포장배포

확률 이론과 방향 통계에서, 래핑된 확률 분포는 단위 n-sphere에 있는 데이터 점을 설명하는 연속적인 확률 분포다.하나의 차원에서는 래핑된 분포가 단위 원의 점으로 구성된다.φ이 확률밀도함수 p(φ)를 가진 구간(- random, (-)의 랜덤 변수인 경우, z = e는^{i φ} 래핑된 분포 p_zw(z)에 따라 분포하는 원형 변수가 되고 and=arg(z)는 래핑된 분포 p_w(θ)에 따라 분포하는 구간(- (-, ])에서 각도 변수가 된다.null

라인의 모든 $p(\phi )$ 확률밀도함수(pdf) $p(\phi )$ ( $p(\phi )$ $p(\phi )$ {\디스플레이 스타일 p $(\phi )}$ 은 단위 반지름 원주 둘레를 중심으로 "포장"할 수 있다.^[1]즉, 래핑된 변수의 pdf.

\theta =\phi \mod 2\pi

=

\theta =\phi \mod 2\pi

\theta =\phi \mod 2\pi

\theta =\phi \mod 2\pi

\theta =\phi \mod 2\pi

{\

displaystyle

\theta =\pi \mod 2

\pi }

길이

\theta =\phi \mod 2\pi

2\pi

의 일부 간격

이다

p_{w}(\theta )=\sum _{k=--\infit }^{p(\theta +2\pi k)}.

which is a periodic sum of period $2\pi$ . The preferred interval is generally $(-\pi <\theta \leq \pi )$ for which $\ln(e^{i\theta })=\arg(e^{i\theta })=\theta$

이론

대부분의 상황에서, 순환 통계를 포함하는 프로세스는 음의 무한대에서 양의 무한대로의 간격에 놓여 있는 $({\displaystyle \phi }$ )를 생성하며, "포장되지 않은" 확률 밀도함수 $p(\phi )$ ( $p(\phi )$ ) ${\displaystypy$ p $(\phi )}$ 에 의해 설명된다 $p(\phi )$ 그러나 측정은 "측정된" $\theta$ 를 산출할 것이다 $\theta$ $\displaystyle \theta }$ 길이 2 $2\pi$ ${\displaystyle 2\$ $[0,2\pi )$ $}$ 의 일부 간격 $[0,2\pi )$ 예 $\theta$ : [ 0, 2 style ) {\ $displaystyle [0,2\pi )}).$ 즉, 측정은 "참" 각도 $\phi$ $\pi$ 이(가) 측정되었는지 $\phi$ 또는 "wrapted" 각도 $\phi +2\pi a$ + $\phi +2\pi a$ $\phi +2\pi a$ ${\displaysty \pi +2\pi a}$ 이(가) 측정되었는지 $\phi +2\pi a$ 알 수 없으며, 여기서 는 일부 알 수 없는 정수인 것이다.즉,

\displaystyle \theta =\phi +2\pi a.}

측정된 각도의 일부 함수에 대한 기대값을 계산하고자 하는 경우 다음과 같다.

\langle f(\theta )\rangle =\int _{-\int }^{\p(\pi)f(\phi +2\pi a)d\pi .

$2\pi$ 의 합계로서 2 $2\pi$ ${\displaystyle 2\pi }($ 예: 0 ~ $2\pi$ $2\pi$ ${\displaystyle 2\pi$ }): $2\pi$

\langle f(\theta )\rangle =\sum _{k=-\infit }^{2\pi k}^{2\pi (k+1)p(\phi +2\pi a)d\pi .

통합 변수를 $\theta '=\phi -2\pi k$ = $\theta '=\phi -2\pi k$ - $\theta '=\phi -2\pi k$ - $\theta '=\phi -2\pi k$ $\$ k {\ $displaystyle \theta$ '=\ $phi -2\pi$ k}로 변경하고 $\theta '=\phi -2\pi k$ 통합 및 합산의 순서를 교환하는 것은 다음과 같다.

\langle f(\theta )\angle =\int _{0}^{2\pi }{p_{w}(\theta '+2\pi a')d\ta '

여기서 $p_{w}(\theta ')$ $p_{w}(\theta ')$ ( $p_{w}(\theta ')$ $p_{w}(\theta ')$ ) $p_{w}(\theta ')$ 은 $p_{w}(\theta ')$ "pdf" 분포의 pdf이고 a'는 또 다른 알 수 없는 정수(a'=a+k)이다.알 수 없는 정수 a'는 $f(\theta )$ ( $){\displaystyle f(\theta )}$ 의 기대치에 모호성을 도입하는 것을 알 수 있다 $f(\theta )$ 측정된 각도 집합의 평균을 취하려고 할 때 이 문제의 특정 사례가 발생한다.만약 측정된 각도 대신에 $z=e^{i\theta }$ = e $z=e^{i\theta }$ $z=e^{i\theta }$ ${\$ 매개 변수를 도입한다면, z는 다음과 같은 이유로 $\phi$ "진정한" 각도 $\phi$ $\phi$ 과(와) 모호하지 않은 관계를 갖는다고 간주된다 $z=e^{i\theta }$ .

z=e^{i\theta}=e^{i\phi }}

z 함수의 기대값을 계산하면 모호하지 않은 답이 나온다.

{\displaystyle \langle f(z)\rangle =\int _{0}^{2\pi }p_{w}(\theta ')f(e^{i\theta '}d\ta '}}})

그리고 이러한 이유로 z 매개변수가 측정된 각도 $\theta$ ${\displaystyle \theta$ }보다 순환 통계 분석에서 사용하기에 선호되는 통계 변수인 것이다 $\theta$ 이는 다음과 같이 래핑된 분포함수가 z의 함수로 표현될 수 있음을 시사하며, 아래에 나와 있다.

\langle f(z)\rangle =\point p_{wz}(z)f(z)\,dz

where $p_{w}(z)$ is defined such that $p_{w}(\theta )\, d\theta =p_{wz}(z)\, dz$ . This concept can be extended to the multivariate context by an extension of the simple sum to a number of $F$ sums that cover형상 공간의 모든 치수:

p_{w}({\vec {\theta }})=\sum _{k_{1},...,k_{F}=-\infty }^{\infty }{p({\vec {\theta }}+2\pi k_{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +2\pi k_{F}\mathbf {e} _{F})}

여기서 $\mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}$ $\mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}$ = $\mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}$ ( $\mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}$ $\mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}$ $\mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}$ , $\mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}$ $\mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}$ $\mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}$ ) $\mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}$ ${\$ ,0 $,0)^{\mathsf{T}}$ 는 $K$ {\ $displaystytylek}$ Th $k$ U클리드 기본 벡터다 $\mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}$ .null

특성함수의 관점에서 표현

기본 래핑된 분포는 래핑된 디락 델타 함수인 디락 빗이다.

\Delta _{2\pi }(\theta )=\sum _{k=-\py }^{\delta(\theta +2\pi k)}.

델타 함수를 사용하여 일반 포장 분포를 작성할 수 있다.

p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infit }^{-\infit }^{-\infit }p(\theta ')\infit }\infit (\ta -+2\pi k)\,d\ta '.

합계와 통합의 순서를 바꾸어, 포장된 모든 분포는 "포장되지 않은" 분포와 Dirac의 결합으로 작성할 수 있다.

p_{w}(\theta )=\int _{-\nft }^{}p(\theta ')\Delta _{2\pi }(\theta -\theta ')\,d\theta '.

디락 빗은 지수들의 합으로도 표현될 수 있으므로, 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }\,\int_{-\p(\theta')^{n=-\p(\theta ')\sum_{n=-\ftyte^{in(\ta -\ta')\d\te}},d\ta}}

다시 종합과 통합의 순서를 교환하고

p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }\,\sum _{n=-\nflt }^{\n=-\inflt }\{-\nflt }^{-\p(\ta ')},d\ta'}

$p(\theta )$ $\phi (s)$ ( $\phi (s)$ ) $\phi (s)$ {\ $displaystyle \pi (s)}$ 의 정의 $p(\theta )$ $p(\theta )$ ( $p(\theta )$ ) ${\displaystyle$ p $(\theta )}$ 의 특성 함수를 사용하여 포장되지 않은 분포의 특성 함수에 있어 래핑된 분포에 대해 약 0의 Laurent 시리즈를 산출한다.^[2]

p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }\\\\sum _{n=-\infit }^{\infi(n)\,e^{-in\theta }}}}

또는

p_{wz}(z)={\frac {1}{2\pi }\,\sum _{n=-\inflit }^{\inflit }}{\n)\z^{-n}.

선형 분포와 유사하게 $\phi (m)$ ( $){\displaystyle \phi (m)}$ 을(를) 래핑된 분포의^[2] 특성 함수(또는 더 정확히 말하면 특성 시퀀스)라고 한다 $\phi (m)$ .이는 포아송 합계 공식의 한 예로서, 포장되지 않은 분포의 푸리에 변환의 푸리에 계수(Fourier)를 정수로 환산한 푸리에 계수(Fourier 변환의 푸리에 계수(Fourier 계수)에 지나지 않는다.null

순간

포장된 분포 $p_{w}(z)$ $p_{w}(z)$ ( $p_{w}(z)$ ) $p_{w}(z)$ 의 모멘트는 다음과 같이 정의된다 $p_{w}(z)$ .

\langle z^{m}\angle =\p_{wz}(z)^{m}\,dz.

$p_{w}(z)$ 함수의 관점에서 $p_{w}(z)$ $p_{w}(z)$ w $p_{w}(z)$ ( $p_{w}(z)$ ) {\ $displaystyle p_{$ w}( $z)}$ 을(를) 표현하고 통합 및 합산의 순서를 교환하는 경우:

\langle z^{m}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\inforty }^{\inflit }}{\\n)\point z^{m-n}\,dz.

잔류물 이론으로 볼 때

\point z^{m-n}\,dz=2\pi \cHB_{m-n}

여기서 $\delta _{k}$ $\delta _{k}$ ${\$ 는 $\delta _{k}$ Kronecker 델타 함수다.다음은 순간들이 단순히 정수 인수에 대한 포장되지 않은 분포의 특성 함수와 동일하다는 것이다.

\displaystyle \langle z^{m}\angle =\phi(m).}

랜덤 변수의 생성

X가 선형 확률 분포 P에서 도출된 랜덤 변수인 경우, $Z=e^{iX}$ = $Z=e^{iX}$ X ${\$ Z $=e^{iX}$ 는 $Z=e^{iX}$ 포장된 P 분포에 따라 분포된 원형 변수가 되며, $\theta =\arg(Z)$ = $\theta =\arg(Z)$ $\theta =\arg(Z)$ (Z $){\displaystyle \theta =\arg(Z)}$ 은 $\theta =\arg(Z)$ 포장된 P 분포에 따라 분포된 각 변수가 된다. $-\pi <\theta \leq \pi$ - $-\pi <\theta \leq \pi$ < $-\pi <\theta \leq \pi$ $-\pi <\theta \leq \pi$ { { ${$ {\ $displaystyle$ - $\pi <\theta$ \leq $\pi$

엔트로피

확률밀도 $p_{w}(\theta )$ $p_{w}(\theta )$ ( $p_{w}(\theta )$ ) $p_{w}(\theta )$ 을(를) 가진 순환 분포의 정보 엔트로피는 다음과 같이 정의된다 $p_{w}(\theta )$ .^[1]

H=-\int_{\p_{w}(\theta )\,\ln(p_{w}(\theta )\,d\theta

여기서 $\Gamma$ ${\$ $displaystyle$ $\$ $Gamma}$ 은 $\Gamma$ 길이 $2\pi$ $π$ 의 임의 구간이다 $2\pi$ 확률밀도와 그 로그가 모두 푸리에 시리즈(또는 더 일반적으로 원의 모든 적분 변환)로 표현될 수 있다면 직교성 속성을 사용하여 엔트로피의 직렬 표현을 얻을 수 있다.폐쇄형으로 축소하다null

분포의 모멘트 $\phi (n)$ ( $\phi (n)$ ) $\phi (n)$ 은 확률밀도의 푸리에 시리즈 확장을 위한 푸리에 계수다 $\phi (n)$ .

p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\inflt }^{n}e^{-in\theta }}}}}}}}}}}

확률밀도의 로그가 푸리에 시리즈로도 표현될 수 있는 경우:

\ln(p_{w}(\theta )=\sum _{m=-\fty }^{\c_{m}e^{im\theta }}}}}}}}

어디에

c_{m}={\frac {1}{2\pi }\int _\\\\\\\\\\\\\\\\\\\}\\\\\\d\ta

그런 다음, 통합과 합산의 순서를 바꾸어 엔트로피를 다음과 같이 쓸 수 있다.

H=-{\frac {1}{2\pi }}\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{m}\phi _{n}\int _{\Gamma }e^{i(m-n)\theta }\,d\theta

푸리에 기초의 직교성을 사용하여 적분은 다음과 같이 감소할 수 있다.

H=-\sum _{n=-\nft }^{\nft }c_{n}\phi _{n}}}}

확률밀도가 평균에 대해 $c_{-m}=c_{m}$ 인 $c_{-m}=c_{m}$ 한 경우 $c_{-m}=c_{m}$ c - m $c_{-m}=c_{m}$ = $c_{-m}=c_{m}$ $c_{-m}=c_{m}$ {\ $displaystyle c_{-m}=c_{$ m}}와 $c_{-m}=c_{m}$ 로그는 다음과 같이 기록할 수 있다.