랴푸노프 안정성

이 문서의 선두 부분을 다시 써야 할 수 있습니다. 리드 레이아웃 가이드를 사용하여 섹션이 Wikipedia의 규범을 따르고 모든 필수 세부사항을 포함하도록 하십시오. (2021년 12월) (이 템플릿메시지를 삭제하는 방법과 시기에 대해 알아보기)

시리즈의 일부
천체역학
궤도 역학
궤도 요소 앱시스 근점 인수 편심 기울기 평균 이상 궤도 노드 반장축 진짜 이상
2체 궤도의 종류: 편심 원형 궤도 타원 궤도 전송 궤도 (호만 전달 궤도) 바이엘리전트 전달 궤도) 포물선 궤도 쌍곡선 궤도 반지름 궤도 붕괴 궤도
방정식 동적 마찰 탈출 속도 케플러 방정식 케플러의 행성 운동 법칙 공전 주기 궤도 속도 표면 중력 비궤도 에너지 가시-비바 방정식
천체역학
중력의 영향 바리센터 언덕구 섭동 세력권
N체 궤도 라그랑주 점 (헤일로 궤도) 리사주 궤도 랴푸노프 궤도
엔지니어링 및 효율성
프리플라이트 엔지니어링 질량비 페이로드 프랙션 추진제 질량 분율 치올코프스키 로켓 방정식
효율화 대책 중력 어시스트 오버스 효과
v t

동적 시스템을 설명하는 미분 방정식 또는 미분 방정식의 해에는 다양한 유형의 안정성이 논의될 수 있다.가장 중요한 유형은 평형점에 가까운 용액의 안정성에 관한 것이다.이것은 알렉산드르 랴푸노프의 이론에 의해 논의될 수 있다.간단히 말해 $평형점{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ e$($ 스타일 $x_{e$}) 근처에서$$ 시작된 솔루션이 x $($ x_${e$}) $근처$에 영원히 머무른다면 $x{\displaystyle {}_{}}$ $($ 스타일 $x_{e$})는$$ Lypunov 안정적입니다.보다 강력한 것은 ${\displaystyle x_{}}$ e$($ 스타일 x_{$e})$가 Lyapunov 안정적이고 x $($ $x_$${e})$ $근처$에서 시작되는 모든 솔루션이 ${\displaystyle x_{}}$ e$($ 스타일 $x_{e$로 수렴되는 $경우{\displaystyle {}_{}}$ x $($ 스타일 $x_{e$})는$$ 점근적으로 안정적이라는 $것$입니다.지수 안정성의 개념은 최소한의 붕괴 속도(즉, 솔루션이 얼마나 빨리 수렴되는지에 대한 추정치)를 보장한다.리아푸노프 안정성의 개념은 무한 차원 다양체로 확장될 수 있으며, 여기서 구조적 안정성으로 알려져 있지만 미분 방정식에 대한 "근접" 해법의 거동에 관한 것입니다.입력-상태 안정성(ISS)은 입력이 있는 시스템에 Lyapunov 개념을 적용합니다.

랴푸노프 안정성 이론은 점근 안정성을 나타내지 않는 제한된 삼체 문제와 같은 보수적인 체계에는 적용되지 않는다.

역사

랴푸노프 안정성은 1892년 ^[1]하르코프 대학에서 "운동 안정성의 일반적인 문제"라는 논문을 옹호한 러시아 수학자 알렉산드르 미하일로비치 랴푸노프의 이름을 따왔다.A. M. 랴푸노프는 평형점에 대해 선형화하는 널리 퍼진 로컬 방법과 비교하여 비선형 동적 시스템의 안정성 분석에 대한 글로벌 접근 방식을 개발하는 데 성공한 선구자였다.처음에 러시아어로 출판되었다가 프랑스어로 번역된 그의 작품은 오랫동안 거의 주목을 받지 못했다.A. M. 랴푸노프에 의해 설립된 운동의 안정성에 대한 수학 이론은 과학과 기술에 대한 그것의 시행 시기를 상당히 예측했다.게다가 랴푸노프 자신은 이 분야에 응용하지 않았고, 천문학적인 응용으로 유체 덩어리를 회전시키는 안정성에 관심이 있었다.안정 분야에서 연구를 수행한 박사과정 학생이 없었고 1917년 러시아^{[citation needed]} 혁명으로 그의 운명은 끔찍하게 비극적이었다.수십 년 동안 그 안정론은 완전히 잊혀졌다.1930년대 카잔 항공연구소에서 일하던 러시아-소련 수학자이자 기계공인 니콜라이 구리예비치 체태프는 A. M. 랴푸노프의 놀라운 발견의 규모를 처음으로 깨달았다.N. G. 체태프가^[2] 만든 이론에 대한 기여는 매우 중요해서 많은 수학자들, 물리학자 그리고 기술자들은 그를 랴푸노프의 직접적인 후계자이며 안정성의 수학적 이론의 창조와 발전에 있어 차선의 과학적 후예로 여겼다.

냉전시대에 소위 "랴푸노프의 제2의 방법"(아래 참조)이 일반적으로 다른 방법으로는 치료할 수 없는 강한 비선형성을 포함하는 항공우주 유도 시스템의 안정성에 적용 가능한 것으로 밝혀지면서, 이에 대한 관심이 갑자기 치솟았다.그때 이후로 제어 및 시스템 ^{[3][4][5][6][7]}문헌에 많은 출판물이 등장하였다.보다 최근에는 랴푸노프 지수 개념(랴푸노프의 안정성을 논하는 첫 번째 방법과 관련됨)이 카오스 이론과 관련하여 폭넓은 관심을 받고 있다.랴푸노프 안정성 방법은 트래픽 할당 ^[8]문제에서 평형 솔루션을 찾는 데도 적용되었습니다.

연속 시간 시스템의 정의

자율 비선형 동적 시스템 고려

${\displaystyle \stackrel{}{x}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$ f${\displaystyle =}$ ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle x}$ (${\displaystyle t}$) ,${\displaystyle x}$ (${\displaystyle 0}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}_{}}$ { \ $displaystyle { x$ } $= f$ ( x ( t ) 、 \ ; \ ; x ( 0 ) =$x$_ {$0$} ,

$여기$서${\displaystyle }$x (${\displaystyle t}$ ${\displaystyle )\in }$ ${\displaystyle D\mathcal{}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$\ $displaystyle$x ($t$) \ $in${ $mathcal${ D } \$subseteq$ \ $mathbb$ { R } ^ { n$$}는$$ 시스템$$ 상태 벡터를 $,$ D$(\displaystyle$ {$D})$는 원점을 포함하는 열린 집합이며${\displaystyle ,}$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle D\mathcal{}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}^{}}$(\$displaystyle$ f$(\$displaystyle: {\$cal$:\cal: {D})는 $rightcal:$ {\cal})입니다.${\displaystyle }$$D{\displaystyle }$$(\$ f${\displaystyle (x_{}}$ e${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle =}$ $(x$ e) = $0{\displaystyle }$(\$displaystyle$ f$(x_{e$}) = 0$}$인 경우 f(\$displaystyle$ f_displaystyle f$)$는 ${\displaystyle x_{}}e$에서 평형을 갖습니다.

1. 모든 ϵ 을 모든 0{\displaystyle \epsilon>0}aδ 을이 존재하 평형 랴푸 노프 안정적으로,;0{\displaystyle \delta>0}과 같이 모든 t동안 ≥ 만약‖)(0)− xe‖<>δ{\displaystyle)x(0)-x_{e}\<>\delta}, 후 0우리가 ‖다{\displaystyle t\geq 0})(t)− xe.다고 한다 ‖<>ϵ{\display$style \ x$ ($t$ ) - $x$_ { $e }$ \ <\ $silon$ 。
2. 위의 시스템의 균형이 만약 랴푸 노프 그리고 δ 을 존재하는 안정적이다 점차적으로 안정적으로;0{\displaystyle \delta>0}if)(0)− xe‖<>δ{\displaystyle)x(0)-x_{e}\<>\delta}‖이 있다면 lim 그런 t → ∞ ‖)(t)− xe‖)0{\displaystyle \lim_{t\rightarrow \infty}\인덴다고 한다(t)-x_{e}\)$0$ 입니다.
3. 위의 시스템의 균형이 점차적으로 그리고 α 을 존재하는 안정된 것이 기하 급수적으로 안정적으로;0,β>;0,δ>0{\displaystyle \alpha>0,\beta>0,\delta>0}과 같이 if)(0)− xe‖<>δ{\displaystyle)x(0)-x_{e}\<>\delta}, 그때 ‖)‖(t)− xe‖ ≤ α ‖)(0)−다고 한다.)e‖ e− β t $\displaystyle \x(t)-x_{e}\leq$\alpha $\x(0)-x_{e}\e^{-\$$displaystyle$ t$\geq$ 0$\}($$모든$ t${\displaystyle 0}$ 0$).$

개념적으로 상기 용어의 의미는 다음과 같습니다.

1. 평형의 리아푸노프 안정성은 평형에서 "충분히" 가까운 거리$(\$$displaystyle$$\delta$$)$에서 시작하는 솔루션이 (\displaystyle$\epsilon$$\)$ $영원히{\displaystyle }$ "충분히 가까운" 상태를 유지함을 의미한다.이것은 선택하는 $임의$의 $\\displaystyle\epsilon$에 대해 해당되어야 합니다.
2. 점근 안정성은 충분히 가까이에서 시작하는 해는 충분히 가까이 있을 뿐만 아니라 결국 평형으로 수렴한다는 것을 의미한다.
3. 지수 안정성은 솔루션이 수렴할 뿐만 아니라 실제로 특정 알려진 $속도\alpha {\displaystyle \mu }$x (${\displaystyle 0}$) - ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}{†}^{}}$ ${\displaystyle e^{}}$ - ${\displaystyle {\beta }^{}}$t \ $displaystyle$\alpha $\ x$ ($0)$ - x$_$ { $e$} \ $e^{$ - \ $beta$ t$\}$보다 더 빠르거나 더 빠르게 수렴됨을 의미합니다.

$궤적{\displaystyle }$x (${\displaystyle t}$ ) $=$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle t}$ $){$ $displaystyle$x ( $t$)=\$phi$($t)}$는 다음과 같은 경우 매력적이다.

${\displaystyle t}$${\displaystyle }$${\displaystyle t}$ x ( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$-${\displaystyle \varphi }$‖$→$ $0$ ( \$displaystyle$\ x ($t$ ) - \$phi$ ( $t$ ) \ $rightarrow$0$$ t t t${\displaystyle }$$→$ 0 ( \ $displaystyle$t \$rightarrow$ \ infty $)$

$t)$ {displaystyle \$phi(t$에 충분히 가깝게 시작하고, 이 특성이 모든 궤적에 유지된다면 전체적으로 매력적인 모든 $궤적{\displaystyle }$ x$t)$ {$displaystyle$$\$phi(t)}.

즉, x가 안정적인 다양체의 내부에 속한다면, 매력적이고 안정적인 경우 점근적으로 안정적입니다.(매력은 점근 안정성을 의미하지 않는다는 것을 보여주는 예들이 있다.이러한 예는, 동사 접속을 사용해 간단하게 작성할 수 있습니다).

평형에서의 동적 시스템의 야코비안이 안정성 매트릭스일 경우(즉, 각 고유값의 실제 부분이 엄밀하게 음수인 경우), 평형은 점근적으로 안정적이다.

편차의 체계

평형점($항정해{\displaystyle }$x (${\displaystyle t)}$ $=$ ${\displaystyle x_{}}$e ({$displaystyle$x(t)=$x_{e$}))$$ 근처에서만 안정성을 고려하는 것이 아니라 $임의$의 해${\displaystyle }$x (${\displaystyle t)}$ $=$ ($)\displaystyle$x(t)=\$phi(t$ 부근에서 안정성에 대한 유사한 정의를 도출할 수 있다. 그러나 평형점에 의해 보다 일반적인 경우를 줄일 수 있다."편차 체계"라고 불리는 변수의 변화.미분 방정식에 따라 y ${\displaystyle =x}$ - ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle t}$) {$displaystyle$ y$=x-\phi (t$를 $정의$합니다.

${\displaystyle \stackrel{}{}y}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}\dot{}}=}$ ${\displaystyle f}$ ( t ,${\displaystyle }$y + ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle t}$ (${\displaystyle }$t${\displaystyle }$) -${\displaystyle \varphi \stackrel{}{}}$ (${\displaystyle }$（${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle =g}$ ( ,${\displaystyle }$y )$=$ {$displaystyle${$$y } =$f$( t , $y$+ \ $phi$( t ) $} = g$ ($t$ )$$$。$

이것은 더 이상 자율 시스템이 아니지만, 안정성이 원래 $솔루션$의 안정성과 ${\displaystyle \mathrm{동일}}$한 y ${\displaystyle =}$(\$displaystyle$ y$=0)$에서 보장된 평형점을 가집니다${\displaystyle .}$ x (${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle t}$) \ $displaystyle$x ( t ) = \$phi$($$t )

랴푸노프의 두 번째 안정성 방법

리아푸노프는 1892년 그의 원저작에서 안정성을 ^[1]입증하기 위한 두 가지 방법을 제안했다.첫 번째 방법은 일련의 방법으로 솔루션을 개발했으며, 그 결과 한계 내에서 수렴하는 것으로 입증되었습니다.현재 랴푸노프 안정성 기준 또는 직접 방법이라고 불리는 두 번째 방법은 고전 역학의 잠재적 기능과 유사한 랴푸노프 함수 V(x)를 사용한다.이는 x${\displaystyle \stackrel{}{}}$$=$ ${\displaystyle 0}$에서 $평형점$을 $갖는{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 시스템 x $=$ ( x$$) { $displaystyle$ {x}$$=$$f (x) }에$$ 대해 다음과 같이 소개됩니다${\displaystyle .}$ V : ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ { \ $displaystyle V$: \ $mathbb${ R } ^ { $n$} \ $rightarrow$\ $mathbbb$ { r} { R } { R } { R } { R } { R } } $}$ } }$$} }의 함수를 고려하십시오.

• ${\displaystyle V}$(${\displaystyle }$x ) ${\displaystyle =}$ { $style$$$V ( x ) $=$ ${\displaystyle 0}$ 인 $경우$에만 0 { $display$ v ( x )= $0$ }
• (x 0 0$$\ $display style$V $(x$)>$0$$$) (x${\displaystyle 0}$ 0인 $경우$에만)
• $V$ (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{d}}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{t}{}\frac{}{}}$ (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ n${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\frac{\mathrm{}\mathrm{partial}}{}}$ V${\displaystyle \frac{\mathrm{}{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x_{}}{}}$ ${\displaystyle f_{}}$i (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle \mathrm{=}}$ V${\displaystyle \mathrm{partial}}$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle 0}$ 0$$partial 0 partial { $display style$ { V } ( x )$= sum$ frac { $d } V$ ( x ) = { $dt}$V ( x ){ $n$} $fr$}$V$${\displaystyle 0}$() < \$display style$ { $V$} $x$$$） < $0$$0$ 0$0$ 。

그런 다음 V(x)를 Lyapunov 함수라고 하며, 시스템은 Lyapunov의 의미에서는 안정적입니다($예{\displaystyle :}$ ${\displaystyle V}$( 0 )$$$=$ ${\displaystyle 0}$ { $display style$V ( 0 )$=$0 { display$$ $style$ V ( 0 ) ${\displaystyle =}$ $1$/ (${\displaystyle 1}$+ x$$$$) { $display style$V ( ${\displaystyle 1}$ + x )${\displaystyle }$} } ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$ x x x x $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$ x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x지구 안정을 결론짓기 위해서는 "적절성" 또는 "방사적 무한성"이라고 불리는 추가 조건이 필요합니다.전역 점근 안정성(GAS)도 이와 유사합니다.

물리적 시스템(예: 진동 스프링 및 질량)을 생각하고 그러한 시스템의 에너지를 고려함으로써 이 분석 방법을 시각화하는 것이 더 쉽다.시간이 지남에 따라 시스템이 에너지를 손실하고 에너지가 복원되지 않으면 결국 시스템이 정지하고 최종 정지 상태에 도달해야 합니다.이 마지막 상태를 유인기라고 합니다.그러나 물리적 시스템의 정확한 에너지를 제공하는 함수를 찾는 것은 어려울 수 있으며, 추상적인 수학 시스템, 경제 시스템 또는 생물학적 시스템의 경우, 에너지의 개념이 적용되지 않을 수 있습니다.

Lyapunov는 Lyapunov 함수가 위의 제약조건을 만족시킬 수 있다면 실제 물리적 에너지에 대한 지식이 없어도 안정성을 증명할 수 있다는 것을 깨달았습니다.

이산 시간 시스템의 정의

이산 시간 시스템의 정의는 연속 시간 시스템의 정의와 거의 동일합니다.아래 정의는 더 수학적인 텍스트에서 일반적으로 사용되는 대체 언어를 사용하여 이를 제공합니다.

(X, d)를 미터법 공간, f : X → X를 연속 함수라고 하자.X의 x점은 랴푸노프가 안정적이라고 한다.

$\displaystyle \forall \epsilon > 0 \ exists \ delta > 0 \ forall y \ in X \ left [ d ( x , y ) < \ delta \ Rightarrow \ forall n \ in \ mathbf { N } \ d \ left ( f^ { n } ( x , f } ) \ n \ right )<\ipsilon\right]}$

우리는 x가 안정적인 집합의 내부에 속한다면 점근적으로 안정적이라고 말한다.

$(\displaystyle \displaystyle \light [d(x,y)\left [\display \right]오른쪽 화살표 \lim _{n\to \infty }d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)=0\right]}$

선형 상태 공간 모델의 안정성

선형 상태 공간 모형

${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{\text{x}}}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$\$display$ \ $dot$\ $textbf${ x } =$A${ \ $textbf${$x$}$$、

$여기$서 A\$displaystyle$A는$$ 유한 매트릭스이며, A$\displaystyle$의 고유값의 모든 실제 부분이 음수인 경우 점근적으로 안정적입니다(실제로 지수적으로 안정됨).이 조건은 다음과 같습니다.^[9]

${\displaystyle A^{\textsf {T}}M+MA}$

는 일부 양의 유한 $행렬{\displaystyle }$ M ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$ ${\$ M=$M^{\textsf {T$에 대해 음의 확정 행렬입니다.$$ (해당 랴푸노프 함수는 V${\displaystyle (x)}$ $=$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle M}$x {\$displaystyle$ V$(x$)=$x^{\textsf {T}Mx$}})입니다.)

이에 대응하여 시간 이산 선형 상태 공간 모델

${\displaystyle {textbf {x}}_{t+1}=A{\textbf {x}}_{t}}$

$A의$$모든{\displaystyle }$ 고유값이 1보다 작은 계수를 갖는 경우 점근적으로 안정적입니다(실제로 지수적으로 안정됨).

후자의 조건은 스위치드 시스템으로 일반화되어 있습니다.선형 스위치드 이산 시간 시스템({${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle }$…, $}${$displaystyle \{A_{1},\dots,A_{m$

${\displaystyle {{\textbf {x}}_{t+1}}=A_{i_{t}}{\textbf {x}}_{t},\quad A_{i_{t}}\in \{A_{1},\dots,A_{m}\}$

집합${\displaystyle }${${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle A_{}}$ $}({displaystyle$\{$A_{1},\dots,A_{m}\})$의 결합$$ 스펙트럼 반경이 1보다 작을 경우 점근적으로 안정적입니다(사실 기하급수적으로 안정됨).

입력이 있는 시스템의 안정성

입력(또는 제어)이 있는 시스템은 다음과 같은 형태를 가진다.

$({displaystyle {dot {textbf {x}}=textbf {f}}({\textbf {x}}, {\textbf {u}})})$

여기서 (시간 의존적인) 입력 u(t)는 제어, 외부 입력, 자극, 방해 또는 강제 기능으로 볼 수 있다.랴푸노프가 안정된 평형점 근처에서는 작은 장애에서도 시스템이 안정적인 것으로 나타났다.더 큰 입력 장애의 경우, 그러한 시스템의 연구는 제어 이론의 대상이 되고 제어 공학에 적용된다.입력이 있는 시스템의 경우 입력이 시스템 안정성에 미치는 영향을 정량화해야 합니다.이 분석에 대한 두 가지 주요 접근방식은 BIBO 안정성(선형 시스템의 경우)과 입력-상태 안정성(ISS)(비선형 시스템의 경우)이다.

예

이 예에서는 랴푸노프 함수를 사용하여 랴푸노프의 안정성을 증명할 수 있지만 점근 안정성을 나타낼 수 없는 시스템을 보여 줍니다.마찰항이 변경된 반데르폴 발진기 방정식에 기초하여 다음 방정식을 고려합니다.

${\displaystyle {\dot {y}}+y-\varepsilon {\dot {y}}{3}}-{\dot {y}}=0.}$

허락하다

${\displaystyle x_{1}=y,x_{2}=marchdot {y}}$

따라서 해당 시스템은

$({displaystyle {x}&{\dot {x}=x_{2},\&{\dot {x}=-x_{1}+\varepsilon \flac {x_{2}{3}}-{3}}-{x_{2}}\오른쪽).\end { aligned}}$

$원점{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \text{x}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ $=$(\$displaystyle x_{1$}=$0,\x_{2$}=$0)$이 유일한 평형 지점입니다.Lyapunov 함수로 선택합시다.

${{displaystyle V=black {1}{2}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}}^{2}\right)}$

확실히 확실합니다.그 파생상품은

${\displaystyle {V}=x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}_{2}=x_{1}-x_{2}-{2}x_{2}+\varepsilon {3}-\varepsilon {x_{2}^{2}=\varepsilon {3}-{frac {x_{2}^{2}}:{4}-varepsilon {3}:{flon}}$

그것은 매개 변수 ε{\displaystyle \varepsilon}긍정적인, 안정성 x22<>;3.{\displaystyle x_{2}^{2}<, 3점근고 있는 것 같다.이후 V({\displaystyle{\dot{V}}}x1{\displaystyle x_{1}에}의존하지 않는다}그러나 이,,, 0은 x1{\displayst은 잘못된 것입니다.$yle x_{1}}$축$$.평형은 랴푸노프 안정적이지만 점근적으로 안정되지는 않습니다.

바발라트의 보조와 시변 시스템의 안정성

f는 시간 함수라고 가정합니다.

• f${\displaystyle (}$ (${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle \to }$ { \ $displaystyle${ $f$} \ $to$ 0$$${\displaystyle \mathrm{\}}}$ $does$${\displaystyle }$f (${\displaystyle t}$) { $displaystyle$f ($$ )}$$ $$$→$ sin $（$ $displaystyle$ f$(t)$로 $제한$되는 것은 아닙니다.
• $f$$)$ {$displaystyle$ f$($$)}$가 t ${\displaystyle \to }$ { ${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $t$$\$$to$ \$infty$} $로서{\displaystyle }$ 제한에 $가까워졌다고{\displaystyle }$ 해서 f${\displaystyle =}$ $（$ t ）$$ 0 { $display {f$ = $sin{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ）/ > $display style$ f$(t →$left left ) ((((((((((((((((leftleftleftleftleftleftleftleft\leftleftleftleftleftleftleftleftleftleftleftleftleftleft\$left$ ${\displaystyle \mathrm{having}}$\leftleft((((
• f${\displaystyle (}$ $)$ {$displaystyle$ f$(t)}$의 하한 및 감소( ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$ ${\$ {$displaystyle {f}\leq$ 0$)$는 한계값으로 수렴됨을 의미합니다.단, f$→$ ${\displaystyle 0}$ $(\displaystyle {$f}\$to$ 0$$$)$인지 t ${\displaystyle \mathrm{\to }}$t (\$displaystyle t\to$ \infty$)$인지 여부는 $표시$되지 않습니다.

Barbalat의 Lemma는 다음과 같이 말합니다.

f${\displaystyle (}$ $)$ {$displaystyle$ f$(t)}$가 t $display$ {$$$displaystyle t$\ to \$infty }$로 유한한 제한이 있고 f$(\displaystyle$ {$f$$})$가 균일하게 연속($또는{\displaystyle \stackrel{}{}}$ f$¨$ {$dot$$${$f$$})$인 $경우{\displaystyle \stackrel{}{}}$ $f{\displaystyle \stackrel{}{}(t)}$ ${\displaystyle \to }$ $(t)$로 $제한됨{\displaystyle }$$fty$ $\}$^[11] 입니다.

대체 버전은 다음과 같습니다.

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle [}$ [${\displaystyle 1}$ , "${\displaystyle }$" " )$$、 { $displaystyle p$\ $in$[ 1, \ infty$$} ${\displaystyle {}^{}}$ q q${\displaystyle 1}$ 1 1 ${\displaystyle 、}$ $1$, "$]{$ $style$ \$in$ ($1$, \ $infty$$$)$$} 。${\displaystyle \mathrm{f}}$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{L}}$p ( 0 ,${\displaystyle }$" ) 、 \ $displaystyle$ f \ ${\displaystyle {in}^{}}$ L$$${\displaystyle \}}$$$( 0 , \ in$$ L${\displaystyle }$、 0 )$$∞ ) $0{\displaystyle \stackrel{}{}}$ )${\displaystyle \mathrm{、}}$$displaystyle t\to \infty .} 를 표시합니다.$

다음 형태에서 보조항은 벡터 값인 경우에도 참이다.

$f$${\displaystyle (}$ $)$ {$displaystyle$ f$(t)}$를 바나치 $공간{\displaystyle }$E(\$displaystyle$ E$)$의 값으로$$ 균등하게 연속되는 함수라고 $가정$하고,$display$ 0${\displaystyle {}_{}^{}}$ f (${\displaystyle display\mathrm{}}$ ) d$$ { 0$t$}$$f ( \ displaystyle \$textstyle _${ $0$} \ t } f ( \ displaystyle ) \ tt$$ $displaystyle$ \ tyle } \ tyle \ $tyle$} \ tyle$$displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay \ tyle $displaydisplaydisplaydisplay$ \ t$style$ f$(t)\to$0을$$ t ${\displaystyle \to }$ \$displaystyle$ t$\to$ \$infty$ $\}$^[13]로 $지정$합니다.

다음 예는 Slotine and Li의 저서 Applied Ninaline Control의 125페이지에서 인용한 것입니다.

비자율 시스템을 고려하다

${\displaystyle {e}}=-e+g\cdot w(t)}$

$(\displaystyle\dot {g}=-e\cdot w(t)).}$

$입력{\displaystyle }$ w$\displaystyle$w는$$ 시간 함수이므로 이것은 비자율적입니다.$입력{\displaystyle }$w (${\displaystyle t}$) {$display$ w$(t)}$ 가$$ 경계되어 있다고 가정합니다.

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle {}^{}}$({$displaystyle$ V$=e^{2}+g^{2})$를 취하면 V ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$ $=$ - ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}0}$0이 $.$ $({displaystyle {V$}}}=-$2e^{2}\leq$ 0$.)$

이것은 첫 번째 두 가지 조건에 의해 V${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$ )${\displaystyle v}$V ( $){$ $displaystyle$V ($t$ )\$leq$V ($0$ )이$$ 경계임을 $나타냅니다{\displaystyle }$.$따라서{\displaystyle }$ e$${ $display style$ e$}$와$$g { $display style$ g$}$는 경계입니다.그러나 e$(디스플레이 스타일$ e$)$가 0으로 수렴되는 것에 대해서는 아무 말도 하지 않습니다.게다가, 불변 집합 정리는 적용할 수 없다. 왜냐하면 그 역학은 비자율적이기 때문이다.

Barbalat의 보조군 사용:

${\displaystyle \stackrel{}{V}}$ ${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle 4e}$( -${\displaystyle e}$ + ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \cdot w}$) { $displaystyle${ V } = - $4$e ( -$e$ +$g$ \ $cdot$w )$$}

이것은$$e\$displaystyle$e$},$ g\$displaystyle$g$$}$및{\displaystyle }$ w\$displaystyle$w}가 경계이기 $때문$에 경계입니다.즉, V${\$ ${\displaystyle \to }$ $({displaystyle$ {$V}}\to$ 0$)$이 t ${\displaystyle \mathrm{\to }}$ t $→$ 0({$displaystyle$ t$\to$ \$infty})$이므로 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle \to }$({$displaystyle$ e$\to$ 0$)$이 $됩니다{\displaystyle \stackrel{}{}}$.이것에 의해, 에러가 수렴하는 것이 증명됩니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 랴푸노프 함수
• 섭동 이론
• 라살레의 불변성 원리
• 마르쿠스-야마베 추측

레퍼런스

추가 정보

• Bhatia, Nam Parshad; Szegő, Giorgio P. (2002). Stability theory of dynamical systems. Springer. ISBN 978-3-540-42748-3.
• Chervin, Robert (1971). Lyapunov Stability and Feedback Control of Two-Stream Plasma Systems (PhD). Columbia University.
• Gandolfo, Giancarlo (1996). Economic Dynamics (Third ed.). Berlin: Springer. pp. 407–428. ISBN 978-3-540-60988-9.
• Parks, P. C. (1992). "A. M. Lyapunov's stability theory—100 years on". IMA Journal of Mathematical Control & Information. 9 (4): 275–303. doi:10.1093/imamci/9.4.275.
• Slotine, Jean-Jacques E.; Weiping Li (1991). Applied Nonlinear Control. NJ: Prentice Hall.
• Teschl, G. (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Wiggins, S. (2003). Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos (2nd ed.). New York: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-00177-7.

이 문서에는 Creative Commons Attribution/Share-Alike License에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath에서 점근적으로 안정적인 자료가 포함되어 있습니다.