순환배분

확률과 통계에서 원형 분포 또는 극성 분포는 값이 각인 랜덤 변수의 확률 분포로, 일반적으로 [0, 2π] 범위에 있다고 간주한다.^[1]원형 분포는 종종 연속 확률 분포로, 따라서 확률 밀도를 가지지만, 그러한 분포는 이산적일 수도 있는데, 이 경우 원형 격자 분포라고 한다.^[1]관련 변수가 명시적으로 각도가 아닌 경우에도 원형 분포를 사용할 수 있다. 주된 고려사항은 범위의 하한 또는 상한에서 발생하는 사건 사이에 실제 구분이 없다는 것이며, 범위의 분할은 개념적으로 어느 지점에서나 이루어질 수 있다는 것이다.null

그래픽 표현

원형 분포에 밀도가 있는 경우

$\displaystyle p(\phi )\qquad \qquad (0\leq \pi <2\pi )),\,}$

그것은 그래픽으로 폐곡선으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle [x(\phi ),y(\phi )]=[r(\phi )\cos \phi ,\,r(\phi )\sin \phi \,}$

$여기$서 r (${\displaystyle \varphi }$) ${\$ r$(\phi )\,}$이(가) 다음과 같이 설정됨$$

$(\displaystyle r(\phi )=a+bp(\phi ),\,}$

그리고 외모를 기준으로 a와 b를 선택하는 경우.null

예

손으로 쓴 잉크 자국을 따라 각도의 확률 분포를 계산함으로써, 로브 모양의 극분포가 나타난다.첫 번째 사분면에서 로브의 주요 방향은 필체의 기울기와 일치한다(그래프노믹스 참조).null

순환 격자 분포의 예로는, 각 달력은 원을 중심으로 배열된 것으로 생각되어, "1월"이 "12월" 옆에 있도록, 한 해의 주어진 달에 태어날 확률을 들 수 있다.null

라인의 모든$$ 확률밀도함수(pdf) ${\displaystyle p}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \p(x)}$은 단위 반지름 원주 둘레를 중심으로 "포장"할 수 있다.^[2]즉, 래핑된 변수의 pdf.

${\displaystyle \theta =x_{w}=x{\bmod {2}\pi \in(-\pi ,\pi ]}$

이다

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=--\infit }^{p(\theta +2\pi k)}.}$

이 개념은 단순 합계를 형상공간의 모든 차원을 $포괄$하는$$다수의 F {\$displaystyle F}$ 합으로$$ 확장함으로써 다변량 컨텍스트까지 확장할 수 있다.

${\displaystyle p_{w}({\vec {\theta }})=\sum _{k_{1}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{k_{F}=-\infty }^{\infty }{p({\vec {\theta }}+2\pi k_{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +2\pi k_{F}\mathbf {e} _{F})}}$

여기서 $e{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0,\dots ,}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle 0{}^{}}$) ${\displaystyle {T\mathsf{}}^{}}$ ${\$,0$,0)^{\mathsf{T}}$는 $K{\displaystyle }${\$displaystytylek}$ Th$$ U클리드 기본 벡터다$$.null

다음 절은 관련 원형 분포를 보여준다.null

폰 미제스 순환 분포

폰 미제스 분포는 다른 원형 분포와 마찬가지로 원을 둘러싼 특정 선형 확률 분포의 포장으로 생각할 수 있는 원형 분포다.폰 미제스 분포에 대한 기초적인 선형 확률 분포는 수학적으로 난해할 수 있지만, 통계적 목적을 위해 기초적인 선형 분포를 다룰 필요는 없다.폰 미제스 분포의 유용성은 두 가지로, 모든 원형 분포 중에서 가장 수학적으로 계산할 수 있는 분포로, 더 간단한 통계 분석이 가능하며, 포장된 정규 분포에 가까운 근사치로, 이는 선형 정규 분포와 유사하게, 총합에 대한 제한 사례이기 때문에 중요하다.다수의 작은 각도 편차^{[citation needed]}실제로 폰 미제스 분포는 사용이 용이하고 포장된 정규 분포와 밀접한 관계가 있기 때문에 종종 "순환 정규" 분포로 알려져 있다(Fisher, 1993)null

폰 미제스 분포의 pdf는 다음과 같다.

${\displaystyle f(\theta ;\mu ,\kappa )={\frac {e^{\kappa \cos(\theta -\mu )}}{2\pi I_{0}(\kappa )}}}}}}}$

여기서 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 순서 0의 수정된 베셀 함수다.

원형 균일 분포

원형 균일 분포의 확률밀도함수(pdf)는 다음과 같다.

$[\displaystyle U(\theta )=1/(2\pi )\,}$

위의 폰 미제스의 $of$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \kappa =0}$이라고도 생각할 수 있다.null

포장정규 분포

포장된 정규 분포(WN)의 pdf는 다음과 같다.

${\displaystyle WN(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[{\frac {-(\theta -\mu -2\pi k)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]={\frac {1}{2\pi }}\vartheta \left({\frac {\theta -\mu }{2\pi }},{\frac {i\sigma ^{2}}{2\pi }}\right)}$

여기서 μ와 μ는 각각 포장되지 않은 분포의 평균 및 표준 편차이며, μ는 ϑ${\displaystyle }$(${\displaystyle \theta }$ ,${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle \vartheta (\tau ,\tau )}$은 야코비 세타 함수:

${\displaystyle \vartheta (\theta ,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}}$ where ${\displaystyle w\equiv e^{i\pi \theta }}$ and ${\displaystyle q\equiv e^{i\pi \tau }.}$

래핑 코치 분포

포장된 Cauchy 분포(WC)의 pdf는 다음과 같다.

${\displaystyle WC(\theta ;\theta _{0},\gamma )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+(\theta +2\pi n-\theta _{0})^{2})}}={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos(\theta -\theta _{0})}}}$

여기서 ${\displaystyle \gamma}$은(는) 스케일 팩터이고 $and{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 피크 위치다.

포장 레비 분포

포장된 레비 분포(WL)의 pdf는 다음과 같다.

${\displaystyle f_{WL}(\theta ;\mu ,c)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {e^{-c/2(\theta +2\pi n-\mu )}}{(\theta +2\pi n-\mu )^{3/2}}}}$

$여기$서 합계 값은 ${\displaystyle 2}$ +${\displaystyle }$2 ${\displaystyle n}$ n -${\displaystyle \mu }$μ ${\displaystyle 0}$ 0 $[\displaystyle \theta +2\pi n-\mu$ $\backslash$$leq{\displaystyle }$ 0$},$ c {\$displaystyle c}$이(가) 스케일 팩터이고 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$}이 위치$$ 파라미터일 때 0이 된다.null

참고 항목

• 순환평균
• 원형 균일 분포
• 폰 미제스 분포

참조

외부 링크

• C++11, C++11 기반수학 및 통계수학을 이용한 순환값 수학 및 통계