(a,b,0) 분포 클래스

확률론에서 (a, b, 0) 분포의 구성원은 확률 질량 함수가 반복 공식을 만족하는 비음수 정수인 이산 랜덤 변수 N의 분포다.

${\displaystyle {\frac {p_{k}}{p_{k-1}=a+{\frac {b}{k}}},\qquad k=1,2,3,\messages }}$

일부 실수 a 및 b의 경우, 여기서 ${\displaystyle p_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle P(N}$= ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle p_{k}=P(N=k$

포아송, 이항 분포 및 음이항 분포만이 이 관계의 완전한 형태를 만족한다.2차 분산 함수(NEF–QVF)를 갖는 자연 지수 계열의 6개 멤버들 사이의 세 가지 이산 분포도 이분포함수(NEF–QVF).

보다 일반적인_j 분포는 p의 일부 초기 값을 고정하고 재귀법을 적용하여 후속 값을 정의함으로써 정의할 수 있다.이는 경험적 데이터에 대한 분포를 적합시키는 데 유용할 수 있다.그러나 위의 재귀가 제한된 범위의 k 값(^[1]예: 로그 분포 및 이산형 균일 분포)에 대해서만 유지하면 되는 경우에 잘 알려진 분포가 추가로 이용 가능하다.null

(a, b, 0) 분포의 종류는 손실모형의 맥락에서 보험수리적 과학에 중요한 응용이 있다.^[2]null

특성.

Sundt는[3] 이항 분포, 포아송 분포 및 음의 이항 분포만이 이 분포의 등급에 속하며, 각 분포는 a의 다른 기호로 표현된다는 것을 증명했다.더욱이, Fackler는^[4] (유나이티드) Panjer 분포라고 불리는 세 가지 분포 모두에 대해 보편적인 공식이 있다는 것을 보여주었다.null

이러한 분포의 더 일반적인 모수는 a와 b 모두에 의해 결정된다.현재 분포의 종류와 관련된 이러한 분포의 속성은 다음 표에 요약되어 있다.$W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\$은(는) 확률 생성 함수를 나타낸다$$.null

분배	$P[N=k]\,}$	$a\displaystyle a\,}$	$디스플레이 스타일 b\,}$	${\displaystyle p_{0}\,}$	${\displaystyle W_{N}(x)\,}$	${\displaystyle \operatorname {E} [N]\,}$	${\displaystyle \operatorname {Var}(N)\,}$
이항체	${\displaystyle {\binom {n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}}$	${\displaystyle {\frac {-p}{1-p}}$	${\displaystyle {\frac {p(n+1)}{1-p}}$	${\displaystyle (1-p)^{n}\,}$	${\displaystyle(display+(1-p))^{n}\,}$	$디스플레이 스타일 np\,}$	$[\displaystyle np(1-p)\,}$
포아송	${\displaystyle e^{-\probda }{\frac {\probda ^{k}}{k!}}\,}$	$0\displaystyle 0\,}$	$\displaystyle \lambda \,}$	${\displaystyle e^{-\\data }\,}$	${\displaystyle e^{\putda (x-1)}\,}$	$\displaystyle \lambda \,}$	$\displaystyle \lambda \,}$
음성 이항 분포	${\displaystyle {\frac {\gamma(r+k)}{k!\,\\gamma(r)}\,p^{r}\,(1-p)^{k}\,}$	$1-p\,}$	${\displaystyle(1-p)(r-1)\,}$	${\displaystyle p^{r}\,}$	${\displaystyle \왼쪽 \frac {p}{1-x(1-p)}}\오른쪽)^{r}\,}$	${\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p}}{p},}$	${\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p^{2}}\,}$
판저 분포	${\displaystyle \left(왼쪽 1+{\frac {\fracta }{\property }}}{\fract }{\fracta ^{k}}{k!}}}\prod _{i=0}^{k-1}{\frac {\fract +i}{\prod +\proda },}$	${\displaystyle {\frac {\fractda }{\pair +\pairda }\,}$	${\displaystyle {\frac {(\frac -1)\properda }{\pair +\pa },}$	${\displaystyle \left(1+{\frac {\buffda }}{\buffa }}}}{\buffa }\\,}$	${\displaystyle \left(왼쪽 1-{\frac {\buffda }}{\\\\\}{\\n1}{\n1}{\\\}}}}$	$\displaystyle \lambda \,}$	${\displaystyle \lambda \left(1+{\frac {\lambda }{\property }}\\오른쪽)\,}$

는 Panjer 분포는 제한 사건의 푸아송 분포α→±∞{\displaystyle \alpha \rightarrow \pm\infty}로 줄어든다.;그것은 긍정적인, 한정된 진정한 숫자에 대한 부정적인 이항 분포 α∈ R을, 0{\displaystyle \alpha\in \mathbb{R}_{>0}}, 이항 distribu 각을 일치합니다.ftion또는 음의 정수 -${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$ -$\alpha \in \mathb {Z}$ $\}.$

플로팅

(a,b,0) 등급의 분포에서 주어진 표본을 추출했는지 여부를 신속하게 판단할 수 있는 쉬운 방법은 x축에 대한 연속적인 관측 데이터(상수로 곱한)의 비율을 그래프로 표시하는 것이다.null

재귀 공식의 양쪽에 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$를 곱하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다$.$

${\displaystyle k\,{\frac {p_{k}{p_{k-1}}=ak+b,}$

이것은 왼쪽이 $명백히{\displaystyle }$ k$${\$displaystyle k$}의 선형 함수임을 보여준다$.$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 데이터$$ 샘플을 사용할 경우 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$의$$근사치를 수행해야 한다.$n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$이 $k{\displaystyle }$ 값$${\$displaystyle$k$\}$을(를) 가진 관측치의 수를 나타내는$$${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}경우{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$, ${\displaystyle p_{}}$ $^$k = ${\displaystyle n\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ n ${\k}_{k}={\frac{n_$${$n$}}}}}}}}$은 진정한 ${\displaystyle p_{}}$ $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\$이다$.$

따라서 선형 추세가 보이면 (a,b,0) 분포에서 데이터를 추출한다고 가정할 수 있다.더욱이 함수의 기울기는 매개 변수 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ a$}$인 반면$,$ 원점에서의 $세로좌표$는 b ${\displaystyle b}$일 것이다$.$

참고 항목

• 판제르 재귀

참조