슈워츠 공간

수학에서 슈워츠 ${\mathcal {S}}$ S ${\$ {\ $mathcal{S}$ 는 ${\mathcal {S}}$ 파생상품이 급격히 감소하고 있는 모든 함수의 함수 공간이다. 이 공간은 푸리에의 변형이 이 공간의 오토모프리즘이라는 중요한 속성을 가지고 있다. 이 속성은 이중성에 의해 S ${\$ $mathcal{$ $S}}$ 의 ${\mathcal {S}}^{*}$ 이중 공간 $∗{\$ {\ $mathcal{S$ $}^*}}$ 에 있는 원소에 대한 푸리에 변환 ${\mathcal {S}}$ 즉 강화 분포에 대한 변환을 정의할 수 있다. 슈워츠 공간의 함수를 슈워츠 함수로 부르기도 한다.

2차원 가우스 함수는 급격히 감소하는 함수의 예다.

슈워츠 공간은 프랑스의 수학자 로랑 슈워츠의 이름을 따서 지어졌다.

정의

동기

슈워츠 공간의 이면에 있는 아이디어는 빠르게 감소하는 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 에 모든 부드러운 기능의 집합을 고려하는 것이다. This is encoded by considering all possible derivatives $D^{\alpha }f=\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}f$ (with multi-index $\alpha$ ) on a smooth complex-valued function ${\disp$ $레이스타일 f:\mathbb {R}$ ^{ $n}\to \mathb {C} }$ 과 $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ (와) $D^{\alpha }f$ $D^{\alpha }f$ {\ $displaystyle$ D $^{\alpha }f$ }의 모든 가능한 값에 모노미럴 $x^{\beta }$ $x^{\beta }$ ${\$ 을 $D^{\alpha }f$ 곱하고 경계를 $x^{\beta }$ 지정한다. 이 제한은 불평등이라고 부호화된다.

\sup _{x\in \mathb {R}^{n}}x^{\beta }D^{\alpha }f <\infully }

파생상품에만 경계를 적용해야 하는 경우, 즉,

\sup _{x\in \mathb {R}^{n}}D^{\alpha }f <\ft }

이는 매끄러운 함수의 가능한 모든 파생상품이 일정한

c_{\alpha }

{\

에 의해 제한되어야 함을 의미하므로

c_{\alpha }

\sup _{x\in \mathb {R}^{n}D^{\alpha }f =c_{\alpha }<\infully }

For example, the smooth complex-valued function

f\in C^{\infty }(\mathbb {R} )

with

f(x)=x^{2}

gives

D^{1}f(x)=2x

, which is an unbounded function, so any polynomial could not be in this space. 하지만, 만약 우리가 원래의 불평등을 추가로 요구한다면, 이 결과는 불평등을 의미하기 때문에 더 강력하다.

D^{\alpha }f<{\frac {k_{\alpha,\beta }}{x^{\beta }}}}}}}}

이후

\beta

k_{\alpha ,\beta }

모든

\beta

{\displaystyle \property

}

k_{\alpha ,\beta }

k_{\alpha ,\beta }

상수

k_{\alpha ,\beta }

k

k_{\alpha ,\beta }

, β {\displaystyle

k_{\filense ,\property }

에 대해

{\displaystyle x^{\beta }\cdot D^{\alpha }f<x^{\beta }\cdot {\frac {k_{\alpha,\beta }}}}{x^{\beta }}}}}}}}}}}.

이는

모든

f

f

파생상품의 성장이 단수형의 역수치보다 훨씬 작아야

f

함을 보여준다.

정의

$\mathbb {N}$ ${\$ 를) 음이 아닌 정수의 집합으로 $\mathbb {N}$ 하고, $n\in \mathbb {N}$ $n\in \mathbb {N}$ N ${\$ 에 $\mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}$ $\mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}$ $\mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}$ $\mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}$ $\mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}$ $\mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}$ $\mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}$ $\mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}$ times $\mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}$ $\mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}$ ${\$ \mathb ${N}^{n}:$ $=\\underbrace {\mathb{N} \time \dots \times \mathb{N} _{n{\text{time}}}}}}}}}}}}}}}$ 은(는) 카트리지안 제품이다 $\mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}$ . $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 에서 함수가 급격히 감소하는 슈워츠 공간 또는 공간은 함수 $\mathbb {R} ^{n}$ 공간이다.

S\left(\mathb {R} ^{n},\mathb {C} \right):=\\왼쪽\{f\in C^{\in}(\mathb {R} ^{n},\mathb {C} )\mid \fall \alpha ,\beta \in \mathb {N} \mathb {n},\n}\\\\\flapt \right\}}}

여기서

C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )

, C

C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )

)

{\displaystyle

C

^{\infit }(\mathb {R}

^{

n},\mathb {C})

은

C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )

\mathbb {R} ^{n}

{\

displaystyle \mathb {R}

\mathbb {C}

^{

n}}

에서

\mathbb {R} ^{n}

C

\mathbb {C}

{\

displaystystymathb {C

까지의 함수 공간이다.

\f\{\alpha ,\beta }=\sup _{x\in \mathbb {R}^}\왼쪽 x^{\alpha }(D^{\beta }f)(x)\right .

여기서

\sup

\sup

은(는) 우월성을 나타내며

\sup

, 우리는 다중지수 표기법을 사용한다.

이 정의에 공통 언어를 넣기 위해 f())기능 공간 C∞(Rn, C)원활한 기능의 Rn을 native에 대해 다음과 같이 f()), f′()), f′()),...모든 것이 어디에나 Ron과 0으로x→ ±∞로 더 빨리인데 특히 어떤 상호 힘보다 가는, S(Rn, C)은 부분 공간 근본적으로 함수로가 급격히 줄고 기능할 수 있다.C마다

슈워츠 공간의 함수 예

α가 다중 지수이고, a가 양의 실수라면,
$x^{\alpha }e^{-a x ^{2}}\in {\mathcal {S}(\mathbf {R}^{n})).$
컴팩트 서포트가 있는 매끄러운 기능 f는 S(Rⁿ)에 있다. 이는 f의 어떤 파생상품도 f의 지원으로 지속적이고 지원되기 때문에 (xD^α^β) f는 극한값 정리에 의해 R의ⁿ 최대치를 가진다.
슈워츠 공간은 벡터 공간이기 때문에 $e^{-ax^{2}}$ 다항식 $\phi (x^{\alpha })$ ( $\phi (x^{\alpha })$ $\phi (x^{\alpha })$ ) ${\displaystyle \phi(x^{\alpha }})$ 에 ${\displaystyle e$ $^{-ax$ $^{2}$ $e^{-ax^{2}}$ 를 $e^{-ax^{2}}$ $a>0$ $e^{-ax^{2}}$ 슈워츠 공간의 요소를 부여할 수 있다 $\phi (x^{\alpha })$ $e^{-ax^{2}}$ 특히 슈워츠 공간 안에는 다항식이 내장되어 있다.

특성.

분석적 특성

라이프니츠의 규칙에서 $𝒮(R n)$ 도 점 곱셈에 따라 닫히는 것이 다음과 같다.
$f,$ $g$ ∈ $𝒮(R n)$ 이면 제품 $fg$ ∈ $\in(R$ )이다ⁿ $.$
푸리에 변환은 선형 이소모르피즘F $:𝒮(R n)$ → $𝒮(R n$ )이다 $.$
$f$ ∈ $𝒮(R)$ 인 경우 $f$ 는 $R$ 에서 균일하게 연속된다.
$𝒮(R n)$ 은 복잡한 숫자에 걸쳐 지역적으로 볼록한 Frechet Schwartz TVS이다.
$𝒮(R n)$ 과 그 강력한 이중 공간은 모두 다음과 같다.

하우스도르프 지역 볼록한 공간을 완성하고
핵 몬텔 공간,

어떤 몬텔 공간의 이중 공간에서, 만일 그것이 약한* 위상에 수렴한다면, 그리고 단지 그것이 강한 이중 위상에 수렴되는 경우에만 시퀀스가 수렴된다고 알려져 있다.^[1]

초자연적 공간들,
반사적으로 빗장이 쳐진 맥키 공간.

슈워츠 공간과 기타 위상 벡터 공간의 관계

$1$ ≤ $p$ ∞ $\infty$ 이면 $𝒮(R n)$ ⊂ $L p (R n$ )이다 $.$
$1$ ≤ $p$ < $\infty$ 이면 $𝒮(R n)$ 은 $L p (R n$ )에 밀도가 있다 $.$
모든 범프 기능의 공간인 $C \infty c (R n)$ 는 $𝒮(R n$ )에 포함된다 $.$

참고 항목

참조

^ 트리에브 2006, 351-359페이지.

원천

Hörmander, L. (1990). The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, (Distribution theory and Fourier Analysis) (2nd ed.). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-52343-X.
Reed, M.; Simon, B. (1980). Methods of Modern Mathematical Physics: Functional Analysis I (Revised and enlarged ed.). San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-585050-6.
Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2003). Fourier Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis I). Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-11384-X.
Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 앨리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 기능이 급격히 감소하는 Space의 자료가 통합되어 있다.

[FOOTNOTETrèves2006351–359-1] 트리에브 2006, 351-359페이지.

[1]

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목차

정의

동기

정의

슈워츠 공간의 함수 예

특성.

분석적 특성

슈워츠 공간과 기타 위상 벡터 공간의 관계

참고 항목

참조

원천