일반화 카이-제곱 분포

일반화 카이-제곱 분포

확률밀도함수
누적분포함수
표기법	${\displaystyle {\tilde {\chi }^{2}({\\symbol {w},{\\symbol {k},{\simmbol {\\simmbol})}$
매개변수	${\displaystyle \mathit{w}}$ ${\$ 중심적이지 않은 카이-제곱 성분의 무게 벡터 ${\displaystyle \mathit{k}}$ ${\$ 중심적이지 않은 카이-제곱 성분의 자유도 벡터 ${\displaystyle \mathit{\lambda }}$ ${\$ $\},$ 카이-제곱 성분의 비중심성 파라미터 벡터 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle$ m$\},$ 정규 항의 평균 ${\displaystyle s}$[\$displaystyle$ s$\},$ 정상 항의 sd
지원	$\displaystyle x\in \mathb {R} }$
평균	${\displaystyle \sum _{j}w_{j}(k_{j}+\data _{j}+m}$
분산	${\displaystyle 2\sum _{j}w_{j}^{2}(k_{j}+2\lambda _{j}s^{2}}:$
CF	${\displaystyle {\frac {\exp \left(it\sum _{j}\j}\da _{j}}}{j}}}}}-{j}{1-2-_{j}t}}-{\frac{s^{2}}}}}}}{{j}t\rig}}}}}}}}}}}}}-{{{{{{{{{{j}오른쪽)}}}^{k_{j}/2}}:$

확률 이론과 통계에서 일반화된 카이-제곱 분포(또는 일반화된 카이-제곱 분포)는 다항 변수의 이차적 형태(정규 벡터)의 분포 또는 다른 정규 변수와 정규 변수의 제곱의 선형 결합이다.동등하게, 독립 중심 카이-제곱 변수와 정규 변수의 선형 합이기도 하다.동일한 용어가 때때로 사용되는 몇 가지 다른 일반화가 있다. 그 중 일부는 감마 분포와 같이 여기에서 논의된 가족의 특별한 경우들이다.null

정의

일반화된 카이-제곱 변수는 여러 가지 방법으로 설명할 수 있다.하나는 독립된 중심 카이-제곱 변수와 정규 변수의 선형 합으로 쓰는 것이다.^[1][2]

${\displaystyle \xi =\sum_{i}y_{i}+x,\quad y_{i}\sim \chi '^{2}(k_{i},\lambda _{i}),\quad x\sim N(m,s^{2}).}$

여기서 매개변수는 ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ $자유$도 k ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 및$$ 비중심도 ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 일반 매개변수 $m{\displaystyle }$ ${\$$displaystym$ m$}$ 및$$ $s\}.$ 몇 가지 중요한 특수한 경우이 중 동일한 부호의 ${\displaystyle {모든}_{}}$ 가중치 w${\$를 포함하거나 중심 카이-제곱 성분을 포함하거나 정규 항을 생략한다.null

비중앙 카이-제곱 변수는 평균이 다른 정규 변수의 제곱합이므로 일반화된 카이-제곱 변수는 독립 정규 변수의 제곱합과 더불어 독립 정규 변수인 2차 변수의 제곱합으로도 정의된다.null

다른 동등한 방법은 정상 벡터 $x{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$의 2차적 형태로 공식화하는 것이다$.$^[3]

${\displaystyle \xi =q({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}'\mathbf {Q_{2}} {\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {q_{1}}}'{\boldsymbol {x}}+q_{0}}$.

여기서 $Q{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathbf{}}_{}}$ ${\$}} $}}$은 $행렬$이고, ${\displaystyle {q\mathbf{}}_{}}$ 1 ${\${\$boldsymbol{q_}}}$은 벡터$$, ${\displaystyle {q\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$은 스칼라이다.이 $값들$은 정규 $벡터{\displaystyle \mathit{}}$ x$${\$displaystyle$ ${\$$boldsymbol$$${\$mu}$및$$ 공분산 행렬 $matrix{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ ${\Sigma$$}}}$과$($와$)$ 함께 분포를 매개 변수화한다$.$전식(비중앙 카이-제곱, 정규 및 상수)의 파라미터는 후자식(정상 벡터의 양형)의 파라미터로 계산할 수 있다.^[4] 이 공식에서 Q$$ ${\displaystyle {2\mathbf{}}_{}}$ ${\$}} $}}$이(가) 양-확정이라면 첫 번째 공식에서$$ w ${\displaystyle i_{}}${\$displaystyle w_{i}}$가 모두 동일한 부호를 갖는다.null

대부분의 일반적인 경우, 다음 양식을 사용하여 공통 표준 양식을 축소할 수 있다.^[5]

${\displaystyle X=(z+a)^{\mathrm {T}A(z+a)+c^{\mathrm {T}}z=(x+b)^{\mathrm {T}}D(x+b)+d^{\mathrm {}x+e,},}$

여기서 D는 대각 행렬이며 여기서 x는 상관 관계가 없는 표준 정규 랜덤 변수의 벡터를 나타낸다.null

PDF/cdf/반복 cdf/랜덤 번호 계산

일반화된 카이-제곱 변수의 확률밀도, 누적분포, 역 누적분포함수는 단순한 폐쇄형식을 가지고 있지 않다.그러나 수치 알고리즘과 컴퓨터 코드(Fortran과 C, Matlab, R)는 이들 중 일부를 평가하고 무작위 샘플을 생성하기 위해 공표되었다.null

적용들

일반화된 카이-제곱은 아래 예시와 같이 통상적인 통계 이론이 지탱하지 못하는 경우에 대한 통계적 추정치의 분포다.null

모델 장착 및 선택 시

예측 모형이 최소 제곱으로 적합하지만 잔차가 자기 상관 또는 이형성을 갖는 경우 제곱합 변동을 점증적으로 유효한 일반화된 카이-제곱 분포와 연관시켜 대안 모형을 비교할 수 있다(모델 선택에서).^[3]null

가우스 판별 분석을 사용하여 정규 벡터 분류

$x{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$이(가) 정규 벡터인$$ 경우 로그 가능성은$$$x{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$의 2차 형식이며, 따라서 일반화된 카이-제곱으로 분산된다.$x{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$이(가) 하나의 정규 분포에서 다른 정규 분포에서 발생하는$$ 로그우도 비율도 2차 형태여서 일반화된 카이-제곱으로 분포한다.^[4]null

가우스 판별 분석에서 다항 분포의 표본은 2차 함수인 경계인 2차 분류기를 사용하여 최적으로 분리된다(예: 두 가우스 분포의 우도비를 1로 설정하여 정의한 곡선).다른 유형의 분류 오류율(허위 긍정과 거짓 부정)은 이 분류기에 의해 정의된 2차 영역 내 정규 분포의 통합이다.이것은 수학적으로 정규 벡터의 2차적 형태를 통합하는 것과 같기 때문에, 결과는 일반화-치-제곱 변수의 적분이다.^[4]null

신호 처리 중

신호 처리에서의 푸리에 분석, 확률 이론에서의 갱신 이론, 무선 통신에서의 멀티 안테나 시스템의 맥락에서 다음과 같은 응용이 발생한다.이러한 영역의 공통적인 요인은 기하급수적으로 분포된 변수의 합이 중요(또는 이와 동등하게, 원형 대칭 중심 복합 가우스 변수의 제곱의 합)이라는 것이다.null

${\displaystyle {Zi}_{}}$ ${\$이(가) k 독립적이고 원형 대칭 중심 복합 가우스 랜덤 변수로서 평균 0과 분산 $\sigma {\displaystyle {}_{}^{}}$ i ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$인 경우 랜덤$$변수인 경우

${\displaystyle {\tilde{Q}}=\sum _{i=1}^{k} Z_{i}^{2}}$

특정 형태의 일반화된 카이 제곱 분포를 가지고 있다.표준 카이-제곱 분포와 다른 점은 ${\displaystyle {Zi}_{}}$ ${\$가 복잡하고$$ 분산이 다를 수 있으며, 보다 일반화된 카이-제곱 분포와의 차이는 관련 스케일링 행렬 A가 대각선이라는 것이다.If ${\displaystyle \mu =\sigma _{i}^{2}}$ for all i, then ${\displaystyle {\tilde {Q}}}$, scaled down by ${\displaystyle \mu /2}$ (i.e. multiplied by ${\displaystyle 2/\mu }$), has a chi-squared distribution, ${\displaystyle \chi ^{2}(2k)}$, also known as an Er언어 분배$\sigma {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2 ${\$개의$$ 값이 모든 i에 대해 서로 다른 경우 $Q{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ~${\$에 pdf가^[7] 있음$$

${\displaystyle f(x;k,\sigma _{1}^{2},\ldots ,\sigma _{k}^{2})=\sum _{i=1}^{k}{\frac {e^{-{\frac {x}{\sigma _{i}^{2}}}}}{\sigma _{i}^{2}\prod _{j=1,j\neq i}^{k}\left(1-{\frac {\sigma _{j}^{2}}{\sigma _{i}^{2}}}\right)}}\quad {\text{for }}x\geq 0.}$

$\sigma {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ 사이에 반복된 분산 집합이 있는 경우 각각 특정 분산 값을 나타내는 M 집합으로 구분된다고 가정한다$.$$r{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{r\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$…${\displaystyle }$,${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \mathbf {r} =(r_{1$},$r_{2},\dots ,r_{M})$을 각 그룹의 반복 횟수로 표시하십시오$$.즉, m번째 집합에는 분산이 ${\displaystyle m_{}^{}}$ m${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ .$${\$displaystyle$ \$sigma$ _${m}^{$$2$}인 r ${\displaystyle m_{}}$ ${\$ \sigma $_{m}^{$2}의 변수가$$ 포함되어 있다.$}$ {\$displaystyle \chi ^{$2}} -분산된 $임의$변수의 임의$$ 선형 조합을 나타내며 자유도가$$ 다른 경우:

${\displaystyle {\tilde{Q}}=\sum _{m=1}^{M}\sigma _{m}{m}, {m}^{2}/2*Q_{m},\quad Q_{m}\simchi ^{2}(2r_{m})\,}$

$Q{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$의^[8] pdf는

${\displaystyle f(x;\mathbf {r} ,\sigma _{1}^{2},\dots \sigma _{M}^{2})=\prod _{m=1}^{M}{\frac {1}{\sigma _{m}^{2r_{m}}}}\sum _{k=1}^{M}\sum _{l=1}^{r_{k}}{\frac {\Psi _{k,l,\mathbf {r} }}{(r_{k}-l)!}}}(-x)^{r_{k}-l}-e^{-{\frac {x}{\proxma _{k}^{2}},\message{{}}}, {}}$

어디에

${\displaystyle \Psi _{k,l,\mathbf {r} }=(-1)^{r_{k}-1}\sum _{\mathbf {i} \in \Omega _{k,l}}\prod _{j\neq k}{\binom {i_{j}+r_{j}-1}{i_{j}}}\left({\frac {1}{\sigma _{j}^{2}}}\!-\!{\frac {1}{\fracma _{k}^{2}}\\오른쪽)^{-(r_{j}+i_{j}}}}}$

with ${\displaystyle \mathbf {i} =[i_{1},\ldots ,i_{M}]^{T}}$ from the set ${\displaystyle \Omega _{k,l}}$ of all partitions of ${\displaystyle l-1}$ (with ${\displaystyle i_{k}=0}$) defined as

${\displaystyle \Omega _{k,l}=\left\{[i_{1},\ldots ,i_{m}]\in \mathbb {Z} ^{m};\sum _{j=1}^{M}i_{j}\!=l-1,i_{k}=0,i_{j}\geq 0{\text{ for all }}j\right\}.}$

참고 항목

• 자유도(통계)#대안
• 비중앙 카이-제곱 분포
• 카이-제곱 분포

참조

외부 링크

• 데이비스, R.B.:카이-제곱 랜덤 변수의 선형 조합에 대한 Fortran 및 C 소스 코드
• Das, A: 일반화된 카이-제곱 분포의 통계, pdf, cdf, 역cdf 및 난수를 계산하는 MATLAB 코드.