F-분포

피셔-스네데코르

확률밀도함수
누적분포함수
매개변수	d12, d > 0도 자유
지원	${\displaystyle }$${\displaystyle x_{}}$${\displaystyle }$∈${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\$ d${\displaystyle {}_{}}$1 = ${\displaystyle 1}${\$displaystyle d_{1}=1$ 그렇지 $않으면{\displaystyle }$ x ${\displaystyle \in }$[$0$ +${\displaystyle \mathrm{}}$∞${\displaystyle }$)$${\$displaystysty x\in$ [0$,+\in];};}$
PDF	${\dapplaystyle {\frac {\sqrt {(d_{1}x)^{d_{1}d_{2}}:{d_{1}x+d_{2}}{d_{2}}^{d_{1}+d_{2}}^{d_{1}+d_{2}^{2}}}}{x\,\mathrm {B} \!\왼쪽({\frac {d_{1}:{2}},{\frac {d_{2}}:\오른쪽)}}\!}$
CDF	${\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}}\왼쪽 \tfrac{d_{1}:{2}},{\tfrac {d_{2}}:{2}}\오른쪽)}}$
평균	${\displaystyle {\frac {d_{2}}:{d_{2}-2}}\!}$ d2 > 2의 경우
모드	${\d_{1}-2}{d_{1}-2}}: {d_{1}}\;{\frac {d_{2}}:{d_{2}+2}}:}$ d1 > 2의 경우
분산	${\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}-}}}}}}}\!}$ d2 > 4의 경우
왜도	${\displaystyle {\frac {({d_{1}+d_{2}-2){{2}-2)}{\sqrt {8(d_{2}-4)}{{d_{1}-6)}{\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}}}}}}}}}}}}}}!}$ d2 > 6의 경우
엑스트라 쿠르토시스	본문을 보다
엔트로피	${\displaystyle \ln \Gamma \left({d_{1}:{1}2}}:\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}-\ln)-\ln \Gamma \preftleft({d)2}}:{2}}\오른쪽)+\!}$ ${\displaystyle \left(1-{d_{1}:{d_{2}}\오른쪽)\lift(1+{tfrac{d_{1}2}}\오른쪽)\lift(1+{d_{2}}\오른쪽)\lip(1+{d_{d_{2}}\2}}\오른쪽)!$ ${\displaystyle +\왼쪽 사진\tfrac {d_{1}+d_{2}}}{2}}\오른쪽)\\{좌석\tfrac {d_{1}+d_{2}2}}:{2}}\오른쪽)+\ln {\frac {d_{1}:{d_{2}}\\!}$[1]
MGF	존재하지 않음, 텍스트 및 에 정의된 원시 순간
CF	본문을 보다

확률 이론과 통계에서, Sedecor의 F 분포 또는 F-dedecor 분포라고도 알려진 F-분포 또는 F-분포(Ronald Fisher 및 George W. Sedecor 이후)는 시험 통계량의 null 분포로 자주 발생하는 연속 확률 분포로, 특히 분산 분석(ANOVA)에서 가장 두드러진다.기타 F-검정.^[2][3][4][5]

정의

자유도가 d와₁ d인₂ F-분포는 다음과 같은 분포다.

${\displaystyle X={\frac {S_{1}/d_{1}:{1}{S_{2}/d_{2}}:}$

여기서 $S{}_{}$ ${1\mathrm{}}_{}$ ${\$및 $S_{}$ $2{}_{}$ ${\$}}은 각 자유도 ${d\mathrm{}}_{}$ 1 ${\$} 및 $d_{}$ $2{}_{}$ ${\$}}의 카이-제곱 분포를 갖는 독립 랜덤 변수다$.$

X에 대한 확률밀도함수(pdf)는 다음과 같이 주어지는 것으로 보여질 수 있다.

${\dplaystyle {\d}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt{\\sqrt{\(d_{1}x)^{d_{1}:{d_{2}}}{d_{2}}}}{d_{1x+d}}^{d_{1}+d_{2}^{2}^{d_{2}^{d_{d_{2}}^{{2}}}}}{{{{{{{d_{d_{2}}}}}}}}}{x\operatorname {B} \좌측({\frac {d_{1}:{2}},{\frac {d_2}}:{2}}:\우측)}}\\[5pt]&={\frac {1}{{1}{B} \좌측({\frac {d_{1}:{1}2}},{\frac {d_{2}}\우측)}}}\좌측({\frac {d_1}{d_{2}}}\우측)^{d_{1}/2}}x^{d_{1}/2-1}\좌측(1+{d_{1}{1}:{d_{2}}:}\,x\오른쪽)^{-(d_{1}+d_{2}}/{2}}/끝{aigned}}}}}}}}}}$

real x > 0에 대해. 여기서 $B{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$은$($는) 베타 함수다. 많은 애플리케이션에서, 매개변수 d와₁ d는₂ 양의 정수지만, 분포는 이러한 매개변수의 양의 실제 값에 대해 잘 정의되어 있다.

누적분포함수는

${\dplaystyle F(x;d_{1},d_{2}=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\좌측({\tfrac {d_{1}:{1}:{2}},{\tfrac {d_{2}}:{2}}:00\오른쪽),}$

여기서 나는 정규화된 불완전한 베타 함수다.

F(d₁, d₂)에 대한 기대, 분산 및 기타 세부 정보가 사이드 박스에 제시되며, d₂ > 8의 경우, 초과 첨도는 다음과 같다.

${\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.}$

F(d₁, d₂) 분포의 k번째 모멘트가 존재하며, 2k < d와₂ 같을 때만 유한하다.

${\displaystyle \mu _{X}(k)=\left({\frac {d_{2}}:{d_{1}}\오른쪽)^{k}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}+k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}-k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}.}$ ^[6]

F-분포는 베타 프라임 분포의 특정 파라메트리제이션으로, 제2종 베타분포라고도 한다.

특성 함수는 많은 표준 참조(예:)^[3]에 잘못 기재되어 있다. 올바른 표현은

${\dplaystyle \varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}={\frac {\gamma \left({\frac {d_{1}+d_{2)2}}:{2}}\오른쪽){\감마 \왼쪽({\tfrac {d_{2}}:{2}}\오른쪽)}}}}}}U\!\left({\frac {d_{1}:{2}}:{{{d_{2}},-{\frac {d_{2}},-{d_{1}:{1}:{1}}\imath s\오른쪽)}}}$

여기서 U(a, b, z)는 두 번째 종류의 결합초기하함수다.

특성화

$매개변수$ d ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$} 및 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle d_{2$}}의 F-분포의 무작위 변수는 적절한 크기의 두 가지 카이-제곱 변수의 비율로 발생한다$$.^[8]

${\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}{1}:{U_{2}/d_{2}}:}$

어디에

• ${\displaystyle U_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle U_{}}$ 2 ${\$ 각각 d ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ d$$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}도의 자유도를 갖는 카이-제곱 분포를 가지고$$ 있으며,
• ${\displaystyle U_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}와$$ U ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}개는 독립적이다.

예를 들어 분산 분석에서 F-분포를 사용하는 경우, ${\displaystyle {U\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}와$$ $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}의 독립성을 코크란의 정리를 적용하여 증명할$$ 수 있다.

동등하게, F-분포의 랜덤 변수 또한 기록될 수 있다.

${\displaystyle X={\frac {s_{1}^{2}}:{\sigma _{1}2}}:div {\frac {s_{2}^{2}}:{\sigma _{2}}}}}}$

where ${\displaystyle s_{1}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}}$ and ${\displaystyle s_{2}^{2}={\frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}}$, ${\displaystyle S_{1}^{2}}$ is the sum of squares of ${\displaystyle d_{1}}$ random variables from normal distribution ${\displaystyle N(0,\sigma _{1}^{2})}$ and ${\displaystyle S_{2}^{2}}$ is the sum of squares of ${\displaystyle d_{2}}$ random variables from normal distribution ${\displaystyle N(0,\sigma _{2}^{2})}$. ^{[discuss][citation needed]}

In a frequentist context, a scaled F-distribution therefore gives the probability ${\displaystyle p(s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\mid \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2})}$, with the F-distribution itself, without any scaling, applying where ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ $\sigma {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$과 동등하게 취함$.$ 이것은 F-검정에 F-분포가 가장 일반적으로 나타나는 맥락이다. 여기서 귀무 가설은 두 개의 독립적인 정규 분산이 같다는 것이고, 적절히 선택된 일부 제곱의 관측된 합은 그 비율이 si인지 여부를 조사한다.이 귀무 가설과 아주 양립할 수 없다.

만약 충분하rescaling-invariant 제프리스 전 σ 12{\displaystyle \sigma_{1}^{2}의 사전 확률을}과 22{\displaystyle \sigma_{2}^{2}}.[9]이런 맥락에서, 하나의 F분포시켜 준다σ가 취해 진 수량 X{X\displaystyle}, Bayesian통계에서 같은 분포. 그 posterior probability ${\displaystyle p(\sigma _{2}^{2}/\sigma _{1}^{2}\mid s_{1}^{2},s_{2}^{2})}$, where the observed sums ${\displaystyle s_{1}^{2}}$ and ${\displaystyle s_{2}^{2}}$ are now taken as known.

특성 및 관련 분포

• If ${\displaystyle X\sim \chi _{d_{1}}^{2}}$ and ${\displaystyle Y\sim \chi _{d_{2}}^{2}}$ are independent, then ${\displaystyle {\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$
• If ${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,}$ (Gamma distribution) are independent, then ${\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{$$1,2\filename _{2}}}$
• If ${\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$ (Beta distribution) then ${\displaystyle {\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}$
• Equivalently, if ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$, then ${\displaystyle {\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$.
• If ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$, then ${\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X}$ has a beta prime distribution: ${\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X\sim \operatorname {\beta ^{\prime }} ({\tfrac {d$$_{1}:{2}},{\tfrac {d_{2}}:{2$ .
• If ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ then ${\displaystyle Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X}$ has the chi-squared distribution ${\displaystyle \chi _{d_{1}}^{2}}$
• ${\displaystyle F(d_{1},d_{2})}$ is equivalent to the scaled Hotelling's T-squared distribution ${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)}$.
• $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle F({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$d ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})$가 있는 경우$$${\displaystyle {}^{}}X{\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle 1^{}}$~ ${\displaystyle F{}_{}{d\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, d${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ )$${\$displaystyle X^{1}\dy F(d_{2},d_{1}){$1$\}.$
• $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle n_{}}$) ${\$ —$$ 학생의 t-분포 — 다음 중 하나:

${\displaystyle X^{2}\sim \operatorname {F}(1,n)}$

${\displaystyle X^{-2}\sim \operatorname {F}(n,1)}$

• F-분포는 타입 6 Pearson 분포의 특별한 경우다.
• $X{\displaystyle }$${\displaystyle X}$ 및 $Y$ ${\displaystyle Y}$이(가) 독립적이고 X , ${\displaystyle Y}$~ ${\displaystyle X,$ Y$\sim }$Laplace$$(μ, b)가 있으면,

${\displaystyle {\frac { X-\mu }{ Y-\mu }}}}\심각 \operatorname {F}(2,2)}$

• $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle F(n}$, m${\displaystyle }$) ${\displaystyle X\sim F(n,m)}$인 경우${\displaystyle \frac{,}{}}$ ${\displaystyle \frac{X}{}}$ 2 ~ ${\displaystyle \mathrm{FisherZ}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$,${\displaystyle m}$ )$${\$displaystyle${\$tfrac${\\\$log{X}}}{2}}\\sim \operatorname {FisherZ}(n,m)})($피셔 z-distribution)
• ${\displaystyle \mathrm{중심}}$ F-분포는$display$ = 0 {\$displaystyle \lambda$ =0$}$인 경우 F-분포로 단순화된다$.$
• $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0}$인 경우 이중 중심 F-분포는 F-분포로 단순화된다.
• If ${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)}$ is the quantile p for ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ and ${\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(1-p)}$ is the quantile ${\displaystyle 1-p}$ for ${\displaystyle Y\sim F$$(d_{2},d_{1$ 그러면

${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}}.}$

• F-분포는 비율 분포의 한 예다.

참고 항목

참조

외부 링크

• F-분포의 임계치 표
• 수학의 일부 단어의 초기 사용: F-분포의 입력은 짧은 역사를 포함한다.
• F-테스팅을 위한 무료 계산기