트위디 분포

확률과 통계에서 트위디 분포는 순수 연속 정규 분포, 감마 및 역 가우스 분포, 순수 이산 스케일 포아송 분포 및 0에 양의 질량을 가지지만 그 외의 연속인 복합 포아송-감마 분포의 종류를 포함하는 확률 분포의 계열이다.트위디 분포는 지수 분포 모델의 특별한 경우로서 일반화된 선형 모델의 분포로 자주 사용된다.^[1][2]

트위디 분포는 1984년 영국 리버풀 대학의 통계학자 겸 의학 물리학자 모리스 트위디의 이름을 따서 벤트 조르겐센이^[3] 명명했다.^[1][4][2]

정의들

(생산적) 트위디 분포는 특수 평균-분산 관계를 갖는 (생산적인) 지수 분포 모델(ED)의 하위 계열로 정의된다. A random variable Y is Tweedie distributed Tw_p(μ, σ²), if ${\displaystyle Y\sim \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})}$ with mean ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (Y)}$, positive dispersion parameter ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ and

${\displaystyle \operatorname {Var}(Y)=\sigma ^{2}\,\mu ^{p}}}$

여기서 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbf{}}$ ${\$를) 트위디 전력 파라미터라고 한다$$. 측정 가능한 집합 A의 확률 분포 P는_θ,σ² 다음과 같다.

${\displaystyle P_{\theta ,\sigma ^{2}}(Y\in A)=\int _{A}\exp \left({\frac {\theta \cdot z-\kappa _{p}(\theta )}{\sigma ^{2}}}\right)\cdot \nu _{\lambda }\,(dz),}$

어떤_λ σ-finite-finite의 측정에 대해서. 이 표현은 지수 산포 모델과 적산 함수의 표준 파라미터 θ을 사용한다.

${\displaystyle \kappa _{p}(\theta )={\begin{cases}{\frac {\alpha -1}{\alpha }}\left({\frac {\theta }{\alpha -1}}\right)^{\alpha },&{\text{for }}p\neq 1,2\\-\log(-\theta ),&{\text{for }}p=2\\e^{\theta },&{\text{for }}p=1\end{cases}}}$

여기서 $\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle p\frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\$ 또는 $동등$하게${\displaystyle }$p = ${\displaystyle \alpha \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{-}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ α${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}${\$displaystyle p={\frac {\frac$ -2$}{\frac -1$}을 사용했다$.$

특성.

가법 지수 산포 모형

방금 설명한 모델은 생식 형태다. 지수 분포 모델은 항상 가법적 형태인 이중적 형태를 가진다. Y가 생식인 경우, Tweedie Tw^*_p(μ, μ,${\displaystyle }$μ, $\mu {\displaystyle }$)의 경우 $Z{\displaystyle }$= ${\displaystyle \lambda \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle$ ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}^{}}{}}$\\$displaystyle \lambda={\frac${1$}{\sigma ^{2$}}이$$ 첨가제 형식^* ED((, μ, μ, $λ$)이다. 가법 모형은 독립 랜덤 변수의 합을 분포하는 특성을 가지고 있다.

${\displaystyle Z_{+}=Z_{1}+\cdots +Z_{n}}}$

고정된 and과 다양한 λ을 가진_i Z ~ ED^*(θ, λ_i)는 동일한 θ을 가진 분포 계열의 구성원이다.

${\displaystyle Z_{+}\sim \operatorname {ED}^{*}(\theta ,\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}).}$

생식 지수 분산 모델

두 번째 등급의 지수 분포 모델이 랜덤 변수에 의해 지정됨

${\displaystyle Y=Z/\lambda \sim \operatorname {ED}(\mu ,\sigma ^{2}),}$

여기서 σ² = 1/190, 생식 지수 분산 모델이라고 알려져 있다. 그들은 n개의 독립 랜덤_i 변수 Y ~ ED(μ, μ_i/w²)에 대해 가중치가_i w 및 w인 속성을 가지고 있다.

${\displaystyle w=\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$

변수들의 가중 평균은 다음과 같다.

${\displaystyle w^{-1}\sum _{i=1}^{n}w_{i}Y_{i}\sim \operatorname {ED}(\mu ,\sigma ^{2}/w).}$

생식 모델의 경우, 고정 μ와 μ를² 갖는 독립 랜덤 변수의 가중 평균과 w에_i 대한 다양한 값이 동일한 μ와² μ를 갖는 분포 계열의 구성원이 된다.

트위디 지수 분포 모델은 첨가물과 생식 둘 다이다. 따라서 우리는 이중성 변환을 가지고 있다.

$[\displaystyle Y\mapsto Z=Y/\sigma ^{2}.}$

척도 불변도

트위디 모델의 세 번째 특성은 스케일 불변형이라는 것이다. 생식 지수 분포 모델 Tw_p(μ, μ²) 및 임의의 양의 상수 c의 경우, 우리는 스케일 변환 하에서 폐쇄의 속성을 가진다.

${\displaystyle c\operatorname {Tw} _{p}(\mu ,\sigma ^{2}=\operatorname {Tw} _{p}(c\mu ,c^{2-p}\sigma ^{2}).}$

트위디 전력 분산 함수

지수 분포 모델에 대한 분산 함수를 정의하기 위해 우리는 평균 값 매핑, 표준 파라미터 θ과 평균 μ 사이의 관계를 이용한다. 함수에 의해 정의된다.

$\displaystyle \tau(\theta )=\kappa ^{\prime }(\theta )=\mu.}$

누적 함수 $\kappa {\displaystyle }$ (${\displaystyle \theta }$ ) ${\displaystyle \kappa (\theta )}$을(를) 사용하여 $.$ 분산함수 V(μ)는 평균값 매핑으로 구성된다.

${\displaystyle V(\mu )=\tau ^{\prime }[\tau ^{-1}(\mu )].}$

여기서 μ⁻¹(μ)의 마이너스 지수는 역수보다는 역 함수를 나타낸다. 가법 랜덤 변수의 평균과 분산은 E(Z) = μ, var(Z) = μV(μ)이다.

척도 불변도는 분산함수가 V(μ) = μ ^p 관계를 준수함을 의미한다.^[2]

트위디 일탈

생식 트위디 분포의 단위 이탈도는 다음과 같다.

${\displaystyle d(y,\mu )={\begin{cases}(y-\mu )^{2},&{\text{for }}p=0\\2(y\log(y/\mu )+\mu -y),&{\text{for }}p=1\\2(\log(\mu /y)+y/\mu -1),&{\text{for }}p=2\\2\left({\frac {\max(y,0)^{2-p}}{(1-p)(2-p)}}-{\frac {y\mu ^{1-p}}{1-p}}+{\frac {\mu ^{2-p}}{2-p}}\right),&{\text{else}}\end{cases}}}$

트위드 누적 생성 기능

지수 산포 모델의 특성은 우리에게 두 가지 미분 방정식을 제공한다.^[2] 첫 번째는 평균값 매핑과 분산 함수를 서로 연관시킨다.

${\displaystyle {\frac {\partial \tau ^{-1}(\mu )}{\partial \mu }}={\frac {1}{V(\mu )}}.}$

두 번째는 평균값 매핑이 누적 함수와 어떻게 관련이 있는지를 보여준다.

${\displaystyle {\frac {\property \cappa (\theta )}{\\property \tau (\theta).}$

이러한 방정식은 트위디 모델의 다른 사례에 대한 누적 함수를 얻기 위해 해결할 수 있다. 누적 생성 함수(CGF)는 누적 함수에서 얻을 수 있다. 가법 CGF는 일반적으로 방정식으로 지정된다.

${\displaystyle K^{*}=\log[\operatorname {E}(e^{sZ})]=\lambda [\kappa(\theta +s)-\kappa(\teta )],}$

그리고 생식 CGF 에 의해

${\displaystyle K(s)=\log[\operatorname {E}(e^{sY})]=\lambda [\kappa(\theta +s/\lambda )-\kappa(\theta )],}$

여기서 s는 생성 함수 변수다.

첨가제 트위디 모델의 경우 CGF가 형태를 취한다.

${\displaystyle K_{p}^{*}(s;\theta ,\lambda )={\begin{cases}\lambda \kappa _{p}(\theta )[(1+s/\theta )^{\alpha }-1]&\quad p\neq 1,2,\\-\lambda \log(1+s/\theta )&\quad p=2,\\\lambda e^{\theta }(e^{s}-1)&\quad p=1,\end{cases}}}$

그리고 생식 모델의 경우,

${\displaystyle K_{p}(s;\theta ,\lambda )={\begin{cases}\lambda \kappa _{p}(\theta )\left\{[1+s/(\theta \lambda )]^{\alpha }-1\right\}&\quad p\neq 1,2,\\-\lambda \log[1+s/(\theta \lambda )]&\quad p=2,\\\lambda e^{\theta }(e^{s/\lambda }-1)&\quad p=1.\end{case}}}$

첨가물과 생식 트위디 모델은 각각 Tw^*_p((, λ)와 Tw_p(θ, σ²) 기호로 표시된다.

CGF의 첫 번째와 두 번째 파생상품은 s = 0으로 각각 평균과 분산을 산출한다. 따라서 가법 모형의 경우 분산이 검정력 법칙에 의한 평균과 관련이 있음을 확인할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {var}(Z)\propto \mathrm {E}(Z)^{p}}}$

트위디 컨버전스 정리

트위디 지수 분포 모델은 광범위한 통계적 과정에 대한 수렴의 초점으로서 그들의 역할에 따른 통계 이론의 기초가 된다. 요르겐센 외 연구진은 트위디 수렴청정리로 알려진 분산함수의 점증적 행동을 규정하는 정리를 증명했다.^[5] 이 정리는 기술적인 용어로 다음과 같이 기술되어 있다.^[2] 단위 분산 함수는 p와 c₀ > 0의 모든 실제 값에 대해 0(또는 무한도)에 가까워질 때 μ에 대해 V(μ) ~ cμ가₀^p 주어진다면 0(또는 무한도)에서 p의 순서가 규칙적이다. 그런 다음 단위 분산 함수가 0 또는 무한대로 p 순서의 정규 분포를 따르고

${\displaystyle p\notin (0,1)$

모든 > ${\displaystyle \mu$>$}$및 > 0 ${\displaystyle \displayma$^{$2}]$에 대해 우리는 다음과 같이 한다$.$

${\displaystyle c^{-1}\operatorname {ED}(c\mu ,\sigma ^{2}c^{2-p})\오른쪽 화살표 Tw_{p}(\mu ,c_{0}\sigma ^{2})}$

$c{\displaystyle \downarrow }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle c\downarrow 0}$ 또는$$ $c{\displaystyle }$→ c → c → ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle c\rightarrow \inft$ $\}$과 같이 cμ가 θ의 영역에 있고^p−2 c/σ이² λ의 영역에 있는 c 값을 통해 수렴되는 경우. 모델은 c가^2−p 무한대에 접근함에 따라 무한히 분할되어야 한다.^[2]

비기술적인 측면에서 이 정리는 점증적으로 분산-평균 전력 법칙을 나타내는 지수 분포 모델이 트위디 모델의 매력 영역 내에 오는 분산 함수를 가져야 한다는 것을 의미한다. 유한 적분 생성 함수가 있는 거의 모든 분포 함수는 지수 산포 모델로 적합하며 대부분의 지수 산포 모델은 이 형식의 분산 함수를 나타낸다. 따라서 많은 확률 분포는 이러한 점근거동을 나타내는 분산 함수를 가지며, 트위디 분포는 광범위한 데이터 유형에 대해 수렴의 초점이 된다.^[6]

관련 분포

트위디 분포는 몇몇 특이한 분포뿐만 아니라 친숙한 분포도 포함하며, 각 분포는 지수 모수의 영역으로 지정된다. 우리가 가지고 있다.

• 극안정분포, p < 0,
• 정규 분포, p = 0,
• 포아송 분포, p = 1,
• 복합 포아송-감마 분포, 1 < 페이지 < 2,
• 감마 분포, p = 2,
• 양의 안정 분포, 2 < 페이지 < 3,
• 역가우스 분포, p = 3
• 양의 안정 분포, p > 3 및
• 극단적으로 안정된 분포, p = .

0 < p < 1의 경우 트위디 모델은 존재하지 않는다. 모든 안정적인 분포는 안정적인 분포에 의해 실제로 생성된다는 것을 의미한다는 점에 유의하십시오.

발생 및 적용

트위디 모델과 테일러의 권력 법칙

테일러의 법칙은 생태학의 경험적 법칙으로, 서식지의 단위 면적당 한 종의 개체 수의 분산을 힘-법률 관계에 의한 해당 평균과 연관시킨다.^[7] 평균 µ 및 분산 var(Y)를 포함한 모집단 수 Y의 경우 Taylor의 법칙이 기록된다.

${\displaystyle \operatorname {var}(Y)=a\mu ^{p},}$

여기서 a와 p는 모두 양의 상수다. 1961년 L. R. 테일러가 이 법을 설명한 이후, 동물 행동,^[7] 무작위 보행 모델,^[8] 확률적 출생, 죽음, 이민 및 이민 모델에서부터 ^[9]평형 및 비균형 통계 역학의 결과까지, 그것을 설명하기 위해 제공되는 많은 다양한 설명들이 있었다.^[10] 이 모델에 대한 설명에 대해서는 어떠한 합의도 존재하지 않는다.

테일러의 법칙은 트위디 모델을 특징짓는 분산 대 평균 전력 법칙과 수학적으로 동일하므로, 테일러의 법칙과 연관된 동식물의 관측된 군집화를 설명하기 위해 이러한 모델과 트위디 융합 정리를 사용하는 것이 타당해 보였다.^[11][12] 힘-법률 지수 p에 대해 관측된 값의 대다수가 구간(1,2)에 떨어졌으므로 트위디 화합물 포아송-감마 분포가 적용 가능한 것처럼 보일 수 있다. 경험적 분포 함수와 이론적 복합체 포아송-감마 분포의 비교는 이 가설의 일관성을 검증하는 수단을 제공했다.^[11]

테일러의 법칙에 대한 전통적인 모델들이 임시 동물 행동이나 인구 동태적 가정을 수반하는 경향이 있었던 반면에, 트위디 융합 정리는 테일러의 법칙이 특정 유형의 무작위 데이터의 수렴 행동을 중앙 한계 정리가 어떻게 지배하는가에 상당하는 일반적인 수학 융합 효과에서 비롯된다는 것을 암시할 것이다. 실제로 (이 정리에 기초하여) 테일러의 법칙을 산출하기 위해 고안된 모든 수학 모델, 근사치 또는 시뮬레이션이 트위디 모델의 형태로 수렴되어야 한다.^[6]

트위디 수렴 및 1/f 노이즈

분홍색 노이즈 또는 1/f 노이즈는 다른 주파수 f에서 강도 S(f) 사이의 파워 로 관계로 특징지어지는 노이즈 패턴을 가리킨다.

${\displaystyle S(f)\propto {\frac {1}{f^{\gamma}},}$

여기서 치수 없는 지수 γ [0,1] 그것은 다양한 자연 과정 속에서 발견된다.^[13] 1/f 노이즈에 대한 많은 다른 설명이 존재하며, 광범위하게 유지되는 가설은 임계점에 가까운 동적 시스템이 규모 불변 공간 및/또는 시간적 행동을 나타내는 것으로 생각되는 자체 구성 임계성에 기초한다.

이 하위섹션에서는 1/f 노이즈와 트위디 분산-대-평균 전력법 사이의 수학적 연관성이 설명된다. 시작하려면 먼저 자기 유사 프로세스를 도입해야 한다. 숫자의 순서에 따라

${\displaystyle Y=(Y_{i}:i=0,1,2,\ldots,N)}$

비열하게

${\displaystyle {\widehat {\mu }}=\operatorname {E}(Y_{i}),}$

일탈

${\displaystyle y_{i}=Y_{i}-{\widehat{\mu}},}$

분산

${\displaystyle {\widehat {\sigma }^{2}=\operatorname {E}(y_{i}^{2}),}$

및 자기 상관 함수

${\displaystyle r(k)={\frac {\\operatorname {E}(y_{i},y_{i+k})}{\operatorname {E}(y_{i}^{2})}}$

지연 k를 사용하여, 이 시퀀스의 자기 상관에 긴 범위 동작이 있는 경우

${\displaystyle r(k)\심 k^{-d}L(k)}$

k로서→∞ 그리고 여기서 L(k)은 k의 큰 값에서 서서히 변화하는 함수로서, 이 시퀀스를 자기 유사 프로세스라고 부른다.^[14]

bin을 확장하는 방법은 자가 유사 공정 분석에 사용할 수 있다. 평균 값에 기초하여 새로운 생식 시퀀스가 정의될 수 있도록 N 원소의 원래 시퀀스를 m 동일한 크기의 세그먼트 그룹(N/m은 정수)으로 나누는 동일한 크기의 비 겹침 빈 집합을 고려하십시오.

${\displaystyle Y_{i}^{(m)}=(Y_{im-m+1}+\cdots +Y_{im}/m.}$

이 시퀀스에서 결정된 분산은 bin 크기가 다음과 같이 변경됨에 따라 확장된다.

${\displaystyle \operatorname {var} [Y^{(m)}]={\widehat {\sigma }^{2}m^{-d}}}}$

자기 상관에 제한 형식이^[15] 있는 경우에만

${\dapplaystyle \lim _{k\to \infit }r(k)/k^{-d}=(2-d)(1-d)/2.}$

또한 해당 추가 시퀀스 집합을 구성할 수 있음

${\displaystyle Z_{i}^{(m)}=mY_{i}^{(m)}}$

팽창하는 통에 근거해서

${\displaystyle Z_{i}^{(m)}=(Y_{im-m+1}+\cdots +Y_{im}).}$

자기 상관 함수가 동일한 동작을 보인다면, 가법 시퀀스는 관계를 준수할 것이다.

${\displaystyle \operatorname {var} [Z_{i}^{(m)}]=m^{2}\operatorname {var} [Y^{(m)}]=\left({\frac {{\widehat {\sigma }}^{2}}{{\widehat {\mu }}^{2-d}}}\right)\operatorname {E} [Z_{i}^{(m)}]^{2-d}}$

$\mu {\displaystyle \hat{}}$ ${\$과($와{\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$) ${\displaystyle {\stackrel{}{^}2}^{\mathrm{}}}$ ${\$은 상수이므로$$ 이 관계는 분산 대 평균 전력 법칙(p = 2 - d)을 구성한다.^[6][16]

위와 같은 분산-대-평균 전력 법칙과 전력 법칙 자기 상관 함수 사이의 쌍방향 관계와 위너-킨친 정리는^[17] 빈을 확장하는 방법에 의해 분산-평균 전력 법칙을 나타내는 모든 시퀀스 또한 1/f 노이즈를 나타낼 것이며, 그 반대의 경우도 마찬가지라는 것을 암시한다. 더욱이 트위디 수렴 정리는 분산 대 평균 전력 함수를 나타내는 분포를 생성하는 중심 한계와 같은 효과 때문에 1/f 소음을 나타내는 공정도 생성할 것이다.^[6] 따라서 트위디 수렴 정리는 중심 한계와 같은 효과에 기초하여 1/f 노이즈의 기원에 대한 대체적인 설명을 제공한다.

중심 한계 정리에서는 특정한 종류의 무작위 프로세스가 가우스 분포를 수렴하여 백색 노이즈를 표현하도록 요구하는 것과 마찬가지로, 트위디 수렴 정리는 특정한 비 가우스 분포를 1/f 노이즈를 표현하는 트위디 분포를 수렴하는 초점으로 가질 것을 요구한다.^[6]

트위디 모델과 다면성

자기 유사 공정의 속성에서, 파워 로 지수 p = 2 - d는 Hurst 지수 H 및 프랙탈 치수 D와 관련된다^[15].

$[\displaystyle D=2-H=2-p/2]}$

자기 유사 데이터의 1차원 데이터 시퀀스는 p의 값과 그에 따라 D의 값의 국소적 편차를 갖는 분산 대 평균 전력 법칙을 증명할 수 있다. 프랙탈 구조물이 프랙탈 차원의 국부적 변화를 나타낼 때, 그것들은 다분하다고 한다. 이와 같이 p에서 국부적 변화를 보이는 데이터 시퀀스의 예로는 가우스 직교 및 유니터리 앙상블의 고유값 편차가 포함된다.^[6] 트위디 화합물 포아송-감마 분포는 트위디 지수 α의 국부적 변동에 기초하여 다원성을 모형화하는 역할을 해왔다. 따라서 α의 변동과 연계하여 트위디 수렴 정리는 그러한 다원화의 발생에 역할을 하는 것으로 볼 수 있다.

α의 변동은 특정한 경우 비대칭 라플라스 분포를 따르는 것으로 밝혀졌다.^[18] 이 분포는 기하학적 분산 모델에 대한 수렴 정리에서 한계 분포를 나타내는 기하학적 트위디 모델 계열의 구성원으로 밝혀졌다.^[19]

국소기관혈류

지역 장기 혈액 흐름은 전통적으로 방사선을 이용한 폴리에틸렌 마이크로스피어를 동물의 동맥 순환에 주입함으로써 평가되어 왔는데, 이는 동물의 동맥 순환에 그들이 장기의 미세순환 내에 갇히게 되는 크기였다. 그런 다음 평가할 기관은 동일한 크기의 큐브로 분할되고 각 큐브 내의 방사선 방출량은 액체 섬광 계수에 의해 평가되고 기록된다. 각 입방체 내의 방사능 양은 주입 당시 샘플을 통한 혈액 흐름을 반영하기 위해 취한다. 더 큰 지역을 통과하는 혈류를 부가적으로 판단하기 위해 장기로부터 인접한 정육면체를 평가할 수 있다. J B B Basingthwaighte 등의 연구를 통해 기준 크기 검체에 상대적인 질량 m의 혈류 분포(RD = 표준 편차/평균) 사이에 경험적 힘 법칙이 도출되었다.^[20]

${\displaystyle RD(m)=RD(m_{\text{ref})\왼쪽({\frac {m}{m_{\text{ref}}\오른쪽)^{1-D_{s}}}}}$

이 권력 법칙의 주창자_s D는 프랙탈 차원이라고 불려왔다. Bassingthwaighte의 전력 법칙은 분산 대 평균 전력 법칙과 직접적으로 관련이 있다는 것을 보여줄 수 있다. 따라서 지역 장기 혈액 흐름은 트위디 화합물 포아송-감마 분포에 의해 모델링될 수 있다.^[21] 이 모델 조직 샘플에서는 각각 감마 분포 혈류를 가진 무작위(포아송)의 삽입 부위 수를 포함하는 것으로 간주할 수 있다. 이 미세순환 수준의 혈류는 감마 분포를 따르는 것으로 관찰되었으며,^[22] 따라서 이 가설을 뒷받침한다.

암 전이

"실험용 암 전이 측정법"^[23]은 지역 혈류를 측정하는 위의 방법과 다소 유사하다. 승진과 연령 일치 생쥐 집단은 복제된 암세포의 균일한 크기의 정맥주사를 투여한 후 일정 기간 후에 폐를 제거하고 각 폐 쌍에 열거된 암 전이 횟수를 주입한다. 다른 그룹의 생쥐에게 다른 암세포 복제본을 주입하는 경우, 그룹당 전이 횟수는 복제의 전이 가능성에 따라 달라질 것이다. 각 클론 그룹 내에서 실험 조건을 균일하게 유지하기 위한 최선의 시도에도 불구하고 마우스당 전계 횟수에 상당한 경내 변동이 있을 수 있다는 것은 오래 전부터 인정되어 왔다.^[23] 이러한 변동은 각 클론에서 마우스당 전이 횟수의 포아송 분포를 기초로 예상한 것보다 더 크고, 마우스당 전이 횟수의 분산이 해당 평균에 대해 플롯되었을 때 발생한다.^[24]

전이에 대한 분산 대 평균 전력 법칙은 자연적 뮤린 전이와^[25] 일련의 인간 전이에 대해서도 유지되는 것으로 밝혀졌다.^[26] 이후로 혈행성 전이 지역 혈액 flow[27]과videomicroscopic 연구에 직접적인 관계에서 나타나면 암 세포의 순환 내의 경과와 함정 수사는 microsphere이 혈행성 전이가 수의 변화를 반영할 수 있었을 것을 그럴듯하게 보였다 experiments[28]과 유사한 듯 보인다.헤테로지역 장기 혈류에서의 ^[29]온건성 혈류 모델은 연속 랜덤 변수를 지배하는 분포인 트위디 화합물 포아송-감마 분포를 기반으로 했다. 그러한 이유로 전이 모델에서는 혈류량이 해당 분포에 의해 관리되며, 국부 전이 횟수는 혈류 강도에 정비례하는 포아송 공정으로 발생한다고 가정했다. 이로 인해 포아송 음이항 분포(PNB)를 트위디 화합물 포아송-감마 분포와 동일한 이산형 분포로 설명하게 되었다. PNB 분포에 대한 확률 생성 함수는

${\displaystyle G(s)=\exp \left[\lambda {\frac {\alpha -1}{\alpha }}\left({\frac {\theta }{\alpha -1}}\right)^{\alpha }\left\{\left(1-{\frac {1}{\theta }}+{\frac {s}{\theta }}\right)^{\alpha }-1\right\}\right]}$

PNB 분포의 평균과 분산 사이의 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {var}(Y)=a\operatorname {E}(Y)^{b}+\operatorname {E}(Y),}$

많은 실험 전이 측정 범위에서는 분산 대 분산 전력 법칙과 구별할 수 없다. 그러나 희소성 데이터의 경우 이러한 이산형 분산 대 평균 관계는 분산이 평균과 동일한 포아송 분포와 더 유사하게 작용한다.

게놈 구조와 진화

인간 게놈 내 단일 뉴클레오티드 다형성(SNP)의 국부 밀도와 유전자의 밀도는 분산-평균 전력 법칙 및 트위디 복합체 푸아송-감마 분포와 일치하여 군집화되는 것으로 보인다.^[30][31] SNP의 경우 관측된 밀도는 평가 기법, 분석을 위한 유전체 시퀀스의 가용성 및 뉴클레오티드 이질성을 반영한다.^[32] 처음 두 요인은 수집 방법에 내재된 확인 오류를 반영하고, 후자는 게놈의 고유 특성을 반영한다.

인구유전학의 결합 모델에서 각각의 유전적 중심은 고유한 역사를 가지고 있다. 어떤 종에서 온 개체군의 진화 안에서 어떤 유전적 위치들은 아마도 비교적 최근의 공통 조상으로 거슬러 올라갈 수 있는 반면, 다른 위치들은 더 고대의 족보를 가지고 있을 것이다. 더 많은 고대 게놈 세그먼트는 SNP를 축적하고 재조합을 경험할 수 있는 더 많은 시간을 가졌을 것이다. R R Hudson은 재조합이 다른 유전체 세그먼트에 대해 가장 일반적인 최근 조상에게 시간의 변화를 일으킬 수 있는 모델을 제안했다.^[33] 높은 재결합률은 염색체가 상관관계가 덜한 계보를 가진 다수의 작은 분절들을 포함하게 할 수 있다.

돌연변이의 일정한 배경 비율을 가정하면 유전체 세그먼트당 SNP의 수는 가장 최근의 공통 조상까지의 시간에 비례하여 누적될 것이다. 현재의 인구 유전 이론은 이러한 시기가 평균적으로 감마 분포일 것이라는 것을 나타낼 것이다.^[34] 트위디 화합물 푸아송-감마 분포는 SNP 지도가 여러 개의 작은 게놈 세그먼트로 구성되고 세그먼트당 평균 SNP 수가 허드슨 모델에 따라 감마선으로 분포되는 모델을 제안할 수 있다.

인간 게놈 내의 유전자의 분포는 또한 분산과 평균의 힘 법칙을 증명했는데, 이때 빈을 팽창시키는 방법을 사용하여 해당 분산과 평균을 결정하게 되었다.^[31] 마찬가지로 열거형 빈당 유전자의 수는 트위디 화합물 푸아송-감마 분포를 따르는 것으로 밝혀졌다. 이 확률 분포는 두 가지 다른 생물학적 모델, 즉 유전자 길이당 유전자의 수가 무작위 파괴와 프로토코모솜 재구성에 의해 도출된 작은 유전체 부분의 무작위 숫자의 합에 의해 결정되는 미세범위 모델과 양립할 수 있다고 간주되었다. 이 작은 부분들은 평균적으로 감마 분포 유전자의 수를 가진다고 가정할 것이다.

대체 유전자 군집 모델에서, 유전자는 프로토크로모솜 내에서 무작위로 분포될 것이다. 큰 진화 기간 동안 트위디 복합체 푸아송-감마 분포를 산출하기 위해 확률적인 출생, 사망 및 이민 과정을 통해 유전자에 영향을 줄 수 있는 탠덤 복제, 돌연변이, 삽입, 삭제 및 재배열이 발생할 수 있다.

이 두 메커니즘 모두 유전자의 지역적 군집화를 초래하는 중립적인 진화 과정을 포함할 것이다.

랜덤 행렬 이론

가우스 유니터리 앙상블(GUE)은 단일 변형 하에서 불변하는 복잡한 은둔자 행렬로 구성되는 반면, 가우스 직교 앙상블(GOE)은 직교 변환 시 불변하는 실제 대칭 행렬로 구성된다. 이러한 랜덤 행렬의 순위 고유값 E는_n 위그너의 반원형 분포를 따른다. N×N 행렬의 경우 크기 E의 고유값에 대한 평균 밀도는 다음과 같다.

${\displaystyle {\bar {\rho }}(E)={\begin{cases}{\sqrt {2N-E^{2}}}/\pi &\quad \left\vert E\right\vert <{\sqrt {2N}}\\0&\quad \left\vert E\right\vert >{\sqrt {2N}}\end{cases}}}$

as→ ∞ . 반원형 규칙의 통합은 평균적으로 E보다 작은 고유값의 수를 제공한다.

${\displaystyle {\bar {\eta}}}(E)={\frac {1}{2\pi }}\왼쪽[E{2N-E^{2}}}+2N\arcsin \left({\frac {E}{2N}\오른쪽)+\PI N\right.}$

순위 고유값은 방정식을 사용하여 펼치거나 다시 정규화할 수 있다.

${\displaystyle e_{n}={\bar {\eta }}}(E)=\int \limits _{-\infit }^{E_{n}\,dE^{prime }{\rho }}{\rho }}}}(E^{\primyme}).}$

이것은 변동하는 부분에서 시퀀스의 추세를 제거한다. 실제 누적 고유값 수와 기대되는 고유값의 차이에 대한 절대값을 살펴보면

${\displaystyle \왼쪽 {\d}_{n}\오른쪽 =\왼쪽 n-{\{\bar {\eta }}}\오른쪽 }$

우리는 빈을 확장하는 방법을 사용하여 분산 대 분산 전력 법칙을 나타내는 일련의 고유값 변동을 얻는다.^[6] GUE와 GOE의 고유값 변동은 1과 2 사이의 전력 법칙 지수를 사용하여 이 전력 법칙을 나타내며, 이와 유사하게 1/f 소음 스펙트럼을 나타낸다. 이러한 고유값 변동은 트위디 화합물 포아송-감마 분포에도 해당하며 다원성을 나타낸다.^[6]

소수점 분포

두 번째 체비셰프 함수 ψ(x)는 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \psi(x)=\sum _{\widehat {p\,}}}\^{k}\leq x}\log {\widehat {p\,}}=\sum _{n\leq x}\lambda(n)}$

여기서 합계가 모든 ${\displaystyle {주요}^{}}$ 전력 $p{\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}^{}}$ k ${\$를 초과하지$$ 않고 x를 초과하지 않는 경우 x는 양의 실수에 걸쳐 실행되며 $\lambda {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle (n}$) ${\displaysty \Lambda$ ($n)}$은 von Mangoldt 함수다. 함수 ψ(x)는 프라임카운팅 함수 x(x)와 관련이 있으며, 따라서 실수 사이의 프라임 숫자 분포에 관한 정보를 제공한다. 소수 정리(prime number organization)에 해당하는 문장인 x에 대해 무증상이며, 제타 0 ρ의 실제 부분이 0과 1 사이인 임계 스트립 ρ에 위치한 리만 제타 함수의 0과 관련이 있는 것으로도 보여질 수 있다. 그런 다음 x보다 큰 x에 대해 표현된 ψ을 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \property_{0}(x)=x-\sum }{\rho }{\x^{\rho }}{\ln 2\pi -{\frac{1}{1}{1-x^{-2}$

어디에

${\displaystyle \prow_{0}(x)=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\parrow (x-\barepsilon )+++++++{2}.}$

리만 가설은 리만 제타 함수의 비경쟁적 0이 모두 실제 부분 ½을 가지고 있다고 명시하고 있다. 이러한 제타 함수 0은 소수점 분포와 관련이 있다. 쇤펠트는^[35] 리만 가설이 사실이라면 그때그때 그 사실을 보여 주었다.

${\displaystyle \Delta(x)=\left\vert \psi(x)-x\right\vert <{\sqrt {x}\log{2}(x)/(8\pi )}$

모든 > 2 ${\displaystyle x>73.2}$에 대해 빈을 확장하는 방법을 사용하여 정수 n에 대한 체비셰프 편차 Δ(n)^{[citation needed]}를 분석하고 분산 대 평균 분산을 평균 전력 법칙에 대해 입증할 수 있는 경우. 더욱이 이러한 편차는 트위디 화합물 포아송 감마 분포에 해당하며 1/f 노이즈를 나타낸다.

기타 응용 프로그램

트위디 분포의 적용은 다음과 같다.

• 보험수리적 연구^{[36][37][38][39][40][41][42]}
• 분석 분석
• 생존 분석^[45][46][47]
• 생태학
• 영국 청소년 알코올 소비량 분석
• 의학적 응용
• 보건 경제학
• 기상학과 기후학
• 어업
• 메르텐스 함수^[53]
• 자기 조직적인 비판^[54]

참조

추가 읽기

• Dunn, P.K.; Smyth, G.K. (2018). Generalized Linear Models With Examples in R. New York: Springer. doi:10.1007/978-1-4419-0118-7. ISBN 978-1-4419-0118-7. 12장은 트위디 분포와 모델에 관한 것이다.
• Kaas, R. (2005년) "포아송 분포와 GLM - 트위디의 분포 비교" 연락처 포럼의 "제3회 보험수리적 및 금융 수학의 날"에서 3-12페이지. 브뤼셀: 벨기에의 로얄 플랑드르 과학 예술 아카데미.
• Tweedie, M.C.K. (1956). "Some statistical properties of Inverse Gaussian distributions". Virginia J. Sci. New Series. 7: 160–165.