원형 균일 분포

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확률 이론과 방향 통계에서, 원형 균일 분포는 모든 각도에 대해 밀도가 균일한 단위 원의 확률 분포다.null

설명

정의

$\theta {\displaystyle [}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$) ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$을$($를) 사용한 원형 균일 분포의 확률 밀도 함수(pdf)는 다음과 같다.

$f_{\displaystyle f_{UC}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}.}$

파라메트리제이션과 관련된 순간

$기본$ 각도${\displaystyle }angle{\displaystyle }$ = ${\displaystyle 0}$ ${\$$={i^{i\theta}$에서 z = 1 {\displaystyle $z=1$}을$($를) 갖는 원형 변수 $z{\displaystyle }$=${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle i^{}}$ = 0 {\$displaystyle \theta$=$0}$을(를)로 간주한다$.$ 이러한 측면에서 원형 균일분포의 원형 모멘트는 $모두{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$이다$.$

${\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\regle _{n}}$

여기서$$ ${\displaystyle {\Delta n}_{}}$ ${\$는 Kronecker 델타 기호다.null

기술 통계량

여기서 평균 각도는 정의되지 않았으며, 평균 결과물의 길이는 0이다.null

${\displaystyle R= \langle z^{n}\angle =0\,}$

평균 분포

$원형$ 균일 분포에서 $도출$된 N ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ $집합$의 ${\displaystyle {표본}_{}}$ 평균은 $다음과 같이 정의된다.$

${\displaystyle {\coverline{z}={\frac {1}{{{N}z_{n}={\overline{C}+i{S}={\overline{R}e^{\overline{{R}e^{\ta}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

평균 사인 및 코사인:^[1]

${\displaystyle {\c}={\frac {1}{{N}\sum _{n=1}^{N}}}\cos(\theta _{n})\qquad \qquad{\coverline{S}}={{N}}}\sum _{n=1}{n}}}}in}}}$

평균 결과 길이는 다음과 같다.

${\displaystyle {\overline{R}^{2}= {\overline{z}}^{2}={\overline{C}^{2}+{\overline{S}^{2}}:$

평균 각도는 다음과 같다.

${\displaystyle {\theta}}=\mathrm {Arg}({\overline {z})\,}$

원형 균일 분포의 표본 평균은 약 0으로 집중되며, N이 증가할수록 더 집중될 것이다.균등 분포에 대한 표본 평균의 분포는 다음과 같다.^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{N}}}\int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}d\theta _{n}=P({\overline {R}})P({\overline {\theta }})\,d{\overline {R}}\,d{\overline {\theta }}}$

where ${\displaystyle \Gamma \,}$ consists of intervals of ${\displaystyle 2\pi }$ in the variables, subject to the constraint that ${\displaystyle {\overline {R}}}$ and ${\displaystyle {\overline {\theta }}}$ are constant, or, alternatively, that ${\displaystyle {\overline {C}}}$ and $$${\displaystyle \stackrel{}{S}}$의${\$은(는) 일정하다.각도 ${\displaystyle ("\theta \stackrel{"}{}}$) ${\displaystyle$ P$({\overline {\theta }})$의 분포가 균일하다$$.

${\displaystyle P({\overline {\theta }})={\frac {1}{2\pi }}}$

$R$의${\$ 분포는 다음과 같다$$.^[2]

${\displaystyle P_{N}({\overline {R})=N^{2}{\overline{R}\int _{0}^{\\nft }J_{0}(N{\overline{R}\,t)J_{0}(t)^{N}t\,dt}$

여기서 $J{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 순서 0의 베셀 함수다.상기 적분에는 알려진 일반적인 분석 솔루션이 없으며, 적분량의 진동으로 인해 평가하기 어렵다.그림에는 N=3에 대한 평균 분포의 10,000 포인트 몬테카를로 시뮬레이션이 나와 있다.null

특정 특수 사례의 경우 위의 적분을 평가할 수 있다.

${\displaystyle P_{2}({\overline {R})={\frac {2}{\pi {\sqrt{1-{\overline{R}^{2}}.}$

큰 N의 경우, 평균의 분포는 방향 통계에 대한 중심 한계 정리로부터 결정될 수 있다.각도가 균일하게 분포하므로 각도의 개별 시네와 코사인(cosines)은 다음과 같이 분포한다.

${\displaystyle P(u)du={\frac {1}{\pi }\,{\frac {du}{\sqrt{1-u^{2}}}}$

여기서 $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $displaystyle u=\cos \theta$ $_{$$n},$ $\sin \n$ 평균이 0이고 분산이 1/2인 것으로 이어진다.By the central limit theorem, in the limit of large N, ${\displaystyle {\overline {C}}\,}$ and ${\displaystyle {\overline {S}}\,}$, being the sum of a large number of i.i.d's, will be normally distributed with mean zero and variance ${\displaystyle 1/2N}$. The mean resultant length ${\dis$일반적으로 분포된 두 독립 변수의 제곱합에 대한 제곱근인 $플레이스타일 {\overline{R}\,}$은$($는) 자유도가 2도인 치 분산된다(즉,).Rayleigh-distribution)${\displaystyle }및{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 분산\mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$ /$2N {\$displaystyle 1$/2N$

${\displaystyle \lim _{N\오른쪽 화살표 \infit }P_{{N}({\overline{R})=2N{\overline{R}\,e^{-N{\overline{R}^{R}^{N}^{R}}}}}.}$

엔트로피

균등 분포의 차분 정보 엔트로피는 단순하다.

${\displaystyle H_{U}=-\int _{\Frac {1}{2\pi }}}\ln \left({\frac {1}{2\pi }\right)\,d\\tea =\ln(2\pi )}$

여기서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$은(는) 길이 2 $[\displaystyle 2\pi }$의 임의 간격이다$.$ 이것은 모든 원형 분포가 가질 수 있는 최대 엔트로피이다.null

참고 항목

• 포장배포

참조