과다 첨도를 숫자로 계산하는 데 사용할 수 있다.null

β	평균	분산	왜도	과잉 첨도
1	−1.2065335745820	1.607781034581	0.29346452408	0.1652429384
2	−1.771086807411	0.8131947928329	0.224084203610	0.0934480876
4	−2.306884893241	0.5177237207726	0.16550949435	0.0491951565

Tracy-Widom 법률로 작업하는 기능도 Johnstone 외 연구진이 R 패키지 'RMTstat'에 수록되어 있다. (2009) 및 Dieng(2006)의 MATLAB 패키지 'RMLab'(2006).null

시프트 감마 분포에 기초한 간단한 근사치는 Chiani(2014년)를 참조한다.null

참고 항목

• 위그너 반원 분포
• 마르첸코-파스퇴르 분포

각주

참조

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추가 읽기

• Bejan, Andrei Iu. (2005), Largest eigenvalues and sample covariance matrices. Tracy–Widom and Painleve II: Computational aspects and realization in S-Plus with applications (PDF), M.Sc. dissertation, Department of Statistics, The University of Warwick.
• Edelman, A.; Persson, P.-O. (2005), Numerical Methods for Eigenvalue Distributions of Random Matrices, arXiv:math-ph/0501068, Bibcode:2005math.ph...1068E.
• Ramírez, J. A.; Rider, B.; Virág, B. (2006), "Beta ensembles, stochastic Airy spectrum, and a diffusion", Journal of the American Mathematical Society, 24 (4): 919–944, arXiv:math/0607331, Bibcode:2006math......7331R, doi:10.1090/S0894-0347-2011-00703-0, S2CID 10226881.

외부 링크

• Kuijlaars, Universality of distribution functions in random matrix theory (PDF).
• Tracy, C. A.; Widom, H., The distributions of random matrix theory and their applications (PDF).
• Johnstone, Iain; Ma, Zongming; Perry, Patrick; Shahram, Morteza (2009), Package 'RMTstat' (PDF).
• 콴타 매거진, 새로운 보편적 법칙의 끝에서