쌀배분

확률밀도함수
누적분포함수
매개변수	${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu \geq$ 0$\},$ 기준점과 이변량 분포의 중심 사이의 거리, ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sigma \geq$ 0$\},$ 척도
지원	$[0,\displaystyle x\in [0,\fty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {x}{\frac ^{2}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2}}}}{2\framma ^{2}}}\오른쪽)I_{0}\왼쪽({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\오른쪽)}$
CDF	${\displaystyle 1-Q_{1}\왼쪽({\frac {\nu }{\sigma }},{\frac {x}{\sigma }\오른쪽)}}$ 여기서 Q는1 Marcum Q 기능이다.
평균	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{1/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})}$
분산	${\displaystyle 2\sigma ^{2}+\nu ^{2}-{\frac {\pi \sigma ^{2}}L_{1/2}^{2}\frac {-\nu ^{2}}:{2\sigma ^{2}}:}\오른쪽)}$
왜도	(iii)
엑스트라 쿠르토시스	(iii)

확률론에서 라이스 분포 또는 라이산 분포(또는 덜 보편적으로 라이산 분포)는 원근대칭 이변량 정규 랜덤 변수의 크기에 대한 확률 분포로, 0이 아닌 평균(비중심 분포)일 수 있다. 그것은 스티븐 O의 이름을 따서 명명되었다. 쌀(1907–1986)

특성화

확률밀도함수는

${\displaystyle f(x\mid \nu ,\flasma )={\frac {x}{\flasma ^{2}}\exp \leftma\frac {-(x^{2}+\nu ^}}{2}}}{2\ma ^2}}\오른쪽)I_{0}\왼쪽({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\오른쪽)}$

여기서 I₀(z)는 순서가 0인 첫 번째 종류의 변형된 베셀 함수다.

In the context of Rician fading, the distribution is often also rewritten using the Shape Parameter ${\displaystyle K={\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$, defined as the ratio of the power contributions by line-of-sight path to the remaining multipaths, and the Scale parameter ${\display$$스타일 \Oomega =\nu ^{2}+2\sigma ^{2}}:$ 모든 경로에서 수신되는 총 전력으로 정의된다$.$^[1]

쌀 분배의 특징적인 기능은 다음과 같다.^[2][3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{X}(t\mid \nu ,\sigma )=\exp \left(-{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)&\left[\Psi _{2}\left(1;1,{\frac {1}{2}};{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}},-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)\right.\\[8pt]&\왼쪽.{}+i{\sqrt {2}}\sigma t\Psi _{2}\left({\frac {3}{2}};1,{\frac {3}{2}};{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}},-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)\right],\end{aligned}}}$

where ${\displaystyle \Psi _{2}\left(\alpha ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)}$ is one of Horn's confluent hypergeometric functions with two variables and convergent for all finite values of ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$. It is given by:^[4][5]

${\displaystyle \Psi _{2}\left(\alpha ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}}{(\gamma )_{m}(\gamma ')_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}},}$

어디에

${\displaystyle (x)_{n}=x(x+1)\cdots(x+n-1)={\frac {\Gamma(x+n)}{\감마(x)}}}$

상승 요인이다.

특성.

순간

처음 몇 순간은 다음과 같다.

${\displaystyle \mu_{1}^{'}=\sigma {\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{1/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})$

${\displaystyle \mu _{2}^{'}=2\bma ^{2}+\nu ^{2}\,}$

${\displaystyle \mu _{3}^{'}=3\sigma ^{3}{\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{3/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2}}}})}$

${\displaystyle \mu _{4}^{'}=8\bma ^{4}+8\bma ^{2}\nu ^{2}+\nu ^4}\,}$

${\displaystyle \mu _{5}^{'}=15\sigma ^{5}{\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{5/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2}}}})}$

${\displaystyle \mu_{6}^{6}^}=48\buma^{6}+72\buma^{4}\nu ^{2}+18\bu ^{4}+{6}\,},}$

그리고, 일반적으로, 생의 순간은

$\displaystyle \mu _{k}^{'}=\sigma ^{k2^{k/2}\,\감마 (1\!+\!k/2)\,L_{k/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2}).\,}$

여기서 L_q(x)는 Laguerre 다항식을 나타낸다.

${\displaystyle L_{q}(x)=L_{q}^{(0)}^(x)=M(-q,1,x)=\,_{1}F_{1}(-q;1;x)}$

여기서 $M{\displaystyle (}$ ${\displaystyle a}$, b${\displaystyle }$, ${\displaystyle z}$)${\displaystyle {}_{}}$= 1 ${\displaystyle {F\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle a}$; ${\displaystyle b}$; ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle M(a,b,z)=_{1}F_{1}(a;b;z)}$은 첫 번째 종류의 결합초기하 함수다. k가 짝수일 때, 원시 순간은 위의 예와 같이 in과 ν에서 단순한 다항식이 된다.

사례 q = 1/2:

${\displaystyle {\reasoned}L_{1/2}}(x)&=\,_{1}F_{1}F_{1}\왼쪽(-{\frac {1}{1}{1}:{2}};1;x\오른쪽)\\&=e^{x/2}\왼쪽[\왼쪽(1-x\오른쪽)I_{0}\왼쪽(-{\frac {x}{2}}\오른쪽)-xI_{1}\왼쪽(-{\frac {x}{2}}\오른쪽)\오른쪽]\end{정렬}}}$

두 번째 중심 순간, 분산은

${\displaystyle \mu _{2}=2\sigma ^{2}+\nu ^{2}-(\pi \sigma ^{2}/2)\,L_{1/2}^{2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2}).}$

Note that ${\displaystyle L_{1/2}^{2}(\cdot )}$ indicates the square of the Laguerre polynomial ${\displaystyle L_{1/2}(\cdot )}$, not the generalized Laguerre polynomial ${\displaystyle L_{1/2}^{(2)}(\cdot ).$$}$

관련 분포

• ${\displaystyle }$$R{\displaystyle }$${\displaystyle }$~ ${\displaystyle R\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ (${\displaystyle \nu }$ ,${\displaystyle \sigma }$) ${\$ {$Rice} R$${\displaystyle }$= ${\displaystyle X\sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\$인$$ 경우$\$displaysty R\$nu ,\sigma$\rigma \$rigma$ \rigmp$)}}$$Y^{2}}}}$ where ${\displaystyle X\sim N\left(\nu \cos \theta ,\sigma ^{2}\right)}$ and ${\displaystyle Y\sim N\left(\nu \sin \theta ,\sigma ^{2}\right)}$ are statistically independent normal random variables and ${\displaystyle \theta }$ is any real number.
• $R{\displaystyle }$~ ${\displaystyle R\mathrm{}}$ i ${\displaystyle \mathrm{c}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ (${\displaystyle \nu }$ ,${\displaystyle \sigma }$) ${\$ {$Rice} \left(\nu ,\sigma$\rigma \$rigm)}$이(가) 다음과 같은 단계에서 발생하는 다른 사례:

1. poisson 분포가 있는$$ $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$ 생성(Poisson의 경우 평균도) =${\displaystyle \nu \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\sigma \mathrm{}}^{}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$. ${\displaystyle \lambda ={\nu ^{2}}:{$2\$sigma ^{2}}.$$}$

2. 자유도가 2P + 2인 카이-제곱 분포를 $갖는{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$ 생성

3. $설정{\displaystyle }$ R =${\displaystyle x\sqrt{}}$ X${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ R$=\sigma {\sqrt {X}.$$}$

• $R{\displaystyle }$~ ${\displaystyle 쌀}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \mathrm{\nu }}$, 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice}(\nu ,1)}$이면 R ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$도 및 비중심도 파라미터 $parameter{\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 중심 카이-제곱분포를 가진다$.$
• $R{\displaystyle }$~ ${\displaystyle 쌀}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \mathrm{\nu }}$, 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (\nu ,1)}$인 경우, $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은(는) 자유도와 비중심성 매개변수 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu$ \nu $}$을(는)로$$ 중심 분포가 된다$.$
• If ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (0,\sigma )}$ then ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rayleigh} (\sigma )}$, i.e., for the special case of the Rice distribution given by ${\displaystyle \nu =0}$, the distribution becomes the Rayleigh distribution, for which the variance는 ${\displaystyle {\mu 2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 4\frac{\mathrm{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{}{\mathrm{}}}$ 2 ${\displaystyle \sigma {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$
• $R{\displaystyle }$~ ${\displaystyle 쌀}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle \sigma }$) ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (0,\sigma )}$이면 R$$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ R$^{2}}:$ 지수분포를 가진다.^[6]
• $R{\displaystyle }$~ ${\displaystyle 쌀}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \nu }$ ,${\displaystyle \sigma }$) ${\$\rigma \$rigma$ \right$)}$이(가) 있는 경우$$${\displaystyle }$1/${\displaystyle R}${\$displaystystylean$1$/R}$ 분포가$$ 있다.^[7]
• 접힌 정규 분포는 라이스 분포의 일변량 특례다.

사례 제한

인수의^[8] 큰 값에 대해 Laguerre 다항식은

${\displaystyle \lim _{x\오른쪽 화살표 -\puty }L_{\nu }(x)={\frac {x^{\nu }}}{\감마(1+\nu )}}}.}$

ν이 커지거나 σ이 작아지면 평균은 ν이 되고 분산이 σ이² 되는 것으로 보인다.

가우스 근사치로의 전환은 다음과 같이 진행된다. 베셀 함수 이론에서 우리는

${\displaystyle I_{\alpha }(z)\오른쪽 화살표 {\frac{e^{z}}{\sqrt{2\pi z}}\왼쪽(1-{\frac {4\alpha^{2}-1}{8z+\cdots \오른쪽){}\text{}}}}}$

따라서 큰 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu }$ /${\displaystyle {\sigma \mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ 영역에서는$$ 리안 분포의 점증적 팽창:

${\displaystyle {\regated}f(x,\nu,\fracema )={}&{{\frac {x}{2}}\exp \leftleft\frac {-(x^{2}+\nu ^{2}}}}}{2\ma ^2}}\오른쪽)I_{0}\왼쪽({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}\오른쪽)\\{\text{은}}\\&,{\frac{)}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac{-(x^{2}+\nu^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right){\sqrt{\frac{\sigma ^{2}}{2\pi x\nu}}}\exp \left({\frac{2x\nu}{2\sigma ^{2}}}\right)\left(1+{\frac{\sigma ^{2}}{8x\nu}}+\cdots \right)\\\rightarrow{}&,{\frac{1}{\sigma{\sqrt{2\pi}}}}\exp}\left(-{\frac{())^{2}{2\sigma ^{2}.}}\right){\sqrt{\frac {x}{\nu}}}}\;\;\\\\텍스트{{}}{\frac {x\nu }{\frac {x\nu }{\}}{\prow \flined}}}}}}$

더구나 가우스 지수로 인해$$$$ $\nu$ ${\textstyle \nu$}, $x$ -$\nu$ $\ll$ $\sigma$ {$${ {\$textstyle x-\nu \ll$ \sigma $}$ 주위에 밀도가 집중되면 x ${\displaystyle \sqrt{\frac{\nu }{}}1}$ 1 ${\displaystystyle {\x}{x$}{}}}\$nu}\}\}\}\}}\}\}}}}}}\c$}}}}}}}}}}}}}}}\clanalormalormanaline normalmairalm

${\displaystyle f(x,\nu,\pima )\tx{\frac {1}{\frac {\sqrt{2\pi }}}}}\exp \frac{{2\frac ^{2}}\}\;\\frac {}{{{\nu}}}}\g}$

근사치는 > ${\displaystyle {\frac {\nu$}{\$sigma }}$에 사용할 수 있게 된다$.$

모수 추정(코이 반전 기법)

쌀 분포의 모수를 추정하는 방법에는 세 가지 방법,^{[9][10][11][12]} (1) 모멘트 방법, (2) ^{[9][10][11][13]}최대우도 방법 및 (3) 최소 제곱법이 있다.^{[citation needed]} 처음 두 방법에서 관심사는 데이터 표본으로부터 분포의 모수인 and과 estimating을 추정하는 것이다. 이것은 예를 들어 표본 평균 및 표본 표준 편차와 같은 모멘트의 방법을 사용하여 수행할 수 있다. 표본 평균은 μ의₁^' 추정치, 표본 표준 편차는 μ의₂^1/2 추정치다.

다음은 "Koay 반전 기법"으로 알려진 효율적인 방법이다.^[14] 표본 평균과 표본 표준 편차에 기초하여 동시에 추정 방정식을 푸는 경우. 이 반전 기법은 SNR의 고정점 공식으로도 알려져 있는데, 이전의 순간의 방법에 관한 작품들은^[9][15] 대개 문제를 해결하기 위해 뿌리 찾기 방법을 사용하므로 효율적이지 않다.

먼저 표본표준편차에 대한 표본평균의 비율은 r, $즉{\displaystyle }$ r${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}^{}}$ 1${\displaystyle {}_{}^{}}$μ / ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ SNR의 고정점 공식은 다음과 같이 표현된다$.$

${\displaystyle g(\theta )={\sqrt {\xi {(\theta )}\왼쪽[1+r^{2}\오른쪽]-2,},}$

여기서$$ $\theta {\displaystyle }$${\displaystyle \theta}$는 매개 변수의 비율입니다$$. 즉, ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle \nu \frac{}{}}$ = { { $σ$ { $\$ \ \ \ \ \ { { $\frac {\nu }{\sigma }},$$ξ$\${\displaystyle }$\ $\$ \ \$xi {\reft(\ta \teft$.

${\displaystyle \xi {\reft(\theta \right)}=2+\theta ^{2}-{\frac {\pi }}}}\exp {(-\theta ^{2}/2)}\좌측[(2+\ta ^{2})}I_{0}(\theta ^{2}/4)+\theta ^{2}I_{1}(\theta ^{2}/4)\right]^{2},}$

여기서 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 및 $I$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}는 첫 번째 종류의 Besel 함수를 수정한다.

$){\$은(는)$\sigma {\displaystyle }${\$displaystyle \sigma }$의 스케일링 계수로서$$$$ ${\displaystyle {\mu 2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} by$$:

${\displaystyle \mu _{2}=\xi {\\reft(\theta \rift)(\theta \right)}\ftma ^{2}.\,}$

To find the fixed point, ${\displaystyle \theta ^{*}}$, of ${\displaystyle g}$, an initial solution is selected, ${\displaystyle {\theta }_{0}}$, that is greater than the lower bound, which is ${\displaystyle {\theta }_{\mathrm {lowerbound} }=0}$ and occurs when ${\displaystyle r=}$${\displaystyle \sqrt{\pi }}$/${\displaystyle \sqrt{}}$(${\displaystyle \sqrt{4}}$ -$){\$ r$={\sqrt {\pi$ / $(4-\pi )}}}}($^[14]$이것$이 r${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{{}^{}}^{}}$μ /${\displaystyle {}_{}^{}{\mu \mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$/ 2 ${\$1}^{$1/2}}$ Rayleigh 분포라는$$ 점에 유의하십시오. 이것은 기능 구성을 사용하는 반복에 대한 출발점을 제공하며,^{[clarification needed]} 이는 ${\displaystyle {gi}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}{\theta \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}{}_{}}$) -${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ $displaystyle \left$ g$^{i}\좌측(\theta _{0}\오른쪽)-\theta _{i-1}\우측 }}$이(가) 일부 작은 양의 값보다 작을 때까지 계속된다. 여기서 $g{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\$ g$^{i}$는 같은 $함수$ g ${\displaystyle g$ $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ i$}$의 구성을$$ 나타낸다. 실제로 일부 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 대한 최종 ${\displaystyle {\theta n}_{}}$ ${\$을 고정점으로, $\theta {\displaystyle {}^{}}$ $∗{\$$displaystyle \theta ^{*}},$$$예:$\theta {\displaystyle {}^{}{}^{}g}$ = g $ta ^{*}\오른쪽)$로 연결한다$.$

고정점을 찾으면 다음과 같이 스케일링 함수인 $){\$$displaystyle \nu }$과(와) ${\displaystyle$ $\$$sigma }}$을$($를) 통해 추정치$$ ${\$$displaystystyle$ \$xi {\\refteft$(\ta $\tep$

${\displaystyle \frac {\mu _{2}^{1/2}}{\sqrt {\xi \i \left(\ta ^{*}\오른쪽)}}}},$

그리고

${\displaystyle \nu ={\sqrt}\\\ft(\mu_{1}^{1}~2}+\ft(\xi \xi \left)(\theta ^{*}\right)\putma ^{2}\right}}}}}}.}$

반복 속도를 더욱 높이기 위해 뉴턴의 뿌리 찾기 방법을 사용할 수 있다.^[14] 이 특별한 접근법은 매우 효율적이다.

적용들

• 이바리테이트 원형 대칭의 유클리드 규범은 정규 분포를 따른 벡터.
• 라이언 페이딩(다중 경로 간섭용)
• 조준 오류가 표적 사격에 미치는 ^[16]영향
• 무선 통신의 다양성 수신기 분석.^[17][18]

참고 항목

• 호이트 분포
• 레일리 분포

참조

추가 읽기

• 아브라모위츠, M., 스테건, I. A. (edd.), 수학적 기능 핸드북, 국가표준국, 1964; 도버 출판물, 1965. ISBN 0-486-61272-4
• 쌀, S. O. 수학적 무작위 소음 분석 Bell System Technical Journal 24 (1945) 46–156.
• I. Soltani Bozchalooi and Ming Liang (20 November 2007). "A smoothness index-guided approach to wavelet parameter selection in signal de-noising and fault detection". Journal of Sound and Vibration. 308 (1–2): 253–254. Bibcode:2007JSV...308..246B. doi:10.1016/j.jsv.2007.07.038.{{cite journal}}: CS1 maint: 작성자 매개변수 사용(링크)
• Wang, Dong; Zhou, Qiang; Tsui, Kwok-Leung (2017). "On the distribution of the modulus of Gabor wavelet coefficients and the upper bound of the dimensionless smoothness index in the case of additive Gaussian noises: Revisited". Journal of Sound and Vibration. 395: 393–400. doi:10.1016/j.jsv.2017.02.013.
• Liu, X. and Hanzo, L., A Unified Exact BER Performance Analysis of Asynchronous DS-CDMA Systems Using BPSK Modulation over Fading Channels, IEEE Transactions on Wireless Communications, Volume 6, Issue 10, October 2007, pp. 3504–3509.
• Annamalai, A., Tellambura, C. and Bhargava, V. K., Equal-Gain Diversity Receiver Performance in Wireless Channels, IEEE Transactions on Communications,Volume 48, October 2000, pp. 1732–1745.
• Erdelyi, A., Magnus, W., Oberhettinger, F. and Tricomi, F. G., Higher Transcendental Functions, Volume 1. McGraw-Hill Book Company Inc., 1953.
• Srivastava, H. M. and Karlsson, P. W., Multiple Gaussian Hypergeometric Series. Ellis Horwood Ltd., 1985.
• Sijbers J., den Dekker A. J., Scheunders P. and Van Dyck D., "Maximum Likelihood estimation of Rician distribution parameters", IEEE Transactions on Medical Imaging, Vol. 17, Nr. 3, pp. 357–361, (1998)
• Varadarajan D. and Haldar J. P., "A Majorize-Minimize Framework for Rician and Non-Central Chi MR Images", IEEE Transactions on Medical Imaging, Vol. 34, no. 10, pp. 2191–2202, (2015)
• den Dekker, A.J., and Sijbers, J (December 2014). "Data distributions in magnetic resonance images: a review". Physica Medica. 30 (7): 725–741. doi:10.1016/j.ejmp.2014.05.002. PMID 25059432.{{cite journal}}: CS1 maint: 작성자 매개변수 사용(링크)
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외부 링크

• MATLAB 코드:쌀/리시안 분포(PDF, 평균 및 분산, 랜덤 표본 생성)