반사(수학)

수학에서 반사(^[1]반사)는 유클리드 공간에서 초평면을 고정된 점의 집합으로 하는 등각선인 자기 자신으로의 매핑이다. 이 집합을 반사의 축(2차원) 또는 평면(3차원)이라고 한다.반사에 의한 도형의 이미지는 반사축 또는 평면에서의 도형의 거울상입니다.예를 들어 수직축에 대한 반사를 위한 작은 라틴 문자 p의 거울 이미지는 q처럼 보일 것이다.수평축에서 반사되는 그것의 이미지는 b처럼 보일 것이다.리플렉션은 인볼루션입니다.연속적으로 두 번 적용하면 모든 점이 원래 위치로 돌아가며 모든 지오메트리 개체가 원래 상태로 복원됩니다.

반사라는 용어는 때때로 유클리드 공간에서 그 자신으로의 매핑의 더 큰 클래스, 즉 인볼루션인 비등식성 등각성에 사용됩니다.이러한 등각선에는 아핀 부분 공간이지만 하이퍼플레인보다 작을 수 있는 고정점 집합(미러)이 있습니다.예를 들어, 한 점을 통한 반사는 하나의 고정점을 갖는 인볼루티브 등각법이다. 그 아래의 문자 p의 이미지는 d처럼 보일 것이다.이 연산은 중심 반전이라고도 하며(Coxeter 1969, §7.2), 대칭 공간으로서 유클리드 공간을 나타낸다.유클리드 벡터 공간에서 원점에 위치한 점에서의 반사는 벡터 부정과 같다.다른 예로는 3차원 공간에서의 일직선의 반사가 있다.그러나 일반적으로 "반사"라는 용어의 무자격 사용은 하이퍼플레인에서의 반사를 의미한다.

몇몇 수학자들은 "flip"을 "reflection"^[2][3][4]의 동의어로 사용한다.

건설

평면(또는 각각 3차원) 지오메트리에서 점의 반사를 점으로부터 반사에 사용되는 선(평면)까지 수직을 구하여 반대편에서도 같은 거리를 연장한다.그림의 반사를 찾으려면 그림의 각 점을 반영합니다.

나침반과 직선 모서리를 사용하여 AB선을 통해 점 P를 반사하려면 다음과 같이 진행하십시오(그림 참조).

• 스텝 1(빨간색): 중심이 P에 있고 고정된 반지름 r이 있는 원을 작성하여 라인 AB에 점 A'와 B'를 작성합니다.이 점은 P에서 등거리입니다.
• 2단계(녹색): 반지름이 r인 A radius와 B having를 중심으로 원을 만듭니다.P와 Q가 이 두 원의 교차점이 됩니다.

점 Q는 점 P에서 선 AB까지의 반사입니다.

특성.

반사에 대한 행렬은 행렬식 -1 및 고유값 -1, 1, 1, ..., 1과 직교합니다. 이러한 두 행렬의 곱은 회전을 나타내는 특수 직교 행렬입니다.각 회전은 원점을 통해 하이퍼플레인의 짝수 반사의 결과이며, 모든 부적절한 회전은 홀수 반사의 결과입니다.따라서 반사는 직교 그룹을 생성하며, 이 결과를 카르탕-디오도네 정리라고 한다.

마찬가지로, 유클리드 공간의 모든 등각으로 구성된 유클리드 그룹은 아핀 초평면에서 반사에 의해 생성된다.일반적으로 아핀 초평면에서의 반사에 의해 생성된 그룹을 반사군이라고 한다.이 방법으로 생성된 유한 그룹은 콕서터 그룹의 예이다.

평면의 선 전체에 걸친 반사

원점을 통과하는 선상의 반사는 다음 공식으로 설명할 수 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {Ref}_{l}(v)=2cfrac {v\cdot l}{l\cdot l}l-v,}$

$여기$서$$v {\$displaystyle$ v$}$는 반사되는 벡터,$l{\displaystyle }$ {\$displaystyle$l}은 반사가 수행되는 라인 내의 임의의 벡터, ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle$ v$\cdot$l}은$$ l$${\$displaystyle$ l$\}$이 포함된$$v {\$displaystyle$ v$}$의 도트 곱을 나타냅니다.위의 공식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{l}(v)=2\operatorname {Proj} _{l}(v)-v,}$

l$${\$displaystyle$ l$}$에 대한$$v {\$displaystyle$ v$}$의 $반사$가 l {\$displaystyle$ l$\}$에 대한 v$${\$displaystyle$ v$}$의 투사량의 2배에서 $벡터{\displaystyle }$v {\$displaystyle$ v$\}$를 뺀 값이라고 합니다. 한 줄의 반사는 1과 -1의 고유값을 가집니다.

하이퍼플레인을 통한 n차원 반사

유클리드 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$n {\$displaystyle \mathbb {R}^{n$의 벡터 v {\$displaystyle$v$\}$가 주어졌을 때, 원점을 통과하는 하이퍼플레인에서의 반사 공식은 다음과 $같습니다.$

${\displaystyle \operatorname {Ref}_{a}(v)=v-2gfrac {v\cdot a}{a\cdot a}a,}$

$여기$서 v${\displaystyle a}$ a$${\$displaystyle$v\$cdot$ a$$}는$$v {\$displaystyle$ a$\}$의 도트 곱을 나타냅니다. 위 방정식의 두 번째 항은$$v$${\$displaystyle$v$\}$의 $벡터{\displaystyle }$ 투영의 두 배입니다. 쉽게 확인할 수 있습니다.

• 참조_a(v) = -v,$$v {\$displaystyle$ v$}$가$${\$displaystyle$ a$\}$와 평행한 $경우{\displaystyle }$,
• 참조_a(v) = v$($v\$displaystyle$ v$}$가 a에 수직인 $경우{\displaystyle }$).

기하학적 곱을 사용하여 공식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a}(v)=-{\frac {ava}{a^{2}}}}.}$

이러한 반사는 원점을 고정하는 유클리드 공간의 등각성이기 때문에 직교 행렬로 표현될 수 있다.위의 반사에 대응하는 직교 행렬은 행렬이다.

${\displaystyle R=I-2{\frac {aa^{T}} {a^{T}a}},}$

$여기$서$$I(\$displaystyle$ I$)$는 n$(\displaystyle$ n$\times$ n$)$ ID $매트릭스$와 T$(\$ a$^)$를 나타냅니다.$T}}$는 a의 전치입니다.엔트리는

$({displaystyle R_{ij}=\delta_{i}-2gfrac {a_{j}}{\left\a\right\^{2}}})$

여기서 θ는_ij 크로네커 델타입니다.

원점을 통과하지 않는 아핀 $하이퍼플레인{\displaystyle }$ v${\displaystyle \delta }$ a ${\displaystyle =}$ \ $displaystyle$v \ $cdot$ a $= c$ }에서의$$ 반사의 공식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a,c}(v)=v-2gfrac {v\cdot a-c}{a\cdot a}a.}$

「 」를 참조해 주세요.

• 회전 및 반사 조정
• 세대주 전환
• 반전 기하학
• 점반사
• 회전면
• 반사 매핑
• 반사 그룹

메모들

레퍼런스

• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50458-0, MR 0123930
• Popov, V.L. (2001) [1994], "Reflection", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Reflection". MathWorld.

외부 링크

• 절단 코트의 라인 내 반사
• Roger Germundsson의 2D 성찰 이해 및 3D 성찰 이해, Wolfram 데모 프로젝트.