일반화 쌍곡선 분포

일반화 쌍곡선

매개변수	${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }($실제) ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }($실제) ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \property }$ 비대칭$$ 매개 변수(실제) ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \filename }$척도 매개 변수(실제) $[\displaystyle \mu }$ 위치$$(실제) ${\displaystyle \cHB ={\sqrt {\reason ^{2}-\reason ^{2}}:$
지원	$(-\displaystyle x\in (-\in-\in)+\inflit )\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {(\gamma /\delta )^{\lambda }{{\\sqrt {2\pi }}K_{\lambda }(\delta \gamma )}}}\\e^{\beta (x-\mu )}\!}!}}}}}}}}}}}}$ ${\displaystyle \times {\frac {K_{\lambda -1/2}\left(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}\right)}{\left({\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}/\alpha \right)^{1/2-\lambda }}}\!}$
평균	${\displaystyle \mu +{\frac {\delta \beta K_{\lambda +1}(\delta \delta \gamma )}{\delta K_{\lambda }}}}}}$
분산	${\displaystyle {\frac {\delta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}+{\frac {\beta ^{2}\delta ^{2}}{\gamma ^{2}}}\left({\frac {K_{\lambda +2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}-{\frac {K_{\lambda +1}^{2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }^{2}(\delta \gamma )}}\right)}$
MGF	${\displaystyle {\frac {e^{\mu z}\gamma ^{\lambda }}{({\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})^{\lambda }}}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}}$

일반화 쌍곡선 분포(GH)는 혼합 분포가 일반화된 가우스 분포(GIG)인 정규 분산-평균 혼합물로 정의된 연속 확률 분포다.그것의 확률밀도함수(상자 참조)는 K ${\$에 의해 표기된 제2종 베셀함수의 변형적 함수로 주어지며$,$^[1] 올레 반도르프-닐슨이 이를 바람에 날린 모래의 물리학적 맥락에서 연구하였다.^[2]null

특성.

선형 변환

이 수업은 형식 변경으로 마감된다.^[1]null

합계

Barndorff-Nielsen과 Halgreen은 GIG 분포가 무한히 분할된다는 것을 증명했고, GH 분포는 혼합 분포가 일반화된 가우스 분포인 정상 분산-평균 혼합물로서 얻을 수 있기 때문에 Barndorff-Nielsen과 Halgreen은 GH 분포도 무한히 분할된다는 것을 보여주었다.^[3]null

콘볼루션 닫힘 실패

무한히 분리할 수 있는 분포에 대한 중요한 점은 레비 프로세스와의 연결이다. 즉, 레비 프로세스는 무한히 분리할 수 없는 분포가 어느 시점에나 존재한다.무한히 분리할 수 없는 분포의 많은 가족들은 소위 콘볼루션-폐쇄되어 있다. 즉, 한 시점에 레비 과정의 분포가 이들 패밀리의 한 패밀리에 속한다면, 모든 시점에서 레비 공정의 분포는 동일한 패밀리에 속한다.예를 들어, 포아송 공정은 모든 시점에 분포된 포아송이거나, 브라운 운동이 모든 시점에 정규 분포된 것이다.그러나 한 시점에 일반화된 쌍곡선 과정은 다른 시점에서 일반화되지 못할 수 있다.사실 일반화된 라플라스 분포와 정상 역 가우스 분포는 일반화된 쌍곡선 분포 중 유일하게 경련에 의해 닫히는 하위 분류들이다.^[4]null

관련 분포

이름에서 알 수 있듯이, 학생 t-분포, 라플라스 분포, 쌍곡 분포, 가우스 분포, 분산-감마 분포의 슈퍼클래스인 매우 일반적인 형태다.null

• ${\displaystyle X}$~ ${\displaystyle G\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{H}(}$ -${\displaystyle \nu \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$,${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \nu ,}$ ${\displaystyle \mu }$) ${\$은(는) 자유도가$$ ${\displaystylease \}$인 학생 t-data.
• ${\displaystyle X}$~ ${\displaystyle G\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{H}}$(${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ ,${\displaystyle \Delta }$ ,${\displaystyle \mu }$) ${\$은 쌍곡 분포를 가지고$$ 있다.

• ${\displaystyle \mathrm{X}}$~ ${\displaystyle G\mathrm{}}$ H${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ ,${\displaystyle \Delta }$ , ${\displaystyle \mu }$) ${\$ X$\sim \mathrm {GH}(-1/2,\alpha$,\$beta$,\$delta$ ,\delta ,\$mu )\}$은(는) 정규역 가우스 분포(NIG)를$$ 가지고 있다.
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH}(?, ?, ?, ?, ?, ?, ?\,}$ 정규 분포 카이-제곱 분포
• ${\displaystyle X}$~ ${\displaystyle G\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{H}(?,?,?,?,}$ ?$$) {\$displaystyle X$\sim $\mathrm {GH}(?,$ ?, ?, ?, ?, ?, ?\,} 정규 역방향$$ 감마 분포(NI)
• ${\displaystyle X}$~ ${\displaystyle G\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{H}(}$ ${\displaystyle \lambda }$ ,${\displaystyle \alpha }$ ,${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle \mu }$) ${\$은(는) 분산-감마 분포를 가지고$$ 있다.
• ${\displaystyle X}$~ ${\displaystyle G\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{H}}$( 1,${\displaystyle 1}$, 1,${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle )}${\$displaystyle$X\$sim$$$\$mathrm$ {$GH}($1,10$,0,\$$mu$ )\,}은(는) 위치 파라미터 $,$ 스케일$$ $파라미터$ 1을 가진 Laplace 분포를 가지고$$ 있다.

적용들

그것은 주로 반무게 꼬리 때문에 모델링할 수 있는 원거리 행동의^{[clarification needed]} 충분한 확률을 요구하는 영역(정상 분포가 소유하지 않는 속성)에 적용된다.일반화된 쌍곡선 분포는 반무게 꼬리 때문에 금융 시장 및 위험 관리 모델링 분야에서 특히 많이 사용된다.null

참조