푸리에 시리즈의 융합

수학에서 주기함수의 푸리에 시리즈가 주어진 함수로 수렴하는가에 대한 문제는 순수 수학의 한 분야인 고전 고조파 분석으로 알려진 분야에 의해 연구된다.정합화가 반드시 일반적인 경우에 주어지는 것은 아니며, 정합화가 일어나기 위해서는 일정한 기준을 충족해야 한다.

수렴을 결정하기 위해서는 점성 수렴, 균일한 수렴, 절대 수렴, L^p 공간, 종합성 방법 및 체사로 평균을 이해해야 한다.

예선

[0, 2π] 간격에서 f 통합 가능한 함수를 고려하십시오.그러한 f의 경우 푸리에 계수 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle {\$widehat {$f}(n)}$은 공식으로 정의된다$$.

${\displaystyle {\widehat{f}(n)={\frac {1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi }f(t)^{-int}\,\mathrm {d}t,\quad n\in \mathb {Z}.}}}$

f와 fourier 시리즈 간의 연관성을 다음과 같이 기술하는 것이 일반적이다.

${\displaystyle f\sim \sum _{n}{\widehat {f}(n)e^{int}.}$

여기서 ~라는 표기법은 합이 어떤 의미에서는 함수를 나타낸다는 것을 의미한다.이를 보다 신중하게 조사하려면 부분 합계를 정의해야 한다.

${\displaystyle S_{N}(f;t)=\sum _{n=-N}^{N}{\widehat{f}}(n)e^{int}.}$

푸리에 시리즈가 수렴되는지의 문제는 다음과 같다: S ${\displaystyle N_{}}$( $){\displaystyle S_{N}(f)}($표기법에서 생략한 변수 t의 함수)이 f로 수렴되고 어떤 의미로 수렴되는가?이 또는 저 유형의 수렴을 보장할 수 있는 조건이 있는가?

계속하기 전에 디리클레 커널이 도입되어야 한다.$f{\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle ^(n}$) ${\displaystyle {\f}(n)}$에 대한 공식을 취하여$$S ${\displaystyle N_{}}${\$displaystyle S_{N}$에 대한 공식에 삽입하고$$ 일부 대수학을 수행하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle S_{N}(f)=f*D_{N}}$

여기서 ∗은 주기적인 경련을 의미하며, ${\displaystyle D_{}}$ N ${\$은 명시적인 공식을 가진 디리클레 커널이다.

${\displaystyle D_{n}(t)={\frac {\sin((n+{\frac {1}{1}2}}t)}{\sin(t/2)}}}.}$

디리클레 알맹이는 양의 알맹이가 아니며, 사실 그 규범적인 차이, 즉,

${\displaystyle \int D_{n}(t) \,\mathrm {d} t\to \infit }$

토론에서 결정적인 역할을 하는 사실L¹(T)에서 D의_n 표준은 D와의_n 콘볼루션 연산자의 표준과 일치하며, 주기적인 연속함수의 공간 C(T)에 작용하거나, C(T)의 선형 기능 f → (Sf_n)(0)의 표준과 일치한다.따라서 c(T)의 선형 함수 계열은 n → ∞일 때 한이 없다.

푸리에 계수의 크기

응용 프로그램에서는 푸리에 계수의 크기를 아는 것이 종종 유용하다.

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 절대 연속 함수라면,

${\displaystyle \왼쪽 {\widehat {f}(n)\오른쪽 \leq {K \overn n}}}$

$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 경우 f ${\displaystyle f}$에만 의존하는 상수$.$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 경계 변동 함수인$$ 경우

${\displaystyle \왼쪽 {\widehat {f}(n)\오른쪽 \leq {{\rm {var}(f) \over 2\pi n}}}$

$if{\displaystyle }$ f ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ C$^{p}}$인 경우

${\displaystyle \왼쪽 {\widehat {f}(n)\오른쪽 \leq {\ f^{p}\ _{L_{1}}\overn n ^{p}}.}$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ 및 $f$ (${\displaystyle p^{}}$ ${\displaystyle {)}^{}}$ ${\$이(가) 연속성^{[citation needed]} 계수 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$

${\displaystyle \왼쪽 {\widehat {f}(n)\right \leq {\omega(2\pi /n) \overn{p}}}$

따라서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) α-홀더 클래스인 경우

${\displaystyle \왼쪽 {\widehat {f}(n)\오른쪽 \leq {K \overn n ^{\alpha }}.}$

포인트와이즈 수렴

함수 푸리에 시리즈는 주어진 지점 x에서 수렴할 수 있는 충분한 조건이 있다. 예를 들어, 함수가 x에서 서로 다를 수 있는 경우. 점프 불연속성 조차도 문제가 되지 않는다. 함수가 x에서 좌우 유도체를 갖는 경우 푸리에 시리즈는 왼쪽과 오른쪽 한계의 평균으로 수렴된다(그러나).깁스 현상을 보다.

Dirichlet-Dini 기준은 다음과 같이 명시한다: 만약 ƒ이 2π–주기적이라면, 국소적으로 통합할 수 있고, 만족한다.

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\왼쪽 {\frac {f(x_{0}+t)+f(x_{0}-t)}{2}}-\ell 오른쪽 {\frac {\mathrm {d}{t}}}}\flothy ,}$

그런 다음 (Sf_n)(x₀)가 ℓ으로 수렴한다.이는 어떤 Hölder 등급 α > 0의 함수 f에 대해서, 푸리에 시리즈는 어디에서나 f(x)로 수렴된다는 것을 암시한다.

또한 경계가 있는 변동의 주기적인 기능에 대해 푸리에 시리즈는 어디에서나 수렴되는 것으로 알려져 있다.Dini 테스트를 참조하십시오.일반적으로 주기함수 f의 점적합성에 대한 가장 일반적인 기준은 다음과 같다.

• f가 홀더 조건을 만족하면 푸리에 시리즈는 균일하게 수렴된다.
• 만약 f가 경계가 있는 변화라면, Fourier 시리즈는 어디에서나 수렴된다.
• 만약 f가 연속적이고 그것의 푸리에 계수가 절대적으로 합계 가능하다면, 푸리에 시리즈는 균일하게 수렴된다.

푸리에 시리즈가 점으로 수렴되지만 균일하지는 않은 연속적인 기능이 존재한다. 안토니 지그문트, 삼각계 시리즈, 제1권 제8장, 정리 1.13, 페이지 300을 참조한다.

그러나 연속함수의 푸리에 시리즈는 점으로 수렴할 필요는 없다.아마도 가장 쉬운 증거는 L¹(T)에 있는 디리클레의 커널의 비경계성과 바나흐-슈타인하우스의 균일한 경계원리를 이용하는 것일 것이다.Baire 범주 정리를 호출하는 존재론에서 전형적으로, 이 증거는 비건설적이다.그것은 퓨리에 시리즈가 주어진 x에서 수렴되는 연속함수의 계열이 원의 연속함수의 바나흐 공간에서 첫 번째 바이어 범주임을 보여준다.

따라서 어떤 의미에서 지점간 융합은 비정형이며, 대부분의 연속 기능에 대해서는 푸리에 시리즈는 주어진 지점에서 수렴하지 않는다.그러나 칼레슨의 정리는 주어진 연속적인 기능을 위해 푸리에 시리즈가 거의 모든 곳에서 수렴된다는 것을 보여준다.

또한 푸리에 시리즈가 0으로 분산되는 연속 함수의 명시적인 예를 들 수 있다. 예를 들어, [0,197]에서^[1] 모든 x에 대해 정의된 짝수 및 2주기의 함수 f가 다음과 같다.

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\inflit }{1}{n^{2}}:}\sin[\왼쪽(2^{n^{3}+1\오른쪽){\frac {x}{2}}\오른쪽).}$

균일 수렴

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ $및{\displaystyle {}^{}}$f (${\displaystyle p^{}}$) ${\$ f$^{(p)}}}$이(가) 연속성 계수가 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$이고$,$ 그러면 푸리에 시리즈의 부분 합이 속도와^[2] 함수에 수렴된다고 가정하자.

${\displaystyle f(x)-(S_{N}f)(x) \leq K{\ln N \over N^{p}}\오메가(2\PI/N)}$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p$ n ${\displaystyle N}$에 종속되지 않는$$ 상수 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ K$}$에 $대해$$.$

예를 들어 D 잭슨에 의해 처음 증명된 이 정리는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) α ${\displaystyle \alpha }$ -Hölder$$ 조건을 만족하면$$ 그 다음이 발생한다고 말한다.

${\displaystyle f(x)-(S_{N}f)(x) \leq K{\ln N \over N^{\alpha }}.}$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $f$$}$이$({\displaystyle \mathrm{가}}$) $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle$${\displaystyle }$$]$ {\$displaystyle [0,2\pi ]$에서 주기적이고$$ 절대적으로 연속적인 경우$,$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 Fourier 시리즈는 균일하지만 반드시 $f{\displaystyle }$ ${\displaysty$ f$}$에 수렴된다$.$^[3]

절대 수렴

함수 ƒ은 다음과 같은 경우 절대적으로 수렴되는 푸리에 시리즈를 가진다.

${\displaystyle \ \f\ _{A}=\sum _{n=-\ft}^{\ft}{\widehat{f}(n) <\ft.}$

분명히${\displaystyle }$이 조건이 (${\displaystyle {}_{}}$ N ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle (S_{N}f)(t)}$이(가) 모든 t에 대해 절대적으로 수렴되고$$ 다른 한편으로는 (${\displaystyle S}{\displaystyle }$N f${\displaystyle }$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ )${\displaystyle (S_{N}f)(t)}$이(가) 한 t에도 절대적으로 수렴된다면$$ 이 조건은 유지된다.다시 말해, 절대 수렴의 경우, 총액이 어느 지점에서 절대적으로 수렴되는지 여부에 대한 문제가 없다. 만약 그것이 어느 지점에서 완전히 수렴된다면, 그것은 어디에서나 수렴한다.

절대적으로 수렴되는 푸리에 시리즈를 가진 모든 기능의 집단은 바나흐 대수(대수에서 곱셈의 연산은 함수의 단순한 곱셈이다.만약 ƒ이 푸리에 시리즈를 절대적으로 수렴하고 절대 0이 아니라면 1/4은 푸리에 시리즈를 절대 수렴하고 있다는 것을 증명했던 노르베르트 위너(Norbert Wiener)의 이름을 따서 위너 대수라고 불린다.비에너의 정리에 대한 최초의 증거는 어려웠다; 바나흐 알헤브라스 이론을 이용한 단순화는 이스라엘 겔판드에 의해 주어졌다.마침내, 1975년에 도널드 뉴먼에 의해 짧은 초등 증명서가 주어졌다.

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) α > 1/2에 대한 α-홀더 클래스에 속할$$ 경우

${\displaystyle \ f\ _{A}\leq c_{\alpha }\ f\ _{{\rm {Lip}}_{\alpha }},\qquad \ f\ _{K}:=\sum _{n=-\infty }^{+\infty } n {\widehat {f}}(n) ^{2}\leq c_{\alpha }\ f\ _{{\rm {Lip}}_{\alpha }}^{2}}$

for ${\displaystyle \ f\ _{{\rm {Lip}}_{\alpha }}}$ the constant in the Hölder condition, ${\displaystyle c_{\alpha }}$ a constant only dependent on ${\displaystyle \alpha }$; ${\displaystyle \ f\ _{K}}$ is the norm of the Krein algebra.여기서 1/2은 필수적이라는 점에 유의하십시오. 위너 대수에는 속하지 않는 1/2-홀더 함수가 있다.게다가, 이 정리는 α-홀더 함수의 푸리에 계수 크기에 대해 가장 잘 알려진 바운드를 개선할 수 없다. 즉, $O{\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle n{}^{}}$ $){\displaystyle$O$(1/n^{\alpha }}}}$에 불과하고$$, 그 다음으로는 합계가 불가능하다.

만일 ƒ이 경계가 있는 변동이고 일부 α > 0에 대한 α-홀더 등급에 속한다면, 위너 대수학에 속한다.^{[citation needed]}

노르말 수렴

가장 간단한 경우는 일반적인 힐버트 공간 결과를 직접 기록한 L의² 경우다.리에츠-피셔 정리에 따르면 ƒ이 정사각형이라면 그때그때 통합할 수 있다.

${\dapplaystyle \lim _{N\오른쪽 화살표 \infit }\int _{0}^{2\pi }\왼쪽 f(x)-S_{N(x)\right ^{2}\,\mathrm {d}x=0}$

즉, S ${\displaystyle N_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S_{N}f}$는 L의 표준에서² ƒ으로 수렴한다$$.그 반론도 사실임을 쉽게 알 수 있다. 위의 한도가 0이면 ƒ은 L에² 있어야 한다. 따라서 이것은 if이고 조건만 있는 것이다.

위의 지수 중 2개를 일부 p로 대체하면 문제가 훨씬 어려워진다.정합은 1 < p < ∞>만 해도 그대로 유지되는 것으로 나타났다.즉, L에서^p ƒ의 경우, ${\displaystyle S_{}}$ N${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle S_{N}(f)}$이(가) L^p 표준에서 ƒ으로 수렴된다$$.원래의 증명은 홀로모르프 함수와 하디 공간의 특성을 사용하며, 살로몬 보치너(Salomon Bochner)가 리에즈-에 의존하기 때문에 또 다른 증명이 사용된다.토린 보간 정리.p = 1과 무한대의 경우 결과는 참이 아니다.L에서의¹ 발산 예시 건설은 안드레이 콜모고로프(아래 참조)가 먼저 했다.무한대의 경우 결과는 균일한 경계 원리의 귀결이다.

부분 합계 연산자 S가_N 적절한 만족도 커널(예: Fejér 커널과의 콘볼루션으로 얻은 Fejér sum)으로 대체되는 경우, 기본 기능 분석 기법을 적용하여 표준 수렴이 1 ≤ p < ∞을 유지한다는 것을 보여줄 수 있다.

거의 모든 곳에서 수렴

어떤 연속적인 기능의 푸리에 시리즈가 거의 모든 곳에서 수렴되는지의 문제는 1920년대 니콜라이 루신에 의해 제기되었다.1966년 레나트 칼레슨에 의해 긍정적으로 해결되었다.현재 칼레슨의 정리라고 알려진 그의 결과는 푸리에에게 L의² 어떤 기능도 거의 모든 곳에서 수렴한다는 것을 말해준다.나중에 리처드 헌트는 이것을 L에게^p p > 1에 대해 일반화했다.

대조적으로 안드레이 콜모고로프는 19세의 학생으로, 그의 첫 번째 과학 연구에서¹ L에서 푸리에 시리즈가 거의 모든 곳에서 분산되는 기능의 예를 만들었다(더 늦게 모든 곳에서 분산됨).

장 피에르 카아네와 이츠하크 캣즈넬슨은 어떤 주어진 측정치 0의 E에 대해서도 of의 푸리에 시리즈가 E의 어떤 지점에서도 수렴하지 못할 정도로 연속적인 함수 ƒ가 존재한다는 것을 증명했다.

만족도

수열 0,1,0,1,...(그란디의 시리즈 부분합)이 ½에 수렴되는가?이것은 융합 개념의 매우 불합리한 일반화처럼 보이지 않는다.${\displaystyle {따라서}_{}}$ n ${\$ 순서는 일부 if에 요약될 수 있다.

${\displaystyle \lim _{n\to \flac {1}{n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}=a.}$

만약 어떤 시퀀스가 어떤 a로 수렴된다면 그것 또한 그것에 합치할 수 있는 Cesaro라는 것을 어렵지 않게 알 수 있다.

푸리에 시리즈의 완성도를 논의하기 위해서는 S ${\displaystyle N_{}}$ ${\$를 적절한 개념으로$$ 대체해야 한다.그래서 우리는 정의한다.

${\displaystyle K_{N}(f;t)={\frac {1}{{N}\sum _{n=0}^{N-1S_{n}(f;t),\quad N\geq 1,}$

그리고 질문: K $N{\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}f}$) ${\displaystyle K_{N}(f)}$이(가) f에 수렴되는가$$? $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N_{}}$ ${\$은(는) 더 이상 디리클레트의 커널이 아니라 Fejér의 커널, 즉 Fejér의 커널과 연관되어 있다$$.

${\displaystyle K_{N}(f)=f*F_{N}\,}$

여기서 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N_{}}$ ${\$는 Fejér의 커널이다.

${\displaystyle F_{N}={\frac {1}{{N}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}.}$

가장 큰 차이점은 페제르의 알맹이가 양의 알맹이라는 점이다.페헤르의 정리에는 위의 부분합 순서가 ƒ에 균일하게 수렴된다고 명시되어 있다.이는 훨씬 더 나은 수렴 특성을 의미한다.

• 만약 ƒ이 t에서 연속적인 경우, of의 푸리에 시리즈는 t에서 ((t)까지 합산할 수 있다.ƒ이 연속적인 경우, 그것의 푸리에 시리즈는 균일하게 요약된다(즉, K ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle K_{N}f$$}).$
• 모든 통합 가능한 ƒ의 경우, $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ f ${\displaystyle K_{N}f}$는 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ $1{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ L$^{1}$ 표준에서$$ ƒ으로 수렴된다$$.
• 깁스 현상은 없다.

또한 만족도에 대한 결과는 정규 수렴에 대한 결과를 암시할 수 있다.예를 들어, 만약 t이 t에서 연속적인 경우, ƒ의 푸리에 시리즈는 ƒ(t)와 다른 값으로 수렴할 수 없다는 것을 알게 된다.ƒ(t)로 수렴하거나 갈라질 수 있다.$이$는 ${\displaystyle S_{}}$ N${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle f;}$ t${\displaystyle }$) ${\displaystyle S_{N}(f;t)}$이(가) 어떤 값 x에 수렴하면$$ 그것에도 합치되기 때문에 위의 첫 번째 종합성 속성부터 x = ƒ(t)이 된다.

성장 순서

디리클레의 커널의 성장 순서는 로그(Logarithmic), 즉 로그(Logarithmic)이다.

${\displaystyle \int D_{N}(t) \,\mathrm {d} t={\frac {4}{\pi ^2}}}\log N+O(1).}$

O(1) 표기법은 Big O 표기법을 참조하십시오.실제 값 $4{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle \pi {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 모두$$ 계산하기 어렵고(Zygmund 8.3 참조) 거의 쓸모가 없다.어떤 상수 C에게는

${\displaystyle \int D_{N}(t) \,\mathrm {d} t>c\log N+O(1)}$

디리클레의 알맹이 그래프를 보면 꽤 확실하다.n번째 피크의 적분은 c/n보다 크므로 고조파 합계에 대한 추정치는 로그 추정치를 제공한다.

이 추정치는 이전 결과의 일부 양적 버전을 수반한다.모든 연속 함수 f 및 t에 대해

${\displaystyle \lim _{N\to \flt}{\frac {S_{N}(f;t)}{\log N}=0.}$

단, 로그보다 작은 성장 순서 Ω(n)의 경우, 이는 더 이상 유지되지 않으며, 어떤 t의 경우, 다음과 같은 연속 함수 f를 찾을 수 있다.

${\displaystyle \varlimsup _{N\to \flt}{\frac {S_{N}(f;t)}{\omega(N)}}=\flt.}$

어느 곳에서나 분열을 일으키는 동등한 문제는 열려 있다.세르게이 코냐긴은 모든 사람이 사용할 수 있는 통합 기능을 구축하는데 성공했다.

${\displaystyle \varlimsup _{N\to \flt}{\frac {S_{N}(f;t)}{\sqrt{\log N}=\inflt .}$

이 예가 가장 가능한지는 알려지지 않았다.알려진 다른 방향에서 유일한 바운드는 로그 n이다.

다차원

두 가지 이상의 차원에서 등가 문제를 검토할 때, 한 가지 용도의 정확한 합계 순서를 명시할 필요가 있다.예를 들어, 2차원으로 정의하면

${\displaystyle S_{N}(f;t_{1},t_{2})=\sum _{n_{1}\leq N, n_{2} \leq N}{f}{{f}{1}(n_{1},n_{2})e^{i(n_{1}t_{1}+{2}t_{2}t_{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

"제곱 부분 합계"로 알려진 것.위 합계를 로 대체한다.

${\displaystyle \sum _{n_{1}^{2}+n_{2}}}^{2}\leq N^{2}}}$

"일부 합계"로 이어지다이 두 정의의 차이는 상당히 두드러진다.예를 들어, 제곱 부분 합계에 대한 해당 디리클레 커널의 표준은 ${\displaystyle {\mathrm{로그}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}2}$ N ${\displaystyle \log ^{2}N}$의 순서인 반면$$, 원형 부분 합계의$경우{\displaystyle \sqrt{}}$ N {\$displaystyle${\$sqrt{N}$의 순서가 된다$.$

하나의 차원에 대해 참된 결과의 대부분은 다차원에서 잘못되었거나 알려져 있지 않다.특히 칼레손의 정리정돈에 상당하는 것은 원형 부분합에 대해서는 여전히 개방되어 있다.거의 모든 곳에서 다차원에서의 "제곱 부분 합계"(더 일반적인 폴리곤 부분 합계뿐만 아니라 더 일반적인 폴리곤 부분 합계)의 수렴은 1970년경에 찰스 페퍼만에 의해 확립되었다.

메모들

참조

교과서

• 던햄 잭슨 근사설, AMS 콜로키움 출판권 XI, 뉴욕 1930.
• 니나 K. 바리, 삼각계 시리즈에 관한 논문, Vols.나, II. 마가렛 F의 공인된 번역서.멀린스.페르가몬 프레스 북.맥밀런社, 1964년 뉴욕.
• 안토니 지그문트, 삼각계 시리즈, Vol.나, II. 제3판.로버트 A의 서문과 함께.페퍼먼.케임브리지 수학 도서관.케임브리지 대학 출판부, 2002.ISBN 0-521-89053-5
• 이츠하크 캣즈넬슨, 조화분석에 대한 소개, 제3판.케임브리지 대학 출판부, 2004.ISBN 0-521-54359-2
• Karl R. Stromberg, Wadsworth International Group, 1981년 고전 분석 소개.ISBN 0-534-98012-0

캣즈넬슨 책은 세 가지 중에서 가장 현대적인 용어와 문체를 사용하는 책이다.원래 출판일은 1935년 지그문트, 1961년 바리, 1968년 캣즈넬슨이다.그러나 지그문트의 저서는 1959년 두 번째 출판사에서 크게 확대되었다.

본문에 언급된 기사

• Paul du Bois-Reymond, "Uber die Fouerschen Reihen," Nachr. 쿤. 게스. 위스. 괴팅겐 21(1873), 571–582.

연속함수의 푸리에 시리즈가 갈릴 수 있다는 첫 번째 증거다.독일어로

• 안드레이 콜모고로프, "Un série de Fourier-lebesgue dividente presque partout", 푼다마티매틱스 4(1923), 324–328.
• 안드레이 콜모고로프, "Un série de Fourier-Lebesgue dividgente partout," C. R. acad. 파리 183호(1926), 1327–1328

첫 번째는 푸리에 시리즈가 거의 모든 곳에서 분산되는 통합형 기능의 구성이다.두 번째는 모든 곳에서 분열을 위한 강화다.프랑스어로.

• 레나트 칼레슨, "푸리에 시리즈의 일부 합과 성장에 대하여" 액타 수학 116 (1966) 135–157.
• 리처드 A. Hunt, "Fourier 시리즈의 수렴", 직교 확장 및 연속 아날로그 (Proc)콘프, 에드워즈빌, 일리, 1967), 235–255.서던 일리노이 유니브프레스, 카본데일, 일리.
• 찰스 루이스 페퍼먼, "포인트와이즈 융합 오브 푸리에 시리즈," 수학 98년 (1973)의 앤, 551–571.
• 마이클 레이시와 크리스토프 티에레 "칼레슨 운영자의 경계성의 증거" 수학 레즈. 7:4 (2000), 361–370.
• 올레 G. 요르스보와 레이프 멜브로, 칼레손-푸리에 시리즈에 대한 사냥 정리.1982년 베를린-뉴욕 스프링거-베를라그, 수학 911 강의 노트ISBN 3-540-11198-0

이것은 칼레손의 원본 논문인데, 그는 어떤 연속적인 기능의 푸리에 확장이 거의 모든 곳에 수렴된다는 것을 증명하고, 그것을 L ${\$공간에$$ 일반화하는 헌트의 논문, 증거를 단순화하려는 두 번의 시도, 그리고 그것에 대한 자기소개를 담은 책을 증명한 것이다.

• 던햄 잭슨, 푸리에 시리즈 및 직교 다항식, 1963년
• D. J. 뉴먼, "비엔어의 1/f 정리를 보여주는 간단한 증거" 프락.아머. 수학.Soc. 48 (1975년), 264–265.
• 장 피에르 카아네와 이츠하크 카즈넬슨, "Sur les encelle de difference des séries trigonométrique", Studia Math. 26 (1966), 305–306

이 논문에서 저자들은 제로 측정의 어떤 집합에 대해서도 푸리에 시리즈가 해당 집합에서 분리되는 원에 연속적인 함수가 존재한다는 것을 보여준다.프랑스어로.

• 세르게이 블라디미로비치 코냐긴, "어디서나 삼각 푸리에 시리즈가 다른 것에 대하여" C. R. 아카드. Sci. Paris 329 (1999), 693–697.
• 장-피에르 카헤인, 임의의 기능 시리즈, 제2판.케임브리지 대학 출판부, 1993.ISBN 0-521-45602-9

코냐긴 논문은 위에서 논의한 ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{로그}}}$ ${\displaystyle \sqrt{n}}$ ${\$의 차이 결과를 증명한다.로그 n만 주는 보다 간단한 증거는 카헤인의 책에서 찾을 수 있다.