볼록조합

$2-$ simple $x$ ∈ $v_{0},v_{1},v_{2}{\text{ of }}2{\text{-simplex}}\in \mathbb {R} ^{2}$ $v_{0},v_{1},v_{2}{\text{ of }}2{\text{-simplex}}\in \mathbb {R} ^{2}$ 의 $v_{0},v_{1},v_{2}{\text{ of }}2{\text{-simplex}}\in \mathbb {R} ^{2}$ $v_{0},v_{1},v_{2}{\text{ of }}2{\text{-simplex}}\in \mathbb {R} ^{2}$ v $v_{0},v_{1},v_{2}{\text{ of }}2{\text{-simplex}}\in \mathbb {R} ^{2}$ , $v_{0},v_{1},v_{2}{\text{ of }}2{\text{-simplex}}\in \mathbb {R} ^{2}$ $v_{0},v_{1},v_{2}{\text{ of }}2{\text{-simplex}}\in \mathbb {R} ^{2}$ , $v_{0},v_{1},v_{2}{\text{ of }}2{\text{-simplex}}\in \mathbb {R} ^{2}$ $v_{0},v_{1},v_{2}{\text{ of }}2{\text{-simplex}}\in \mathbb {R} ^{2}$ 의 볼록 조합 ${\displaystyle v_{0}, v_{1}, v_{2}{\text{ of }}}, 2차원$ 벡터 $\mathbb {R} ^{2}$ R 2의 ${\$ text ${-$ simple $x$ $}}\in$ $\mathbb {R$ $}^{2}},$ α $\alpha ^{0}+\alpha ^{1}+\alpha ^{2}=1$ + $\alpha ^{0}+\alpha ^{1}+\alpha ^{2}=1$ + $\alpha ^{0}+\alpha ^{1}+\alpha ^{2}=1$ $\alpha ^{0}+\alpha ^{1}+\alpha ^{2}=1$ = $\alpha ^{0}+\alpha ^{1}+\alpha ^{2}=1$ {\ $displaystyle \alpha$ ^{ $0}+\alpha ^{1}+\alpha ^{2$ }= $1$ $P(\alpha ^{0},\alpha ^{1},\alpha ^{2})$ ( $P(\alpha ^{0},\alpha ^{1},\alpha ^{2})$ 0 $P(\alpha ^{0},\alpha ^{1},\alpha ^{2})$ $P(\alpha ^{0},\alpha ^{1},\alpha ^{2})$ $P(\alpha ^{0},\alpha ^{1},\alpha ^{2})$ $P(\alpha ^{0},\alpha ^{1},\alpha ^{2})$ $P(\alpha ^{0},\alpha ^{1},\alpha ^{2})$ ) $P(\alpha ^{0},\alpha ^{1},\alpha ^{2})$ ${\displaystyle$ P $(\alpha$ ^{ $0},\alpha ^{1},\alpha$ ^{ $2$ $P(\alpha ^{0},\alpha ^{1},\alpha ^{2})$ $=$ $:=\alpha ^{0}v_{0}+\alpha ^{1}v_{1}+\alpha ^{2}v_{2}$ $:=\alpha ^{0}v_{0}+\alpha ^{1}v_{1}+\alpha ^{2}v_{2}$ v $:=\alpha ^{0}v_{0}+\alpha ^{1}v_{1}+\alpha ^{2}v_{2}$ + $:=\alpha ^{0}v_{0}+\alpha ^{1}v_{1}+\alpha ^{2}v_{2}$ $:=\alpha ^{0}v_{0}+\alpha ^{1}v_{1}+\alpha ^{2}v_{2}$ $:=\alpha ^{0}v_{0}+\alpha ^{1}v_{1}+\alpha ^{2}v_{2}$ 1 + $:=\alpha ^{0}v_{0}+\alpha ^{1}v_{1}+\alpha ^{2}v_{2}$ $:=\alpha ^{0}v_{0}+\alpha ^{1}v_{1}+\alpha ^{2}v_{2}$ {\ $displaystyle$ $P(\alpha ^{0},\alpha ^{1},\alpha ^{2})$ :=\ $alpha$ ^{ $0}v_{0}+\alpha$ ^{ $1}v_{1}+\alpha$ ^{ $2}v_{2$ }}. P가 $\alpha _{i}\geq 0$ α $\alpha _{i}\geq 0$ 내부에 있을 때 $θ$ 0 $\alpha _{i}\geq 0$ {\ $displaystyle \{i}\geq$ 0 $\alpha _{i}\geq 0$ 그렇지 않으면 P가 삼각형 외부에 있을 때 $\alpha _{i}$ $\alpha _{i}$ {\ $displaystyle \alpha_{i$ }} 중 적어도 하나는 음수입니다.

점 $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\in \mathbb {R} ^{3}$ $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\in \mathbb {R} ^{3}$ $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\in \mathbb {R} ^{3}$ 2 $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\in \mathbb {R} ^{3}$ $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\in \mathbb {R} ^{3}$ $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\in \mathbb {R} ^{3}$ $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\in \mathbb {R} ^{3}$ $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\in \mathbb {R} ^{3}$ ∈ $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\in \mathbb {R} ^{3}$ 3 $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\in \mathbb {R} ^{3}$ {\ $displaystyle A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}\in \mathbb {R}^{3$ }}, $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\in \mathbb {R} ^{3}$ 3차원 벡터 $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ 에 있는 3 $\mathbb {R} ^{3}$ {\ $displaystyle$ $\$ $mathbb {R}^{3$ }, $\mathbb {R} ^{3}$ ∑ $\sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}=1$ = $\sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}=1$ $\sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}=1$ $\sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}=1$ $\sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}=1$ = 1 {\ $displaystyle$ \ $sum$ _{ $i$ =1}^{ $4}\alpha$ _{i}= $\sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}=1$ 1 ∑ $\sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}\cdot A_{i}=P$ $\sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}\cdot A_{i}=P$ i ⋅ $\sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}\cdot A_{i}=P$ = $\sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}\cdot A_{i}=P$ {\ $\sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}\cdot A_{i}=P$ $\sum$ _{i= $1}^{4$ }\displaystyle $\sum$ _{i}^{ $4}\displaystyle$ $하_{i}\cdot$ A_ ${i}=P$ P가 $\alpha _{i}>=0$ α $\alpha _{i}>=0$ > $=$ $\alpha _{i}>=0$ {\ $displaystyle \alpha_{i$ } > $=$ $0$ 일 때, P가 사면체 외부에 있을 때, $\alpha _{i}$ i $\alpha _{i}$ {\ $displaystyle \alpha_{i}}$ 중 적어도 하나는 음수입니다.

볼록 기하학과 벡터 대수학에서 볼록 조합은 모든 계수가 음이 아니고 합이 ^[1]1인 점(벡터, 스칼라 또는 일반적으로 아핀 공간의 점)의 선형 조합입니다.즉, 연산은 표준 가중 평균과 동일하지만, 가중치는 표준 가중 평균과 같이 가중치 카운트의 일부분이 아니라 총 가중치의 백분율로 표시됩니다.

좀 더 형식적으로, 실벡터 공간에서 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ 한 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ 점 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ 1 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ x $,$ …, x n {\ $displaystyle x_{1},$ x_{ $2},\dots,$ x_ ${n$ }가 주어졌을 때, 이 점들의 볼록 조합은 다음 형태의 점입니다.

\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}

실수 $\alpha _{i}$ i $\alpha_{i}$ 가 $\alpha _{i}\geq 0$ i $\alpha _{i}\geq 0$ $\alpha _{i}\geq 0$ {\ $displaystyle \alpha_{i}\geq$ 0 $}$ 이고 α $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=1.$ + $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=1.$ 2 + $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=1.$ ≥ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=1.$ = $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=1.$ {\ $displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots$ +\ $alpha_{n$ }= $1.$

예를 들어, 두 점의 모든 볼록한 조합은 ^[1]점 사이의 선분 위에 놓여 있습니다.

집합이 점의 볼록 조합을 모두 포함하는 경우 집합은 볼록합니다.주어진 점 집합의 볼록 선체는 모든 볼록 ^[1]조합의 집합과 동일합니다.

선형 조합에서는 닫히지 않지만 볼록 조합에서는 닫히는 벡터 공간의 부분 집합이 존재합니다.예를 들어 구간 $[0,1]$ $[0,1]$ {\ $displaystyle [0, 1]}$ 은 $[0,1]$ (는) 볼록하지만 선형 조합 아래에 실수 선을 생성합니다.또 다른 예는 선형 조합이 비음의성이나 친화도(즉, 총적분을 갖는 것)를 보존하지 않기 때문에 볼록한 확률 분포 집합입니다.

기타객체

임의 변수 X {\displaystyle X $}$ 은(는) 확률 $X$ 밀도함수가 $n개$ 의 {\ $displaystyle$ n $}$ 개의 $n$ $n$ 성분 밀도의 $볼록$ 조합인 경우 $n개의$ 성분 유한 혼합 분포를 $갖는다고$ 합니다.

참고 항목

참고문헌

^ ^a ^b ^c ^d Rockafellar, R. Tyrrell (1970), Convex Analysis, Princeton Mathematical Series, vol. 28, Princeton University Press, Princeton, N.J., pp. 11–12, MR 0274683

외부 링크

삼각형과의 볼록 합/결합 - 상호작용 그림
볼록 합/육각형과의 조합 - 대화형 그림
테트라에더와의 볼록 합/결합 - 상호작용 그림

[rock-1] Rockafellar, R. Tyrrell (1970), Convex Analysis, Princeton Mathematical Series, vol. 28, Princeton University Press, Princeton, N.J., pp. 11–12, MR 0274683

[1]

v t 볼록해석 및 변이해석
기본개념	볼록조합 볼록함수 볼록집합
항목(목록)	초케 이론 볼록 기하학 볼록 미터법 공간 볼록 최적화 이중성 라그랑주 승수 범례변환 국소 볼록 위상 벡터 공간 심플렉스
지도	볼록 켤레 오목한 (닫힘) K- 대수적으로 적절한 유사- 준) 볼록 함수 인벡스 함수 범례변환 반연속성 하위 도함수
주요결과(리스트)	카라테오도리 정리 이클랜드의 변주 원리 펜첼 모로 정리 펜첼-영 부등식 젠슨 부등식 헤르미트-하다마드 부등식 크레인 밀만 정리 마주르족 보족 샤플리-포크맨 보조정리 로빈슨 우르세스쿠 시몬스 우르세스쿠
놓다	볼록한 선체 (직교, 의사-) 볼록 집합 유효 도메인 비문 하이포그래프 존 타원체 렌즈 래디얼 세트/대수 인테리어 조노토프
시리즈	볼록급수 관련 ((cs, lcs)-닫힘 , (cs, bcs)-완전 , (하)이상적으로 볼록, (Hx ), (Hwx))
이중성	이중계 이중성간극 강이중성 약한 이중성
응용프로그램 및 관련	경제학의 볼록성

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