삼각함수

삼각함수(삼각형 함수, 모자 함수 또는 텐트 함수라고도 함)는 그래프가 삼각형 모양을 취하는 함수다.흔히 이것은 높이 1과 베이스 2의 이등변 삼각형이며, 이 경우 삼각함수라고 한다.삼각함수는 이상화된 신호의 표현으로서 신호 처리와 통신 시스템 엔지니어링에 유용하며, 특히 삼각함수는 커널 밀도 추정과 같이 보다 현실적인 신호를 도출할 수 있는 일체형 변환 커널 함수로 유용하다.디지털 신호 전송을 위한 펄스 모양과 신호 수신을 위한 일치 필터로 펄스 코드 변조 응용 프로그램도 갖추고 있다.또한 바틀렛 창이라고 불리는 삼각형 창을 정의하는데도 사용된다.

정의들

가장 일반적인 정의는 조각 함수로서 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)=\Lambda (x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1- x ,0{\big )}\\&={\begin{cases}1- x ,& x <1;\\0&{\text{otherwise}}.\\end{case}\end{aigned}}}$

동등하게 두 개의 동일한 단위 직사각형 함수의 경련으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\ret}(x)&=\retname {tri}(x)*\retname {ret}(x)\&=\int_{-\infit }^{\infit }}{\infit }}}\cdot \retname {ret},d\t}\tau.\\end{aigned}}$

삼각함수는 직사각형 및 절대값 함수의 산물로 나타낼 수도 있다.

${\displaystyle \tri}(x)=\retname {ret}(x/2){\big(}1- x {\big )}.}$

일부 저자는 대신 삼각함수를 너비 2 대신 너비 1의 베이스로 정의한다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (2x)=\Lambda (2x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-2 x ,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-2 x ,& x <{\tfrac {1}{2}};\\0&{\text{otherwise}}.\\end{case}\end{aigned}}}$

그것의 가장 일반적인 형태에서 삼각함수는 선형 B-스플라인이다.^[1]

${\displaystyle \operatorname {tri} _{j}(x)={\begin{cases}(x-x_{j-1})/(x_{j}-x_{j-1}),&x_{j-1}\leq x<x_{j};\\(x_{j+1}-x)/(x_{j+1}-x_{j}),&x_{j}\leq x<x_{j+1};\\0&{\text{otherwise}}.\end{case}}}$

반면에 상단의 정의는 특별한 경우다.

${\displaystyle \Lambda(x)=\operatorname {tri} _{j}(x),}$

여기서 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{j}}_{}}$- 1${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x_{j-1}=-1$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x_{j}=0$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x_{j+1}=1$

선형 B-스플라인(${\displaystyle \mathrm{B-spline}}$)은 연속적인 조각 형태의 선형 함수 $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$x )${\displaystyle$ f$(x)}$와$$동일하며, $이{\displaystyle }$ 일반적인 삼각함수는 f (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$를 공식적으로$$ 정의하는데 유용하다.

${\displaystyle f(x)=\sum _{j}y_{j}\cdot \cdot 이름 {tri} _{j}(x),}$

여기서 < + 1 ${\displaystyle$ $x_{j}<x_{j+$$1$} 모든 정수$j{\displaystyle }$ {\displaystyle j}에 $대해$$$.조각상 선형 함수는 순서 쌍$($ j${\displaystyle {}_{}}$, y ${\displaystyle j_{}}$) {\$displaystyle (x_{j},y_{j}})$을 사용하여 좌표로 표현된 모든 점을 통과하며$,$ 즉,

${\displaystyle f}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle y_{}}$ j ${\$

스케일링

모든 매개 $변수{\displaystyle 0}$ 0$${\$displaystyle$ a$\neq$ 0$\}:$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} \left({\tfrac {t}{a}}\right)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\tfrac {1}{ a }}\operatorname {rect} \left({\tfrac {\tau }{a}}\right)\cdot \operatorname {rect} \left({\tfrac {t-\tau }{a}}\right)\,d\tau \\&={\begin{cases}1- t/a ,& t < a ;\\0&{\text{otherwise}}.\end{case}\end{aigned}}}$

푸리에 변환

변환은 푸리에 변환의 콘볼루션 특성과 직사각형 함수의 푸리에 변환을 사용하여 쉽게 결정된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} (t)\}&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\cdot {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}^{2}\\&=\mathrm {sinc} ^{2}(f),\end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 ${\displaystyle \mathrm{sinc}}$ ${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \pi }$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ($π$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \sinc$}($x)=\sin(\pi$ x$)/(\pi$ x$)}$은 정규화된 sinc 함수다.

참고 항목

• 켈렌 함수(Kellén 함수), 삼각 함수라고도 함
• 텐트 지도
• 삼각분포
• 삼각파, 조각으로 된 선형 주기 함수
• 삼각함수

참조