음의 초기하 분포

음극초기하학

확률 질량 함수
누적분포함수
매개변수	${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \in \{0\mathrm{},}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle \dots \}}$ ${\$ $$- 총 요소 수 ${\displaystyle K\in \{0\mathrm{},}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle \dots ,N}$ ${\displaystyle \}}$ ${\$ $$- 총 '성공' 요소 수 ${\displaystyle r\in \{0\mathrm{},}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle \dots ,N}$- ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \}}$ ${\$ $$- 실험이 중지되었을 때의 고장 횟수
지원	${\displaystyle k\in \{0\mathrm{}}$, ${\displaystyle ...}$ ,${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \}}$ ${\$ $$- 실험이 중지되었을 때의 성공 횟수
PMF	${\displaystyle {\frac {{K+r-1} \선택 {k}{{{N-r-k} \선택 {K-k}{N \선택 K}}}}$
평균	${\displaystyle r{\frac {K}{N-K+1}}$
분산	${\displaystyle r{\frac {(N+1)K}{{{N-K+1){{{N-K+1}{{N-K+1}}}{{N-K+1}}}}}}}$

확률 이론과 통계에서 음의 초기하 분포는 각 표본을 합격/불합격, 남성/여성 또는 고용/무직과 같이 상호 배타적인 두 범주로 분류할 수 있는 대체 없는 유한 모집단에서 표본 추출할 때의 확률을 설명한다.모집단에서 무작위로 선택하므로, 이후 추첨을 할 때마다 모집단이 감소하여 각 추첨에 따라 성공 확률이 변경된다.고정된 표본 크기의 성공 횟수를 기술하는 표준 초기하 분포와 달리 음의 초기하 $분포$에서는 r ${\디스플레이$ 스타일 r$}$ 고장이 발견될 때까지 표본을 그리고, 분포는 그러한 표본에서 k ${\$ $스타일$ k$}$의 성공을$$ 찾을 확률을 설명한다.즉, 음의 초기하 분포는 $정확히{\displaystyle }$ $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$개의$$ 고장이 있는 표본에서 k ${\displaystyle k}$의 성공 가능성을 설명한다.null

정의

$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 요소가$$ 있으며, $이{\displaystyle }$ 중 K ${\displaystyle K}$을(를) "성공자"로 정의하고$$ 나머지는 "실패자"로 정의한다.null

$요소$는 r$${\$displaystyle r}$ 고장이$$ 발생할 때까지 교체 없이 차례로 그려진다.그런 다음 도면이 멈추고 성공 횟수$$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$가 계산된다.음의 초기하 분포, ${\displaystyle N_{}}$ ${\displaystyle H}$ G ${\displaystyle N_{}}$, ${\displaystyle K_{}}$, ${\displaystyle r}$ (${\displaystyle {}_{}}$k${\displaystyle }$) ${\displaystyle NHG_{N,K,r}(k)}$은 $이{\displaystyle }$ k$${\$displaystyle$k$\}$의 이산 분포다.

^[1]

음의 초기하 분포는 $파라미터{\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ = r {\$displaystyle \alpha =r}$과$($${\displaystyle }\beta {\displaystyle }$${\displaystyle }$=${\displaystyle }$${\displaystyle N}$ -${\displaystyle K}$ - r + ${\displaystyle 1}$ {\$displaystyle$$\beta$$$= $N-K-r+$$1}$이(와) 모두 정수인^[2] 베타 이항 분포의 특별한 경우다.$$null

결과는${\displaystyle }$(${\displaystyle k}$+ ${\displaystyle \mathrm{r}}$- 1) {\$displaystyle (k+r-1)}$ 추첨에서$$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ k$}$ 성공을$$ 관찰해야 하며,${\displaystyle }$(${\displaystyle k}$ +${\displaystyle r}$ ) ${\displaystyle \text{-th}}${\$displaystyle (k+r){\text{-th}$ 비트는$$ 실패여야 한다.The probability of the former can be found by the direct application of the hypergeometric distribution ${\displaystyle (HG_{N,K,k+r-1}(k))}$ and the probability of the latter is simply the number of failures remaining ${\displaystyle (=N-K-(r-1))}$ divided by the size of the나머지 모집단$({\displaystyle }$= ${\displaystyle N}$-${\displaystyle }$( ${\displaystyle k}$+ r${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle(=N-$(k+r-1$)}$.$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle \text{-th}}$ ${\$ r${\text{-th}}$까지 정확하게 k ${\displaystyle$ k$} 성공$을 거둘$$ 확률(즉, 샘플에 사전 정의된 수량의 $r{\displaystyle }$ ${\displaysty$ r$} 고장$이 포함되면 도면이 중지됨)은 다음 두 가지 확률의 산물이다.

${\displaystyle {\frac {{\binom {K}{k}}{\binom {N-K}{k+r-1-k}}}{\binom {N}{k+r-1}}}\cdot {\frac {N-K-(r-1)}{N-(k+r-1)}}={\frac {{{k+r-1} \choose {k}}{{N-r-k} \choose {K-k}}}{N \choose K}}.}$

따라서 확률 질량 함수(pmf)가 다음과 같이 주어진 경우 랜덤 변수는 음의 초기하 분포를 따른다.

${\displaystyle f(K;N,K,r)\equiv \Pr(X=k)={\frac {{{{{{{N-r-k} \선택{K-k}}}{{N-k}}}}{{N \c}}}}{}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{N \n \c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

어디에

• ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$은(는) 모집단 크기,
• ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$은(는) 모집단의 성공 상태 수입니다.
• ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$은(는) 고장 횟수,
• ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$은(는) 관찰된 성공 횟수,
• $($ a $\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}$) ${\$은(는) 이항 계수임

설계에 의해 확률의 합은 1이다.그러나 명시적으로 보여주고 싶은 경우에는 다음과 같이 한다.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{K}\Pr(X=k)=\sum _{k=0}^{K}{\frac {{{k+r-1} \choose {k}}{{N-r-k} \choose {K-k}}}{N \choose K}}={\frac {1}{N \choose K}}\sum _{k=0}^{K}{{k+r-1} \choose {k}}{{N-r-k} \choose {K-k}}={\frac {1}{N \choose K}}{N \choose K}=1,}$

우리가 그걸 사용했던 곳에는

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j=0}^{k}{\binom {j+m}{j}}{\binom {n-m-j}{k-j}}&=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {-m}{j}}(-1)^{k-j}{\binom {k-n-(-m)}{k-j}}\\&=(-1)^{k}{\binom {k-n}{k}}=(-1)^{k}{\binom {k-(n+1)-1}{k}}={\binom {n+1}{k}},\end{aligned}}}$

which can be derived using the binomial identity, ${\displaystyle {{n \choose k}=(-1)^{k}{k-n-1 \choose k}}}$, and the Chu–Vandermonde identity, ${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\binom {m}{j}}$${\binom {n-m}{k-j}}={\binom {n}{n$ 모든 복잡하게 $혼합$된 m ${\displaystyle n}$ 및$$ $모든$ 비음수 $정수{\displaystyle }$ k ${\displaystyle$ k}을$($를) 위해 {\binom {n-j}.

The relationship ${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\binom {j+m}{j}}{\binom {n-m-j}{k-j}}={\binom {n+1}{k}}}$ can also be found by examination of the coefficient of ${\displaystyle x^{k}}$ in the expansion of ${\displaystyle \frac{1}{(1-x{)}^{m+}}}$${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{m+1}}}{\frac {1}{(1-x)^{n-m-k+1}}}={\frac {1}{(1-x)^{n-k+2}}}}$, using Newton's binomial series.null

기대

$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ 실패$$ 전 성공 $횟수$ k ${\displaystyle k}$을(를) 계산할 때 예상되는 성공 횟수는 r ${\displaystyle \frac{K}{}}$ ${\displaystyle \frac{N}{}}$- ${\displaystyle \frac{\mathrm{K}}{}}$+ 1 ${\$이며 다음과$$ 같이 도출할 수 있다.null

${\displaystyle {\reasoned}E[X]&,=\sum _ᆬ^ᆭk\Pr(X=k)=\sum _{k=0}^{K}k{\frac{{{k+r-1}\choose{k}}{{N-r-k}\choose{K-k}}}{N\choose K}}={\frac{r}{N\choose K}}\left[\sum_{k=0}^{K}{\frac{(k+r)}{r}}{{}k+r-1 \choose{r-1}}{{N-r-k}\choose{K-k}}\right]-r\\&, ={\frac{r}{N\choose K}}\left[\sum_{k=0}^{K}{{k+r}\choose{r}}{{N-r-k}\choose{K-k}}\right]-r={\frac{.r}{N\choose K}}\left[\sum _{k=0}^{K}{{k+r} \choose {k}}{{N-r-k} \choose {K-k}}\right]-r\\&={\frac {r}{N \choose K}}\left[{{N+1} \choose K}\right]-r={\frac {rK}{N-K+1}},\end{aligned}}}$

where we have used the relationship ${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\binom {j+m}{j}}{\binom {n-m-j}{k-j}}={\binom {n+1}{k}}}$, that we derived above to show that the negative hypergeometric distribution was properly normalized.null

분산

분산은 다음과 같은 계산에 의해 도출될 수 있다.null

${\displaystyle {\reasoned}E[X^{2}]&=\sum _{k=0}^{K}k^{2}\Pr(X=k)=\왼쪽[\sum _{k=0}^{K}(k+r)(k+r+1)\\Pr(X=k)\오른쪽]-(2r+1)E[X]-r^{2}-r\\&={\frac {r(r+1)}{N \choose K}}\left[\sum _{k=0}^{K}{{k+r+1} \choose {r+1}}{{N+1-(r+1)-k} \choose {K-k}}\right]-(2r+1)E[X]-r^{2}-r\\&={\frac {r(r+1)}{N \cHB 선택 K}\왼쪽[{N+2} \선택 K}\오른쪽]-(2r+1)E[X]-r^{2}-r={\frac {rK(N-r+Kr+1)}{{{(N-K+1)}{{(N-K+1)}}}}\end{aigned}}}}$

그러면 분산은 ${\displaystyle \mathrm{Var}}$[ X ${\displaystyle ]}$= E${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {X\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$- (${\displaystyle {}^{}}$E${\displaystyle {}^{}}$[ ${\displaystyle X^{}}$ ${\displaystyle {]}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle R\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{K}{}}$( ${\displaystyle \frac{\mathrm{N}}{}}$+ 1${\displaystyle \frac{}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$( N${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{K}{}}$- ${\displaystyle \frac{r}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{N}{}}$- ${\displaystyle \frac{K}{}}$+ 1${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$) ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$( ${\displaystyle \frac{N}{}}$- K${\displaystyle \frac{}{}}$+ $){\$이다.$E[X^{2}]-\왼쪽(E[X]\오른쪽)^{2}={\frac {rK(N+1)(N-K-r+1)}{{(N-K+1)^{2}(N-K+2)}}}}}}}$

관련 분포

(실패 횟수에 관계 없이) 일정한$$ $수의{\displaystyle }$ n$${\$displaystyle n}$ 추첨 후 도면이 중지되면 성공 횟수는 초기하 분포${\displaystyle {,}_{}}$ ${\displaystyle H_{}}$ G N,${\displaystyle K_{}}$, ${\displaystyle n{}_{}}$( )${\displaystyle HG_{N,$ K$,n}(k)}$를 갖는다$.$두 기능은 다음과 같은 방식으로 관련된다.^[1]

${\displaystyle NHG_{N,K,r}(k)=1-HG_{N,N-K,k+r}(r-1)}$

음-초기하 분포(초기하 분포와 같은)는 무승부를 처리하므로 추첨마다 성공 확률이 다르다.이와는 대조적으로 음이항 분포(이항 분포와 같은)는 추첨을 대체하여 처리하므로 성공 확률은 같으며 시행은 독립적이다.다음 표에는 도면 항목과 관련된 네 가지 분포가 요약되어 있다.

	교체 포함	교체 없음
끊임없는 무승부	이항 분포	초기하 분포
끊임없는 실패의 성공 #	음이항 분포	음의 초기하 분포

참조