정확미분방정식

수학에서 정확한 미분 방정식 또는 총 미분 방정식은 물리학과 공학에서 널리 사용되는 일종의 보통 미분 방정식입니다.

정의.

단순히 연결되고 열린 부분집합인 R과² D 위에 연속되는 두 함수 I와 J가 주어지면, 형식의 암묵적인 1차 상미분 방정식

I(x,y)\,dx+J(x,y)\,dy=0,

만약 퍼텐셜 ^[1]^[2]함수라고 불리는 연속적으로 미분 가능한 함수 F가 존재한다면 이를 정확한 미분 방정식이라고 합니다.

{\frac {\partial F}{\partial x}}=I

그리고.

{\frac {\displayF}{\partialy}}=J.

정확한 방정식은 다음과 같은 형태로 제시될 수도 있습니다.

I(x,y)+J(x,y)\,y'(x)=0

I와 J에 대한 동일한 제약 조건이 정확한 미분 방정식을 적용합니다.

"정확한 미분 방정식"의 명명법은 함수의 정확한 미분을 말합니다. $F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$ F $F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$ 0 $F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$ $F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$ 1 $F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$ $F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$ $F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$ - 1 $F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$ $F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$ n ) $F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$ {\ $displaystyle$ F $(x_{0}, x_{1},..., x_{n-1}, x_{n$ 에 대해 x $x_{0}$ {\ $displaystyle x_{0}$ 에 $x_{0}$ $x_{0}$ 정확한 도함수 또는 총 도함수는 다음과 같이 제공됩니다.

{\frac {dF}{dx_{0}} = {\frac {\partial x_{0}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x_{i}}{\frac {partial x_{i}}{\frac {partial x_{i}}{{partial_{0}}}{\frac {partial x_{i}}

예

$F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ F : $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ → $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle$ F $:\mathbb {R}^{2}\to \mathbb {R}$ 에 의해 주어진

F(x,y)={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+c

는 미분 방정식의 퍼텐셜 함수입니다.

x\,dy+y\,dy=0.\,

1차 정확미분방정식

1차 정확한 미분방정식 식별

${\textstyle M}$ M ${\textstyle$ M ${\textstyle M}$ ${\textstyle N}$ ${\textstyle$ N ${\textstyle N}$ ${\textstyle M_{y}}$ ${\$ M_ ${y$ ${\textstyle N_{x}}$ x ${\$ N_ ${x$ 의 함수를 R ${\textstyle R:\alpha <x<\beta ,\gamma <y<\delta }$ 에서 연속이라 하자: ${\textstyle R:\alpha <x<\beta ,\gamma <y<\delta }$ < ${\textstyle R:\alpha <x<\beta ,\gamma <y<\delta }$ < ${\textstyle R:\alpha <x<\beta ,\gamma <y<\delta }$ , ${\textstyle R:\alpha <x<\beta ,\gamma <y<\delta }$ < ${\textstyle R:\alpha <x<\beta ,\gamma <y<\delta }$ < ${\textstyle R:\alpha <x<\beta ,\gamma <y<\delta }$ ${\textstyle$ R $:\alpha <x<\beta,\gamma <y<\delta$ 그러면 미분방정식

$M(x,y)+N(x,y){\frac {dy}{flag}=0$

정확한 경우와 경우에만 해당됩니다.

$M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)$

즉, 다음과 같은 퍼텐셜 함수라고 하는 함수 $\psi (x,y)$ ( $\psi (x,y)$ ) $\psi (x,y)$ {\ $displaystyle \psi(x,y$ 가 존재합니다.

$\display_{x}(x,y)=M(x,y){\text{및 }}\displaystyle_{y}(x,y)=N(x,y)$

그래서 일반적으로:

$M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)\iff {\display{case}\n\displaystyle M_{x}(x,y)=M(x,y)\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{case}}$

증명

증명은 두 부분으로 되어 있습니다.

먼저, ψ $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ ( $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ y $)$ $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ = $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ ( $x$ y) 및 ψ $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ y $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ ( $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ y) = $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ ( $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ y $)$ {\ $displaystyle \$ $n$ \ $text$ ${$ $및 }$ {\text{ $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ 및 }}\ $n(x, y)$ psi \n $\psi (x,y)$ x, y $)$

그러면 $M_{y}(x,y)=\psi _{xy}(x,y){\text{ and }}N_{x}(x,y)=\psi _{yx}(x,y)$ ( $M_{y}(x,y)=\psi _{xy}(x,y){\text{ and }}N_{x}(x,y)=\psi _{yx}(x,y)$ $M_{y}(x,y)=\psi _{xy}(x,y){\text{ and }}N_{x}(x,y)=\psi _{yx}(x,y)$ ) = ψ x $M_{y}(x,y)=\psi _{xy}(x,y){\text{ and }}N_{x}(x,y)=\psi _{yx}(x,y)$ ( $M_{y}(x,y)=\psi _{xy}(x,y){\text{ and }}N_{x}(x,y)=\psi _{yx}(x,y)$ ) 및 $M_{y}(x,y)=\psi _{xy}(x,y){\text{ and }}N_{x}(x,y)=\psi _{yx}(x,y)$ x ( $M_{y}(x,y)=\psi _{xy}(x,y){\text{ and }}N_{x}(x,y)=\psi _{yx}(x,y)$ ) = ψ y $M_{y}(x,y)=\psi _{xy}(x,y){\text{ and }}N_{x}(x,y)=\psi _{yx}(x,y)$ x ( $M_{y}(x,y)=\psi _{xy}(x,y){\text{ and }}N_{x}(x,y)=\psi _{yx}(x,y)$ ) $M_{y}(x,y)=\psi _{xy}(x,y){\text{ and }}N_{x}(x,y)=\psi _{yx}(x,y)$ {\ $displaystyle$ M_ ${y}(x,y$ )=\ $psi$ _ ${xy}(x,y){\text{ and }}N_{x}(x,y$ )=\ $psi$ _ ${yx}(x,y)}$ 가 $M_{y}(x,y)=\psi _{xy}(x,y){\text{ and }}N_{x}(x,y)=\psi _{yx}(x,y)$ .

$M_{y}$ 의 $M_{y}$ {\ $displaystyle M_{$ y $M_{y}$ }와 $N_{x}$ Nx {\ $displaystyle N_{$ x $N_{x}$ }는 연속이므로, $\psi _{xy}$ $\psi _{xy}$ y ${\$ _ ${xy}$ 와 $\psi _{xy}$ $\psi _{yx}$ y x ${\$ _ ${yx}$ 도 $\psi _{yx}$ 연속적이므로 동일성을 보장합니다.

증명의 두 번째 부분은 $\psi (x,y)$ ψ ( $\psi (x,y)$ ) $\psi (x,y)$ {\ $displaystyle \psi(x,y)}$ 의 구성을 포함하며 1차 정확한 미분 방정식을 푸는 절차로도 사용할 수 있습니다. $M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)$ ( $M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)$ ) = $M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)$ x ( $M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)$ ) $M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)$ {\ $displaystyle$ M_ ${y}(x,y$ ) = $N_{x}(x,y)}$ 함수가 있다고 가정하고, 함수 $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ ψ $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ x $\psi (x,y)$ ( $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ ) $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ ψ $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ $\psi (x,y)$ ( $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ y) $\psi (x,y)$ = $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ ( $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ y) = N (x, y) $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ {\ $displaystyle$ \lots $(x$ $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$ y $)}$ 함수가 있다고 하자. 이 함수는 ψ x ( $x,$ y) = M $(x, y)$ {\ $text{ and }}\text_{y}(x,y$ ) = $N$ x $,y$ )} {\text{ and }\text_y}(x,y) n N $(x$ ,y $)}$

첫번째 $방정식$ 을 x {\ $displaystyle$ x $x$ 에 $대하여$ 적분하는 것으로 시작합니다. 실제로는 적절한 변수에 대하여 적분이 이루어지는 한 첫 번째 방정식이나 두 번째 방정식을 적분해도 상관이 없습니다.

{\frac {\display \display}{\display x}}(x,y)=M(x,y)

\display(x,y)=\int {M(x,y)dx}+h(y)

\limit(x,y)=Q(x,y)+h(y)

$Q(x,y)$ 서 $Q(x,y)$ Q ( $Q(x,y)$ ) $Q(x,y)$ {\ $displaystyle$ Q $(x,y)}$ 는 $Q_{x}=M$ x = $Q_{x}=M$ ${\displaystyle$ Q_ ${x$ }= $M$ 과 같은 미분 가능한 함수입니다 $h(y)$ $h(y)$ h $h(y)$ ( $)$ {\ $displaystyle h($ y)}는 적분 상수의 역할을 하지만 단지 상수가 $아니라$ y {\ $displaystyle$ y $y$ 의 함수입니다 $.$ $M$ M {\ $displaystyle$ M $}$ 은 x {\ $displaystyle$ x $}$ 과 $y$ {\ $displaystyle$ y $}$ 이며 $y$ x ${\displaystyle$ x $x$ 에 $x$ 만 통합합니다.

이제 h( $\psi _{y}=N$ $h(y)$ {\ $displaystyle$ h $($ $y)}$ 을(를) $찾을$ 수 있으며, 이는 항상 $h(y)$ ψ $\psi _{y}=N$ = N {\displaystyle \ $lamber_{y$ }= $N$ 임을 보여줍니다.

\limit(x,y)=Q(x,y)+h(y)

y ${\displaystyle$ y $y$ 에 $대해$ 양쪽을 구분합니다.

{\frac {\display \display}{\display y}}(x,y)={\frac {\display Q}{\partialy}}(x,y)+h'(y)

결과를 N ${\displaystyle$ N $}$ 과 $N$ 동일하게 설정하고 h $h'(y)$ ${\displaystyle$ h $'(y$ 에 대해 해결합니다.

h'(y)=N(x,y)-{\frac {\continuous Q}{\partial}}(x,y)

이 방정식에서 h $h'(y)$ ${\displaystyle$ h $'(y)}$ 을 $h'(y)$ (를) $h'(y)$ 하려면 오른쪽이 y ${\displaystyle$ y $y$ 에만 의존해야 합니다.이는 x{\ $displaystyle$ x $}$ 에 $x$ $대한$ 도함수가 항상 0이므로 x{\ $displaystyle$ x $x$ 에 $대해$ 우변을 구별한다는 것을 보여줌으로써 증명할 수 있습니다.

{\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)-iff {\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial Q}(x,y)}-{\frac {\partial Q}(x,y)

$Q_{x}=M$ x = $Q_{x}=M$ ${\displaystyle Q_{x$ }= $M$ 이므로,

{\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial M}{\partial}}(x,y)

이제, 이것은

M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)

(

M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)

=

M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)

(

M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)

{\

displaystyle

M_

{y}(x,y

)=

N_{x}(x,y)}

라고 하는 초기 가정에 기초하여 0입니다.

그러므로,

h'(y)=N(x,y)-{\frac {\continuous Q}{\partial}}(x,y)

h(y)=\int {\left(N(x,y)-{\frac {\continuous Q}{\partial}}(x,y)\right)dy

\lot (x,y)=Q(x,y)+\int {\left(N(x,y)-{\frac {\lot Q}{\partialy}}(x,y)\right)dy}+C

그리고 이것으로 증명이 완성됩니다.

정확한 미분 방정식의 첫 번째 순서에 대한 솔루션

양식의 정확한 미분 방정식을 우선적으로 정렬합니다.

M(x,y)+N(x,y){\frac {dy}{flag}=0

잠재 함수 $\psi (x,y)$ ψ ( $\psi (x,y)$ ) ${\displaystyle$ \limate ( $x,y)}$ 의 용어로 쓸 수 있습니다.

{\frac {\display \display}{\display x}}+{\frac {\display y}}{\frac {dy}{display}=0

어디에

{\display{case}\displaystyle {\display{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi_{y}(x,y)=N(x,y)\end{case}

이는 $\psi (x,y)$ ψ ( $\psi (x,y)$ ) ${\displaystyle \psi(x,y$ 의 정확한 미분을 취하는 것과 같습니다.

{\frac {\display}{\displayx}}+{\frac {\display}{\displayy}{\frac {dy}{display}}=0\iff {\frac {d}{display}}\displaystyle (x,y(x))=0

정확한 미분 방정식에 대한 해는 다음과 같이 주어집니다.

\display(x,y(x))=c

그리고 문제는 $\psi (x,y)$ ψ ( $\psi (x,y)$ y $)$ {\ $displaystyle$ \limate $(x,y$ 을(를) 찾는 것으로 줄어듭니다.

이것은 두 식 $M(x,y)dx$ ( $M(x,y)dx$ $M(x,y)dx$ {\ $displaystyle$ M $(x,y)dx}$ 과 $N(x,y)dy$ N ( $N(x,y)dy$ $N(x,y)dy$ {\ $displaystyle$ N $(x,y)dy}$ 을(를) 통합한 다음 결과 식에 각 항을 한 번만 적고 합산하여 $\psi (x,y)$ ψ ( $\psi (x,y)$ ${\displaystyle \psi(x,y$ 을(를) 얻을 수 있습니다.

이에 대한 근거는 다음과 같습니다.부터

{\display{case}\displaystyle {\display{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi_{y}(x,y)=N(x,y)\end{case}

양쪽을 통합하면 다음과 같습니다.

{\display{case}\display(x,y)=\int {M(x,y)dx}+h(y)=Q(x,y)+h(y)\\\cyclus (x,y)=\int {N(x,y)dy}+g(x)=P(x,y)+g(x)\end{case}

그러므로,

Q(x,y)+h(y)=P(x,y)+g(x)

$Q(x,y)$ 서 Q $Q(x,y)$ ) $Q(x,y)$ {\ $displaystyle$ Q $(x,y)}$ 및 $P(x,y)$ ) $P(x,y)$ {\ $displaystyle$ P $(x,y)}$ 는 $Q_{x}=M$ x = $Q_{x}=M$ {\ $displaystyle$ Q_ ${x$ }= $M}$ 이고 $P_{y}=N$ = $P_{y}=N$ ${\displaystyle$ P_ ${y$ }= $N$ 과 같이 구별 가능한 함수입니다.

이것이 참이고 양쪽이 정확히 같은 식(즉 $\psi (x,y)$ ψ $\psi (x,y)$ ( $\psi (x,y)$ y $)$ ${\displaystyle$ \ $psi(x,$ y $\psi (x,y)$ 이 되려면 $h(y)$ 함수이므로 g $g(x)$ ( $g(x)$ {\ $displaystyle$ p $(x$ $,$ $y$ $g(x)$ $g(x)$ 에 포함될 수 없으므로 p $P(x,y)$ ( $P(x,y)$ {\ $displaystyle$ h $(y)}$ 에 $P(x,y)$ 식 내에 $h(y)$ 포함되어야 합니다. $x$ ${\displaystyle$ x $}$ 이 $x$ (가 $)$ $아닌$ y {\displaystyle $y$ y $}$ 이므로 x {\ $displaystyle$ x $x$ 과(와) 아무 관련도 허용되지 않습니다. 비유적으로 $Q(x,y)$ $g(x)$ $Q(x,y)$ ( $g(x)$ $Q(x,y)$ $y$ $Q(x,y)$ {\ $displaystyle$ $Q(x$ 안에 g (x $)$ {\ $displaystyle$ $g(x$ )}가 $g(x)$ 포함되어야 합니다.

에르고,

Q(x,y)=g(x)+f(x,y){\text{ and }}P(x,y)=h(y)+d(x,y)

f $f(x,y)$ ( $f(x,y)$ ${\displaystyle$ f ( $x,y)}$ 및 $f(x,y)$ $d(x,y)$ ( $d(x,y)$ ${\displaystyle$ d ( $x,y$ 의 일부 식에 대해 위 식을 연결하면 다음을 알 수 있습니다.

g(x)+f(x,y)+h(y)=h(y)+d(x,y)+g(x)\오른쪽 화살표 f(x,y)=d(x,y)

f(x,y)

(

f(x,y)

{\displaystyle

f

(x,y)}

와

f(x,y)

d

d(x,y)

{\displaystyle

d

(x,y)}

가

d(x,y)

동일한 함수로 나타납니다.그러므로,

Q(x,y)=g(x)+f(x,y){\text{ and }}P(x,y)=h(y)+f(x,y)

이미 보여드렸기 때문에.

{\case{case}\display(x,y)=Q(x,y)+h(y)\\\cyclus(x,y)=P(x,y)+g(x)\end{case}

그 뒤를 잇습니다

\display(x,y)=g(x)+f(x,y)+h(y)

$\int {M(x,y)dx}$ , ∫ $\int {M(x,y)dx}$ ( $\int {M(x,y)dx}$ $\int {M(x,y)dx}$ ) $\int {M(x,y)dx}$ x ${\displaystyle \int {M(x,y$ )dx $}$ $\int {N(x,y)dy}$ ∫ $\int {N(x,y)dy}$ ( $\int {N(x,y)dy}$ $)$ $\int {N(x,y)dy}$ {\ $displaystyle \int {N(x,y)$ dy}를 수행한 후 두 개의 결과식(즉 $f(x,y)$ f ( $)$ {\ $displaystyle$ f $(x$ ,y)}일 $f(x,y)$ ) 내에서 발견되는 공통 용어를 사용한 후 고유 fo인 용어를 추가함으로써 ψ $\psi (x,y)$ ) $\psi (x,y)$ {\ $displaystyle$ $f(x$ $,y)}$ 를 구성할 수 있습니다. $g(x)$ {\ $displaystyle$ g $(x)}$ $h(y)$ h $h(y)$ {\ $displaystyle$ h $(y$ 중 하나의 und입니다.

2차 정미분 방정식

정확한 미분 방정식의 개념은 2차 ^[3]방정식으로 확장될 수 있습니다.1차 정확한 방정식으로 시작하는 것을 고려해 보십시오.

I\left(x,y\right)+J\left(x,y\right){dy \overdx}=0

두 $I\left(x,y\right)$ I $I\left(x,y\right)$ ) $I\left(x,y\right)$ {\ $displaystyle$ I $\left(x,y\right$ 이므로 $J\left(x,y\right)$ J $J\left(x,y\right)$ , $J\left(x,y\right)$ y $)$ {\ $displaystyle J\left(x,y\$ right)}는 $J\left(x,y\right)$ 두 변수의 함수이며, 다변량 함수 산출량을 암시적으로 구별합니다.

{dI \overdx}+\left({dJ \overdx}\right){dy \overdx}+{d^{2}y \overdx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0

전체 파생상품을 확대하면 다음과 같은 결과가 나옵니다.

{dI \over dx}={\display I \over \display x}+{\display I \over \dy \over dx}

그 밖에

{dJ \overdx}={\display J \over \display x}+{\display J \over \dys y}{dy \overdx}

${\textstyle {dy \over dx}}$ x ${\textstyle {dy \over dx}}$ {\ $textstyle {dy \over$ dx $}}$ 의 ${\textstyle {dy \over dx}}$ 항을 결합하면 다음을 얻을 수 있습니다.

{\displaystyle I \over \displayx} + {dy \over dx}\left({ I \over \displayy} + {\displaystyle} {dy \over dx}\right) + {displaystyle}y \over dx{2}}\left(J\left(x,y\right)=0

만약 방정식이 ${\textstyle {\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}}$ 하다면, ${\textstyle {\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}}$ ∂ ${\textstyle {\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}}$ ∂ ${\textstyle {\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}}$ = ∂ ${\textstyle {\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}}$ ∂ y {\ $textstyle$ {\ $text J \over$ \ $text$ x}={\ $textyle \over$ \ $text$ y}}. 또한 $J\left(x,y\right)$ ( $J\left(x,y\right)$ y $)$ {\ $displaystyle J\left(x,y\$ right $)}$ 의 전체 도함수는 그것의 암시적인 ${\textstyle {dJ \over dx}}$ ${\textstyle {dJ \over dx}}$ ${\textstyle {dJ \over dx}}$ dx {\ $textstyle$ { $dJ$ \ $over$ dx ${\textstyle {dJ \over dx}}$ 와 같습니다. 이것은 다시 쓰여진 방정식으로 이어집니다.

{\displaystyle I \over \displayx}+{dy \over dx}\left({ J \over \displayx}+{dJ \over dx}\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)=0

자, 2차 미분방정식을 만들어 보자구요.

f\left(x,y\right)+g\left(x,y,{dy \overdx}\right){dy \overdx}+{d^{2}y \overdx^{2}}\left(J\left(x,y\right)=0

만약 정확한 미분방정식에 ${\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}$ ∂ J ∂ ${\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}$ = ∂ ${\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}$ ∂ ${\$ partial ${\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}$ J \ $over \$ partial x}={\partial I $\over \$ partial ${\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}$ y}}라고 하면,

\int \left({\right)dy=\int \left({\right)dy\\int \leftpartial\right)J \over \light x}\right)dy

그리고.

\int \left({\right)dy=\int \left({\right)dy=\int \leftpartial\right)J \over \lot x}\right)dy=I\left(x,y\right)-h\left(x\right)

$h\left(x\right)$ 서 $h\left(x\right)$ h ( $h\left(x\right)$ {\ $displaystyle$ h $\left(x\right)}$ 는 $h\left(x\right)$ y{\ $displaystyle$ y $y$ 에 $대해$ $I\left(x,y\right)$ I ( $I\left(x,y\right)$ ) $I\left(x,y\right)$ {\ $displaystyle$ I $\left(x,y\right)}$ 의 $I\left(x,y\right)$ 부분 도함수를 취했을 때 0으로 미분된 x{\ $displaystyle$ x $}$ 의 $x$ 임의 함수입니다. h $h\left(x\right)$ ( $h\left(x\right)$ {\ $displaystyle$ h $\left(x\right)}$ 의 $h\left(x\right)$ 부호는 양일 수 있지만 더 많습니다.부분적으로 0으로 미분된 원래의 추가 $h\left(x\right)$ h $h\left(x\right)$ ${\$ I $\left(x,y\right)}$ 가 $I\left(x,y\right)$ $h\left(x\right)$ 없는 적분의 결과를 I $I\left(x,y\right)$ {\ $displaystyle$ h $\left(x\right)}$ 로 생각하면 직관적입니다.

다음에 만약에

{dI \over dx}={\display I \over \display x}+{\display I \over \dy \over dx}

$x$ {\ $displaystyle$ x $}$ 에 $x$ 부분 미분은 y ${\$ $displaystyle$ y $}$ 를 일정하게 $y$ 하고 y{\ $displaystyle$ y $y$ 의 $y$ 를 생성하지 않으므로, ${\partial I \over \partial x}$ ∂ I ${\partial I \over \partial x}$ ∂ ${\partial I \over \partial x}$ {\ $displaystyle$ x $}$ 및 $y$ {\ $displaystyle$ y $y$ 의 $x$ 여야 합니다. 2차 방정식에서

f\left(x,y\right)+g\left(x,y,{dy \overdx}\right){dy \overdx}+{d^{2}y \overdx^{2}}\left(J\left(x,y\right)=0

$f\left(x,y\right)$ f $f\left(x,y\right)$ ( $f\left(x,y\right)$ ) $f\left(x,y\right)$ {\ $displaystyle$ f $\left(x$ $,$ $y\right)}$ 라는 용어만이순수하게 x {\ $displaystyle$ $}$ 및 y {\ $displaystyle$ $x$ }의 ${\partial I \over \partial x}=f\left(x,y\right)$ 입니다. ∂ ${\partial I \over \partial x}=f\left(x,y\right)$ partial ${\partial I \over \partial x}=f\left(x,y\right)$ x ${\partial I \over \partial x}=f\left(x,y\right)$ = ${\partial I \over \partial x}=f\left(x,y\right)$ ( ${\partial I \over \partial x}=f\left(x,y\right)$ y) {\ $displaystyle$ {\ $displayx \over \displayx$ }= $f\left(x,y\right$ 라고 합니다. ${\partial I \over \partial x}=f\left(x,y\right)$ ∂ I ∂ ${\partial I \over \partial x}=f\left(x,y\right)$ = ${\partial I \over \partial x}=f\left(x,y\right)$ ( ${\partial I \over \partial x}=f\left(x,y\right)$ ) ${\partial I \over \partial x}=f\left(x,y\right)$ {\ $displaystyle$ {\ $displaystyle$ \ $over \displayx$ }= $f\left(x,y\right$ 라고 하면,

f\left(x,y\right)={dI \overdx}-{\di \over y}{dy \overdx}

x{\ $displaystyle$ x $}$ 에 $x$ $대한$ I $I\left(x,y\right)$ {\ $displaystyle$ I $\left(x,y\right)}$ 의 $I\left(x,y\right)$ 총 도함수는 암시적 보통 ${dI \over dx}$ ${dI \over dx}$ x ${dI \over dx}$ {\ $displaystyle {dI \overdx}}$ 와 동치이므로,

f\left(x,y\right)+{\di I \over \dx}{dy \over dx}={dI \over dx}={d \over dx}\left(x,y\right)-h\left(x\right)+{dh\left(x\right) \over dx}

그렇게,

{dh\left(x\right) \over dx}=f\left(x,y\right)+{\di \over y}{d\over dx}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)

그리고.

h\left(x\right)=\int \left(f\left(x,y\right)+{\di \over y}{d \over dx}\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)\right)dx

따라서 2차 미분방정식

f\left(x,y\right)+g\left(x,y,{dy \overdx}\right){dy \overdx}+{d^{2}y \overdx^{2}}\left(J\left(x,y\right)=0

g $g\left(x,y,{dy \over dx}\right)={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ ( $g\left(x,y,{dy \over dx}\right)={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ , $g\left(x,y,{dy \over dx}\right)={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ $dx$ ) = $g\left(x,y,{dy \over dx}\right)={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ $g\left(x,y,{dy \over dx}\right)={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ $g\left(x,y,{dy \over dx}\right)={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ + ∂ $g\left(x,y,{dy \over dx}\right)={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ ∂ $g\left(x,y,{dy \over dx}\right)={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ ∂ x = $g\left(x,y,{dy \over dx}\right)={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ J $g\left(x,y,{dy \over dx}\right)={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ x + ∂ $g\left(x,y,{dy \over dx}\right)={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ partial {\ $displaystyle$ g $\left(x, y,$ { $dy \overdx}\right$ ) = { $dJ \overdx}+{\dy$ \overdx $}$ = { $dJ \overdx}+{\dy \overdx}$ 인 $g\left(x,y,{dy \over dx}\right)={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ 에만 정확하며, 아래 식을 사용하는 경우에만 정확합니다.

\int \left(f\left(x,y\right)+{\lot I \over \lot y}{dy \over dx}-{d \over dx}\left(x,y\right)\right)dx=\int \left(f\left(x,y\right)-{\lot \left(x,y\right)-{\lot \left(x,y\right)\right) \over \lot x}\right

는 x{\ $displaystyle$ x $x$ 로만 $이루어진$ 함수입니다. $h\left(x\right)$ h $h\left(x\right)$ ( x $h\left(x\right)$ {\ $displaystyle$ h\ $left(x\right)}$ 가 $h\left(x\right)$ 임의의 상수로 계산되면 $I\left(x,y\right)-h\left(x\right)$ 이는 I ( $I\left(x,y\right)-h\left(x\right)$ - $h$ ( $I\left(x,y\right)-h\left(x\right)$ {\ $displaystyle$ I\ $left(x,y\$ right) - h $\left(x\right)}$ 에 $I\left(x,y\right)-h\left(x\right)$ 추가되어 I $I\left(x,y\right)$ ( $I\left(x,y\right)$ ) ${\$ I $\left(x,y\right$ 가 됩니다. 방정식이 정확하다면,그러면 1차 정확한 방정식에 대해 일반적인 방법으로 풀 수 있는 1차 정확한 형태로 줄일 수 있습니다.

I\left(x,y\right)+J\left(x,y\right){dy \overdx}=0

그러나 이제 최종 암시적 솔루션에서는 x{\ $displaystyle$ x $}$ 에 $x$ $대한$ h $h\left(x\right)$ {\ $displaystyle$ h $\left(x\right)}$ 의 $h\left(x\right)$ $h\left(x\right)$ 으로부터 $C_{1}x$ 1 x $C_{1}x$ {\ $displaystyle C_{$ $2$ }} $C_{1}x$ 2차 방정식에서 예상되는 대로 두 개의 임의 상수인 $C_{2}$ $C_{2}$ {\ $displaystyle$ C_{2 $C_{2}$ 항과 함께 존재합니다.

예

미분방정식이 주어지면

\left(1-x^{2}\right)y'-4xy'-2y=0

$y''$ ″ {\ $displaystyle$ y $"}$ 항을 조사하면 항상 쉽게 정확성을 확인할 수 있습니다.이 경우,x {\ $displaystyle$ x}에 $x$ $1-x^{2}$ - x $1-x^{2}$ 2 {\ $displaystyle 1-x^{$ 2 $1-x^{2}$ }의 부분 도함수와 전체 도함수는 $-2x$ - 2 $-2x$ {\ $displaystyle -2x$ 이므로 $-4x$ 그 합은 - 4 $-4x$ ${\displaystyle -4x$ 이며, 이는 정확히 y $'$ {\ $displaystyle$ y $y'$ $y'$ 의 항입니다. 정확성을 위한 조건 중 하나가 충족되면 다음을 계산할 수 있습니다.

\int \left(-2x\right)dy=I\left(x,y\right)-h\left(x\right)=-2xy

$f\left(x,y\right)=-2y$ ) = - $f\left(x,y\right)=-2y$ $f\left(x,y\right)=-2y$ {\ $displaystyle$ f $\left(x,y\right$ ) = $-2y$ 을(를) 놓으면

\int \left (-2y-2xy'-{d \over dx}\left (-2xy\right)dx=\int \left (-2y-2xy'+2y\right)dx=\int \left(0\right)dx=h\left(x\right)

$h\left(x\right)$ h $h\left(x\right)$ $h\left(x\right)$ {\ $displaystyle$ h $\left(x\right)}$ 는 $h\left(x\right)$ 실제로 x ${\displaystyle$ x $}$ 만의 $x$ $x$ 이며 2차 미분 방정식은 정확합니다. $h\left(x\right)=C_{1}$ h $h\left(x\right)=C_{1}$ ( $h\left(x\right)=C_{1}$ = $h\left(x\right)=C_{1}$ 1 $h\left(x\right)=C_{1}$ {\ $displaystyle$ h $\left(x\right)$ $=C_{1},$ $I\left(x,y\right)=-2xy+C_{1}$ ( $I\left(x,y\right)=-2xy+C_{1}$ ) $I\left(x,y\right)=-2xy+C_{1}$ $=$ $I\left(x,y\right)=-2xy+C_{1}$ - $I\left(x,y\right)=-2xy+C_{1}$ $I\left(x,y\right)=-2xy+C_{1}$ + $I\left(x,y\right)=-2xy+C_{1}$ 1 ${\displaystyle$ I $\left$ (x $,y\right$ ) $=$ $-2xy$ + $C_{1$ . 1차 정확한 식 산출량으로 감소

-2xy+C_{1}+\left(1-x^{2}\right)y'=0

x{\ $displaystyle$ x}에 $I\left(x,y\right)$ $I\left(x,y\right)$ I( $I\left(x,y\right)$ y) ${\$ displaystyle $I\left($ x $,y\right$ )}을 $($ 를 $x$ ) $I\left(x,y\right)$ 하면 산출됩니다.

-x^{2}y+C_{1}x+i\left(y\right)=0

$i\left(y\right)$ 서 $i\left(y\right)$ i ( y $i\left(y\right)$ {\ $displaystyle$ i $\left(y\right)}$ 는 $i\left(y\right)$ y{\ $displaystyle$ y $y$ 의 임의 함수입니다. y{\ $displaystyle$ y}에 $y$ $y'$ $대해$ 미분하면 $y'$ 와 y $'$ {\ $displaystyle$ y $'}$ 항을 상관시키는 방정식을 제공합니다.

-x^{2}+i'\left(y\right)=1-x^{2}

$i\left(y\right)=y+C_{2}$ $i\left(y\right)=y+C_{2}$ (y) $i\left(y\right)=y+C_{2}$ = $i\left(y\right)=y+C_{2}$ + $i\left(y\right)=y+C_{2}$ 2 {\ $displaystyle i\left(y$ \right) = $i\left(y\right)=y+C_{2}$ y + $C_$ {2 $}$ 가 되고, 완전한 암묵적 해는

C_{1}x+C_{2}+y-x^{2}y=0

y ${\displaystyle$ y $}$ 개의 $y$ 수율을 $y$ 으로 해결하는 중

y={\frac {C_{1}x+C_{2}}{1-x^{2}}}

고차 정확미분방정식

정확한 미분 방정식의 개념은 어떤 순서로도 확장될 수 있습니다.정확한 2차 방정식부터 시작합니다.

{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)+{dy \over dx}\left({dJ \over dx}+{\dy J \over \dx}\right)+f\left(x,y\right)=0

식은 다음과 같이 정의되는 것으로 이전에 보여졌습니다.

f\left(x,y\right)= {dh\left(x\right) \over dx}+{d \over dx}\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)-{\partial J \over \dy \over dx}

정확한 2차 $방정식$ n ${\displaystyle$ n $}$ 번의 $n$ 암시적 미분은 생성된 방정식의 형태에서 쉽게 추론할 수 있는 정확성에 대한 새로운 조건을 가진 $\left(n+2\right)$ ( $\left(n+2\right)$ + $\left(n+2\right)$ {\ $displaystyle \left(n+2\right)}$ 차 $\left(n+2\right)$ 미분 방정식을 생성합니다.예를 들어 위의 2차 미분 방정식을 한 번 미분하여 3차 정확한 방정식을 구하면 다음과 같은 형태가 됩니다.

{d^{3}y \over dx^{3}}\left(J\left(x,y\right)\right)+{d^{2}}{dJ \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left({dJ \over dx}+{\dy J \over \over \dx}\right)+{dy \over dx}\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\right)\left)+{df\left(x,y\right) \over dx}=0

어디에

{df\left(x,y\right) \over dx}={d^{2}h\left(x\right) \over dx^{2}}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right))\left(x\right))-{d^{2}}-{dy \over dx}{d \over dx}-{dy \over dx}\left\right)=F\left(x,y,{dy \overdx}\right)

그리고 $F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$ 서 F $F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$ , $F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$ $F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$ {\ $displaystyle$ F $\left(x,y,{dy \overdx}\right)}$ 는 $F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$ x $,$ $y$ {\ $displaystyle$ x, $y}$ ${dy \over dx}$ ${dy \over dx}$ ${dy \over dx}$ \ $overdx$ 의 함수입니다. ${dy \over dx}$ ${dy \over dx}$ ${dy \over dx}$ ${d^{2}y \over dx^{2}}$ ${d^{2}y \over dx^{2}}$ y ${d^{2}y \over dx^{2}}$ 2 {\ $displaystyle {d^{2}y$ \ $overdx^{2$ }}}개의 ${d^{2}y \over dx^{2}}$ 항이 $F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$ F $F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$ $F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$ , $F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$ dx $F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$ 에서 $F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$ 않습니다 $.$ {\ $displaystyle F\left(x$ ,y $,$ y, ${dy \overdx}\right)}$ 제공 $F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$

{d^{3}y \over dx^{3}}\left(J\left(x,y\right)\right)+{d^{2}y \over dx}\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+{dy \over dx}\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)+left)+F\left(x,y,{dy \overdx}\right)=0

따라서 3차 미분 방정식의 정확성을 위한 세 가지 조건은 다음과 같습니다. ${d^{2}y \over dx^{2}}$ 2 ${d^{2}y \over dx^{2}}$ ${d^{2}y \over dx^{2}}$ x 2 ${d^{2}y \over dx^{2}}$ {\ $displaystyle {d^{2}y \over$ dx $^{2}}}$ $2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ 은 2 $2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ J $2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ + ∂ $2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ ∂ {\ $displaystyle$ 2 ${dJ \over$ dx} + {\ $partial$ J \ $over \partial$ x $2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ ${dy \over dx}$ ${dy \over dx}$ {\ $displaystyle {dy \overdx}}$ 항은 ${d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)$ J ${d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)$ 2 ${d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)$ + ${d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)$ ( ${d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)$ ∂ ${d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)$ ∂ x ${d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)$ ) ${\displaystyle$ {d^{ $2}J$ \ $overdx{2}}$ + {d $\overdx}\left({\$ partial $J$ $\over$ \ $partial$ x $}\right$ ) ${d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)$ 합니다.

F\left(x,y,{dy \over dx}\right)-{d^{2}}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}+{dy \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)

x ${\displaystyle$ x $x$ 구성된 함수여야 합니다.

예

비선형 3차 미분방정식을 고려합니다.

y'y'"+3y'y"+12x^{2}=0

J $J\left(x,y\right)=y$ ) = $J\left(x,y\right)=y$ ${\displaystyle$ J $\left(x,y\right$ )= $y$ 이면, $y''\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)$ ″ ( $y''\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)$ d $y''\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)$ $y''\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)$ x + ∂ $y''\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)$ ∂ $y''\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)$ ) $y''\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)$ {\ $displaystyle$ y $"\left(2{dJ \over$ dx $}+{\displaystyle$ $2y'y$ $}\right)}$ 는 $2y'y''$ $2y'y''$ ″ ${\displaystyle$ 2y'y $"}$ 이고 y $y'\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)=y'y''$ ″ ( $y'\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)=y'y''$ $y'\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)=y'y''$ $y'\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)=y'y''$ $y'\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)=y'y''$ $y'\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)=y'y''$ + $y'\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)=y'y''$ x (displaystyle $y'\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)=y'y''$ 'y) = $y'\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)=y'y''$ ' $y'\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)=y'y''$ ∂ {\ $displaystyle y'\$ left $({d^{2}}+{d$ \ $over$ dx $}\left\$ displaystyle $J \over$ \ $light$ x $}\"$ 입니다. $우)\right)=y'y'$ y'}를 $3y'y''$ $3y'y''$ $″$ ${\displaystyle 3y'y$ 가 됩니다. 다행히도 이것은 우리의 방정식에 나타납니다.정확성의 마지막 조건은

F\left(x,y,{dy \over dx}\right)-{d^{2}}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}{{dy \over dx}}\left\right)=12x^{2}-0+0+0=12x^{2

이것은 실제로 x ${\displaystyle$ x $x$ 만의 함수입니다. 따라서 미분 방정식은 정확합니다.h $h\left(x\right)=x^{4}+C_{1}x+C_{2}=I\left(x,y\right)$ ( $h\left(x\right)=x^{4}+C_{1}x+C_{2}=I\left(x,y\right)$ = $h\left(x\right)=x^{4}+C_{1}x+C_{2}=I\left(x,y\right)$ $h\left(x\right)=x^{4}+C_{1}x+C_{2}=I\left(x,y\right)$ + $h\left(x\right)=x^{4}+C_{1}x+C_{2}=I\left(x,y\right)$ $h\left(x\right)=x^{4}+C_{1}x+C_{2}=I\left(x,y\right)$ + $h\left(x\right)=x^{4}+C_{1}x+C_{2}=I\left(x,y\right)$ 2 = $h\left(x\right)=x^{4}+C_{1}x+C_{2}=I\left(x,y\right)$ ( $h\left(x\right)=x^{4}+C_{1}x+C_{2}=I\left(x,y\right)$ ) $h\left(x\right)=x^{4}+C_{1}x+C_{2}=I\left(x,y\right)$ {\ $displaystyle h\left(x\right)$ 의 두 배를 적분하면 산출됩니다. $=x^{4}+C_{1}x+C_{2}=I\left$ (x $,y\right$ 방정식을 1차 정확한 미분 방정식으로 다시 쓰면 결과가 나옵니다 $.$

x^{4}+C_{1}x+C_{2}+y'=0

$I\left(x,y\right)$ (x, y) {\ $displaystyle$ I $\$ left( $x, y\right)}를$ x {\ $displaystyle$ x $}$ 에 $I\left(x,y\right)$ 하면 x ${x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+i\left(y\right)=0$ + ${x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+i\left(y\right)=0$ ${x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+i\left(y\right)=0$ ${x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+i\left(y\right)=0$ + ${x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+i\left(y\right)=0$ 2 ${x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+i\left(y\right)=0$ + ${x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+i\left(y\right)=0$ ( ${x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+i\left(y\right)=0$ ) = ${x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+i\left(y\right)=0$ {\ $displaystyle {x^{5}$ \ $over$ 5} + $C_{1}$ x $^{2}$ + $C_{2} x$ +i\ $left(y\right$ ) = $0$ 이 됩니다.y{\ $displaystyle$ y $}$ 에 $y$ 미분하고 1차 방정식에서 y $'$ ${\displaystyle$ y $'}$ $y'$ 의 항과 동일하게 하면 i $i'\left(y\right)=y$ = $i'\left(y\right)=y$ {\ $displaystyle$ i $'\left(y\right$ ) = $y$ }가 $i'\left(y\right)=y$ i $i\left(y\right)={y^{2} \over 2}+C_{3}$ = $i\left(y\right)={y^{2} \over 2}+C_{3}$ $i\left(y\right)={y^{2} \over 2}+C_{3}$ $i\left(y\right)={y^{2} \over 2}+C_{3}$ $i\left(y\right)={y^{2} \over 2}+C_{3}$ 3 $i\left(y\right)={y^{2} \over 2}+C_{3}$ {\ $displaystyle$ i $\left(y\right)$ 가 $i\left(y\right)={y^{2} \over 2}+C_{3}$ . $={y^{2}$ \ $over$ 2} + $C_{3$ 완전한 암묵적 해결책은

{x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}+C_{3}+{y^{2} \over 2}=0

그렇다면 명시적인 해결책은

y=\pm {\sqrt {C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}-{\frac {2x^{5}}}}

참고 항목

참고문헌

^ Wolfgang Walter (11 March 2013). Ordinary Differential Equations. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-0601-9.
^ Vladimir A. Dobrushkin (16 December 2014). Applied Differential Equations: The Primary Course. CRC Press. ISBN 978-1-4987-2835-5.
^ Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry (1963). "Solution of the Linear Differential Equation with Nonconstant Coefficients. Reduction of Order Method.". Ordinary Differential Equations: An Elementary Textbook for Students of Mathematics, Engineering and the Sciences. New York: Dover. pp. 248. ISBN 0-486-64940-7.

추가열람

보이스, 윌리엄 E.; 디 프리마, 리처드 C. (1986).기초 미분방정식(4차)뉴욕: John Wiley & Sons, Inc.ISBN 0-471-07894-8

[Walter2013-1] Wolfgang Walter (11 March 2013). Ordinary Differential Equations. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-0601-9.

[Dobrushkin2014-2] Vladimir A. Dobrushkin (16 December 2014). Applied Differential Equations: The Primary Course. CRC Press. ISBN 978-1-4987-2835-5.

[3] Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry (1963). "Solution of the Linear Differential Equation with Nonconstant Coefficients. Reduction of Order Method.". Ordinary Differential Equations: An Elementary Textbook for Students of Mathematics, Engineering and the Sciences. New York: Dover. pp. 248. ISBN 0-486-64940-7.

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목차

정의.

예

1차 정확미분방정식

1차 정확한 미분방정식 식별

증명

정확한 미분 방정식의 첫 번째 순서에 대한 솔루션

2차 정미분 방정식

예

고차 정확미분방정식

예

참고 항목

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