이 경우, 이 경우만

If and only if

↔⇔≡⟺
iff를 나타내는 논리 기호

논리학 및 수학 및 철학 등의 관련 분야에서 "if and only if"("iff"로 줄여서 "iff")는 두 진술 중 하나가 참이거나 둘 다 거짓인 두 진술 사이의 논리적인 연결이다.

연결은 2차적(재료 [1]동등성 진술)이며 표준 재료 조건부("if만", "if..."와 같을 수 있습니다.그 반대("if")와 조합되어 이름이 됩니다.그 결과, 어느 한쪽의 관련 진술의 진실(즉, 양쪽의 진술이 참인지 거짓인지)이 요구되지만, 이렇게 정의된 연결이 영어의 "if and only if"에 의해 기존의 의미와 함께 적절히 표현되는지는 논란의 여지가 있다.를 들어 Q가 True인 경우 P는 Q가 True인 경우에만 P가 True인 경우이며 P가 True인 경우는 Q가 True인 경우뿐입니다.P의 경우 Q가 True이고 Q가 false인 경우는 P가 True인 다른 시나리오가 있을 수 있습니다.

글을 쓸 때 P의 대안으로 일반적으로 사용되는 문구는 다음과 같다: P의 경우 Q필요하고 충분하며, P의 경우 Q, P는 Q와 동등(또는 물질적으로 동등), Q, P는 Q, P가 정확하게 일치하는지(또는 Q, P와 정확히 일치하는지) 그리고 Q, P정확하게 일치하는지(또는 Q, P와 정확히 일치할 때)를 포함한다.일부 저자는 "iff"를 공식 [3]문서에 적합하지 않다고 간주하고, 다른 저자는 "경계선 사례"로 간주하며 사용을 [4]용인합니다.

논리식에서는 이러한 문구 대신 (\displaystyle\[5]와 같은 논리 기호를 사용합니다.아래의 표기를 참조해 주세요.

정의.

P \ Arrow 진실표는 [6][7]다음과 같습니다.

진실표
P Q P Q P Q P Q
T T T T T
T F F T F
F T T F F
F F T T T

XNOR 게이트에 의해 생성된 것과 동등하고 XOR [8]게이트에 의해 생성된 것과 반대입니다.

사용.

표기법

해당하는 논리 기호는 "↔", [5] 및 "f"[9]이며, 때로는 "iff"이기도 합니다.이것들은 보통 동등하게 취급됩니다.그러나 수학 논리학의 일부 텍스트(특히 명제 논리가 아닌 1차 논리에 있는 텍스트)는 이 둘을 구별하는데, 여기서 첫 번째인 ↔는 논리 공식에서 기호로 사용되는 반면, θ는 이러한 논리 공식에 대한 추론에 사용됩니다(: 금속 논리).우카시에비치폴란드 표기법에서는 접두사 기호 'E'[10]이다.

논리연결을 나타내는 또 다른 용어, 즉 논리식에서의 기호는 배타적이지도 않다.

TeX에서는 명령어 \iff를 통해 "if and only if"가 긴 이중 화살표 [11] 표시됩니다.

증명서

대부분논리 시스템에서는 "만약 P, 그 다음에 Q"와 "만약 Q, 그 다음에 P" 또는 "만약 P, 그 다음에 Q"와 "만약 P, 그 다음에 Q"를 증명함으로써 "P iff Q" 형식의 스테이트먼트를 증명한다.이러한 진술의 쌍을 증명하는 것은 때때로 더 자연스러운 증거로 이어지는데, 이는 바이콘디셔널을 직접 추론할 수 있는 명확한 조건이 없기 때문이다.대안으로 단절(P와 Q) 또는 단절(not-P와 not-Q)을 증명하는 것이 있습니다.단절 자체는 단절 중 하나에서 직접 추론할 수 있습니다.즉, "iff"가 true-functional이기 때문에 "P ifff Q"는 P와 Q가 둘 다 true 또는 false로 판명된 경우 뒤따릅니다.

iff의 어원과 발음

"iff"라는 약어의 사용은 존 L. 켈리의 1955년 저서 General [12]Topology에서 처음 출판되었습니다.이것의 발명은 종종 "나는 'iff'를 'if and only if'를 위해 발명했다"고 쓴 Paul Halmos의 공로를 인정받는다. 하지만 나는 내가 진짜 그것의 첫 [13]발명가라는 것을 결코 믿을 수 없었다.

"iff"가 어떻게 발음되는지는 다소 불분명하다.현재 관행에서 단일 단어 'iff'는 거의 항상 "if and only if"라는 네 단어로 읽힌다.그러나 일반 토폴로지의 서문에서 켈리는 다르게 읽어야 한다고 제안한다: "어떤 경우에는 수학적인 내용이 'if and only if'를 요구하고 완곡한 어조가 더 적은 것을 요구하는 경우 나는 Halmos의 'iff'를 사용한다."한 이산 수학 교과서의 저자들은 "iff를 발음할 필요가 있다면, 사람들이 if와 if의 차이를 들을 수 있도록 정말 'ff'에 매달려야 한다"[14]고 제안하는데, 이는 "iff"가 [f]로 발음될 수 있음을 암시한다.

정의에서의 사용

엄밀히 말하면, 「if and only」라고 하는 것은 「if and only」라고 하는 문장입니다.Kelley의 「General Topology」의 일부의 텍스트는, 논리의 엄격한 요구에 따르고, 새로운 [15]용어의 정의에서는 「if and only if」또는 「iff」를 사용합니다.그러나 논리적으로 올바른 "if and only if"의 사용은 상대적으로 드물고 정의의 "if"가 "if and only if"를 의미하는 것으로 해석된다는 언어적 사실을 간과하고 있습니다.대부분의 교과서, 연구 논문 및 기사(영어 위키피디아 기사 포함)는 수학적 정의가 수반될 때마다 "if"를 "if and only if"로 해석하기 위해 언어적 규약을 따르고 있다(예를 들어 "opology space is compact with finite subcover").[16]

"if" 및 "only if"와의 구별

  • "과일사과라면 매디슨이 먹을 것이다."(매디슨이 과일을 먹을 경우에만 사과가 될 수 있다." 또는 "매디슨이 과일을 먹을 것이다←과일은 사과이다."와 같다.)
    이것은 매디슨이 사과인 과일을 먹을 것이라고 말한다.그러나 매디슨이 바나나나 다른 종류의 과일도 먹을 가능성을 배제하지는 않는다.확실한 것은 그녀가 우연히 발견한 사과를 모두 먹을 것이라는 것이다.그 과일이 사과라는 것은 매디슨이 그 과일을 먹기에 충분한 조건이다.
  • "매디슨은 사과일 때과일먹는다." ("매디슨이 과일을 먹는다면 사과다." 또는 "매디슨이 과일을 먹는다과일은 사과다."와 같다.)
    이것은 매디슨이 먹을 유일한 과일은 사과라고 말한다.그러나 매디슨이 사과를 먹을 것을 요구하는 (1)과는 대조적으로, 매디슨이 사과를 먹을 수 있게 되면 거절할 가능성도 배제하지 않는다.이 경우, 주어진 과일이 사과라는 것은 매디슨이 그것을 먹기 위한 필수 조건입니다.매디슨이 그녀에게 주어진 사과를 다 먹지 않을 수도 있기 때문에 그것은 충분한 조건이 아니다.
  • "사과일 경우에만 매디슨과일먹을 것이다." ("매디슨이 과일을 먹을 것이다↔ 과일은 사과이다."와 같다.)
    이 진술은 매디슨이 사과인 과일만 먹을 것이라는 것을 분명히 한다.그녀는 어떤 사과도 남기지 않을 것이고, 다른 종류의 과일도 먹지 않을 것이다.주어진 과일이 사과라는 것은 매디슨이 그 과일을 먹기 위한 필요조건이자 충분한 조건이다.

충분함은 필요성의 반대이다.즉, PQ(즉, PQ이면 P는 Q에 충분한 조건이며, Q는 P에 필요한 조건이다.또, P→Q주어졌을 때, δQδP(여기서 θ는 부정 연산자, 즉 "not")인 것이 사실이다.즉, P→Q의해 확립된 P와 Q의 관계는 다음과 같은 모든 동등한 방법으로 표현될 수 있습니다.

P는 Q에 충분하다.
P에는 Q가 필요합니다.
P는 Q로 충분하다.
Q에는 P가 필요합니다.

예를 들어, 위의 첫 번째 예로서 PQ를 들 수 있습니다. 여기서 P는 "문제의 과일은 사과"이고 Q는 "문제의 과일은 메디슨이 먹을 것입니다"입니다.이 관계를 표현하는 방법은 다음과 같습니다.

만약 문제의 과일이 사과라면, 매디슨은 사과를 먹을 것이다.
매디슨이 문제의 과일을 먹는다면, 그것은 사과일 것이다.
만약 매디슨이 문제의 과일을 먹지 않는다면, 그것은 사과가 아니다.
문제의 과일이 사과가 아닐 경우에만 매디슨은 그것을 먹지 않을 것이다.

여기서 두 번째 예는 다음과 같은 형태로 다시 기술할 수 있다.그리고 "만약 매디슨이 문제의 과일을 먹는다면, 그것은 사과이다"라고 말한다. 첫 번째 예와 함께, 우리는 세 번째 예제를 "만약 문제의 과일이 사과라면 매디슨이 그것을 먹을 이고, 매디슨이 그 과일을 먹는다면 그것은 사과이다"라고 말할 수 있다.

오일러 다이어그램의 관점에서 보면

오일러 다이어그램은 사건, 속성 등의 논리적 관계를 보여줍니다."P only if Q", "If P then Q", "P → Q"는 모두 P가 적절하거나 부적절한 Q의 부분 집합임을 의미한다. "P if Q", "If Q then P", "Q → P"는 모두 "Q and if Q and if Q"의 부분 집합임을 의미한다.

보다 일반적인 사용법

Iff는 논리 분야 밖에서도 사용됩니다.논리가 적용되는 곳, 특히 수학적인 논의에서 논리는 위와 같은 의미를 가집니다. 즉, 하나의 진술이 다른 진술에 필요하면서도 충분함을 나타내는 if와 only의 약자입니다.이것은 수학 전문용어의 예시이다(위에서 언급한 와 같이 정의문에서 iff보다 더 자주 사용된다).

X요소들은 모두 Y의 요소들이다: "담화 영역어떤 z에 대해서도, z가 Y에 있는 경우에만, z는 X에 있다."

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ Copi, I. M.; Cohen, C.; Flage, D. E. (2006). Essentials of Logic (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Pearson Education. p. 197. ISBN 978-0-13-238034-8.
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Iff." Math World의 울프램 웹 리소스입니다.http://mathworld.wolfram.com/Iff.html
  3. ^ 예:
  4. ^ Rothwell, Edward J.; Cloud, Michael J. (2014), Engineering Writing by Design: Creating Formal Documents of Lasting Value, CRC Press, p. 98, ISBN 9781482234312, It is common in mathematical writing
  5. ^ a b Peil, Timothy. "Conditionals and Biconditionals". web.mnstate.edu. Retrieved 4 September 2020.
  6. ^ p <=> q. 울프램 알파
  7. ^ If and only if, UHM Department of Mathematics, Theorems which have the form "P if and only Q" are much prized in mathematics. They give what are called "necessary and sufficient" conditions, and give completely equivalent and hopefully interesting new ways to say exactly the same thing.
  8. ^ "XOR/XNOR/Odd Parity/Even Parity Gate". www.cburch.com. Retrieved 22 October 2019.
  9. ^ Weisstein, Eric W. "Equivalent". mathworld.wolfram.com. Retrieved 4 September 2020.
  10. ^ "Jan Łukasiewicz > Łukasiewicz's Parenthesis-Free or Polish Notation (Stanford Encyclopedia of Philosophy)". plato.stanford.edu. Retrieved 22 October 2019.
  11. ^ "LaTeX:Symbol". Art of Problem Solving. Retrieved 22 October 2019.
  12. ^ 일반 토폴로지, ISBN 978-0-387-90125-1 재발행
  13. ^ Nicholas J. Higham (1998). Handbook of writing for the mathematical sciences (2nd ed.). SIAM. p. 24. ISBN 978-0-89871-420-3.
  14. ^ Maurer, Stephen B.; Ralston, Anthony (2005). Discrete Algorithmic Mathematics (3rd ed.). Boca Raton, Fla.: CRC Press. p. 60. ISBN 1568811667.
  15. ^ 예를 들어 General Topology(일반 토폴로지)의 페이지 25: "한 세트가 유한하거나 무한하다면 셀 수 있습니다." [원래 굵은 글씨]
  16. ^ Krantz, Steven G. (1996), A Primer of Mathematical Writing, American Mathematical Society, p. 71, ISBN 978-0-8218-0635-7

외부 링크