비중앙 F-분포

확률 이론과 통계에서 비중심 F-분포는 (일반) F-분포의 비중심 일반화인 연속 확률분포다.그것은 지수(X/n₁)/(Y/n₂)의 분포를 기술하는데, 여기서 분자 X는 자유도가 n인₁ 중심 카이-제곱 분포를 가지고 있고 분모 Y는 자유도가 n인₂ 중심 카이-제곱 분포를 가지고 있다.또한 X와 Y는 통계적으로 서로 독립되어 있어야 한다.null

귀무 가설이 거짓일 때 분산 문제 분석에서 검정 통계량의 분포다.중심 F-분포는 그러한 시험의 동력 기능을 찾는 데 사용된다.null

발생 및 사양

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 비중심적 매개 변수 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda$}과$$(${\displaystyle {와\mathrm{}}_{}}$) $\$ 1 {\$displaystyle$ \$nu _{1}:{$1$}$ 자유도$$ $chi{\displaystyle }$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$displaystystyle $\nu$$$$_{2$}}도의$$ 카이-제곱 랜덤 변수인$$ 경우$일반적$으로 X ${\displaystyle$ X$}$과$($와) 독립된 경우

${\displaystyle F={\frac {X/\nu _{1}{Y/\nu _{2}}:$

중심 F-분산 랜덤 변수.비중앙 F-분포에 대한 확률밀도함수(pdf)는 다음과^[1] 같다.

${\displaystyle p(f)=\sum \limits _{k=0}^{\inflt}{e^{-\lambda /2}(\lambda /2)^{k}}{B\좌({\frac {\nu _{2}},{1}{1}{2}}+k!}}\left({\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}}}\right)^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+k}\left({\frac {\nu _{2}}{\nu _{2}+\nu _{1}f}}\right)^{{\frac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}+k}f^{\nu _{1}/2-1+k}}$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f\geq$ 0$}$및 0인$$ 경우.자유도$$ $\nu {\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $\nu {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 양수다$$.$용어{\displaystyle }$ B${\displaystyle (x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle B(x,y)}$는 베타 함수로, 여기서

${\displaystyle B(x,y)={\frac {\감마(x)\감마(y)}{\감마(x+y)}}.}$

비중앙 F-분포의 누적분포함수는

${\displaystyle F(x\mid d_{1},d_{2},\lambda )=\sum \limits _{j=0}^{\inflt }\왼쪽({\frac {1}{2}}\lambda \right)^{j}}{j!}}}{-\boda /2}\오른쪽)I\left({\frac {d_{1}x}{d_{2}+d_{1}}}x}{\bigg }{\frac {d_{1}:{2}}+j,{\frac {d_{2}}:2}}\오른쪽)}}$

여기서 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은 정규화된 불완전한 베타 함수다.null

비중심 F-분포의 평균과 분산은

${\displaystyle \operatorname {E} [F]\quad {\begin{cases}={\frac {\nu _{2}(\nu _{1}+\lambda )}{\nu _{1}(\nu _{2}-2)}}&{\text{if }}\nu _{2}>2\\{\text{does not exist}}&{\text{if }}\nu _{2}\leq 2\\\end{cases}}}$

그리고

${\displaystyle \operatorname {Var} [F]\quad {\begin{cases}=2{\frac {(\nu _{1}+\lambda )^{2}+(\nu _{1}+2\lambda )(\nu _{2}-2)}{(\nu _{2}-2)^{2}(\nu _{2}-4)}}\left({\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}\right)^{2}&{\text{if }}\nu _{2}>4\\{\text{does not exist}}&{\text{if }}\nu _{2}\leq 4.\\end{case}}$

특례

λ = 0이면 중심 F-분포는 F-분포가 된다.null

관련 분포

Z는 다음과 같은 경우 중심 카이 제곱이 아닌 분포를 가진다.

$\displaystyle Z=\lim _{\nu _{2}\to \infit }\nu _{1}F}$

여기서 F는 중심적이지 않은 F-분포를 가진다.null

중앙이 아닌 t-분포를 참조하십시오.null

구현

비중앙 F-분포는 R 언어(예: pf 함수), Mathematica(Noncentral)의 MATLAB(ncfcdf, ncfinv, ncfpdf, ncfrnd 및 ncfstat 함수)로 구현된다.FRatioDistribution 함수), NumPy(랜덤.noncentral_f) 및 Boost C++ Librarys에서.^[2]null

공동 위키 페이지는 Humboldt-Universitet zu 베를린의 통계학 및 Econometrics of Statistics and Econometrics, Business and Economics, School of Business and Econometrics에서 R 언어로 프로그래밍된 대화형 온라인 계산기를 구현한다.^[3]null

메모들

참조

• Weisstein, Eric W.; et al. "Noncentral F-distribution". MathWorld. Wolfram Research, Inc. Retrieved 20 August 2011.