피어슨 분포

Pearson 시스템의 다이어그램, 유형 I, III, VI, V, IV의 분포를 β₁(제곱 왜도) 및 β₂(전통 첨도) 단위로 표시

Pearson 분포는 연속 확률 분포의 집합이다. 1895년 칼 피어슨에 의해 처음 출판되었고, 그 후 1901년과 1916년에 생물통계학에 관한 연재기사로 확장되었다.

역사

Pearson 시스템은 원래 눈에 띄게 왜곡된 관찰을 모형화하기 위한 노력의 일환으로 고안되었다. 처음에 관측된 데이터의 두 누적분 또는 모멘트에 맞도록 이론적 모델을 조정하는 방법은 당시에 잘 알려져 있었다. 어떤 확률 분포도 직설적으로 확장하여 위치 척도 패밀리를 형성할 수 있다. 병리학적 경우를 제외하고, 관측 평균(1차 누적)과 분산(2차 누적)에 임의적으로 잘 맞도록 위치 척도 패밀리를 만들 수 있다. 그러나 왜도(표준화된 제3의 누적분포)와 첨도(표준화된 제4 누적분포)를 자유롭게 조정할 수 있는 확률분포를 어떻게 구성할지 알 수 없었다. 이러한 필요성은 왜도를 나타내는 관측 데이터에 알려진 이론적 모델을 적합시키려 할 때 명백해졌다. 피어슨의 예로는 생존자료가 있는데, 보통 비대칭이다.

Pearson(1895, 페이지 360)은 원래 논문에서 정규 분포(원래는 V형이라고 알려짐) 외에 4가지 유형의 분포(번호 I부터 IV까지)를 확인했다. 분류는 분포가 경계 간격, 반선 또는 전체 실제 선에서 지원되는지 여부, 그리고 분포가 잠재적으로 치우쳐 있거나 반드시 대칭인지에 따라 달라졌다. 두 번째 논문(Pearson 1901)은 두 가지 누락을 고쳤다: V형 분포(원래는 정규 분포에 불과하지만 지금은 역감마 분포)를 재정립하고 VI형 분포를 도입했다. 처음 두 개의 논문은 함께 Pearson 시스템의 다섯 가지 주요 유형(I, III, IV, V, VI)을 다루고 있다. 세 번째 논문에서 Pearson(1916)은 추가적인 특수 사례와 하위 유형(VII에서 XII까지)을 소개했다.

라인드(1909, 페이지 430–432)는 피어슨 시스템의 매개변수 공간을 시각화하는 간단한 방법을 고안했고, 이후 피어슨에 의해 채택되었다(1916, 플레이트 1과 페이지 430ff, 448f). Pearson 유형은 일반적으로 β와₁ β로₂ 불리는 두 가지 양으로 특징지어진다. 첫 번째는 왜도의 제곱: $\beta _{1}=\gamma _{1}^{2}$ 1 $\beta _{1}=\gamma _{1}^{2}$ = $\beta _{1}=\gamma _{1}^{2}$ $\beta _{1}=\gamma _{1}^{2}$ $\beta _{1}=\gamma _{1}^{2}$ ${\$ }2 $}}:$ 여기서 $\beta _{1}=\gamma _{1}^{2}$ ₁ γ은 왜도 또는 세 번째 표준화된 모멘트. 두 번째는 전통적 첨도, 즉 네 번째 표준화된 순간: β₂₂ = + + 3. (현대 치료법에서는 순간 대신 적혈구 측면에서 첨도 γ을₂ 정의하므로 정상적인 분포의 경우 γ₂ = 0, β₂ = 3을 갖는다. 여기서 우리는 역사적 선례를 따르고 β를₂ 사용한다.) 오른쪽의 도표는 주어진 콘크리트 분포(점₁(β, β₂)로 식별)가 속하는 Pearson 타입을 나타낸다.

오늘날 우리에게 익숙한 왜곡된 또는 비-메소쿠르틱 분포의 많은 부분은 1890년대 초반에 여전히 알려지지 않았다. 현재 베타 분포로 알려진 것은 토마스 베이즈(Thomas Bayes)가 1763년 그의 역확률에 관한 연구에서 베르누이 분포의 매개변수의 후분포로서 사용했었다. 베타 분포는 피어슨의 시스템에 소속되어 있어 두각을 나타냈고, 1940년대까지 피어슨 타입 I 분포로 알려져 있었다.(^[1]페르손의 타입 II 분포는 타입 I의 특수한 경우지만, 일반적으로 더 이상 선택되지 않는다.) 감마 분포는 Pearson의 작품(Peerson 1893, 페이지 331; Pearson 1895, 페이지 357, 360, 373–376)에서 유래하였으며, 1930년대와 1940년대에 현대적인 이름을 얻기 전에 Pearson 타입 III 분포로 알려져 있다.^[2] 피어슨의 1895년 논문은 학생의 t-분포를 특례로 수록한 IV형 분포를 소개하면서 윌리엄 씰리 고셋의 후속 활용을 몇 년 앞당겼다. 그의 1901년 논문은 역감마 분포(유형 V)와 베타 프라임 분포(유형 VI)를 소개했다.

정의

Pearson 밀도 p는 미분 방정식(cf)에 대한 유효한 솔루션으로 정의된다. Pearson 1895, 페이지 381)

{\frac {p'(x)}{p(x)}}+{b_{0}+b_{1}(x-\mu )+b_{2}(x-\mu )^{2}}=0}=0.\qquad(1)

다음 항목 포함:

{\begin{aligned}b_{0}&={\frac {4\beta _{2}-3\beta _{1}}{10\beta _{2}-12\beta _{1}-18}}\mu _{2},\\[5pt]a=b_{1}&={\sqrt {\mu _{2}}}{\sqrt {\beta _{1}}}{\frac {\beta _{2}+3}{10\beta _{2}-12\beta _{1}-18}},\\[5pt]b_{2}&={\frac {2\beta _{2}-3\beta _{1}-6}{10\beta _{2}-12\beta _{1}-18}}.\end{정렬}}

Ord,[3]피어슨에 따르면의 기초 방정식(1)의 내부 형식을 고안했다, 첫째로 정규 분포(는 선형 기능을 가지게)의 밀도 함수의 값에 대한 초 기하 분포의 확률 질량 함수에 복귀 관계에서 로그와 두번째로,의 파생물에 대한 공식이다.(which는 직교구조에 의한 선형 구조를 산출한다.

방정식 (1)에서 모수 a는 정지점을 결정하며, 따라서 일부 조건에서는 다음과 같이 분포의 모드가 된다.

p'(\mu -a)=0

미분방정식에서 바로 따르다.

가변 계수를 갖는 1차 선형 미분 방정식에 직면하기 때문에 그 해법은 간단하다.

p(x)\propto \ex \lefts\int {\frac {x+a}{b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}}\,dx\오른쪽).

이 솔루션에 포함된 통합은 통합의 특정 특별한 경우를 고려할 때 상당히 단순화된다. Pearson(1895, 페이지 367)은 2차 함수의 판별 기호(따라서 실제 뿌리의 수)에 의해 결정되는 두 가지 주요 사례를 구분했다.

f(x)=b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}.\qquad (2)

특정 분포 유형

사례 1, 음성 판별

Pearson 유형 IV 분포

2차 함수(2)의 판별이 음수( $b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}<0$ 1 $b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}<0$ - $b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}<0$ 4 $b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}<0$ 2 $b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}<0$ b $b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}<0$ < 0 $(\displaystyle b_{1}^{2}-4b_{0})$ 이면 실제 $b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}<0$ 루트가 없다. 그런 다음 정의하십시오.

{\displaystyle{\b_y&=x+{\frac{b_{1}{1}{b_{2}}:\{2b_{2},\[5pt]\fract &={4b_{0}-b_{1}^{1}2}}:{2b_{2}}.\end{정렬}}}

$가정$ $4b_{2}b_{0}-b_{1}^{2}>0$ $4b_{2}b_{0}-b_{1}^{2}>0$ $4b_{2}b_{0}-b_{1}^{2}>0$ $4b_{2}b_{0}-b_{1}^{2}>0$ $4b_{2}b_{0}-b_{1}^{2}>0$ - b $4b_{2}b_{0}-b_{1}^{2}>0$ $4b_{2}b_{0}-b_{1}^{2}>0$ > 0 $4b_{2}b_{0}-b_{1}^{1}^{2}$ 에 $4b_{2}b_{0}-b_{1}^{2}>0$ 따라 $b 2$ ≠ $0$ 으로 잘 정의된 실수와 $α$ ≠ $0임$ 을 관찰한다. 이러한 대체물을 적용하면 2차 함수(2)가 변환된다.

f(x)=b_{2}(y^{2}+\cHB ^{2}).

α는² 반드시 양성이기 때문에 이 제형에서 실제 뿌리의 부재는 명백하다.

이제 미분방정식(1)에 대한 해결책을 y의 함수로 표현한다.

p(y)\propto \exp \left \frac{1}{1}{b_{1}:{2}}:}+a}{y^{2}+}{2}}:00}{2}}:00}{y^{2}+}\dy\right)\\\\frac {1}\frac {1}\frac {1}

Pearson (1895, 페이지 362)은 이것을 "트리거 계수형 케이스"라고 불렀다.

\int {\frac {y-{\frac {2b_{2}a-b_{1}}{2b_{2}}}}{y^{2}+\alpha ^{2}}}\,dy={\frac {1}{2}}\ln(y^{2}+\alpha ^{2})-{\frac {2b_{2}a-b_{1}}{2b_{2}\alpha }}\arctan \left({\frac {y}{\alpha }}\right)+C_{0}

역삼각계 아크탄 함수를 포함한다. 그러면

p(y)\propto \exp \left[-{\frac {1}{2b_{2}}}\ln \left(1+{\frac {y^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)-{\frac {\ln \alpha }{b_{2}}}+{\frac {2b_{2}a-b_{1}}{2b_{2}^{2}\alpha }}\arctan \left({\frac {y}{\alpha }}\right)+C_{1}\right].

마지막으로

{\b_{2}m&={\frac {1}{2b_{2}}:\\[5pt]\nu &=-{\fract}{2b_{2}a-b_{1}}}}{2b_{2}^{2}}\i1}.\end{정렬}}

이러한 대체물을 적용하여 다음과 같은 파라메트릭 함수를 얻는다.

p(y)\propto \left[1+{\frac{2}}:}{{2}}:\right]^{-m}\exp \[-\nu \arctan \leftan \leftpattan \y}{\frac{\}}}}\right)\right)].

이 비정형화된 밀도는 전체 실제 라인에서 지지를 받고 있다. 스케일 파라미터 α > 0, 형상 파라미터 m > 1/2 및 ν에 따라 달라진다. x가 아닌 y의 함수로 미분방정식(1)에 대한 해결책을 찾기로 했을 때 하나의 매개변수가 손실되었다. 따라서 네 번째 매개변수, 즉 위치 매개변수 λ을 다시 도입한다. 따라서 Pearson 유형 IV 분포의 밀도를 다음과 같이 도출했다.

p(x)={\frac {\left {\frac {\operatorname {\Gamma } \left(m+{\frac {\nu }{2}}i\right)}{\Gamma (m)}}\right ^{2}}{\alpha \operatorname {\mathrm {B} } \left(m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}}\left[1+\left({\frac {x-\lambda }{\alpha }}\right)^{2}\right]^{-m}\exp \left[-\nu \arctan \left({\frac {x-\lambda }{\alpha }}\right)\right].

정규화 상수에는 복합 감마함수(AND)와 베타함수(B)가 포함된다. 여기서 위치 매개변수 λ은 일반 제형에 도입된 원래 위치 매개변수와 동일하지 않지만, 다음 사항을 통해 관련된다.

\lambda =\lambda _{original}+{\frac {\fract \nu }{2(m-1)}}.

Pearson 유형 VII 분포

Pearson 유형 VII 밀도의 그림 λ = 0, σ = 1 및: γ₂ = ∞(빨간색), γ₂ = 4(파란색), γ₂ = 0(검은색)

Pearson 유형 IV 분포의 형상 모수 ν은 왜도를 제어한다. 그 값을 0으로 고정시키면 대칭적인 3변수 집단을 얻게 된다. 이 특별한 경우를 Pearson형 VII 분포(cf)라고 한다. Pearson 1916, 페이지 450). 그것의 밀도는

p(x)={\frac {1}{\alpha \operatorname {\mathrm {B} } \left(m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}}\left[1+\left({\frac {x-\lambda }{\alpha }}\right)^{2}\right]^{-m},

여기서 B는 베타 함수다.

형식 VII 분포의 대체 매개변수화(그리고 약간의 전문화)는 다음을 통해 얻는다.

\cHB =\ma {\sqrt {2m-3},

m > 3/2가 필요하다. 이것은 일반성의 사소한 손실을 수반하지만 분포의 분산이 존재하며 to과² 같음을 보장한다. 이제 매개변수 m은 분포의 첨도만을 제어한다. m이 λ과 σ이 일정하게 유지되면서 무한에 접근하면, 정상 분포는 특별한 경우로서 발생한다.

{\begin{aligned}&\lim _{m\to \infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2m-3}}\,\operatorname {\mathrm {B} } \left(m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}}\left[1+\left({\frac {x-\lambda }{\sigma {\sqrt {2m-3}}}}\right)^{2}\right]^{-m}\\[5pt]={}&{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2}}\,\operatorname {\Gamma } \left({\frac {1}{2}}\right)}}\cdot \lim _{m\to \infty }{\frac {\Gamma (m)}{\operatorname {\Gamma } \left(m-{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {m-{\frac {3}{2}}}}}}\cdot \lim _{m\to \infty }\left[1+{\frac {\left({\frac {x-\lambda }{\sigma }}\right)^{2}}{2m-3}}\right]^{-m}\\[5pt]={}&{\frac{1}{\sqrt{2\pi }}}\cdot 1\cdot \exp[-{\frac {1}:{1}2}}\좌우편}{x-\fractda }}{\precda }{\precda }^{2}\오른쪽]\end{정렬}}

이것은 평균 and과 표준 편차 σ을 갖는 정규 분포의 밀도다.

그 m > 5/2를 요구하고 let하는 것이 편리하다.

m={\frac {5}{2}}+{\frac {3}{\present_{2}}.

이것은 또 다른 전문화로서, 분배의 처음 네 순간이 존재함을 보장한다. 구체적으로는 ( (, σ, γ₂) 단위로 매개변수화된 Pearson형 VII 분포의 평균은 λ, 표준 편차는 σ, 0의 왜도, 과 첨도는 γ이다₂.

학생의 t-분포

Pearson형 VII 분포는 원래 매개변수화에 다음과 같은 대체물을 적용하여 매개변수 ν(0, μ, σ²)를 가진 비표준화된 학생의 t 분포와 동등하다.

{\justed}\mu &=\mu,\\mu,\5pt]\nu \nu \nu \2}},\[5pt]m&={\frac {\nu +1}{2}},\end{arged}}

$제한조건$ m > $1/2$ 이 충족되는지 확인한다.

그 결과 밀도는

p(x\mid \mu ,\sigma ^{2},\nu )={\frac {1}{{\sqrt {\nu \sigma ^{2}}}\,\operatorname {\mathrm {B} } \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}},

학생의 t-분포의 밀도로 쉽게 인식된다.

이는 Pearson형 VII 분포가 표준 학생의 t-분포와 표준 Cauchy 분포를 충족한다는 것을 의미한다. 특히 표준 학생의 t 분포는 다음과 같은 대체에 해당하는 μ = 0과 μ² = 1일 때 하위 사례로 발생한다.

{\parted}\partda &=0,\\[5pt]\pt]\nu{\nu}},\[5pt]m&={\frac {\nu +1}{2}},\end{arged}}

이 제한된 1-모수 계열의 밀도는 표준 학생 t:

p(x)={\frac {1}{{\sqrt {\nu }}\,\operatorname {\mathrm {B} } \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}},

사례 2, 비음성 판별

2차 함수 (2)에 음이 아닌 판별( $b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}\geq 0$ $b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}\geq 0$ $b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}\geq 0$ ~4 $b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}\geq 0$ $b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}\geq 0$ $b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}\geq 0$ $b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}\geq 0$ ≥ $b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}\geq 0$ $b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}\geq 0$ 0 ${\displaystyle b_{1}^{1}b_{$ 2 $}b_{0}\geq 0})$ 가 있는 경우, $b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}\geq 0$ 실제 루트 a와₁ a₂(필수적으로 구별되지 않음):

{\begin{aligned}a_{1}&={\frac {-b_{1}-{\sqrt {b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}}}}{2b_{2}}},\\[5pt]a_{2}&={\frac {-b_{1}+{\sqrt {b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}}}}{2b_{2}}}.\end{정렬}}

실제 뿌리가 있는 곳에서 2차 함수(2)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

f(x)=b_{2}(x-a_{1})(x-a_{2}),

그래서 미분방정식의 해법은

p(x)\propto \exp \ex \left{1}{b_{2}}:}\frac {1}{x-a}{1}{{1}(x-a_{2}})\,dx\right.

Pearson(1895, 페이지 362)은 이것을 "로그 케이스"라고 불렀는데, 그 이유는 적분 때문이다.

\int {\frac {x-a}{(x-a_{1})(x-a_{2})}}\,dx={\frac {(a_{1}-a)\ln(x-a_{1})-(a_{2}-a)\ln(x-a_{2})}{a_{1}-a_{2}}}+C

앞의 경우와 같이 아크탄 함수가 아닌 로그 함수만 포함한다.

대체 사용

\nu ={\frac {1}{b_{2}(a_{1}-a_{2})},

미분방정식 (1)에 대한 다음과 같은 용액을 구한다.

p(x)\propto(x-a_{1})^{-\nu(a_{1}-a)}^{x-a_{2}-a}^{\nu(a_{2}-a)}.

이 밀도는 비례성의 숨겨진 상수까지만 알려져 있으므로 그 상수는 변경될 수 있고 밀도는 다음과 같이 기록될 수 있다.

p(x)\propto \left(1-{\frac {x}{a_{1}}\right)^{-\nu (a_{1}-a)}\좌(1-{frac}{x}{2}}}\right)^{\nu (a_{2}-a)}.

Pearson 유형 I 분포

때 이차 방정식(2)의 뿌리가 별자리 정 반대편이 분포(는 베타 분포해 일반화)은 피어슨 형식, 그것은, 1<0&lt은 2{\displaystyle a_{1}<, 0<, a_{2}}. 그 다음 해결책 p그 사이에서 지원된다(1하나, 2){\displaystyle(a_{1},a_{2})}. 월 신청하다 발생한다.esubstituti에 관하여

x=a_{1}+y(a_{2}-a_{1}),

여기서 $0<y<1$ < y $0<y<1$ < $0<y<1$ ${\displaystyle 0>은$ 간격 $0<y<1$ 0, 1)에서 지원되는 y의 관점에서 해결책을 제시한다.

p(y)\propto \left({\frac {a_{1}-a_{2}}{a_{1}}}y\right)^{(-a_{1}+a)\nu }\left({\frac {a_{2}-a_{1}}{a_{2}}}(1-y)\right)^{(a_{2}-a)\nu }.

다음을 정의할 수 있다.

{\required}m_{1}m_{1}&={\frac {a-a_{1}{1}{1}{1}{b_{2}},\[5pt]m_{2}&={\frac {a-a_{2}}(a_{2}-a_{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}.\end{정렬}}

상수와 파라미터를 다시 그룹화하여 다음과 같이 단순화:

p(y)\propto y^{m_{1}(1-y)^{m_{2}},

Thus ${\frac {x-\lambda -a_{1}}{a_{2}-a_{1}}}$ follows a $\mathrm {B} (m_{1}+1,m_{2}+1)$ with ${\displaystyle \lambda =\mu _{1}-(a_{2}-a_$ ${1}{\frac{m_{1}+1}{m_{1}+$ m_₂ ${2}+2}}-a_{1$ }. $\lambda =\mu _{1}-(a_{2}-a_{1}){\frac {m_{1}+1}{m_{1}+m_{2}+2}}-a_{1}$ p가 적절한 확률밀도함수가 되려면 m₁, m > -1이 필요하고 충분한 것으로 나타났다.

Pearson 유형 II 분포

Pearson 타입 II 분포는 대칭 분포로 제한된 Pearson 타입 I 계열의 특별한 경우다.

Pearson Type II 곡선의 경우,^[4]

y=y_{0}\left(1-{\frac {x^{2}}:{a^{2}}\오른쪽)^{m}}}

어디에

x=\sum d^{2}/2-(n^{3}-n)/12.

세로좌표, y는 $\sum d^{2}$ is $\sum d^{2}$ $\sum d^{2}$ ${\$ d $^{2}}$ 의 주파수다 $\sum d^{2}$ Pearson Type II 곡선은 일련의 항목 수가 100개(또는 일부 출처에 따라 30개) 미만일 때 Spearman의 순위 상관 계수에 대한 유의한 상관 계수 표를 계산하는 데 사용된다. 그 후 분포는 표준 학생의 t-분포를 모방한다. 값 표의 경우 특정 값이 이전 방정식의 상수로 사용된다.

{\begin{aligned}m&={\frac {5\beta _{2}-9}{2(3-\beta _{2})}},\\[5pt]a^{2}&={\frac {2\mu _{2}\beta _{2}}{3-\beta _{2}}},\\[5pt]y_{0}&={\frac {N[\Gamma (2m+2)]}{a[2^{2m+1}][\감마(m+1)}}.\end{정렬}}

사용된 x의 순간은

{\begin{aligned}\mu _{2}&=(n-1)[(n^{2}+n)/12]^{2},\\[5pt]\beta _{2}&={\frac {3(25n^{4}-13n^{3}-73n^{2}+37n+72)}{25n(n+1)^{2}(n-1)}}.\end{정렬}}

Pearson 유형 III 분포

정의

\lambda =\mu _{1}+{{b_{0}{b_}-{1}-(m+1)b_{1},

$b_{0}+b_{1}(x-\lambda )$ $b_{0}+b_{1}(x-\lambda )$ + $b_{0}+b_{1}(x-\lambda )$ $b_{0}+b_{1}(x-\lambda )$ ( x - $b_{0}+b_{1}(x-\lambda )$ ) ${\displaystyle b_{0}+b_{1}(x-\lambda$ )은 $($ 는 $b_{0}+b_{1}(x-\lambda )$ ) 감마 gamma $\operatorname {Gamma} (m+1,b_{1}^{2})$ $\operatorname {Gamma} (m+1,b_{1}^{2})$ , b $\operatorname {Gamma} (m+1,b_{1}^{2})$ ) ${\displaysty \operatorname {Gamma}(m+1,b_{1}^{2$ }) 입니다 $\operatorname {Gamma} (m+1,b_{1}^{2})$ Pearson 유형 III 분포는 감마 분포 또는 카이 제곱 분포이다.

Pearson 유형 V 분포

새 매개 변수 정의:

{\displaystyle{\begin}C_{1}&={\frac {b_{1}{1}{2}}:\\lambda &=\mu_{1}-{1}-{1}-{1-2b_{1},\end{igned}}}}}}

$x-\lambda$ - $x-\lambda$ 은 $x-\lambda$ (는) $\operatorname {InverseGamma} ({\frac {1}{b_{2}}}-1,{\frac {a-C_{1}}{b_{2}}})$ $\operatorname {InverseGamma} ({\frac {1}{b_{2}}}-1,{\frac {a-C_{1}}{b_{2}}})$ 1 $\operatorname {InverseGamma} ({\frac {1}{b_{2}}}-1,{\frac {a-C_{1}}{b_{2}}})$ $\operatorname {InverseGamma} ({\frac {1}{b_{2}}}-1,{\frac {a-C_{1}}{b_{2}}})$ - $\operatorname {InverseGamma} ({\frac {1}{b_{2}}}-1,{\frac {a-C_{1}}{b_{2}}})$ , $\operatorname {InverseGamma} ({\frac {1}{b_{2}}}-1,{\frac {a-C_{1}}{b_{2}}})$ - $\operatorname {InverseGamma} ({\frac {1}{b_{2}}}-1,{\frac {a-C_{1}}{b_{2}}})$ $\operatorname {InverseGamma} ({\frac {1}{b_{2}}}-1,{\frac {a-C_{1}}{b_{2}}})$ $\operatorname {InverseGamma} ({\frac {1}{b_{2}}}-1,{\frac {a-C_{1}}{b_{2}}})$ ) ${\displaysty \operatorname {InverseGamma}({b_{2$ }}-1)-1 $,{\frac {a-C_{1$ }:{1}:{1}:{2 $\operatorname {InverseGamma} ({\frac {1}{b_{2}}}-1,{\frac {a-C_{1}}{b_{2}}})$ Pearson형 V 분포는 역감마 분포다.

Pearson 유형 VI 분포

정의

\lambda =\mu _{1}+(a_{2}-a_{1}{1}{\frac {m_{2}+1}+1}{m_{1}+m_{1}+2}}-a_{2},}

${\frac {x-\lambda -a_{2}}{a_{2}-a_{1}}}$ follows a $\beta ^{\prime }(m_{2}+1,-m_{2}-m_{1}-1)$ . Pearson형 VI 분포는 베타 프라임 분포 또는 F-분포다.

기타 분포와의 관계

Pearson 계열은 다음과 같은 분포를 소급한다.

베타 분포(I형)
베타 프라임 분포(타입 VI)
코치 분포(타입 IV)
카이-제곱 분포(타입 III)
연속 균일분포 (I형 한계)
지수 분포(타입 III)
감마 분포(타입 III)
F 분포(유형 VI)
역치-제곱 분포(V형)
역감마 분포(유형 V)
정규 분포(유형 I, III, IV, V 또는 VI의 제한)
학생 t-분포 (VII형, IV형 비스케일 하위형)

데이터에 대한 분포를 적합시키기 위한 Pearson 분포의 대안으로는 양자 모수 분포(QPD)와 메탈로그 분포가 있다. QPDs와 Metalogs는 Pearson 시스템보다 더 큰 형태와 경계 유연성을 제공할 수 있다. QPD는 모멘트를 맞추는 대신 일반적으로 경험적 누적분포함수 또는 선형 최소 제곱이 있는 기타 데이터에 적합하다.

적용들

이러한 모델은 시장 거래자에게 직관적인 의미를 갖는 방식으로 파라메트리될 수 있는 능력을 감안할 때 금융 시장에서 사용된다. 요율, 주식 등의 변동성의 확률적 성격을 포착하는 많은 모델이 현재 사용되고 있으며,^[which?]^{[citation needed]} 이러한 분포 계열이 가장 중요한 요소 중 하나일 수 있다.

미국에서는 Log-Pearson III가 홍수 빈도 분석의 기본 분포다.^[5]^{[citation needed]}

최근 Pearson 분포에 대한 대안이 개발되어 데이터에 보다 유연하고 쉽게 적합할 수 있다. Metalog 분포를 참조하십시오.

메모들

^ Miller, Jeff; et al. (2006-07-09). "Beta distribution". Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics. Retrieved 2006-12-09.
^ Miller, Jeff; et al. (2006-12-07). "Gamma distribution". Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics. Retrieved 2006-12-09.
^ 오드 J.K. (1972) 페이지 2
^ Ramsey, Philip H. (1989-09-01). "Critical Values for Spearman's Rank Order Correlation". Journal of Educational Statistics. 14 (3): 245–253. JSTOR 1165017.
^ "Guidelines for Determine Flood Flow Frequency" (PDF). USGS Water. March 1982. Retrieved 2019-06-14.

원천

일차 출처

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이차 출처

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참조

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