타원 분포

확률 및 통계학에서 타원 분포는 다변량 정규 분포를 일반화하는 광범위한 확률 분포군의 구성원입니다.직관적으로 단순화된 2차원 및 3차원 사례에서 접합분포는 등밀도도에서 각각 타원과 타원체를 형성한다.

통계학에서 정규 분포는 다변량 분석에서 사용되는 반면 타원 분포는 다변량 t-분포와 같이 무거운 꼬리를 가진 대칭 분포 또는 (정규 분포와 비교하여) 일반 다변량 분석에서 사용됩니다.원래 정규 분포 연구에 의해 동기 부여되었던 일부 통계 방법은 일반 타원 분포(유한 분산 포함), 특히 구면 분포(아래 정의)에 대해 우수한 성능을 가진다.타원 분포는 제안된 다변량 통계 절차를 평가하기 위해 강력한 통계량에서도 사용됩니다.

정의.

타원 분포는 확률론의 특성 함수의 관점에서 정의된다.유클리드 공간상의 랜덤 $벡터{\displaystyle }$X(\$displaystyle$$$X$)$는 특성함수$\theta {\displaystyle }$(\$displaystyle\phi$)가$$ 다음 함수식을 만족하는 경우(모든 열 $벡터{\displaystyle }$t(\$displaystyle$ t$)$에 대하여) 타원 분포를 가진다.

$\displaystyle \phi _{X-\mu }(t)=\psi(t'\Sigma t)}$

어떤 위치 매개 변수 μ{\displaystyle \mu}, 몇몇nonnegative-definite 행렬Σ{\displaystyle \Sigma}과 ψ 실제 random-vectors에 타원형 분포의 정의 .[1]{\displaystyle \psi}어떤 스칼라 함수의 경우 복잡한 분야에 유클리드 공간에 임의의 벡터를 수용할 수 있도록 확대되고 있다.뉴즉, 시계열 ^[2]분석에서 애플리케이션을 쉽게 만들 수 있습니다.계산 방법은 예를 ^[3]들어 몬테카를로 시뮬레이션에서 사용하기 위해 타원 분포에서 의사 랜덤 벡터를 생성하는 데 사용할 수 있다.

일부 타원 분포는 밀도 함수의 관점에서 정의됩니다.밀도 함수 f를 갖는 타원 분포의 형태는 다음과 같습니다.

$(\displaystyle f(x)=k\cdot g((x-\mu))'\Sigma ^{-1}(x-\mu)}}}$

$여기$서 k$(\displaystyle$ k$)$는 정규화 상수,$x{\displaystyle }$(\$displaystyle$ x$)$는 중앙$$ $벡터{\displaystyle }$μ(\$displaystyle \mu)$를 갖는 n$(\displaystyle$ n$)$ 차원 랜덤 벡터,$$δ(\$displaystyle \Sigma$})는 t에 비례하는 양의 유한 행렬입니다.공분산 행렬이 존재하는 경우.^[4]

예

예제에는 다음과 같은 다변량 확률 분포가 포함됩니다.

• 다변량 정규 분포
• 다변량 t-분포
• 대칭 다변량 안정 분포^[5]
• 대칭 다변량 Laplace 분포^[6]
• 다변량 로지스틱 분포^[7]
• 다변량 대칭 일반 쌍곡 분포^[7]

특성.

2차원의 경우 밀도가 존재하는 경우, 각 Iso-density locus(모두 f$(x)$의 $특정{\displaystyle }$ 값을 갖는 x,x₂ 쌍의 집합₁)는 타원형 또는 타원형의 결합(따라서 타원형 $분포$입니다.보다 일반적으로 임의의 n에 대해 등밀도 궤적은 타원체의 결합이다.이러한 모든 타원체 또는 타원체는 공통 중심 μ를 가지며 서로 축척된 복사(호모테)입니다.

그 다변량 정규 분포는 특별한 사건에 g(z))e− z/2{\displaystyle g(z)=e^{-z/2}}다. 다변량 보통이다 때문에 e− z/2을(x{\displaystyle)}의 각 요소,;0{가 0이 아닌 확률과 임의의 큰 긍정적이든 부정적 가치를 더할 수 있는가 무한한 \displa.yst$음$이 아닌 모든$$z(\$displaystyle$z)$$에 대해 $yle$ e$^{-z/2}>0}$은(는) 경계 또는 경계가 될 수 있다. $이러한{\displaystyle }$ 분포는 모든$$z(\$displaystyle$ z$)$에 대해 g${\displaystyle (\mathrm{z})}$ $=$ 0$(\displaystyle$ g$(z$)=$0}$이(가 특정 값보다 클 경우)에 대해 경계가 된다.

평균이 정의되지 않은 타원형 분포가 있습니다(일변량 분포에서도 마찬가지).변수 x는 직교적으로 밀도 함수에 들어가기 때문에 모든 타원 분포는${\displaystyle }$μ에 $대해{\displaystyle }$ 대칭입니다$.\$ $displaystyle$\$mu$. }

합동 타원 랜덤 벡터의 두 부분 집합이 상관 관계가 없으면 평균이 서로 독립적입니다(다른 부분 벡터의 값에 따라 조건부인 각 부분 벡터의 평균은 무조건 ^{[8]: p. 748} 평균과 동일).

랜덤 벡터 X가 타원형으로 분포되어 있는 경우 전체 행 순위를 가진 모든 행렬 D의 DX도 마찬가지입니다.따라서 X 성분들의 선형 조합은 타원형이고(반드시 같은 타원형 분포는 아니지만), X의 모든 부분 집합은 ^{[8]: p. 748} 타원형입니다.

적용들

타원 분포는 통계학 및 경제학에서 사용됩니다.

수리경제학에서 타원분포는 ^[9][10]수리금융의 포트폴리오를 설명하기 위해 사용되어 왔다.

통계:일반화 다변량 분석

통계학에서 (가우스의) 다변량 정규 분포는 대부분의 추정 및 가설 검정 방법이 정규 분포에 대해 동기 부여되는 고전 다변량 분석에서 사용됩니다.일반적인 다변량 분석과 달리 일반화 다변량 분석은 정규성의 제약이 없는 타원형 분포에 대한 연구를 말합니다.

적절한 타원 분포의 경우 일부 고전적 방법은 계속 좋은 ^[11][12]특성을 가집니다.유한 분산 가정 하에서, 코크란의 정리의 연장은 (^[13]2차 형식의 분포에 대한) 지속된다.

구면 분포

평균이 0이고 분산이 ${\displaystyle \alpha }$I(\$displaystyle$ \$alpha$ I$)$ $형식$의 타원 $분포{\displaystyle }$(I\^[14]displaystyle$$ I$)$는 $구면 분포$는 구면 분포입니다.구면 분포의 경우 모수 추정 및 가설 검정 홀드에 대한 고전적인 결과가 ^[15][16]확장되었습니다.선형 모델,^[17] 그리고 복잡한 모델(특히 성장 곡선 모델)에도 유사한 결과가 적용됩니다.다변량 모델의 분석은 다중 선형 대수(특히 크로네커 곱과 벡터화)와 행렬 ^[12][18][19]미적분을 사용한다.

견고한 통계:점근학

타원형 분포의 또 다른 용도는 견고한 통계학에서 통계적 절차가 타원형 분포의 클래스에서 어떻게 수행되는지 조사하여 통계의 한계 이론("증상학")^[21]을 사용하여 훨씬 더 일반적인 ^[20]문제에 대한 절차 수행에 대한 통찰력을 얻는 것이다.

경제 및 금융

포트폴리오 이론에서 타원형 분포는 중요합니다.이는 포트폴리오 형성에 이용 가능한 모든 자산의 수익률이 공동으로 타원형으로 분포되어 있는 경우 모든 포트폴리오의 위치와 규모에 따라 완전히 특성화할 수 있기 때문입니다.즉, 포트폴리오 수익률의 위치와 규모가 동일한 두 개의 포트폴리오가 동일한 di를 가지기 때문입니다.포트폴리오 ^[22][8]수익률의 배분뮤추얼 펀드 분리 이론과 자본 자산 가격 모델을 포함한 포트폴리오 분석의 다양한 기능은 모든 타원형 ^{[8]: p. 748} 분포에 적용됩니다.

메모들

레퍼런스

추가 정보