제트 다발

미분위상에서는 제트다발이 주어진 매끄러운 섬유다발로 새로운 매끄러운 섬유다발을 만드는 특정한 구조다.섬유다발 부분에 불변형 형태로 미분방정식을 쓸 수 있게 한다.제트기는 또한 테일러 팽창의 좌표 자유 버전으로 보일 수 있다.null

역사적으로 제트기 묶음은 찰스 에레스만(Charles Ehresmann)에 기인하며, 새로 도입된 형식 변수에 차등 형태 조건을 부과하여 상위 파생상품을 기하학적으로 다루는 엘리 카르탄의 방법(연간)을 진전시킨 것이었다.제트 번들을 스프레이라고 부르기도 하지만, 일반적으로 스프레이는 해당 번들에 유도된 관련 벡터장(예: 핀슬러 다지관의 지오데틱 스프레이)을 보다 구체적으로 가리킨다.null

1980년대 초부터 제트기 묶음은 지도, 특히 변동의 미적분과 관련된 현상을 설명하는 간결한 방법으로 나타났다.^[1]결과적으로, 제트 번들은 이제 기하학적 공변량 장 이론에 대한 올바른 영역으로 인식되고, 이 접근방식을 사용하는 장의 일반적인 상대론적 형식에서 많은 작업이 이루어진다.null

제트스

M이 m차원 다지관이고 (E, π, M)이 섬유다발이라고 가정하자.p ∈ M의 경우, γ(p)은 도메인이 p를 포함하는 모든 로컬 섹션의 집합을 나타내도록 한다. $I=(I(1),I(2),...,I(m))$ = $I=(I(1),I(2),...,I(m))$ ( $I=(I(1),I(2),...,I(m))$ ) $I=(I(1),I(2),...,I(m))$ , I $I=(I(1),I(2),...,I(m))$ ( $I=(I(1),I(2),...,I(m))$ ) $I=(I(1),I(2),...,I(m))$ , $I=(I(1),I(2),...,I(m))$ . $I=(I(1),I(2),...,I(m))$ . . $I=(I(1),I(2),...,I(m))$ . . . . . . . . . . . ${\displaystyle$ I $=(I(1),$ I $(2$ ), $...,I(m)}$ 을 다중 지수(꼭 상승 순서가 아닌 정수의 m-tuple)가 $I=(I(1),I(2),...,I(m))$ 되도록 한 후 다음을 정의한다.

{\begin{ligned}I &:=\sum _{i=1}{m(i)\\\frac {\partial ^{{{{}}}{{{\partial x^{{{{}}}}}}I}}&:=\prod _{i=1}^{m}\왼쪽({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\오른쪽)^{I(i)}.\end{정렬}}

국부 섹션 ,, ∈ ∈(p)을 정의하여 p에 동일한 r-jet를 설치한다.

왼쪽.{\frac {\partial ^{ I}\sigma ^{\alpha ^}}{{\partial x^{I}}\오른쪽 _{p}=\왼쪽.{\frac {\partial ^{ I }\eta ^{\alpha ^}}{{\partial x^{I}}\오른쪽 _{p}\quad 0\leq I \leq r.}

두 지도가 동일한 r-jet를 갖는 관계는 동등성 관계다.r-제트는 이 관계에 따른 등가 등급이며, 대표 σ을 가진 r-제트는 j $j_{p}^{r}\sigma$ $j_{p}^{r}\sigma$ ${\displaystyle j_{p}^{r}\sigma$ $j_{p}^{r}\sigma$ 정수 r은 제트의 순서라고도 하며, p는 그 원천이며 σ(p)은 그 대상이다.null

제트 다지관

π의 r번째 제트 다지관은 설정값이다.

J^{r}(\pi )=\왼쪽\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma \in \감마(p)\right\}.

우리는 다음과 같이 각각 소스 및 표적 투영이라고 불리는 투영 π과_r π을_r,0 정의할 수 있다.

{\displaysty}\pi _{r:J^{r}(\pi )\to M\\\j_{p}^{r}^{r}\sigma \mapsto p\end{case},\qquad {\begin}\pi _{r,0}:J^{r}(\pi )\to E\\\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto \sigma \sigma(p)\case}}}

1 ≤ k ≤ r이면 k-jet 투영은 다음과 같이 정의되는 함수 π이다_r,k.

{\displaysty}\pi _{r,k:J^{r}(\pi )\to J^{k}(\pi )\\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto j_{p}^{k}}\sigma \case{case}}}}}}}}

이 정의에서 π_r = π o π_r,0, 0 ≤ m ≤ k이면 π_r,m = π_k,m o o이_r,k 분명하다.π을_r,r J(π)에 있는 ID 맵으로 간주하고, J(π)와 E(π)를 동일시하는 것이 관례다.

함수_r,k ,, and_r,0, π은_r 매끄러운 굴절적 하위조항이다.null

E의 좌표계는 J에 좌표계를 생성한다.(U, u)를 E의 조정 좌표 차트로 한다. 여기서 uⁱ = (x, u^α)J의 유도 좌표도(U^r, u^r)는 다음과 같이 정의된다.

{\reasoned}U^{r}&=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma(p)\in U\right\}\u^{r}=\left(x^{i}}, u^{\alpha }u_{{}}}}{{{{}}}}}}}}}}}{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}I}^{\alpha }\오른쪽)\end{정렬}}

어디에

{\p}x^{i}\왼쪽(j_{p}^{r}}\ima \right)&=x^{i}(p)\u^}\u^{p}}\lift(j_{p}^{r}\ima \right)&=u^{\filename }(\filma(p)\ended{arged}}}

그리고 파생 좌표로 알려진 $n\left({\binom {m+r}{r}}-1\right)$ ( ( $n\left({\binom {m+r}{r}}-1\right)$ ( $n\left({\binom {m+r}{r}}-1\right)$ + $n\left({\binom {m+r}{r}}-1\right)$ ) $n\left({\binom {m+r}{r}}-1\right)$ - $n\left({\binom {m+r}{r}}-1\right)$ ) $n\left({\binom {m+r}{r}}-1\right)$ {\ $displaystyle n\left\\binom {m+r}{r}-1\right)$ 함수 $n\left({\binom {m+r}{r}}-1\right)$ :

{\displaysty}u_{{I}^{\알파 }:U^{k}\to \mathbf {R} \\u_{I}^{\alpha }\왼쪽(j_{p}^{r}^{r}\sigma \오른쪽)=\왼쪽.{\frac {\partial ^{ I}\sigma ^{\alpha ^}}{{\partial x^{I}}\오른쪽 _{p}\end{case}}

E에 대한 적응형 차트(U, u)의 지도책자를 보면, 해당 차트 모음(U , u )은 J에 대한 유한 차원^∞ C 지도책이다.null

제트 번들

Since the atlas on each $J^{r}(\pi )$ defines a manifold, the triples $(J^{r}(\pi ),\pi _{r,k},J^{k}(\pi ))$ , $(J^{r}(\pi ),\pi _{r,0},E)$ and ${\dis$ $Playstyle(J^{r$ }(\ $pi$ ),\ $pi _{r}M$ )}은 $(J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)$ (는) 모두 섬유화된 다지관을 정의한다.특히 $(E,\pi ,M)$ ( $(E,\pi ,M)$ , $(E,\pi ,M)$ , $(E,\pi ,M)$ ) $(E,\pi ,M)$ 이 $(E,\pi ,M)$ 섬유다발이라면, 삼중(J $(J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)$ ( $(J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)$ ) $(J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)$ , $(J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)$ $(J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)$ , $(J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)$ ) ${\displaystyle (J^{r})(\pi _{r},M$ )은 $(J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)$ π의 r번째 제트다발을 정의한다 $(J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)$ .

만약 W⊂ M은 개방되어 submanifold.

{\displaystyle J^{r}(\pi_{^{-1}(W\pi)}\right)\cong \pi _ᆫ^ᆬ(W).\,}.

r− 1(p){\displaystyle \pi_{r}(p)\, 만약 pM∈, 그 후 섬유 π}}Jpr(π){\displaystyle J_{p}(\pi)표시됩니다.

도메인 W과 π의 σ 지방 부분 ⊂ σ의 M. 그r-th 제트기용 연장부자는 지도 jrσ:W→ Jr(π){\displaystyle j^{r}\sigma:.W\rightarrow J^ᆩ(\pi)}에 의해 정의되

{\displaystyle(j^{r}\sigma)(p)=j_{p}^{r}\sigma .\,}

는π r∘ jrσ)나는}, W{\displaystyle \pi_{r}\circ j^{r}\sigma =\mathbb{이드}_{W} 해야 그렇게j r({\displaystyle j^{r}\sigma}정말 한 구역습니다.지방 고유의 좌표에서, jr({\displaystyle j^{r}\sigma}에 의해서 주어진다.

{\displaystyle \left(\sigma ^{\alpha},{\frac{\partial ^{1세}\sigma ^{\alpha}}{\partial x^{.나는}}}\right)\qquad 1\leq 나는}r.\, \leq.

우리는}σ{\displaystyle \sigma}과 j 0σ{\displaystyle j^{0}\sigma를 확인한다.

대수-기하학적 관점

섹션 $\Gamma J^{k}\left(\pi _{TM}\right)$ $\Gamma J^{k}\left(\pi _{TM}\right)$ k ( $\Gamma J^{k}\left(\pi _{TM}\right)$ $\Gamma J^{k}\left(\pi _{TM}\right)$ M $){\$ J $^{k}\왼쪽(\pi$ _ ${{})$ 의 독립적으로 동기가 부여된 구조 $TM}\right)}$ 이 $\Gamma J^{k}\left(\pi _{TM}\right)$ (가) 주어진다.null

대각선 지도 ${\textstyle \Delta _{n}:M\to \prod _{i=1}^{n+1}M}$ ${\textstyle \Delta _{n}:M\to \prod _{i=1}^{n+1}M}$ : ${\textstyle \Delta _{n}:M\to \prod _{i=1}^{n+1}M}$ → ${\textstyle \Delta _{n}:M\to \prod _{i=1}^{n+1}M}$ ${\textstyle \Delta _{n}:M\to \prod _{i=1}^{n+1}M}$ = ${\textstyle \Delta _{n}:M\to \prod _{i=1}^{n+1}M}$ ${\textstyle \Delta _{n}:M\to \prod _{i=1}^{n+1}M}$ + ${\textstyle \Delta _{n}:M\to \prod _{i=1}^{n+1}M}$ ${\textstyle \Delta _{n}:M\to \prod _{i=1}^{n+1}M}$ $[\textstyle \Delta _{n}:$ $M\to \prod _{i=1}^{n+1}M}$ , where the smooth manifold $M$ is a locally ringed space by $C^{k}(U)$ for each open $U$ . Let ${\mathcal {I}}$ be the ideal sheaf of $\Delta _{n}(M)$ , equivalently let ${\mathcal {I}}$ 나는}}은Δ n(M){\displaystyle \Delta_{n}(M)에}모든 0개체에 사라지다 원활한 세균의 뭉치, n≤ k{\displaystyle 0<,n\leq k}. 지수 뭉치의 철수 Δ n∗(나는/에+1){\displaystyle{\Delta_{n}}^{*}\left({\mathcal{나는}}/{\mathcal{\displaystyle{{나는\mathcal}.{나는}}^ ${\textstyle \prod _{i=1}^{n+1}M}$ {\delta_ ${$ n $}$ 에서 ${\textstyle \prod _{i=1}^{n+1}M}$ $\Delta _{n}$ ${\$ 까지의 ${\Delta _{n}}^{*}\left({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{n+1}\right)$ ${\textstyle \prod _{i=1}^{n+1}M}$ $M$ ${n$ $1$ $}{$ $n$ $}$ 는 k-jets의 $\Delta _{n}$ 피복이다.^[2]null

The direct limit of the sequence of injections given by the canonical inclusions ${\mathcal {I}}^{n+1}\hookrightarrow {\mathcal {I}}^{n}$ of sheaves, gives rise to the infinite jet sheaf ${\mathcal {J}}^{\infty }(TM)$ . Observe that by the direct limit cons그것은 여과된 고리다.null

예

만일 π이 사소한 번들(M × R, pr₁, M)이라면, 첫 번째 제트 $J^{1}(\pi )$ J 1 ( $){\displaystyle J^{1}(\pi )}$ 과 $J^{1}(\pi )$ T*M × R 사이에 표준적인 차이점이 있다.To construct this diffeomorphism, for each σ in $\Gamma _{M}(\pi )$ write ${\bar {\sigma }}=pr_{2}\circ \sigma \in C^{\infty }(M)\,$ .

그럼, 언제든지 p whenever M.

j_{p}^{1}\sigma =\left\{\psi :\psi \in \Gamma _{p}(\pi );{\bar {\psi }}(p)={\bar {\sigma }}(p);d{\bar {\psi }}_{p}=d{\bar {\sigma }}_{p}\right\}.\,

결과적으로, 매핑

{\displaysty}J^{1}(\pi )\to T^{*}M\times \mathbf {R}\\\j_{p}^{1}}\sigma \mapsto \left(d{\bar {\sigma }}}}}{p},{\bar {\sigma }}}\case}

잘 정의되어 있고 주입력이 뚜렷하다.좌표로 작성하면 (x, uⁱ)가 M × R의 좌표일 경우, 여기서 u = id가_R 식별 좌표일 경우, J¹(π)의 파생 좌표 u는_i T*M의 좌표 ∂_i에 해당하기 때문에 차이점형이라는 것을 알 수 있다.null

마찬가지로 π이 사소한 번들(R × M, pr₁, R)이라면, J $J^{1}(\pi )$ ( $J^{1}(\pi )$ ) $J^{1}(\pi )$ 과 $J^{1}(\pi )$ R × TM 사이에 표준적인 차이점형성이 존재한다.null

접촉구조

공간 J^r(π)는 자연분포, 즉 카르탄분포라고 불리는 접선다발 TJ^r(π)의 하위분포를 운반한다.카르탄 분포는 모든 접선 평면에 의해 홀노믹 섹션의 그래프, 즉 φ의 섹션에 대한 형태 jφ의^r 섹션으로 확장된다.

카르탄 분포의 전멸기는 J^r(π) 위에 접촉 양식이라 불리는 차동 단형(一形)의 공간이다.The space of differential one-forms on J^r(π) is denoted by $\Lambda ^{1}J^{r}(\pi )$ and the space of contact forms is denoted by $\Lambda _{C}^{r}\pi$ . A one form is a contact form provided its pullback along every prolongation is zero.즉 $\theta \in \Lambda ^{1}J^{r}\pi$ θ $\theta \in \Lambda ^{1}J^{r}\pi$ 1 $\theta \in \Lambda ^{1}J^{r}\pi$ r $\theta \in \Lambda ^{1}J^{r}\pi$ ${\displaystyle \theta \in \lambda ^{1}J^{r}\pi$ }}는 if와 if만 연락 양식이다 $\theta \in \Lambda ^{1}J^{r}\pi$ .

\left(j^{r+1}\filma \오른쪽)^{*}\theta =0

모든 국부 섹션에 대하여 over의 M.

카르탄 분포는 제트 공간의 주요 기하학적 구조로 부분 미분 방정식의 기하학적 이론에서 중요한 역할을 한다.카르탄 분포는 완전히 통합되지 않는다.특히, 그들은 비자발적이지 않다.카르탄 분포의 치수는 제트 공간의 순서에 따라 증가한다.그러나 무한 제트 J의^∞ 공간에서는 카르탄 분포가 비자발적이고 유한한 차원이 된다. 그 치수는 베이스 다지관 M의 치수와 일치한다.

예

사례(E, π, M)를 고려한다. 여기서 E ≃ R² 및 M ≃ R.그 다음 (J¹(J)와 π, M)은 첫 번째 제트 번들을 정의하며, (x, u, u₁)에 의해 조정될 수 있다.

{\ligned}x\좌측(j_{p}^{1}\우측)&=x(p)=x\\u\좌측(j_{p}^{p}^{1}우측)&=u(p)=u(p)=우측(x)=\\chma (x)\\u_{1}\좌측(j_{p}^{1}}}\우측)&=\좌측.{\frac {\buffer \bufferma }{\buffer x}\right _{p}=\buffrma '(x)\ended}}}

γ_p(π)의 모든 p ∈ M 및 σ에 대하여.J¹(π)에 대한 일반 1형식이 그 형태를 취한다.

\theta =a(x,u,u_{1})dx+b(x,u,u_{1}{1}du+c(x,u,u_{1}){1}du_{1}\,

γ_p(π)의 섹션 σ이 먼저 연장된다.

j^{1}\filma =(u,u_{1})=\좌(\flossma(p),\좌){\frac {\buffer \bufferma }{\buffer x}\right _{p}\right).

따라서 (jσ¹)*θ은 다음과 같이 계산할 수 있다.

{\displaystyle}\왼쪽(j_{p}^{1}\filma \오른쪽)^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{1}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma (x))+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma '(x))\\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)dx+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)dx\\&=[a(x,\sigma (x),\sigma '(x))+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)]dx\end{aligned}}

이는 c = 0이고 a = -b′((x)인 경우에만 모든 섹션에 대해 사라진다.따라서 θ = b(x, u, u₁)θ은₀ 반드시 기본 접촉₀ 형태 du = du₁ - udx의 배수여야 한다.다음과 같은 추가 좌표 u를₂ 사용하여 두 번째 제트 공간² J(j)로 진행

u_{2}(j_{p}^{2}\pa)=\왼쪽.{\frac {\frac ^{2}\probma }{\pa x^{2}}}\오른쪽 _{p}=\pma"(x)\,

일반 1형식이 그 건축이 되어 있다.

\theta =a(x,u,u_{1},u_{2})dx+b(x,u,u,u_{1},u_{1}{2})du+c(x,u,u_{1}{1}}u_{2}){1}+e(x,u_{1},u_{2}){2},{2

이 양식은 다음의 경우에 한해서만 연락하는 양식이다.

{\displaystyle}\왼쪽(j_{p}^{2}\cHBma \오른쪽)^{*}\theta &=\theta \data j_{p}^{2}\\bma \&=a(x,\bma(x),\b(x)+b(x,\b),\bma'(x),\bma'(x)d(\bma)d(x)+{}\\&\qquad \qquad c(x,\chma(x),\chma '(x),\chma''(x)d(x),\chma '(x),\chma'd(x)\\&=adx+b\bma '(x)dx+c\c\ma'(x)dx\e\&=[a+b\c\c\ma '(x)+c\ma'(x)+e(x)+e(x)\&=0\ended{}}}}}}}}}}}}}

즉, e = 0과 a = -bσ′(x) - cσ′′(x)를 의미한다.따라서 θ은 만약의 경우에 한해서만 연락하는 형식이다.

\theta =b(x,\dvma(x),\dvma '(x),\{0}+c(x),\dvma '(x)\theta _{1},

여기서 θ₁ = du₁ - udx는₂ 다음 기본 연락처 양식(여기서 $\left(\pi _{2,1}\right)^{*}\theta _{0}$ $\left(\pi _{2,1}\right)^{*}\theta _{0}$ , $\left(\pi _{2,1}\right)^{*}\theta _{0}$ ) $\left(\pi _{2,1}\right)^{*}\theta _{0}$ ${\$ )으로 θ₀ 형식을 식별하고 있다는 점에 유의하십시오 $.$ $^{*}\theta _{0}~$ J²(으)까지 $\left(\pi _{2,1}\right)^{*}\theta _{0}$ .null

일반적으로, x, u r R을 제공하면, J^r+1(π)의 접촉 양식은 기본 접촉 양식의 선형 조합으로 작성할 수 있다.

\theta _{k}=du_{k}-u_{k+1}dx\qquad k=0,\ldots,r-1\,

어디에

u_{k}\left(j^{k}\j^ma \right)=\left.{\frac {\frac ^{k}\pma }{\p^{k}}\오른쪽 _{p}.

유사한 주장이 모든 접촉 양식의 완전한 특성화를 이끈다.null

로컬 좌표에서 J^r+1(()에 있는 모든 접촉 원폼은 선형 조합으로 기록할 수 있다.

\theta =\sum _{ I =0}^{r}}P_{\alpha }^{I}\theta _{{I}^{\알파}}

부드러운 계수 $P_{i}^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha })$ $P_{i}^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha })$ $P_{i}^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha })$ $P_{i}^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha })$ $P_{i}^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha })$ $P_{i}^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha })$ $P_{i}^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha })$ ) ${\displaystyle P_{i}^{\alpha }(x^{i}, u^{\alpha },u_{$ u_})와 함께. $기본$ 연락처 양식의 I}^{\alpha $}}$

\displaystyle \theta _{{I}^{\alpha }=du_{I}^{\알파 }-u_{I,i}^{\알파 }dx^{i}\,}

나는 $\theta _{i}^{\alpha }$ $\theta _{i}^{\alpha }$ 의 순서 { $\theta _{i}^{\alpha }$ i α {\ $displaystyle \theta _{i$ }^{\alpha $\theta _{i}^{\alpha }$ }}}}}로 알려져 있다^r+1 $\theta _{i}^{\alpha }$ J(π)의 연락처 양식은 최대 r의 주문을 가지고 있다는 점에 유의한다.연락처 양식은 π의 구획을 연장하는 local의_r+1 지역 구획의 특성을 제공한다.

Let ψ ∈ Γ_W(π_r+1), then ψ = j^r+1σ where σ ∈ Γ_W(π) if and only if ${\displaystyle \psi ^{*}(\theta _{W})=0,\forall \theta \in \Lambda _{C}^{1}\pi _{r+1,r}.$ $\,}$

벡터 필드

$(x,u)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha }\right)\,$ , $(x,u)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha }\right)\,$ ) $(x,u)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha }\right)\,$ = $(x,u)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha }\right)\,$ e $(x,u)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha }\right)\,$ ( $(x,u)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha }\right)\,$ $(x,u)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha }\right)\,$ , $(x,u)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha }\right)\,$ ) $displaystyle (x,u)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def}{}}}}}} \좌측(x^{i}}},u^{\alpha }\right)$ 에 의해 조정된 총 공간 E의 일반 벡터 필드는 다음과 같다.

V\mathrel {\mathrm {def}{}}{{}}}{\rho ^{i}(x,u){\partial x^{\partial x^}}+\phi ^{\frac {\partial u,}}}}},}}}}},}}}}}}}},}},}}}}}},},},

벡터 필드를 수평이라고 하는데, 이는 $\phi ^{\alpha }$ {\ $displaystyle \pi^{\alpha }}$ = 0이면 모든 수직 계수가 사라지는 것을 의미한다.

벡터 필드를 수직이라고 하는데, 이는 모든 수평 계수가 ρⁱ = 0인 경우 사라지는 것을 의미한다.

고정(x, u)의 경우, 식별

V_{(x,u)}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}\,

좌표(x, u, ρⁱ, φ^α)를 가지며, E에서 TE over (x, u)의 섬유 TE에_xu 원소가 있고, TE에서 접선 벡터라고 한다.한 단면

{\displaysty}\case:E\to TE\\(x,u)\mapsto \psi(x,u)=V\end{case}}

E에서는 벡터 필드라고 불린다.

V=\rho ^{i}{{i}{\frac(x,u){\partial x^{i}}+\phi^{\partial u^}{\partial u^{\partial u,u}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\partfrac {\partial }

γ(TE)의 ψ.null

The jet bundle J^r(π) is coordinated by $(x,u,w)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha },w_{i}^{\alpha }\right)\,$ . For fixed (x, u, w), identify

V_{(x,u,w)}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} V^{i}(x,u,w){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+V^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+V_{i}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i}^{\alpha }}}+V_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }}}+\cdots +V_{i_{1}\cdots i_{r}^{{r}^{\properties }(x,u,w){\frac {\frac }{\properties w_{i_{1}}\cdots i_{r}^{\re}}}}}}}}}}}}

좌표가 있는

\left(x,u,w,v_{i}^{{1}i_{1}i_{2}}^{}}}\cdots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}^{r}}}오른쪽),

(x^r, u, w) ∈ J^r(π) 위에 $T_{xuw}(J^{r}\pi )$ TJ(π)의 $T_{xuw}(J^{r}\pi )$ $T_{xuw}(J^{r}\pi )$ x $T_{xuw}(J^{r}\pi )$ w ( $T_{xuw}(J^{r}\pi )$ $T_{xuw}(J^{r}\pi )$ $T_{xuw}(J^{r}\pi )$ ) $T_{xuw}(J^{r}\pi )$ {\ $displaystyle T_{xuw}(J^{r}\pi$ )에 있는 원소로 TJ(j^r)에서 접선 벡터라고 한다.여기,

v_{i}^{}^{v_{i_{1}i_{2}}:^{{2}}:}\ldots, v_{i_{1}}\cdots i_{r}^{\cdots }}}}}}}}}}

J^r(J)에 대한 실제 값 함수.한 단면

{\begin{case}\PSI :J^{r}(\pi )\(x,u,w)\mapsto \Psi(u,w)=V\end{case}

J^r(J)의 벡터 필드인데, 우리는 $\Psi \in \Gamma (T\left(J^{r}\pi \right)).$ $\Psi \in \Gamma (T\left(J^{r}\pi \right)).$ $\Psi \in \Gamma (T\left(J^{r}\pi \right)).$ ( $\Psi \in \Gamma (T\left(J^{r}\pi \right)).$ $\Psi \in \Gamma (T\left(J^{r}\pi \right)).$ r $\Psi \in \Gamma (T\left(J^{r}\pi \right)).$ ) 이라고 말한다 $\Psi \in \Gamma (T\left(J^{r}\pi \right)).$ ${\displaystyle \Psi \in \Gamma(T\\left(J^{r}\pi \right)).$ $}$

부분 미분 방정식

(E, π, M)은 섬유 묶음이다.π에 대한 r-순서 부분 미분 방정식은 제트 매니폴드^r J(π)의 닫힌 내장형 서브매니폴드 S이다.솔루션은 M의 모든 p에 대해 j $j_{p}^{r}\sigma \in S$ $j_{p}^{r}\sigma \in S$ $j_{p}^{r}\sigma \in S$ S ${\displaystyle j_{p}^{r}\sigma \in$ S $}$ 을 $j_{p}^{r}\sigma \in S$ 를) 만족하는 로컬 섹션 section γ_W γ(π)이다.

첫 번째 순서 부분 미분 방정식의 예를 생각해 보십시오.null

예

π은 글로벌 좌표¹(x², x, u¹)가 있는 사소한 번들(R² × R, pr₁, R²)이 되도록 한다.그 다음 지도 F : J¹(π) → R에 의해 정의된다.

F=u_{1}^{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}:{1}:{1}:{1

미분 방정식을 낳다

{\displaystyle S=\\left\{j_{p}^{1}:{1}\in J^{1}\pi \\\\\\\\\\\\\\\\\\lock\\\\\left}-2x^{1}-2x^{2}{2}^{{p}{{p}^{{{{1}}}}}}}}}}}sigma \rigma \rigma \rigma \rigma \rigma \rigma \ri

쓸 수 있는

{\frac {\fract \\frac \propert x^{1}{\fract x^{1}{\frac \propert x^{}}}-2x^{2}\presma = 0.

특이사항

{\begin{cases}\sigma :\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {R} \\\sigma (p_{1},p_{2})=\left(p^{1},p^{2},p^{1}(p^{2})^{2}\right)\end{cases}}

에 의해 처음으로 연장된다.

j^{1}\p_{1},p_{2}\right)=\왼쪽(p^{1},p^{1},p^{1},p^{2}\rift(p^{2}\right)^{2},2p^{1}p^{2}\right)

그리고 이 미분 방정식의 해결책이다, 왜냐하면

{\pairline}\좌측(u_{1}^{1}u_{2}^{1}{1}^{1}2x^{2}u^{1}\우측)\좌측(j_{p}^{p}^{1}\ma \우측)&=u_{1}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u_{2}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)-2x^{2}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)\\&=\left(p^{2}\right)^{2}\cdot 2p^{1}p^{2}-2\cdot p^{2}\cdot p^{1}\left(p^{2}\right)^{2}\\&=2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}-2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}\\&=0\end{aligned}}

그리고 so $j_{p}^{1}\sigma \in S$ $j_{p}^{1}\sigma \in S$ $j_{p}^{1}\sigma \in S$ $j_{p}^{1}\sigma \in S$ $j_{p}^{1}\sigma \in S$ $j_{p}^{1}\sigma \in S$ {\ $displaystyle j_$ {p $}^{1$ }\ $sigma \in S}$ 각 p ∈ R².에 대해 $j_{p}^{1}\sigma \in S$ .

분사 연장

국소미분포 ψ : J^r(π) → J^r(π)는 접촉 이상을 보존하면 순서 r의 접촉 변형을 정의하는데, 이는 만약 θ이 J^r(π)에 있는 어떤 접촉 형태라면 ψ**도 접촉 형태라는 것을 의미한다.null

제트 공간 J^r(1973)의 벡터 필드 V에^r 의해 생성된 흐름은 어떤 접촉 형태 θ의 ${\mathcal {L}}_{V^{r}}(\theta )$ Li 파생 모델 L ${\mathcal {L}}_{V^{r}}(\theta )$ ${\mathcal {L}}_{V^{r}}(\theta )$ ( $){\displaystyle {\mathcal{L}_{V^{r}}}}}}}}$ 이 접촉 이상을 보존하는 경우에만 하나의 매개변수 접촉 변환 그룹을 형성한다.null

첫 번째 주문 사례부터 시작합시다.J(제곱¹)의 일반 벡터 필드 V를¹ 고려한다.

V^{1}\\\stackrel {def}{}}{=}\\rho ^{i}\좌측(x^{i}},u^{\alpha }},u_{}}}I}^{\alpha }\오른쪽){\frac {\partial }{\partial x^{i}}+\phi ^{\alpha }\{\frome}}}{\frome{i}}, u^{\alpha },u_{}}}I}^{\alpha }\오른쪽){{\frac {\partial u^{\\alpha }}}+\chi _{i}^{\alpha }}\{i}\ft(x^{i}, u^{\alpha }}}{{}}}u_{{}}}}}}}}}}I}^{\alpha }\오른쪽){\frac {\partial }{\partial u_{i}^{\alpha }}}}.

We now apply ${\mathcal {L}}_{V^{1}}$ to the basic contact forms $\theta _{0}^{\alpha }=du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i},$ and expand the exterior derivative of the functions in terms of their coordinates to obtain:

{\displaystyle{\begin{aigned}{\v^{1}{{V^{1}}}\왼쪽(\theta _{0}^{0}^{\alpha }}\오른쪽)&={\mathcal {L}}}}{V^{1}}}}\dx^{i}\\오른쪽)\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du^{\alpha }-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{i}^{\alpha }\right)dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx^{i}\right)\\&=d\left(V^{1}u^{\alpha }}\오른쪽)-V^{1}u_{1}^{{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\{{1}x^{i}\rig)\\\\\\\\\&, =d\phi _{나는}^{\alpha}dx^{나는}-u_{나는}^{\alpha}d\rho ^{나는}\\& ^{\alpha}-\chi, ={\frac{\partial\phi ^{\alpha}}{\partial x^{나는}}}dx^{나는}+{\frac{\partial\phi ^{\alpha}}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac{\partial\phi ^{\alpha}}{\partial u_{나는}^{k}}}du_{나는}^{k}-\chi _{나는}^{\alpha}dx^{나는}-u_{나는}^{\alpha}\left[{\frac{\partial\rho ^{나는}}{\partial x^{m}}}dx^{m}}+{\frac{\frac}{{i}}{\frac u^{k}}}{\frac u^{i}}{\frac \\\frac \{n1}{m}^{k}}}}{m}^{m}^{k}}}}\\\\\\\\\&, ={\frac{\partial\phi ^{\alpha}}{\partial x^{나는}}}dx^{나는}+{\frac{\partial\phi ^{\alpha}}{\partial u^{k}}}\left(\theta ^{k}+u_{나는}^{k}dx^{나는}\right)+{\frac{\partial\phi ^{\alpha}}{\partial u_{나는}^{k}}}du_{나는}^{k}-\chi _{나는}^{\alpha}dx^{나는}-u_{나는}^{\alpha}\left[{\frac{\partial\rho ^{나는}}{\partial x^{나는}}}dx^{나는}+{\frac{\partial\rho ^{나는}}{\par.tial^{k}}}\{k}}}\{k}+u_{i}^{k}}{{k}x^{i}\right)+{\frac {\frac{\rho \{l}{\l}{\i}}}{k}}}du_{i}^{k}\rig]\\\\&, =\left[{\frac{\partial\phi ^{\alpha}}{\partial x^{나는}}}와{\frac{\partial\phi ^{\alpha}}{\partial u^{k}}}u_{나는}^{k}-u_{나는}^{\alpha}\left({\frac{\partial\rho ^{나는}}{\partial x^{나는}}}와{\frac{\partial\rho ^{나는}}{\partial u^{k}}}u_{나는}^{k}\right)-\chi_{나는}^{\alpha}\right]dx^{나는}+\left는 경우{\frac{\partial\phi ^{\alpha}}{\partial u_{나는}^{k}}}-u_{나는}.^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}\right]du_{i}^{k}+\left({\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\right)\theta ^{k}\end{aligned}}}

따라서 V는¹ 공식에서 $du_{i}^{k}$ dx와ⁱ $du_{i}^{k}$ $du_{i}^{k}$ i $du_{i}^{k}$ ${\$ 의 계수가 소멸되는 경우에만 접촉 변환을 결정한다.후자의 요구사항은 접촉 조건을 의미한다.

{\fract \phi ^{\phi ^{\phil ^{k}}-u_{l}^{\frac }{\frac }{rho ^}{l}}{\fl}}}=0

이전 요구사항은 V의¹ 첫 번째 파생상품 조건 계수에 대한 명시적 공식을 제공한다.

\chi \{i}^{{i}^{\widehat {D}_{i}\phi ^{\alpha }-u_{l}^{\alpha }\{\widehat {D}_{i}\rho ^{l}\오른쪽)

어디에

{\widehat{D}_{i}={\frac {\partial x^{i}}+u_{i}^{k}{\frac {}{\partial u^{k}}}}}}}}}}}}

총 파생상품 D의_i 제로 주문 절단을 나타낸다.null

따라서 접촉 조건은 어떤 점 또는 접촉 벡터 영역의 연장을 고유하게 규정한다.즉, ${\mathcal {L}}_{V^{r}}$ ${\mathcal {L}}_{V^{r}}$ ${\mathcal {L}}_{V^{r}}$ ${\$ 이(가) 이러한 방정식을 만족하면 ${\mathcal {L}}_{V^{r}}$ V를^r^r J(와)의 벡터 필드에 대한 r번째 연장이라고 한다.null

이러한 결과는 특정 예에 적용할 때 가장 잘 이해된다.따라서 다음 사항을 살펴보도록 하자.null

예

사례(E, π, M)를 고려한다. 여기서 E ≅ R² 및 M ≃ R.그 다음 (J¹(J)와 ,, E)는 첫 번째 제트 번들을 정의하며, (x, u, u₁)에 의해 조정될 수 있다.

{\p}x(j_{p}^{1}\pma )&=x(p)=x\\u(j_{p}^{1}\pma )&=u(\p)=u(\p)=u(\p)=u(x)=\\chma (x)\\u_{1}(j_{p}^{1}{1}\chostma )&=\왼쪽.{\frac {\frac \protects \progressma }{\paint x}\right _{p}={p}={\dot {\painta }}(x)\ended}}}

γ_p(π)의 모든 p ∈ M 및 σ에 대하여.J¹(π)의 연락처 양식은 다음과 같다.

\theta =du-u_{1}dx

E에서 벡터 V를 고려하십시오.

V=x{\frac {\partial u}{\partial u}-u}-u{\frac {\partial x}}

그러면 이 벡터장을 J¹(π)로 처음 연장하는 것이 된다.

{\reasoned}V^{1}&=V+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\end{aligned}}

이제 이 장기 벡터 ${\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta ),$ 인 ${\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta ),$ V ${\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta ),$ ( ${\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta ),$ ) , ${\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta ),$ {\ $displaystyle {\mathcal{L}_{V^{1}(\theta$ })과 관련하여 접촉 양식의 Lie 파생상품을 취한다면 $}$ 을 ${\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta ),$ (를) 얻는다.

{\begin{aigned}{\mathcal {L}{{V^{1}{V^{{L}}}={V^{{{{{{}dx)\\&={\mathcal{{L}_{V^{1}-\좌({\mathcal {{L}}_{V^{1}{1}\우)dx-u_{1}\좌({\mathcal{L}_{{V^{1}dx\우)\\\\\\\\\\\&=d\left(V^{1}u\right)-V^{1}u_{1}dx-u_{1}d\left(V^{1}x\right)\\&=dx-\rho (x,u,u_{1})dx+u_{1}du\\&=(1-\rho (x,u,u_{1}))dx+u_{1}du\\&=[1-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}(\theta +u_{1}dx)&&du=\theta +u_{1}dx\\&=[1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}}\theta \end{aigned}

따라서, 접촉 이상을 보존하기 위해, 우리는

1+u_{1}u_{1}-\rho(x,u,u_{1}=0\quad \leftrightarrow \quad \quho(x,u,u_{1}})=1+u_{1}u_{1}.

그래서¹ V를 J(π)의 벡터장까지 연장하는 첫 번째 방법은

V^{1}=x{\frac {\partial u}{\partial u}-u}{\partial u}{\partial x}+(1+u_{1}u_{1}}}}{\partial u_{1}}}{\partial u_{1}.

또한² V의 두 번째 연장선을 J( vector)의 벡터 필드에 대해 계산해 보자.J(J²)에 좌표로 $\{x,u,u_{1},u_{2}\}$ $\{x,u,u_{1},u_{2}\}$ { $\{x,u,u_{1},u_{2}\}$ $\{x,u,u_{1},u_{2}\}$ u, $\{x,u,u_{1},u_{2}\}$ 1, $\{x,u,u_{1},u_{2}\}$ 2 $\{x,u,u_{1},u_{2}\}$ $\{x,u_{1},u_{2}\}$ 이(가) 있다.그러므로, 긴 벡터는 형태를 가지고 있다.

V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.

연락처 양식은

{\justice}\theta &=du-u_{1}dx\\\theta _{1}=du_{1}-u_{2}dx\end}}}}

접촉 이상을 보존하기 위해

{\displaystyle{\begin{aigned}{\mathcal{{L}}{V^{{V^{0\\\\\mathcal{L}}}}{V^{{1}}}}}(\the_{1}=0\ended}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"

이제 θ은 u₂ 의존성이 없다.따라서 이 방정식으로부터 ρ에 대한 공식을 얻을 것이며, 이는 반드시 V에¹ 대해 찾은 것과 같은 결과가 될 것이다.따라서 문제는 벡터장 V를¹ J²(()로 연장하는 것과 유사하다.즉, 우리는 장기화된 벡터장에 관해서 접점 양식의 Lie 파생상품을 재귀적으로 적용함으로써 벡터 영역의 r번째 연장을 발생시킬 수 있다.그래서, 우리는

\rho(x,u,u_{1}=1+u_{1}u_{1}:{1}

등등

{\reasoned}V^{2}&=V^{1}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\end{aligned}}

따라서 V에² 관한 두 번째 접촉 양식의 Lie 파생상품은

{\begin{aigned}{\mathcal{{L}}}{V^{1}{1}={\mathcal{L}}}{V^{{1}-u_{2}dx)\\&, ={{나는\mathcal}}_{V^{2}}du_ᆳ-\left({\mathcal{L}}_{V^{2}}u_{2}\right)dx-u_ᆴ\left({\mathcal{L}}_{V^{2}}dx\right)\\&, =d(V^{2}u_{1})-V^ᆵu_ᆶdx-u_ᆷd(V^{2}))\\&, =d(1+u_{1}u_{1})-\phi(x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&, =2u_{1}du_{1}-\phi(x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&, =2u_{1}du_{1}-\phi(x,u,u_{1},u_{2})dx+u_ᆾ(\theta +u_{1}dx)&am.p/&du&.=\theta +u_{1}dx\\&.=2u_{1}(\theta _{1}+u_{2}dx)-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du_{1}&=\theta _{1}+u_{2}dx\\&=[3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})]dx+u_{2}\theta +2u_{1}}\theta _{1}\end{aigned}

따라서 L ${\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})$ ${\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})$ ( ${\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})$ 1 ${\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})$ ) ${\displaystyle {\mathcal{L}_{V^{2}}(\theta _{1}})$ 에 ${\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})$ 대해 접촉 이상을 보존할 것을 요구한다.

3u_{1}u_{2}-\phi(x,u,u_{1}u_{2}=0\quad \leftrightarrow \quad \quad \quad \quad \phi(x,u,u_{1},u_{2})=3u_{1}u_{1}u_{2}u_{2}.

그래서² V를 J(π)의 벡터장까지 두 번째로 연장하는 것은

V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+3u_{1}u_{2}{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.

V의 첫 번째 연장은 V의² 두 번째 파생상품 조건을 생략하거나 J¹(제곱)에 다시 투영함으로써 복구할 수 있다는 점에 유의하십시오.null

무한 제트 공간

$\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ + $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ , $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ : J $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ + $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ ( $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ ) $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ → $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ ( $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ ) ${\displaystyle \pi _{k+1,k}:$ $J^{k+1}(\pi )\to$ J $^{k}(\pi )}$ 는 무한 제트 공간 J(j)를^∞ 발생시킨다 $\pi _{{k+1,k}}:J^{{k+1}}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ .점 $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ ( $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ ) $j_{p}^{\npty }(\sigma )$ 은 k의 모든 값에 대해 p와 동일한 k-jet를 갖는 π 섹션의 동등성 등급이다 $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ .자연 투영법 $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ 는_∞ $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ p $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ ( $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ ) $j_{p}^{\inflit }(\sigma )$ 을 p에 $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ 매핑한다.null

좌표만 놓고 생각해 봐도 J^∞(π)는 무한 차원 기하학적 물체로 나타난다.사실, 차별화 가능한 차트에 의존하지 않고^∞ J( on)에 차별화 가능한 구조를 도입하는 가장 간단한 방법은 상쇄적인 알헤브라에 대한 미분학에 의해 주어진다.투영 $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ + $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ , $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ : $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ + 1 ( $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ ) $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ → $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ k ( $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ ) ${\displaystyle \pi _{k+1,k:$ 다지관의 $J$ J $^{k}(\pi )}$ 는 is k + $\pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)$ , $\pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)$ : $\pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)$ $\pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)$ ( $\pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)$ k ( $\pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)$ ) $\pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)$ → $\pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)$ $\pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)$ ( $\pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)$ $\pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)$ + $\pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)$ display $style \pi \{k+1,k}^{*}:$ $C^{\pi }(J^{k}(\pi )\to C^{\npty }\왼쪽(J^{k+1}(\pi )\right)}$ 의 $\pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)$ 역행성 알제브라.Let's denote $C^{\infty }(J^{k}(\pi ))$ simply by ${\mathcal {F}}_{k}(\pi )$ . Take now the direct limit ${\mathcal {F}}(\pi )$ of the ${\mathcal {F}}_{k}(\pi )$ 's.그것은 기하학적 물체 J^∞(π)에 대한 부드러운 함수 대수라고 가정할 수 있는 정류 대수일 것이다.직접 한계로 태어난 ${\mathcal {F}}(\pi )$ ( ${\mathcal {F}}(\pi )$ ) ${\mathcal {F}(\pi )$ 이(가) 여과된 정류 대수라는 추가 구조를 지니고 있음을 관찰한다.null

대략적으로 말하면 콘크리트 요소 $\varphi \in {\mathcal {F}}(\pi )$ $\varphi \in {\mathcal {F}}(\pi )$ F ( $\varphi \in {\mathcal {F}}(\pi )$ $){\displaystyle \varphi \in {\$ $mathcal$ { $F}(\pi )}$ 은 항상 ${\mathcal {F}}_{k}(\pi )$ ${\mathcal {F}}_{k}(\pi )$ k ${\mathcal {F}}_{k}(\pi )$ ( ${\mathcal {F}}_{k}(\pi )$ ) )에 속하므로 $\varphi \in {\mathcal {F}}(\pi )$ 통상적인 의미에서는 $유한$ 차원 다지관 J^k(π)에 대한 부드러운 기능이다 ${\mathcal {F}}_{k}(\pi )$ null

무한 확장 PDE

Given a k-th order system of PDEs E ⊆ J^k(π), the collection I(E) of vanishing on E smooth functions on J^∞(π) is an ideal in the algebra ${\mathcal {F}}_{k}(\pi )$ , and hence in the direct limit ${\mathcal {F}}(\pi )$ too.null

모든 요소에 적용되는 총 파생상품의 가능한 모든 구성을 추가하여 I(E)를 강화하십시오.이렇게 하면 우리는 새로운 이상적 ${\mathcal {F}}(\pi )$ ( $){\displaystyle {\mathcal {F}(\pi$ )을 얻게 되는데, 이 이상적 ${\mathcal {F}}(\pi )$ I은 현재 전체 파생상품을 취합하는 작업으로 종결된다.내가 도려낸^∞ J(π)의 서브매니폴드 E를_(∞) E의 무한연장이라고 한다.

기하학적으로 E는_(∞) E의 공식 용액의 다양성이다.E의 $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ _(∞) 점 $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ ( $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ ) ${\displaystyle j_{p}^{\$ p}^{\ $inflty$ }(\ $sigma$ )은 임의의 높은 접선 순서가 $j_{p}^{k}(\sigma )$ 있는 j p $j_{p}^{k}(\sigma )$ ( $j_{p}^{k}(\sigma )$ ${\displaysty j_{p}{k}(sigma$ )에서 $j_{p}^{k}(\sigma )$ k-j의 그래프가 E에 접선인 섹션으로 표현되는 것을 쉽게 알 수 있다.null

분석적으로 E가 $\varphi \circ j^{k}(\sigma )$ = 0으로 주어지는 경우, 형식적인 솔루션은 p $\varphi \circ j^{k}(\sigma )$ $\varphi \circ j^{k}(\sigma )$ $\varphi \circ j^{k}(\sigma )$ k ( $\varphi \circ j^{k}(\sigma )$ ) $\varphi \circl j^{k}(\sigma )$ 의 테일러 시리즈를 p 지점에서 소멸시키는 p 지점의 섹션 σ의 테일러 계수 집합으로 이해할 수 있다.

가장 중요한 것은, 나는 폐쇄 속성은 C{\displaystyle{{C\mathcal}을 제한함으로써}은 E(∞)J∞(π)에 infinite-order 접촉 구조 C{\displaystyle{{C\mathcal}}}에,}E(∞)하나를 diffiety(E(∞), CE(∞)){\displaystyle(E_{(\infty)},{\ma게 닿아 있다는 것을 암시한다.thcal{ $C} _{E_{(\inful$ $(E_{(\infty )},{\mathcal {C}}|_{E_{(\infty )}})$ 관련 비노그라도프(C-spectral) 시퀀스를 연구할 수 있다.null

비고

본 문서는 번들의 로컬 섹션의 제트를 정의했지만, 함수 f: M → N의 제트를 정의할 수 있다. 여기서 M과 N은 다지관이다; f의 제트는 단지 섹션의 제트에 해당한다.

gr_f: M → M × N

gr_f(p) = (p, f(p))

(gr은_f 사소한 번들(M × N, π₁, M)의 함수 f의 그래프로 알려져 있다. 다만, π의 글로벌한 사소한 것이 π의₁ 글로벌한 사소한 것을 함축하지 않기 때문에, 이러한 제약이 이론을 단순화하지는 않는다.

참고 항목

참조

^ Krupka, Demeter (2015). Introduction to Global Variational Geometry. Atlantis Press. ISBN 978-94-6239-073-7.
^ Vakil, Ravi (August 25, 1998). "A beginner's guide to jet bundles from the point of view of algebraic geometry" (PDF). Retrieved June 25, 2017.

추가 읽기

Ehresmann, C, "소개서 ab la theri des structures an la theri des structures et des schietes de Lie."지오메트리 탈리엘레, 콜로크1953년 스트라스부르, Retherche Scientifique, 97-127번 센터 내트 드 라 레허슈 사이언티픽.
Kola i, I, Michor, P, 슬로바키아, J, 미분 기하학의 자연 작전.Springer-Verlag: 베를린 하이델베르크, 1993.ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.
선더스, D. J. 케임브리지 대학 출판부, 1989년 ISBN 0-521-36948-7
Krasil'shchik, I. S, Vinogradov, A. M, [et al.], "수학적 물리학의 미분 방정식에 대한 대칭 및 보존 법칙", Amer.수학. Soc, Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958-X.
올버, P. J. "평등, 불변, 대칭성", 캠브리지 대학 출판부, 1995, ISBN 0-521-47811-1

[1] Krupka, Demeter (2015). Introduction to Global Variational Geometry. Atlantis Press. ISBN 978-94-6239-073-7.

[2] Vakil, Ravi (August 25, 1998). "A beginner's guide to jet bundles from the point of view of algebraic geometry" (PDF). Retrieved June 25, 2017.

[1]

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