푸리에 반전 정리

수학에서 푸리에 반전 정리는 많은 종류의 함수에서 푸리에 변환으로부터 함수를 회복하는 것이 가능하다고 말한다. 직관적으로 우리가 파동에 대한 모든 주파수와 위상 정보를 안다면 원래의 파동을 정확하게 재구성할 수 있다는 말로 볼 수 있다.

정리하면 함수 $f{\displaystyle }$:${\displaystyle R\mathbb{}}$ → ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$ f$:\mathb {R} \to$ \mathb {C}을(를) 만족하는$$ 기능이 있다면, 우리는 그 기능을 $\mathb {$C} \to \mathb {C} $}$에 대해 \mathb {C}을(를)로 하는 포이어 변환에 대한 규약을 사용한다고 되어 있다.

${\displaystyle({\mathcal{F}f)(\xi ):=\int _{\mathb {R} }e^{-2\pi iy\cdot \}\,f(y)\,dy,}$

그때

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathb {R} }e^{2\pi ix\cdot \}\,({\mathcal {F}f)(\xi )\,d\xi.}$

즉 정리에는 다음과 같이 되어 있다.

${\displaystyle f(x)=\iint _{\mathb {R}^{2}}e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi \}\,f(y)\,dy\,d\xi.}$

이 마지막 방정식을 푸리에 적분 정리라고 한다.

$정리$를 설명하는 또 다른 방법은 R ${\displaystyle R}$이(${\displaystyle 가}$) 플립 연산자라면(예:${\displaystyle }$( ${\displaystyle R}$f${\displaystyle }$)${\displaystyle :=f}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle (Rf)(x):=f(-x$ ,

${\displaystyle {\mathcal{F}^{-1}={\mathcal{F}}.}$

$이{\displaystyle }$ 정리는 f ${\displaystyle f}$과 그것의 푸리에 변환이 모두 절대적으로 통합될 수 있는 경우(레베그 감각으로), $f{\displaystyle }${\$displaystyle f}$가 $지점{\displaystyle }$ x ${\\displaystyle x}$에서 연속적으로$$ 유지되는 경우에 유지된다$.$ 그러나, 더 일반적인 조건의 푸리에 반전 정리 홀드에서도 유지된다. 이러한 경우 위의 통합은 일반적인 의미로 수렴되지 않을 수 있다.

성명서

이 섹션에서는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 통합 가능한 연속 함수라고 가정한다. 다음과 같은 Fourier 변환에 대한 규칙 사용

${\displaystyle({\mathcal{F}f)(\xi ):=\int_{\mathb {R}^{n}e^{-2\pi iy\cdot \}\,f(y)\,dy.}$

게다가, 우리는 푸리에 변환 또한 통합할 수 있다고 가정한다.

정수로서의 역 푸리에 변환

푸리에 반전 정리의 가장 일반적인 설명은 역변환을 적분으로 명시하는 것이다. 통합 가능한 함수 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$ 및$$ 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 집합에$$ 대해

${\displaystyle {\mathcal{F}^{-1}g(x):=\int _{\mathb {R} ^{n}e^{2\pi ix\cdot \}\,g(\xi )\,d\xi.}$

그러면 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대해 다음 정보를 확인하십시오.

${\displaystyle {\mathcal{F}^{-1}({\mathcal {F}f)(x)=f(x)(x)}$

푸리에 적분 정리

정리는 다음과 같이 다시 정리할 수 있다.

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathb {R} ^{n}\int _{n}e^{n}e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi\,dy\,d\xi.}$

만약 f가 실제로 평가된다면, 위의 각 측면의 실제 부분을 취함으로써 우리는 얻는다.

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathb {R} ^{n}\int _{\mathb {R}}{n}}\cos(2\pi(x-y)\cdot \xi )\,dy\,d\xi.}$

플립 연산자 측면에서 역변환

모든 함수 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$에 대해 플립^{[note 1]} $연산자{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$을(를) 정의

$[\displaystyle Rg(x):=g(-x)]}$

그럼 우리가 대신 정의를 내리면 되겠네

${\displaystyle {\mathcal{F}^{-1}f:=R{\mathcal{F}f={\mathcal{F}Rf.}$

It is immediate from the definition of the Fourier transform and the flip operator that both ${\displaystyle R{\mathcal {F}}f}$ and ${\displaystyle {\mathcal {F}}Rf}$ match the integral definition of ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$, and in particular are equal to each other and satisfy $$${\displaystyle {\mathcal{F}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle F\mathcal{}F}$) (${\displaystyle x}$) =${\displaystyle f}$ ( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle {\mathcal{F}^{-1}({\mathcal {F}f)(x)=f(x$

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$= ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}\mathcal{}}$ ${\displaystyle F}$= R ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\mathcal{}}$ F F ${\displaystyle f}${\$displaystyle Rf=R{\mathcal{F}^{{{F}}{\mathcal{F$}}}{{F}}}}{\$mathcal$${F}}}}}$$R$ =$$ ${\displaystyle 2^{\mathrm{}}}$ {\$displaystystystystylease$ R$={F}{$F}{F}:{$F$}}}}:{F}}}}}}}이 있다$.$

${\displaystyle {\mathcal{F}^{1}={\mathcal{F}^{3}.}$

양면 역법

상술한 푸리에 역전 정리의 형태는 흔히 그렇듯이 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathcal{F}^{-1}({\mathcal {F}f)(x)=f(x)(x)}$

즉 $F{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$는 푸리에 변환의 왼쪽 역행이다$$. 그러나 그것은 푸리에 변환(즉, Fourier 변환)에 대한 올바른 역이다.

${\displaystyle {\mathcal {F}({\mathcal {F}^{-1}f)(\xi )=f(\xi).}$

$F{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$은(는) $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$과$($변수 ${\displaystyle :=}$ -${\displaystyle \zeta }$ : - \$${\$displaystyle \zeta :=-\zeta })$와 매우 쉽게 뒤따른다.$$

${\displaystyle{\begin{정렬}f&, ={{F\mathcal}}^ᆱᆫᆬ\\[6pt]&,=\int _{\mathbb{R}^{n}};=\int _{\mathbb{R}^{n}}_{\mathbb{R}^{n}}e^ᆼ\,e^ᆽ\,f(y)\,dy\,d\zeta \\[6pt]& \int^{\mathca _{\mathbb{R}^{n}}e^ᆶ\,e^ᆷ\,f(y)\,dy\,d\xi \\[6pt]& \int.나는{F}}({\mathcal {F}^{-1}f)(x).\end{정렬}}}$

또는 $F{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{F}^{-1}f}$와 플립 연산자 및 함수 구성의 연관성과의 관계에서 이러한 사실을 알 수 있다.

${\displaystyle f={\mathcal{F}^{-1}({\mathcal{F}f)={\mathcal {{F}F}{\mathcal{F}}}{\mathcal{F}^{1}f)={\mathcal{-1}f.}$

기능에 대한 조건

물리학과 공학에서 사용될 때, 푸리에 반전 정리는 종종 모든 것이 "잘 행동한다"는 가정 하에 사용된다. 수학에서 그러한 휴리스틱한 주장은 허용되지 않으며, 푸리에 역전 정리에는 어떤 종류의 함수가 허용되고 있는지에 대한 명시적인 명세가 포함되어 있다. 그러나, 비록 호환 가능한 결론이지만 푸리에 역전 정리의 몇 가지 변형이 존재한다는 것을 고려할 "최상의" 종류의 함수는 없다.

슈워츠 함수

푸리에 역전 정리는 모든 슈워츠 기능(거의 말하면 빨리 부패하고 모든 파생상품이 빨리 부패하는 부드러운 기능)을 보유한다. 이 조건은 (푸리에 변환에 조건을 부과하는 것과는 대조적으로) 함수에 대한 기본적인 직접 진술이라는 이점이 있으며, 푸리에 변환과 그 역전을 정의하는 적분은 절대적으로 통합할 수 있다. 이 버전의 정리는 강화분포에 대한 푸리에 역전 정리(아래 참조)의 증명에 사용된다.

통합형 Fourier 변환을 통한 통합형 기능

푸리에 반전 정리는 절대적으로 통합 가능한 모든 연속 기능(즉, ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ $1{\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle L^{1}(\mathb {R} ^{n$과 절대적으로 통합 가능한 푸리에 변환을 가지고 있다. 여기에는 슈워츠 기능이 모두 포함되므로, 앞서 언급한 정리보다 엄격히 강화된 형태의 정리가 있다. 이 조건은 위 문장에서 사용하는 조건이다.

약간 변형된 것은 $기능{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle f}$이(가) 연속적이지만$$ 여전히 기능 및 Fourier 변환이 절대적으로 통합될 수 있어야 한다는 조건을 삭제하는 것이다. Then ${\displaystyle f=g}$ almost everywhere where g is a continuous function, and ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=g(x)}$ for every ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$.

한 차원에서의 통합 기능

조각처럼 매끄러움; 한 차원

기능이 한 차원(예: f${\displaystyle f\mathbb{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( R )${\displaystyle f\in L^{1}(\mathb {R}})$에서$$절대적으로 통합 가능하며 조각적으로 부드럽다면 푸리에 반전 정리의 한 버전이 유지된다. 이 경우 우리는 정의한다.

${\displaystyle {\mathcal{F}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \int _{-R}^{R}e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi.}$

그런 다음 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$에 대해

${\displaystyle {\mathcal{F}^{-1}({\mathcal {F}f)={\frac {1}{1}:{2}}(x_{-})+f(x_{+}),}$

i.e. ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$ equals the average of the left and right limits of ${\displaystyle f}$ at ${\displaystyle x}$. At points where ${\displaystyle f}$ is continuous this simply equals ${\displaystyle f(x)}$.

이러한 형태의 정리를 보여주는 고차원적인 아날로그도 가지고 있지만, 폴랜드(1992)에 따르면 "그저 섬세하고 그리 유용하지 않다"고 한다.

조각 연속형, 1차원

함수가 한 차원(예: $f{\displaystyle {l\mathrm{}}^{}}$ L ${\displaystyle 1\mathbb{}{}^{}}$( R${\displaystyle }$) ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathb {R$에서 절대적으로 통합할 수 있지만 단지 조각적으로 연속적일 경우 푸리에 반전 정리의 버전이 여전히 유지된다. 이 경우 역 푸리에 변환의 적분은 날카로운 컷오프 함수가 아닌 매끄러운 함수의 도움으로 정의된다. 특히 우리는 정의한다.

${\displaystyle {\mathcal{F}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infit }\int _{\mathb {R}}\\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\xxi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):e^{-\xi }.}$

그러면 정리의 결론은 위에서 논의한 조각처럼 매끄러운 경우의 결론과 같다.

연속형, 임의의 치수

$만약{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$이(가) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 연속적으로 통합될 수 있다면, 부드러운$$ 컷오프 함수로 역변환을 다시 정의한다면 푸리에 역변환 정리는 여전히 유지된다.

${\displaystyle {\mathcal{F}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infit }\int _{\mathb {R}^{n}\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\cdot \}\,g(\xi )\,d\cquad \varphi(\xi ):e^{-\xi \vert \vert \{{{}.}$

결론은 이제 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$에 대해 간단히 내려진다.

${\displaystyle {\mathcal{F}^{-1}({\mathcal {F}f)(x)=f(x)(x)}$

정규성 조건 없음, 임의의 치수

$만약{\displaystyle }$ 우리가 f ${\displaystyle f}$의 연속성에 대한 모든 가정을 버리고 그것이$$ 절대적으로 통합 가능하다고 가정한다면, 정리의 한 버전은 여전히 유지된다. 역변형은 다시 매끄러운 컷오프(cut off)로 정의되지만, 다음과 같은 결론으로 정의된다.

${\displaystyle {\mathcal{F}^{-1}({\mathcal {F}f)(x)=f(x)}$

거의 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle x\in \mathb {R} ^{n}.$$}$ ^[1]

정사각형 통합 기능

이 경우 푸리에 변환은 절대적으로 수렴되지 않을 수 있으므로 직접 적분으로 정의할 수 없으므로 대신 밀도 인수에 의해 정의된다(푸리에 변환 기사 참조). 예를 들어, 퍼팅

${\displaystyle g_{k}(\xi ):=\int _{\{y\in \mathb {R}^:\좌측\vert y\leq k\}}}@e^{-2\pi iy\cdot \xi\}\,dy,\qad k\in \in {N},}$

$L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}에서 한도가 취해지는 경우$$ $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle :=\underset{}{}{}_{}}$ k${\displaystyle \underset{}{}}$→${\displaystyle \underset{}{\mathrm{}}}$∞ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$$}}}}}$을(를) -norm$$)로 설정할 수 있다. 역 변환은 동일한 방식으로 밀도에 의해 정의되거나 푸리에 변환과 플립 연산자에 의해 정의될 수 있다. 그러면 우리는

${\displaystyle f(x)={\mathcal {F}^{-1}f(x)={\mathcal {F}^{{\mathcal {F}f)(x)}$

평균 제곱 표준으로 1차원(그리고 1차원만 해당)에서도 거의 모든 x∈에 대해 수렴한다는 것을 보여줄 수 있다- 이것은 칼레슨의 정리지만 평균 제곱 규범의 수렴보다 증명하기가 훨씬 어렵다.

강화분포

푸리에 변환은 슈워츠 함수의 공간에 푸리에 변환의 이중성에 의해$$ 강화 분포 $S{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\mathcal {S}'(\mathb {R} ^n})$의 공간에 정의될 수 있다. 특히$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ $($ $displaystyle f\in {\mathcal {S}(\mathb$ {$R} ^{n})$ 및 모든$$ 테스트 $함수{\displaystyle }$functions S$)$ $displaystyle \varphi \in {\mathcal$ {S}(\mathb ${R}$^{n}{$n}$

${\displaystyle \langle {\mathcal {F}f,\varphi \langle :=\langle f,{\mathcal {F}\varphi \angle ,}$

여기서 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}\varphi }$은(는) 적분 공식을 사용하여 정의된다$$. f${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$∩ L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ )${$ L 2 (\$displaystyle f\in L^{1}(\mathb {R}$^{$n})\cap$ L$^{2}(\mathb {R}$^{$n})}$이면 이는 일반적인 정의와 일치한다$$. We may define the inverse transform ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\colon {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$, either by duality from the inverse transform on Schwartz functions in the same way, or by defining it in terms of the flip op에레이터(플립 오퍼레이터가 이중성에 의해 정의되는 경우). 그러면 우리는

${\displaystyle {\mathcal {F}{\mathcal {F}^{-1}={\mathcal{F}^{1}{\mathcal {F}=\operatorname {Id} _{\mathcal {S}'(\mathb {R} ^{n}}})}.}$

푸리에 시리즈와의 관계

푸리에 반전 정리는 푸리에 시리즈의 융합과 유사하다. 푸리에 변환 케이스에서

${\displaystyle f\colon \mathb {R} ^{n}\to \mathb {C},\quad {\f}\colon \mathb {R} ^{n}\mathb {C},}$

${\displaystyle {\f}(\xi ):=\int_{\mathb {R}^{n}e^{-2\pi iy\cdot \}\,f(y)\,dy,}$

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathb {R}^{n}e^{2\pi ix\cdot \xi}\,{\hat {f}(\xi )\,d\xi.}$

Fourier 시리즈의 경우

${\displaystyle f\colon [0,1]^{n}\to \mathb {C},\quad {\f}\colon \mathb {Z}^{n}\to \mathb {C},}$

${\displaystyle {\hat{f}}(k):=\int _{[0,1]^{n}e^{-2\pi iy\cdot k}\,f(y)\,dy,}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k\in \mathb {Z}^{n}e^{2\pi ix\cdot k}\,{\hat {f}(k)}.}$

특히 1차원 k${\displaystyle k\mathbb{}}$ Z ${\$에서$$합은 -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle -\infit }$에서 $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \inft }$까지입니다$.$

적용들

푸리에 변환의 적용에서 푸리에 반전 정리는 종종 중요한 역할을 한다. 많은 상황에서 기본 전략은 푸리에 변환을 적용하고, 약간의 조작이나 단순화를 수행한 다음, 역 푸리에 변환을 적용하는 것이다.

보다 추상적으로 푸리에 반전 정리는 연산자로서의 푸리에 변환에 관한 진술이다(기능 공간의 푸리에 변환 참조). 예를 들어, $f{\displaystyle }$l ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)$${\$displaystyle f\in L^{2}(\mathb {R}$^{$n})$에 대한 푸리에 역변환 정리를 보면$$ 푸리에 변환이 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathb {R} ^{n})$의 단일 연산자임을 알 수 있다$.$

역변환 특성

역 푸리에 변환은 원래 푸리에 변환과 매우 유사하다. 위에서 설명한 바와 같이 플립 연산자의 적용에서만 다르다. 이러한 이유로 푸리에 변환의 특성은 콘볼루션 정리나 리만-레베그 보조정리 같은 역 푸리에 변환을 유지한다.

푸리에 변환 표는 플립 연산자와 함께 조회 함수를 구성하여 역 푸리에 변환에 쉽게 사용할 수 있다. 예를 들어, 직장 기능의 푸리에 변환을 보면

역변환에 대한 해당 사실은

증명

The proof uses a few facts, given ${\displaystyle f(y)}$ and ${\displaystyle {\mathcal {F}}f(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }f(y)\,dy}$.

1. If ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ and ${\displaystyle g(\xi )=e^{2\pi \mathrm {i} x\cdot \xi }\psi (\xi )}$, then ${\displaystyle ({\mathcal {F}}g)(y)=({\mathcal {F}}\psi )(y-x)}$.
2. If ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} }$ and ${\displaystyle \psi (\xi )=\varphi (\varepsilon \xi )}$, then ${\displaystyle ({\mathcal {F}}\psi )(y)=({\mathcal {F}}\varphi )(y/\varepsilon )/ \varepsilon }$.
3. For ${\displaystyle f,g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$, Fubini's theorem implies that ${\displaystyle \textstyle \int g(\xi )\cdot ({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\int ({\mathcal {F}}g)(y)\cdot f(y)\,dy}$.
4. ${\displaystyle \phi }$ ($$)${\displaystyle }$) =${\displaystyle e^{}}$ - ${\displaystyle {{}^{\mathrm{}}}^{}}$ 2$${\$displaystyle \varphi$(\$xi$)=$e^{-\pi$\vert $\xi \vert$^{2$\}\}:$${\displaystyle }$그 ${\displaystyle 다음}$(${\displaystyle F}$ ) =${\displaystyle )}$ (y ) = ${\displaystyle \phi }$ $){\mathcal {F}\varphi (y)=\varphi$
5. Define ${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }(y)=\varphi (y/\varepsilon )/\varepsilon ^{n}}$. Then with ${\displaystyle \ast }$ denoting convolution, ${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }}$ is an approximation to the identity: for any continuous ${\displaystyle f\in L^1({\mathbb{R}}^n)}$${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ and point ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}(\varphi _{\varepsilon }\ast f)(x)=f(x)}$ (where the convergence is pointwise).

F ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ $){\displaystyle {\mathcal {F}f\in L^1}(\mathb {R} ^{n})$을 가정하면 지배적인 수렴 정리가 뒤따르기 때문이다$.$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\pi \varepsilon ^{2} \xi ^{2}+2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi .}$

Define ${\displaystyle g_{x}(\xi )=e^{-\pi \varepsilon ^{2}\vert \xi \vert ^{2}+2\pi \mathrm {i} x\cdot \xi }}$. Applying facts 1, 2 and 4, repeatedly for multiple integrals if necessary, we obtain

${\displaystyle({\mathcal{F}g_{x})(y)={\frac {1}{\barecpsilon ^{n}e^{-{\frac {\pi ^{2}} x-y ^{2}}=\varphi _{\varpilon }}(x-y).}$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 및$$ ${\displaystyle g_{}}$ x ${\$의 팩트 3을 사용하여$$각 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$에 대해 다음을 수행하십시오.

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\pi \varepsilon ^{2} \xi ^{2}+2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}e^{-{\frac {\pi }{\varepsilon ^{2}}} x-y ^{2}}f(y)\,dy=(\varphi _{\varepsilon }*f)(x),}$

$대략적$인 정체성을 가진$$ f ${\displaystyle f}$의 합성 그러나 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle f\in L^1}(\mathb {R} ^n})$ 이후$,$ 사실 5는 다음과 같이 말하고 있다.

${\displaystyle \lim _{\varpsilon \to 0}(\varphi _{\varpsilon }*f)(x)=f(x)(x)}$

위의 내용을 종합하면 다음과 같다.

${\displaystyle \int_{\mathb {R}^{n}e^{2\pi ix\cdot \xi \}({\mathcal {F}f)(\xi )\,d\xi =f(x).\qquad \square }$

메모들

참조

이 글에는 참고문헌, 관련 독서 또는 외부 링크 목록이 수록되어 있으나 인라인 인용구가 부족하여 출처가 불분명하다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2013년 1월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

• Folland, G. B. (1992). Fourier Analysis and its Applications. Belmont, CA, USA: Wadsworth. ISBN 0-534-17094-3.
• Folland, G. B. (1995). Introduction to Partial Differential Equations (2nd ed.). Princeton, USA: Princeton Univ. Press. ISBN 978-0-691-04361-6.