스페이스타임

Spacetime

물리학에서 스페이스타임공간의 3차원시간1차원을 하나의 4차원 다지관에 융합한 수학 모델이다. 스페이스타임 도표는 서로 다른 관찰자가 사건이 발생하는 장소와 시간에 다르게 인식하는 이유와 같은 상대론적 효과를 시각화하는 데 사용될 수 있다.

20세기까지는 우주의 3차원 기하학(좌표, 거리, 방향의 공간적 표현)이 1차원 시간과는 무관하다고 추정되었다. 물리학자 알버트 아인슈타인상대성 이론의 일부로서 스페이스타임의 개념을 개발하는 것을 도왔다. 그의 선구적인 연구 이전에 과학자들은 물리적인 현상을 설명하기 위해 두 가지 별도의 이론을 가지고 있었다. 아이작 뉴턴의 물리학 법칙은 거대한 물체의 움직임을 묘사했고 제임스 서기의 전자기 모델들은 빛의 성질을 설명했다. 그러나 1905년 아인슈타인은 특수상대성이론에 관한 연구를 두 가지 가정에 기초하였다.

이 가설들을 함께 사용하는 논리적 결과는 시공간에서 독립적이라고 가정된 4차원(히트하이트)의 분리할 수 없는 결합이다. 많은 반직관적 결과가 나타난다: 광원의 움직임과 독립적일 뿐만 아니라, 광원이 측정되는 기준 프레임에 관계 없이 빛의 속도가 일정하다. 다른 기준의 관성 프레임에서 측정했을 때 사건 쌍의 거리와 시간 순서까지 변화한다(이것이 상대성이다).y의 동시성), 그리고 속도의 선형 추가성은 더 이상 참이 아니다.

아인슈타인은 운동학(움직이는 신체에 대한 연구)의 측면에서 그의 이론을 틀에 박았다. 그의 이론은 로렌츠가 1904년에 발표한 전자기현상 이론과 푸앵카레의 전기동적 이론보다 진전된 것이었다. 이러한 이론들이 아인슈타인이 도입한 방정식과 동일한 방정식(즉, 로렌츠 변환)을 포함하였지만, 그것들은 본질적으로 기존의 패러다임에 맞추기가 극히 어려운 유명한 미켈슨-몰리 간섭계 실험을 포함한 다양한 실험의 결과를 설명하기 위해 제안된 임시 모델이었다.

1908년 헤르만 민코프스키(Hermann Minkowski)는 쥬리히의 젊은 아인슈타인의 수학 교수 중 한 명으로서 시간과 공간의 3차원을 하나의 4차원 연속체로 융합한 특수상대성이성의 기하학적 해석을 제시하였다. 이 해석의 주요 특징은 시간 간격의 공식적 정의다. 사건 사이의 거리와 시간의 측정은 기준 프레임마다 다르지만, 스페이스타임 간격은 기준 프레임이 기록되는 관성 프레임과 독립적이다.[1]

밍코프스키의 상대성 이론의 기하학적 해석은 아인슈타인이 1915년 일반 상대성 이론을 개발하는 데 필수적임을 입증하는 데 있었는데, 그곳에서 그는 질량과 에너지 곡선이 어떻게 평평한 시간대를 사이비-리만인의 다지관으로 만들었는지를 보여주었다.

소개

정의들

비-상대주의 고전 역학시간을 공간 전체에 걸쳐 균일하고 공간으로부터 분리되는 보편적인 양의 측정으로 취급한다. 고전 역학은 시간이 관찰자의 움직임 상태 또는 외부적인 어떤 것과도 무관하게 일정한 통과 속도를 가지고 있다고 가정한다.[2] 게다가, 그것은 공간이 유클리드라고 가정한다; 그것은 공간이 상식의 기하학을 따른다고 가정한다.[3]

특수상대성이라는 맥락에서 물체에 대해 시간이 지나가는 관측 속도는 관찰자에 대한 물체의 속도에 따라 달라지기 때문에 시간은 공간의 3차원으로부터 분리될 수 없다. 일반 상대성 이론은 또한 중력장이 어떻게 필드 밖의 관찰자가 볼 수 있는 물체의 시간의 흐름을 늦출 수 있는지에 대한 설명을 제공한다.

보통 공간에서 위치는 치수로 알려진 세 개의 숫자로 지정된다. 데카르트 좌표계에서는 이들을 x, y, z라고 부른다. 스페이스타임에서의 위치를 이벤트라고 하며, 공간에서의 3차원 위치와 시간에서의 위치(그림 1)의 4개의 숫자를 지정해야 한다. 이벤트는 좌표 x, y, z 및 t 세트로 표시된다. 따라서 공간 시간은 4차원이다. 수학적 사건은 지속시간이 0이며 스페이스타임의 단일 지점을 나타낸다.

스페이스타임을 통과하는 입자의 경로는 사건의 연속이라고 볼 수 있다. 일련의 사건들은 함께 연결될 수 있어 틈새 시간 동안 입자의 진보를 나타내는 선을 형성할 수 있다. 그 선은 입자의 세계선이라고 불린다.[4]: 105

수학적으로, 스페이스타임은 다지관인데, 말하자면, 그것은 작은 규모에서 지구본이 평평하게 보이는 것과 같은 방식으로 각각의 지점 근처에 국소적으로 "평평평한" 것처럼 나타난다.[5] 극도로 큰 스케일 팩터인 컨벤션적으로 의 속도라고 함)은 우주에서 측정한 거리와 시간 단위로 측정한 거리를 연관시킨다. 이 척도계수의 크기(시간상 거의 300,000km 또는 190,000마일)는 스페이스타임이 다지관이라는 사실과 함께, 보통, 비-상대적 속도 및 일반, 인간 스케일의 거리에서는 인간이 관찰할 수 있는 것이 거의 없다는 것을 암시한다.그들은 세계가 유클리드인지 관찰할 것이다. 1800년대 중반 피조 실험 미셸슨-몰리 실험과 같은 민감한 과학적 측정치가 등장하면서 유클리드 공간의 암묵적 가정에 기초한 관찰 대 예측 사이에 수수께끼 같은 불일치가 기록되기 시작했다.[6]

그림 1-1. 스페이스타임의 각 위치는 기준 프레임에 의해 정의된 4개의 숫자로 표시된다: 공간에서의 위치와 시간(공간 내 각 위치에 위치한 시계의 판독으로 시각화할 수 있음). 'observer'는 자신의 기준 프레임에 따라 시계를 동기화한다.

특수 상대성에서 관찰자는 대부분의 경우 일련의 물체나 사건이 측정되는 기준 프레임을 의미한다. 이 용어는 그 용어의 일반적인 영어 의미와 크게 다르다. 참조 프레임은 본질적으로 국부적이지 않은 구성물이며, 이 용어의 용어에 따르면 관찰자를 위치가 있다고 말하는 것은 이치에 맞지 않는다. 그림 1-1에서 고려 중인 프레임에 이 기준 프레임 내에서 동기화된 고밀도 시계의 격자가 장착되어 공간의 3차원에 걸쳐 무한히 확장된다고 상상한다. 격자 안의 특정 위치는 중요하지 않다. 시계의 격자는 전체 프레임 내에서 발생하는 사건의 시간과 위치를 결정하는 데 사용된다. 관찰자라는 용어는 하나의 관성적인 기준 프레임과 연관된 시계의 합주 전체를 가리킨다.[7]: 17–22 이 이상화된 경우, 우주의 모든 지점에는 그것과 연관된 시계가 있고, 따라서 시계는 어떤 사건과 그것의 기록 사이의 시간 지연 없이 각 사건을 즉시 기록한다. 그러나 실제 관찰자는 빛의 속도로 인해 신호의 방출과 탐지 사이의 지연을 보게 될 것이다. 시계를 동기화하기 위해, 실험 후 데이터 감소에서, 신호가 수신되는 시간은 이상적인 시계 격자에 의해 기록된 경우, 실제 시간을 반영하도록 수정될 것이다.

특수상대성이론에 관한 많은 책들, 특히 오래된 책들에서는 'observer'라는 단어가 보다 일반적인 의미에서 사용된다. 어떤 의미를 채택했는지는 대개 맥락에서 보면 분명하다.

물리학자들은 (신호 전파 지연을 고려한 후) 측정하거나 관찰하는 것과 그러한 수정 없이 시각적으로 보는 것을 구별한다. 자신이 측정하는 것과 관찰하는 사이의 차이를 이해하지 못하는 것은 상대성 초기의 학생들 사이에서 많은 오차의 원인이다.[8]

역사

그림 1-2. Michelson과 Morley는 에테르를 통한 움직임이 그들 기구의 두 팔을 가로지르는 빛 사이의 차등 위상 변화를 일으킬 것이라고 기대했다. 그들의 부정적인 결과에 대한 가장 논리적인 설명인 에테르 끌기는 별의 일탈에 대한 관찰과 충돌했다.

1800년대 중반까지 아라고 지점의 관측, 공기와 물의 빛의 속도에 대한 차등 측정 등 다양한 실험이 분자 이론과는 달리 빛의 파동성을 입증한 것으로 평가되었다.[9] 그 후 파장의 전파는 흔드는 매개체의 존재를 필요로 하는 것으로 가정되었다. 광파의 경우, 이것은 가상의 진미성 에테르로 간주되었다.[note 1] 그러나 이 가상의 매체의 속성을 확립하려는 다양한 시도는 모순된 결과를 낳았다. 예를 들어 1851년의 피조 실험은 흐르는 물의 빛의 속도가 공기의 빛의 속도에 물의 굴절 지수에 따라 물의 속도의 합보다 낮다는 것을 보여주었다. 다른 문제들 중에서도 이 실험이 암시하는 부분 에테르끌기가 굴절 지수(파장에 의존함)에 의존하는 것은 에테르가 빛의 다른 색상에 대해 동시에 다른 속도로 흐른다는 불쾌한 결론을 이끌어냈다.[10] 1887년(그림 1-2)의 유명한 미켈슨-몰리 실험은 빛의 속도에 대한 가상의 에테르를 통해 지구의 움직임의 다른 영향을 전혀 보여주지 않았으며, 가장 가능성이 높은 설명, 완전한 에테르 끌리는 것은 별의 일탈의 관찰과 상충하는 것이었다.[6]

1889년 조지 프란시스 피츠제럴드와 1892년 헨드릭 로렌츠가 독자적으로, 고정된 에테르를 통해 여행하는 물질체들은 그들의 통행에 물리적으로 영향을 받아 미셸슨-몰리 실험의 부정적인 결과를 설명하는 데 필요한 양만큼 움직임의 방향으로 수축된다고 제안했다. (긴장 없음)그 변화는 운동방향에 횡방향으로 일어난다.)

1904년까지 로렌츠는 자신의 이론을 확장하여 아인슈타인이 나중에 도출해야 할 방정식(즉 로렌츠 변형)과 공식적으로 동일한 방정식에 도달했지만 근본적으로 다른 해석을 가지고 있었다. 역학 이론(힘과 토크의 연구 및 운동에 대한 영향)으로서, 그의 이론은 물질의 물리적 구성요소의 실제 물리적 변형을 가정했다.[11]: 163–174 로렌츠의 방정식은 그가 현지 시간이라고 부르는 양을 예측했는데, 그 양을 가지고 빛의 일탈, 피조 실험, 그리고 다른 현상들을 설명할 수 있었다. 그러나 로렌츠는 현지 시간을 하나의 시스템에서 다른 시스템으로의 변환을 단순화하기 위한 속임수인 보조 수학 도구로만 여겼다.

세기 초에 다른 물리학자와 수학자들은 현재 스페이스타임으로 알려진 것에 거의 도달했다. 아인슈타인 자신은 이렇게 많은 사람들이 퍼즐의 개별 조각을 풀면서 "특별한 상대성 이론은, 우리가 그 발전을 돌이켜보면, 1905년에 발견하기에 무르익었다"[12]고 언급했다.

헨드릭 로렌츠
앙리 푸앵카레
알버트 아인슈타인
헤르만 민코프스키
그림 1-3.

중요한 예가 헨리 푸앵카레인데,[13][14]: 73–80, 93–95 그는 1898년 두 사건의 동시성은 관습의 문제라고 주장했다.[15][note 2] 1900년에 그는 일정한 광속도를 가정하여 클럭 동기화에 대한 명시적으로 작동 가능한 정의를 적용함으로써 로렌츠의 "로컬 타임"이 실제로 시계 이동에 의해 지시되는 것임을 인식했다.[note 3] 1900년과 1904년에는 자신이 상대성 원리라고 부르는 것의 타당성을 강조하여 에테르 고유의 탐지불능성을 제안하였고, 1905년/1906년에는[16] 로렌츠의 전자 이론을 수학적으로 완성하여 상대성 이론의 전자에 준거하게 하였다. 로렌츠 불변성 중력에 대한 여러 가지 가설을 논하면서 다양한 4개의 벡터, 즉 4개의 위치, 4개의 속도, 4개의 힘 등을 정의함으로써 4차원 스페이스타임의 혁신적인 개념을 도입하였다.[17][18] 그러나 그는 후속 논문에서 4차원 형식주의를 추구하지 않았으며, 이 연구 라인이 "제한된 이익을 위해 큰 고통을 주는 것 같다"고 언급하면서 궁극적으로 "3차원 언어가 우리 세계에 대한 설명에 가장 적합한 것 같다"[18]고 결론지었다. 게다가 1909년까지도 푸앵카레는 로렌츠 변형의 역동적인 해석을 계속 믿고 있었다.[11]: 163–174 이것들과 다른 이유들로 인해, 대부분의 과학 역사학자들은 푸앵카레가 현재 특수 상대성이라고 불리는 것을 발명하지 않았다고 주장한다.[14][11]

1905년 아인슈타인은 공간과 시간의 이론으로서 현대적 이해에 특수상대성이론(스팩타임 형식주의의 기법을 사용하지 않았음에도 불구하고)을 도입하였다.[14][11] 그의 결과는 수학적으로 로렌츠와 푸앵카레와 동등하지만, 아인슈타인은 로렌츠 변환은 물질과 에테르 사이의 상호작용의 결과가 아니라 오히려 공간과 시간의 본질에 관한 것이라는 것을 보여주었다. 그는 전체 이론이 다음과 같은 두 가지 가설 위에 세워질 수 있다는 것을 인식함으로써 그의 모든 결과를 얻었다. 상대성 원리와 광속의 항상성 원리다.

아인슈타인은 역학보다는 운동학(힘에 대한 언급 없이 움직이는 신체에 대한 연구)의 관점에서 분석을 수행했다. 이 주제를 소개하는 그의 작품은 움직이는 시계들 사이의 빛 신호 교환, 이동봉의 길이에 대한 세심한 측정, 그리고 다른 그러한 예들과 관련된 생생한 이미지로 가득 차 있었다.[19][note 4]

또한 1905년 아인슈타인은 질량과 에너지의 일반적인 등가성을 도입함으로써 전자파 질량 에너지 관계의 이전의 시도를 대체하였는데, 이는 관성 질량과 중력 질량의 등가성을 선언하는 1907년 동등성 원리의 후속 공식화에 중요한 역할을 하였다. 질량-에너지 등가성을 사용함으로써, 아인슈타인은 또한 신체의 중력 질량이 에너지 함량에 비례한다는 것을 보여주었는데, 이것은 일반 상대성 개발의 초기 결과 중 하나였다. 그가 처음에는 스페이스타임에 대해 기하학적으로 생각하지 않았던 것처럼 보일 것이지만,[21]: 219 일반 상대성 이론의 추가 발달에서 아인슈타인은 스페이스타임 형식주의를 완전히 통합했다.

1905년 아인슈타인이 출판했을 때 그의 또 다른 경쟁자였던 헤르만 민코프스키 전 수학 교수도 특수상대성이성의 기본 요소 대부분을 차지했다. Max Born은 민코프스키의 학생/협업자가 되기 위해 민코프스키와 함께 한 미팅에 대해 다음과 같이 말했다.[22]

나는 쾰른에 가서 민코프스키를 만났고 1908년 9월 2일 그의 유명한 강연 '공간과 시간'을 들었다. […] 그는 나중에 아인슈타인이 자신의 논문을 발표했을 때, 서로 상대적으로 움직이는 관찰자의 현지 시기의 등가성이 발현되었을 때, 큰 충격으로 다가왔다고 말했다. 왜냐하면 그는 독립적으로 같은 결론에 도달했지만, 먼저 그 안에 있는 수학적 구조를 알아내기를 원했기 때문에 그것을 발표하지 않았기 때문이다. 그 화려함 그는 결코 우선권을 주장하지 않았고 항상 아인슈타인에게 그 위대한 발견에 대한 그의 모든 몫을 주었다.

민코프스키는 적어도 1905년 여름, 민코프스키와 데이비드 힐베르트가 로렌츠, 푸앵카레 등의 논문을 연구하기 위해 당대의 저명한 물리학자들이 참석하는 고급 세미나를 주도했을 때부터 미켈슨의 파괴 실험 이후 전기역학 상태에 대해 우려해 왔다. 그러나 언제 민코프스키가 자신의 이름을 짊어질 특수상대성이성의 기하학적 제형을 공식화하기 시작했는지, 혹은 로렌츠 변환에 대한 푸앵카레의 4차원 해석에 어느 정도 영향을 받았는지는 전혀 분명하지 않다. 또한 그가 아인슈타인의 작품을 로렌츠 작품의 연장선이라고 생각하면서 로렌츠 변환의 이해에 대한 아인슈타인의 비판적 공헌을 충분히 인정했는지는 분명하지 않다.[23]

그림 1-4. 민코프스키가 1908년 라움 und Zeit 강연에서 제시한 손색깔 투명성

1907년 11월 5일(죽기 1년 조금 전) 밍코프스키는 괴팅겐 수학 사회를 대상으로 한 강연에서 상대성 원리(다스 상대성 원리)라는 제목으로 자신의 스페이스타임의 기하학적 해석을 소개했다.[note 5] 1908년 9월 21일, 민코프스키는 그의 유명한 강연인 '공간과 시간'(Raum und Zeit)[24]을 독일 과학자와 의사 협회에 발표했다. 스페이스 타임의 첫마디에는 "Henceforth, 그 자체를 위한 공간, 그리고 그 자체를 위한 시간은 한낱 그림자에 불과할 뿐이며, 두 사람의 어떤 종류의 결합만이 독립을 보존할 것"이라는 민코프스키의 유명한 말이 포함되어 있다. Space and Time은 스페이스타임 도표의 첫 번째 공개 발표(그림 1-4)를 포함하였고, 빛의 속도가 유한하다는 경험적 관찰과 함께 불변간격(아래 설명)의 개념이 특수상대성이론 전체를 파생할 수 있다는 주목할 만한 증명도 포함하였다.[note 6]

스페이스타임 개념과 로렌츠 그룹은 특정 유형의 구체, 쌍곡성 또는 정합성 기하학적 기하학적 구조와 그 변환 그룹과 밀접하게 연결되어 있으며, 스페이스타임 간격과 유사한 불변성 간격이 사용된다.[note 7]

아인슈타인은 그의 입장에서 처음에는 뮌코프스키의 특수 상대성 이론의 기하학적 해석에 대해 뷔르플루시게 게레흐삼케이트(초과한 학식)라고 무시했다. 그러나 1907년부터 시작된 일반상대성에 대한 탐구를 완성하기 위해서는 상대성에 대한 기하학적 해석이 필수적이라는 것이 증명되었고, 1916년 아인슈타인은 그의 해석이 일반 상대성으로의 전환을 크게 촉진시킨 민코프스키에 대한 은혜를 충분히 인정했다.[11]: 151–152 일반 상대성의 곡선 스페이스타임과 같은 다른 유형의 스페이스타임이 있기 때문에, 특수 상대성의 스페이스타임을 오늘날 민코프스키 스페이스타임이라고 한다.

특수 상대성에서의 스페이스타임

스페이스타임 간격

3차원에서는 두 점 사이거리 d 를 피타고라스 정리를 사용하여 정의할 수 있다.

두 뷰어가 서로 다른 좌표계를 사용하여 두 점의 x, y, z 위치를 측정할 수 있지만 점 사이의 거리는 두 점 모두에 대해 동일하다(동일한 단위를 사용하여 측정한다고 가정). 그 거리는 "불변"이다.

그러나 특수상대성에서는 관찰자 중 한 명이 움직일 때 로렌츠 수축으로 인해 서로 다른 관찰자가 두 점 사이의 거리는 더 이상 같지 않다. 공간뿐 아니라 시간적으로도 두 지점이 분리되면 상황은 더욱 복잡해진다. 예를 들어, 한 관찰자가 두 사건이 같은 장소에서 발생하지만 다른 시간에, 첫 번째 관찰자를 존중하여 움직이는 사람은 두 사건이 서로 다른 장소에서 일어나는 것을 보게 될 것이다. 왜냐하면 (그들의 관점에서) 그들은 정지해 있고, 사건의 위치는 후퇴하거나 접근하고 있기 때문이다. 따라서 두 사건 사이의 유효 "거리"를 측정하기 위해 다른 조치를 사용해야 한다.

4차원 공간에서는 거리에 대한 아날로그가 구간이다. 시간은 네 번째 차원으로 들어오지만 공간 차원과 다르게 취급된다. 민코프스키 공간은 4차원 유클리드 공간과는 중요한 측면에서 차이가 있다. 공간과 시간을 스페이스타임으로 병합하는 근본적인 이유는 공간과 시간이 따로 불변하지 않기 때문인데, 이는 적절한 조건에서 두 사건 사이의 시간 길이(시간 확장으로 인해)나 두 사건 사이의 거리(길이 수축으로 인해)에 대해 서로 다른 관찰자가 동의하지 않을 것이라는 것이다. 그러나 특수상대성은 공간과 시간의 거리를 결합한 스페이스타임 간격이라고 불리는 새로운 불변성을 제공한다. 두 사건 사이의 시간과 거리를 측정하는 모든 관찰자는 결국 동일한 시간 간격을 계산하게 될 것이다. 관찰자가 t과(와) 공간 거리 . \에 의해 시간 내에 분리되는 두 이벤트를 측정한다고 가정합시다. Then the spacetime interval between the two events that are separated by a distance in space and by in the -coordinate is:

또는 3개의 공간 치수에 대해,

[28]

빛의 상수c , {\은 시간 단위(초와 같은)를 공간 단위(미터와 같은)로 변환한다. 초를 미터/초 단위로 곱한 값 = 미터

간결함의 경우, 다음 논의의 대부분을 포함하여 델타 없이 표현되는 구간 표현식을 자주 볼 수 있지만, 으로 x x 등을 의미한다는 것을 이해해야 한다. 우리는 항상 두 사건에 속하는 공간적 또는 시간적 좌표값의 차이를 염려하고 있으며, 선호되는 원점이 없기 때문에 단일 좌표값에는 본질적인 의미가 없다.

그림 2-1. 동일한 이벤트에서 발생하는 두 개의 광자 A와 B와 광속보다 느린 물체 C를 나타내는 스페이스 시간 다이어그램

위의 방정식은( t) 항과 사이에 마이너스 부호가 있는 경우를 제외하고는 피타고라스 정리와 유사하다. 스페이스타임 간격은 s}가 아니라 s 2, {\ 2}이다 그 이유는 유클리드 기하학의 거리와 달리 민코프스키의 스페이스타임의 간격이 음수가 될 수 있기 때문이다. 물리학자들은 음수의 제곱근을 다루기보다는 s 을 어떤 것의 제곱이 아니라 그 자체로 구별되는 상징으로 간주한다.[21]: 217

마이너스 부호로 인해 두 개별 사건 사이의 간격 시간 간격은 0이 될 수 있다. s이 양의 값일 경우, 스페이스타임 간격은 시간 간격이며, 이는 두 이벤트가 공간보다 더 많은 시간으로 분리됨을 의미한다. s 음수일 경우 스페이스타임 간격은 공간적인 것으로, 두 이벤트가 시간보다 더 많은 공간으로 분리됨을 의미한다. =± . 즉, 빛의 속도로 움직이는 무언가의 세계선상에 있는 두 사건 사이의 시간 간격은 0이다. 그러한 간격을 경량 또는 무효라고 한다. 먼 별에서 우리 눈에 들어오는 광자는 그 통로에 (우리의 관점에서) 수년을 보냈음에도 불구하고 노화되지 않을 것이다.

스페이스타임 도표는 일반적으로 단일 공간과 단일 시간 좌표만으로 그려진다. 그림 2-1은 동일한 사건에서 발생하여 반대 방향으로 가는 두 광자 A와 B의 세계선(즉, 스페이스타임의 경로)을 나타낸 스페이스타임 도표를 보여준다. 게다가 C는 광속보다 느린 물체의 세계선을 예시한다. 수직 시간 좌표는 공간 좌표와 동일한 단위(미터)를 갖도록 c 에 의해 축척된다. 광자는 빛의 속도로 이동하기 때문에 광자의 세계선은 ±1의 경사를 가진다. 즉, 광자가 좌우로 이동하는 매 미터마다 약 3.3나노초의 시간이 필요하다.

상대성 문헌에는 다음과 같은 두 가지 부호 규약이 사용되고 있다.

그리고

이러한 기호 규약은 메트릭 서명(+ - -) 및 (+ + + + +)과 연관되어 있다. 사소한 변동은 시간 좌표를 첫 번째가 아니라 마지막이 되는 것이다. 두 관습은 모두 연구 분야에서 널리 사용되고 있다.

참조 프레임

그림 2-2. 표준 구성에서 두 프레임의 기준인 갈릴레이 도표
그림 2-3. (a) 표준 구성의 기준 프레임 2개의 갈릴레이 도표, (b) 기준 프레임 2개의 스페이스 타임 도표, (c) 반사 광 펄스의 경로를 보여주는 스페이스 타임 도표

서로 다른 기준 프레임에서 관찰자가 측정한 스페이스타임 좌표가 서로 어떻게 비교되는지 통찰력을 얻으려면 표준 구성에서 프레임을 사용하여 단순화된 설정으로 작업하는 것이 유용하다. 주의해서, 이것은 도달한 결론의 일반성을 잃지 않고 수학을 단순화할 수 있다. 그림 2-2에서 두 개의 갈릴레이 기준 프레임(즉, 기존의 3-공간 프레임)이 상대적인 움직임으로 표시된다. 프레임 S는 첫 번째 관찰자 O에 속하며, 프레임 S′("S prime"로 발음됨)은 두 번째 관찰자 O′에 속한다.

  • 프레임 S의 x, y, z축은 프레임 S의 각 프라이밍 축과 평행하게 방향을 정한다.
  • 프레임 S′는 프레임 S에서 측정한 대로 등속 v로 프레임 S의 x 방향으로 이동한다.
  • 프레임 S와 S′의 기원은 프레임 S의 경우 시간 t = 0, 프레임 S의 경우 t′ = 0과 일치한다.[4]: 107

그림 2-3a는 다른 방향으로 그림 2-2를 다시 그린다. 그림 2-3b는 관찰자 O의 관점에서 스페이스 타임 도표를 보여준다. S와 S는 표준 구성에 있으므로, 그 기원은 프레임 S에서 t = 0, 프레임 S에서 t = = 0으로 일치한다. ct′ 축은 x′ = 0인 프레임 S′의 이벤트를 통과한다. 그러나 x′ = 0인 점은 속도 v로 프레임 S의 x방향으로 이동하므로 0이 아닌 시간에 ct축과 일치하지 않는다. 따라서 ct′ 축은 ct 축에 대해 다음과 같은 각도로 기울어진다.

x축x축에 대해 기울어진다. 이 기울기의 각도를 결정하기 위해 우리는 광맥의 세계 선의 기울기가 항상 ±1이라는 것을 기억한다. 그림 2-3c는 관찰자 O의 관점에서 스페이스 타임 도표를 제시한다. 이벤트 P는 x x = 0, ct′ = -a에서 광 펄스의 방출을 나타낸다. 펄스는 광원으로부터 a 거리에 위치한 거울(사건 Q)에서 반사되며, = 0, ct = = a(사건 R)에서 광원으로 되돌아간다.

동일한 사건 P, Q, R은 관찰자 O의 프레임에서 그림 2-3b에 표시된다. 경사로 = 1과 -1이 있어 PQR은 xct 축에 45도 PQ와 QR로 직각 삼각형을 이룬다. OP = OQ = OR이므로 x xx의 각도도 θ이어야 한다.[4]: 113–118

휴게 프레임은 직각으로 만나는 공간과 시간 축이 있는 반면, 이동 프레임은 예각으로 만나는 축으로 그려진다. 그 틀들은 실제로 동등하다. 비대칭성은 틈새 좌표가 카르테시안 비행기에 어떻게 지도될 수 있는지에 대한 피할 수 없는 왜곡으로 인해 발생하며, 지구의 메르카토르 투영에서 극지방(그린랜드와 남극) 부근의 땅덩어리의 상대적 크기가 에카토 인근 땅덩어리에 비해 매우 과장된 방식보다 이상하지 않다고 간주해야 한다.r

라이트콘

그림 2-4. 이벤트를 중심으로 한 라이트 콘은 남은 스페이스타임을 미래, 과거, 그리고 "엘세어"로 나눈다.

그림 2-4에서 사건 O는 스페이스타임 다이어그램의 원점에 있으며, 두 대각선 선은 원점 사건과 관련하여 스페이스타임 간격이 0인 모든 사건을 나타낸다. 이 두 선은 두 번째 공간적 차원(그림 2-5)을 추가하면 두 개의 오른쪽 원형 원뿔이 O에서 그들의 유인원과 만나는 모양을 만들기 때문에 이벤트 O의 라이트 콘이라고 불리는 것을 형성한다. 한 원뿔은 미래로, 다른 원뿔은 과거로 확장된다.

그림 2-5. 2D 공간에 시간 차원을 더한 라이트 콘

빛(이중) 원뿔은 스페이스타임을 그것의 정점에 관하여 별개의 영역으로 나눈다. 미래 라이트 콘의 내부는 광속으로 공간 거리를 횡단하는 데 필요한 시간(임시 거리)보다 정점에서 분리되는 모든 이벤트로 구성된다. 이러한 이벤트는 이벤트 O의 시간적 미래로 구성된다. 마찬가지로, 시간적 과거는 과거 라이트 콘의 내부 사건들로 구성된다. 따라서 시간 간격에서 Δct는 Δx보다 크므로 시간 간격은 양성으로 만든다. 라이트 콘 외부 영역은 주어진 시간 내에 광속으로 교차할 수 있는 것보다 더 많은 공간에 의해 이벤트 O로부터 분리되는 이벤트로 구성된다. 이러한 이벤트는 그림 2-4에서 "Elsewhere"로 표시된 이벤트 O의 소위 공간적 영역으로 구성된다. 라이트 콘 자체에 있는 사건들은 O로부터 가벼운 (또는 null로 분리된) 것이라고 한다. 스페이스타임 간격의 불변성 때문에, 모든 관찰자는 주어진 이벤트에 동일한 라이트 콘을 할당하며, 따라서 스페이스의 이 분할에 동의할 것이다.[21]: 220

라이트콘은 인과관계의 개념 안에서 필수적인 역할을 한다. 광속보다 빠르지 않은 신호가 O의 위치와 시간에서 D의 위치와 시간으로 이동하는 것이 가능하다(그림 2-4). 따라서 사건 O가 사건 D에 인과적 영향을 미칠 수 있다. 미래의 라이트 콘은 O에 의해 인과적으로 영향을 받을 수 있는 모든 사건을 포함한다. 마찬가지로, 광속보다 빠르지 않은 신호가 A의 위치와 시간에서 O의 위치와 시간으로 이동하는 것도 가능하다. 과거의 라이트 콘은 O에 인과적 영향을 미칠 수 있는 모든 사건을 포함하고 있다. 이와는 대조적으로, 신호가 빛의 속도보다 더 빨리 이동할 수 없다고 가정하는 경우, 예를 들어, 어떤 사건도 마찬가지다. B 또는 C는 공간과 같은 영역(Elsenywhere)에서 사건 O에 영향을 미칠 수 없으며, 그러한 신호를 사용하는 사건 O의 영향을 받을 수도 없다. 이 가정 하에서 사건 O와 라이트 콘의 공간과 같은 영역에 있는 사건 사이의 인과관계는 제외된다.[29]

동시성의 상대성

그림 2-6. 동시성의 상대성을 보여주는 애니메이션

모든 관측자는 주어진 사건에 대해 주어진 사건의 미래 라이트 콘 내의 사건이 주어진 사건 이후에 발생한다는 것에 동의할 것이다. 마찬가지로, 주어진 사건의 경우 주어진 사건의 과거 라이트 콘 내의 사건이 주어진 사건 이전에 발생한다. 시간별로 구분된 사건에 대해 관측된 전후 관계는 관찰자의 기준 프레임, 즉 관찰자가 어떻게 움직이고 있든 변하지 않는다. 우주와 같은 분리형 이벤트의 경우 사정은 사뭇 다르다. 그림 2-4v = 0에서 움직이는 관찰자의 기준 프레임에서 그렸다. 이 기준 프레임에서 사건 C는 사건 O 다음에, 사건 B는 사건 O 전에 일어나는 것으로 관찰된다. 다른 기준 프레임에서, 이러한 비주요 관련 이벤트의 순서를 되돌릴 수 있다. 특히 특정 기준 프레임에서 두 사건이 동시에 발생하는 경우 공간적인 간격에 의해 반드시 분리되므로, 이는 비카날로 관련되지 않는다는 점에 주목한다. 동시성이 절대적이지 않고 관찰자의 기준 틀에 따라 결정된다는 관찰을 동시성의 상대성이라고 한다.[30]

그림 2-6은 동시성의 상대성 분석에 스페이스타임 도표의 사용을 예시한다. 스페이스타임의 이벤트는 불변이지만, 좌표 프레임은 그림 2-3에 대해 위에서 설명한 대로 변한다. 세 가지 사건(A, B, C) v = 0에서 움직이는 관찰자의 기준 프레임에서 동시에 발생한다. v = 0.3c에서 움직이는 관찰자의 기준 프레임에서 사건은 C, B, A 순서로 나타난다. v = -0.5c에서 움직이는 관찰자의 기준 프레임에서 사건은 A, B, C 순서로 나타난다. 흰색 선은 관찰자의 과거에서 관찰자의 미래로 이동되는 동시성의 평면을 나타내며, 그 위에 존재하는 사건들을 강조한다. 회색 영역은 관찰자의 가벼운 원뿔이며, 불변으로 남아 있다.

공간과 같은 시간 간격은 측정되는 사건이 관찰자와 동시에 발생한 경우 관찰자가 측정할 것과 동일한 거리를 제공한다. 따라서 공간과 같은 시간 간격은 적절한 거리 측정값을 제공한다. 즉, 실제 거리= - .{\{\ 마찬가지로, 시간 간격은 주어진 세계선을 따라 이동하는 시계의 누적 똑 같은 시간 측정값을 제공한다. 따라서 시간 간격은 적절한 시간 = 2. [21]: 220–221

불변성 하이퍼볼라

그림 2–7. (a) 불변 하이퍼볼레 제품군, (b) 2장과 1장의 하이퍼볼로이드

유클리드 공간(공간적 치수만 있는 경우)에서 어떤 점에서 등거리(유클리드 측정 기준 사용)의 세트가 원(2차원) 또는 구체(3차원)를 형성한다. (1+1)차원 Minkowski spacetime (1개의 시간적, 1개의 공간적 차원을 가지고 있음)에서, 두 방정식이 주는 원점(Minkowski 메트릭 사용)으로부터 일정한 시간 간격의 점들이 곡선을 형성한다.

개의 양의 실제 상수와 함께. 방정식은 x–ct 스페이스타임 도표에서 두 개의 하이퍼볼레 계열을 설명하고 있는데, 이를 불변 하이퍼볼레라고 한다.

그림 2-7a에서 각 자홍색 하이퍼볼라는 원점으로부터 일정한 공간 같은 분리를 가진 모든 이벤트를 연결하고 녹색 하이퍼볼레는 동일한 시간 분리의 이벤트를 연결한다.

x축을 가로지르는 자홍색 하이퍼볼레는 시간 곡선이며, 즉 이 하이퍼볼레는 (일시적으로 가속하는) 입자에 의해 (일시적으로 가속되는) 실제 경로를 나타낸다고 한다. 하나의 하이퍼볼라에서 어떤 두 사건 사이에서도 인과관계가 가능한데, 이는 모든 세컨트에 대해 필요한 속도를 나타내는 기울기의 역이 c보다 작기 때문이다 반면에, ct축을 가로지르는 녹색 하이퍼볼레는 공간적인 곡선이다. 이 하이퍼볼라를 따라 모든 구간이 공간과 같기 때문이다.vals: 이러한 하이퍼볼레 중 하나의 두 지점 사이에 인과관계가 있을 수 없다. 왜냐하면 모든 세컨트는 보다 큰 속도를 나타내기 때문이다

그림 2-7b는 해당 하이퍼볼로이드와 (1+2)차원 밍코프스키 스페이스타임(시간적 1개, 공간적 2개)의 상황을 반영한다. 원점에서 공간적인 간격에 의해 이동된 불변 하이퍼볼레는 한 장의 하이퍼볼로이드를 생성하는 반면, 원점에서 시간 간격에 의해 이동된 불변 하이퍼볼로는 두 장의 하이퍼볼로이드를 생성한다.

원점에 대한 제로 스페이스 시간 간격을 형성하는 사건들에 의해 설정된 우주와 시간 같은 하이퍼볼로이드 사이의 (1+2) 차원 경계는 하이퍼볼로이드를 라이트콘으로 퇴보시킴으로써 만들어진다. (1+1)-차원에서는 하이퍼볼레가 그림 2-7a에 표시된 두 개의 회색 45° 선으로 퇴보한다.

시간확장 및 길이수축

그림 2-8. 불변성 하이퍼볼라는 다른 속도로 이동하는 시계에 의해 정해진 적절한 시간에 원점에서 도달할 수 있는 점들로 구성된다.

그림 2-8은 5m(약 1.67×10초−8)의 적절한 시간에 원점에서 도달할 수 있는 모든 이벤트에 대한 불변성 하이퍼볼라를 나타낸다. 다른 세계 선들은 다른 속도로 움직이는 시계를 나타낸다. 관찰자를 기준으로 정지해 있는 시계는 수직인 세계선이 있고 관찰자가 측정한 경과시간은 적절한 시간과 동일하다. 0.3 c로 이동하는 시계의 경우 관찰자가 측정한 경과 시간은 5.24m(1.75×10초−8)인 반면, 0.7 c로 이동하는 시계의 경우 관찰자가 측정한 경과 시간은 7.00m(2.34×10초−8)이다. 이것은 시간 확장으로 알려진 현상을 보여준다. 더 빨리 이동하는 시계는 (관찰자 틀에서) 동일한 시간을 체크하는데 더 오래 걸리고, 그들은 시간 확장이 없는 시간보다 적절한 시간 내에 x축을 따라 더 멀리 이동한다.[21]: 220–221 서로 다른 관성 기준 프레임에서 두 관측자에 의한 시간 확장의 측정은 상호적이다. 관찰자 O가 관찰자 O′의 시계를 그의 틀에서 느리게 달리는 것으로 측정한다면, 관찰자 O′은 관찰자 O의 시계를 느리게 달리는 것으로 측정하게 될 것이다.

그림 2-9. 이 시간 다이어그램에서, 프라이밍된 프레임에서 측정된 이동 로드의 1m 길이는 프라이밍되지 않은 프레임에 투영되었을 때의 단축된 거리 OC이다.

길이수축은 시간확장과 마찬가지로 동시성의 상대성을 나타내는 것이다. 길이를 측정하려면 기준 프레임에서 동시에 발생하는 두 사건 사이의 시간 간격을 측정해야 한다. 그러나 하나의 기준 프레임에서 동시에 발생하는 이벤트는 일반적으로 다른 기준 프레임에서 동시에 발생하는 것이 아니다.

그림 2-9는 x축을 따라 0.5 c로 이동하는 1 m 봉의 움직임을 보여준다. 파란색 띠의 가장자리는 막대기의 두 끝점의 세계 선을 나타낸다. 불변형 하이퍼볼라는 1m의 공간적 간격에 의해 원점에서 분리된 사건을 보여준다. t = 0일 때 측정한 끝점 O와 B는 S′ 프레임에서 동시 이벤트임. 그러나 프레임 S의 관찰자에게 사건 O와 B는 동시에 발생하지 않는다. 길이를 측정하기 위해 프레임 S의 관찰자는 월드 라인을 따라 x축에 투영된 로드의 끝점을 측정한다. 로드의 월드 시트를 x축에 투영하면 앞쪽으로 짧아진 길이 OC가 나온다.[4]: 125

(그림은 나타내지 않음) X′ 축과 교차하도록 A를 통해 수직선을 그리는 것은 OB가 관찰자 O의 관점에서 단축되더라도 OA도 관찰자 O o의 관점에서 단축됨을 보여준다. 각 관찰자가 다른 관찰자의 시계를 느리게 달리는 것으로 측정하는 것과 같은 방법으로, 각 관찰자는 다른 관찰자의 지배자를 수축된 것으로 측정한다.

상호 길이 수축과 관련하여, 2-9는 프라이밍된 프레임과 프라이밍되지 않은 프레임이 쌍곡각(유클리드 기하학에서 일반 각도와 유사함)에 의해 상호 회전한다는 것을 보여준다.[note 8] 이러한 회전 때문에 프라이밍되지 않은 x축에 프라이밍된 미터 스틱의 투영도 짧아지고 프라이밍되지 않은 미터 스틱의 투영도 프라이밍되지 않은 x축에 대한 투영도 짧아진다.

상호시간 확장과 쌍둥이 역설

상호시간확장

상호 시간 확장과 길이 수축은 초심자를 본질적으로 자기 모순적인 개념으로 공격하는 경향이 있다. 프레임 S에서 관찰자가 'S'에서 속도 v로 움직이는 동안 프레임 S에서 정지 상태에서 시계 바늘을 '보다 느리게' 측정한다면, 상대성 원리는 프레임 S에서도 관찰자가 자신의 시계보다 느리게 달리는 것으로 프레임 S에서 시계 바늘을 측정할 것을 요구한다. 두 개의 시계가 어떻게 다른 시계보다 더 느리게 달릴 수 있는가는 "특수 상대성을 이해하는 심장으로 간다"[21]: 198 는 중요한 질문이다.

이러한 명백한 모순은 필요한 관련 측정의 다른 설정을 올바르게 고려하지 않은 데서 비롯된다. 이러한 설정은 유일하게 명백한 모순에 대한 일관된 설명을 허용한다. 그것은 두 개의 동일한 시계의 추상적인 똑딱거리는 소리가 아니라, 움직이는 시계의 두 틱의 시간적 거리를 어떻게 한 프레임으로 측정하는가에 관한 것이다. 각 프레임에서 각각 움직이는 시계의 눈금 사이의 지속시간을 상호 관찰할 때 서로 다른 시계 집합이 포함되어야 한다는 것이 밝혀졌다. 프레임 S에서 이동 클럭 W′의 틱 지속시간을 측정하기 위해, 공간 거리 d와 함께 S의 임의로 고정된 두 지점에서 정지된 두 개의 추가 동기화된 클럭1 W와2 W를 사용한다.

두 사건은 "두 개의 시계가 동시에 한 장소에 있다"는 조건, 즉 W가 각 W와1 W를2 통과할 때 정의될 수 있다. 두 이벤트에서 모두 결합 클럭의 두 판독치가 기록된다. W와1 W의2 두 판독값의 차이는 S에서 두 사건의 시간적 거리이며, 공간적 거리는 d이다. W′의 두 판독값의 차이는 S′에서 두 사건의 시간적 거리에 있다. S′에서 이러한 사건은 시간적으로만 분리되며, S′에서 같은 장소에서 일어난다. 이 두 사건에 의해 확장되는 스페이스타임 간격의 불변성과 S의 0이 아닌 공간 분리 d로 인해 S′의 시간 거리는 S의 시간 거리보다 작아야 한다: 이동 클럭 W′의 판독으로 인한 두 사건 사이의 더 작은 시간 거리는 느린 실행 클럭 W′에 속한다.

반대로, 프레임 S′에서 이동 시계 W (S에서 정지된)에서 두 사건의 시간적 거리를 판단하기 위해, S′에서 정지된 두 개의 시계가 필요하다.

이 비교에서 시계 W는 속도 -v로 이동하고 있다. "한 장소에서 동시에 두 개의 시계"로 정의되는 사건에 대한 네 개의 판독치를 다시 기록하면 두 사건의 유사한 시간적 거리가 생성되며, 현재 S′에서 임시로 공간적으로 분리되고, 일시적으로 분리되지만 S로 결합된다. 시간 간격을 불변으로 유지하려면 S에서 시간 거리는 S에서보다 작아야 한다. S에서 이벤트의 공간적 분리 때문에 S에서 시간 거리는 S에서보다 작아야 한다. 이제 시계 W는 더 느리게 실행되는 것으로 관찰된다.

각각 S 또는 S에서 "하나의 움직이는 시계"와 "두 개의 정지된 시계"를 가진 두 판정에 필요한 녹음은 각각 세 개의 시계가 있는 서로 다른 두 세트를 포함한다. 측정에는 서로 다른 시계 집합이 포함되므로, 한 관찰자가 이동 시계를 느리게 측정하면 다른 관찰자가 한 사람의 시계를 빠르게 측정하도록 상호 "일치" 측정해야 할 본질적인 필요는 없다.[21]: 198–199

그림 2-10. 상호시간확장

그림 2-10은 민코프스키 도표와의 상호 시간 확장에 관한 이전의 논의를 예시하고 있다. 프레임은 S"안심"에서 화약을 꽉 채우지 않은 사선 도끼로 화약을 꽉 채우지 않은, 네모난 도끼와 준비된, 네모난 좌표를 프레임 S′"v>로;0이동",었 사선 축에 의해 coordinatized, 오른쪽으로, 하단 사진 맞게 편집 프레임 S′"안심"이며, 프레임 S"−v<>로;0이동"함께 상단 사진은 측정을 반영한다.s, sl왼쪽으로 꺾인

공간 축(x, x′)에 평행하게 그려진 각 선은 동시성의 선을 나타낸다. 그러한 라인의 모든 이벤트는 동일한 시간 값(ct, ct′)을 갖는다. 마찬가지로 시간 축(ct, ct′)에 평행하게 그려진 각 선은 공간 좌표 값이 같은 선(x, x′)을 나타낸다.

양쪽 그림에서 출발지 O(= O ")를 이벤트로 지정할 수 있으며, 각 "움직이는 시계"가 양쪽 비교에서 "정지된 첫 번째 시계"와 결합된다. 분명히, 이 사건의 경우 양쪽 비교에서 양쪽 시계의 판독치는 0이다. 그 결과, 이동 시계의 세계선은 오른쪽 ct′ 축(상단 사진, 시계 W′)으로 기울어진 것과 왼쪽 ct-axes로 기울어진 것(하단 사진, 시계 W)이다. W와1 1W의 세계선은 해당하는 수직 시간 축이다(위 그림에는 ct, 아래 그림에는 ct ct).
위쪽 그림에서 W의2 위치는 Ax > 0으로 찍히고, 따라서 이 시계의 월드라인(사진에 표시되지 않음)은 A로 표시된 이벤트에서 이동 시계의 월드라인(ct′-axis)을 교차하며, 여기서 "두 개의 시계가 동시에 한 장소에 있다"고 한다. 아래 그림에서 W′2의 위치는 Cx < 0으로 찍히고, 따라서 이 측정에서 이동 클럭 W는 이벤트 C에서 2W를 통과한다.
상단 그림에서 사건 A의 ct-coordinated A(W의2 판독치)는t B로 표시되므로, W와12 W로 측정한 두 사건 사이의 경과 시간을 OB로 나타낸다. 비교를 위해 W′으로 측정된 시간 간격 OA의 길이를 ct 축의 축척으로 변환해야 한다. 이것은 불변 하이퍼볼라(그림 2-8 참조)에서 A를 통하여 A와 동일한 시간 간격을 가진 모든 이벤트를 연결한다. 이것은 ct 축에서 이벤트 C를 산출하며, 분명히 OC < OB, "움직이는" 시계 W′은 더 느리게 실행된다.

상부 그림에 상호 시간 확장을 즉시 보여주기 위해 이벤트 D는 S의 C(OCOA와 동일한 시간 간격을 가지고 있음)와 동시인 x′ = 0(S에서 클럭 W′의 위치)에서 이벤트로 구성될 수 있다. 이것은 시간 간격 ODOA보다 길다는 것을 보여주며, "움직이는" 시계가 더 느리게 작동한다는 것을 보여준다.[4]: 124

하단 그림에서 프레임 S는 정지 상태에서 프레임 S에서 속도 -v로 이동하고 있다. 시계 W의 월드라인은 ct-축(왼쪽 방향으로 기울어짐), 1W-through의 월드라인은 수직 ct′-axis, 2W-through의 월드라인은 이벤트 C를 통한 수직이며 ct-coordinate D가 있다. 이벤트 C를 통한 불변성 하이퍼볼라는 OC에서 OA까지의 시간 간격을 스케일링하며, 또한 B는 S의 A와 동시에 x = 0으로 구성된다(상단 그림의 D와 유사). OB > OC 결과는 다시 위와 일치한다.

측정이라는 말이 중요하다. 고전 물리학에서 관찰자는 관찰된 물체에 영향을 줄 수 없지만, 물체의 움직임 상태는 관찰자의 물체 관찰에 영향을 줄 수 있다.

트윈 역설

특수상대성이론에 대한 많은 소개는 일련의 "파라독스"를 포즈를 취함으로써 갈릴레이 상대성과 특수상대성이성의 차이를 보여준다. 이러한 역설은 사실 우리가 빛의 속도에 버금가는 속도에 익숙하지 않은 데서 비롯되는 잘못된 문제들이다. 그 치료법은 특수상대성이론의 많은 문제를 해결하고 소위 말하는 반직관적 예측에 익숙해지는 것이다. 스페이스타임을 공부하는 기하학적 접근은 현대의 직관을 발달시키는 가장 좋은 방법 중 하나로 여겨진다.[31]

쌍둥이 역설은 일란성 쌍둥이가 초고속 로켓을 타고 우주로 여행을 떠나는 사고 실험으로 지구에 남아 있던 쌍둥이가 더 늙었다는 사실을 발견하기 위해 귀국한다. 이 결과는 각 쌍둥이가 다른 쌍둥이를 움직이는 것으로 관찰하기 때문에 곤혹스러워 보인다. 그래서 얼핏 보면, 서로 다른 쌍둥이가 덜 늙었다는 것을 발견해야 하는 것처럼 보인다. 쌍둥이 역설은 세 번째 시계의 요건을 피함으로써 위에서 제시한 상호 시간 확장의 정당성을 회피한다.[21]: 207 그럼에도 불구하고 쌍둥이 역설은 특수상대성이라는 맥락 안에서 쉽게 이해되기 때문에 진정한 역설은 아니다.

역설이 존재한다는 인상은 특수상대성이란 무엇인가에 대한 오해에서 비롯된다. 특수상대성이란 모든 기준 프레임을 등가라고 선언하는 것은 아니고 관성 프레임만 말한다. 여행하는 쌍둥이의 뼈대는 가속하는 기간 동안 관성 상태가 아니다. 게다가, 쌍둥이의 차이는 관찰적으로 감지할 수 있다: 여행중인 쌍둥이는 집으로 돌아갈 수 있도록 로켓을 발사해야 하지만, 집에 머무는 쌍둥이는 그렇지 않다.[32][note 9]

그림 2-11. 쌍둥이 역설의 스페이스타임 설명

이러한 구별은 쌍둥이의 나이에 차이를 가져올 것이다. 그림 2-11의 스페이스타임 다이어그램은 쌍둥이가 x축을 따라 직진하다가 곧바로 뒤로 돌아가는 간단한 경우를 나타낸다. 전업주부 쌍둥이의 입장에서 보면 쌍둥이의 역설은 전혀 어리둥절할 것이 없다. 여행하는 쌍둥이의 세계선을 따라 측정되는 적절한 시간, 그리고 C에서 B로 측정되는 적절한 시간은 O에서 A에서 B로 측정되는 전업주거 쌍둥이의 적정 시간보다 적다. 더 복잡한 궤도는 곡선을 따라 각 사건들 사이의 적절한 시간(즉, 경로 적분)을 통합하여 여행하는 쌍둥이가 경험하는 적절한 시간의 총량을 계산해야 한다.[32]

여행하는 쌍둥이의 입장에서 쌍둥이 역설의 분석을 하면 합병증이 발생한다.

전업주부 쌍둥이를 테렌스로, 여행하는 쌍둥이를 스텔라로 지정하는 와이스의 명칭은 다음과 같다.[32]

스텔라는 관성형 틀 안에 있지 않다. 이러한 사실에 비추어 볼 때, 쌍둥이 역설의 완전한 해결에는 일반 상대성이 필요하다고 잘못 언급되는 경우가 있다.[32]

순수 SR 분석은 다음과 같다. 스텔라의 휴게 프레임으로 분석한 그녀는 여행 내내 꼼짝도 하지 않는다. 그녀가 반전을 위해 로켓을 발사할 때, 그녀는 중력을 닮은 유사 힘을 경험한다.[32] 그림 2-6과 2-11은 동시성의 선(평면) 개념을 예시한다: 관찰자의 x축(xy-plane)에 평행한 선은 관찰자 프레임에서 동시에 발생하는 일련의 사건을 나타낸다. 그림 2-11에서, 푸른 은 스텔라의 관점에서, 그녀의 세계선에서의 사건들과 동시에 일어나는 테렌스의 세계선에서의 사건들을 연결한다. (테런스는, 차례로, 일련의 수평적인 동시성을 관찰할 것이다.) 스텔라 여정의 출국과 입국 구간을 통틀어 그녀는 테렌스의 시계가 자기 시계보다 느리게 달린다고 측정한다. 그러나 역전(즉, 그림 속의 굵은 파란색 선들 사이) 동안, 스텔라가 자기 것과 동시적이라고 생각하는 테렌스의 세계선에서의 사건들을 재빨리 건너뛰는 것에 해당하는 동시성의 각도에서 변화가 일어난다. 그러므로 여행의 끝에서 스텔라는 테렌스가 자기보다 더 늙었다는 것을 알게 된다.[32]

쌍둥이의 역설을 분석하기 위해 일반 상대성 이론이 필요하지는 않지만, 일반 상대성 이론의 동등성 원리의 적용은 주제에 대한 약간의 추가적인 통찰력을 제공한다. 스텔라는 관성 프레임에 고정되어 있지 않다. 스텔라의 휴게 프레임으로 분석한 그녀는 여행 내내 꼼짝도 하지 않는다. 그녀가 휴식을 취하고 있을 때, 테렌스의 시계는 관성적인 것이고, 테렌스의 시계는 천천히 달리는 것처럼 보일 것이다. 하지만 그녀가 반전을 위해 로켓을 발사할 때, 그녀의 휴식 프레임은 가속된 프레임이고 그녀는 마치 중력장에 있는 것처럼 그녀를 밀어내는 힘을 경험한다. 테렌스는 그 분야에서 높은 위치에 있는 것처럼 보일 것이고 중력 시간 확장으로 인해, 그의 시계는 매우 빨리 달리는 것처럼 보일 것이고, 그래서 결국 테렌스는 그들이 다시 함께 있을 때 스텔라보다 더 늙어 버린 것이 될 것이다.[32] 중력 시간 확장을 예측하는 이론적 주장은 일반 상대성에만 국한되지 않는다. 어떤 중력 이론도 뉴턴의 이론을 포함해 동등성의 원리를 존중한다면 중력 시간 확장을 예측할 것이다.[21]: 16

중력

이 도입부는 설명하기 가장 쉽기 때문에 특수상대성이성의 스페이스타임에 초점을 맞추었다. 밍코프스키 스페이스타임은 평탄하고, 중력을 고려하지 않으며, 전체적으로 균일하며, 그 안에서 일어나는 사건들의 정적 배경에 지나지 않는다. 중력의 존재는 스페이스타임의 묘사를 크게 복잡하게 한다. 일반상대성이론에서 스페이스타임은 더 이상 정적 배경이 아니라, 그 속에 들어 있는 물리적 시스템과 능동적으로 상호작용한다. 물질의 존재에 있어서 스페이스타임 곡선은 파동을 전파할 수 있고, 빛을 굴절시킬 수 있으며, 다른 많은 현상들을 보여준다.[21]: 221 이러한 현상들 중 몇 가지는 이 글의 뒷부분에 설명되어 있다.

스페이스타임의 기초 수학

갈릴레이의 변형

기본 목표는 관찰자들이 상대적인 움직임으로 측정한 측정을 비교할 수 있는 것이다. 프레임 S에 이벤트의 시간과 공간 좌표를 측정한 관찰자 O가 있는 경우, 이 이벤트에는 세 개의 데카르트 좌표와 동기화된 클럭의 격자에서 측정한 시간(x, y, z, t)을 할당한다(그림 1-1 참조). 다른 프레임의 두 번째 관찰자 O′은 좌표계와 동기화된 클럭의 격자(x′, y′, z′, t′)에서 동일한 사건을 측정한다. 관성 프레임을 사용하는 경우, 어느 관찰자도 가속을 받지 않으며, 단순한 방정식 집합으로 좌표(x, y, z, t)(x, y, z, t)를 (x, y, z, t)로 연관시킬 수 있다. 두 좌표계가 평행(x, y, z) 좌표와 정렬되어 있고 t = 0경우 좌표 변환은 다음과 같다.[33][34]

그림 3-1. 갈릴레이의 스페이스타임과 속도

그림 3-1은 뉴턴의 이론에서 시간이 빛의 속도가 아니라 보편적이라는 것을 보여준다.[35]: 36–37 다음과 같은 사고 실험을 고려하십시오. 빨간색 화살표는 플랫폼에 대해 0.4 c로 움직이는 열차를 나타낸다. 열차 안에서 한 승객이 열차 프레임에서 0.4 c의 속도로 총알을 발사한다. 파란색 화살표는 열차 선로에 서 있는 사람이 0.8 c로 탄환을 주행하는 것으로 측정한다는 것을 보여준다. 이것은 우리의 순진한 기대에 따른 것이다.

보다 일반적으로 프레임 S′이 프레임 S에 대해 속도 v에서 이동한다고 가정하면, 관찰자 O′은 속도 u로 움직이는 물체를 측정한다. 프레임 S에 대한 속도 ux = ut, x = x - vt, t = t이므로 x = ut - vt = (u - v)t = (u - v)t = (u - v)t로 기록할 수 있다. 이는 u = x′/t로 이어지고 궁극적으로는

= - 또는 u= +

속도의 추가에 대한 상식적인 갈릴레이 법칙이지

상대론적 속도구성

그림 3-2. 상대론적 속도구성

속도의 구성은 상대론적 스팩타임에서 상당히 다르다. 방정식의 복잡성을 약간 줄이기 위해, 우리는 빛에 대한 물체의 속도의 비율에 대한 일반적인 속기를 도입한다.

그림 3-2a는 v/c = β = s/a에 의해 주어진 속도로 전진하는 빨간색 열차를 나타낸다. 기차의 프라이밍된 프레임에서 승객은 u′/c = β = n/m로 주어진 속도로 총알을 발사하는데, 여기서 거리는 검은색 x축에 평행하지 않고 빨간색 x 축에 평행한 선을 따라 측정된다. 파란색 화살표로 나타낸 것과 같이 플랫폼에 상대적인 총탄의 u 속도는? 그림 3-2b 참조:

  1. 플랫폼에서 탄환의 복합 속도는 u = c(s + r)/(a + b)에 의해 주어진다.
  2. 두 개의 노란 삼각형은 같은 각도 α를 공유하는 직각 삼각형이기 때문에 비슷하다. 큰 노란색 삼각형에서 비율 s/a = v/c = β.
  3. 두 개의 노란색 삼각형의 해당 면의 비율은 일정하므로 r/a = b/s = n/m = β³이다. 그래서 b = us/c, r = ua/c.
  4. 1단계에서 아인슈타인의 속도 추가 공식을 산출하기 위해 b와 r의 표현u의 표현으로 대체한다.[35]: 42–48

위에 제시된 속도 추가를 위한 상대론적 공식은 다음과 같은 몇 가지 중요한 특징을 나타낸다.

  • uv가 모두 빛의 속도에 비해 매우 작으면, 제품 vu//c2 사라질 정도로 작아지고, 속도(u = u + v)를 더하기 위한 갈릴레이식(뉴턴의 공식)과 전체적인 결과는 구별할 수 없게 된다. 갈릴레이 공식은 낮은 속도에 적용되는 상대론적 공식의 특별한 경우다.
  • uc와 동일하게 설정하면, 공식은 v의 시작 값에 관계없이 u = c를 산출한다. 빛의 속도는 방출원에 대한 그들의 움직임에 관계 없이 모든 관측자들에게 동일하다.[35]: 49

시간 확장 및 길이 수축 재방문

그림 3-3. 시간 확장과 길이 축소를 나타내는 스페이스타임 다이어그램

시간적 팽창과 길이적 수축에 대한 정량적 표현을 얻는 것은 간단하다. 그림 3-3은 두 개의 이전 애니메이션에서 가져온 개별 프레임을 포함하는 합성 이미지로서, 본 섹션의 목적을 위해 단순화 및 리라벨화되었다.

방정식의 복잡성을 약간 줄이기 위해 ct에 대한 다양한 속기 표기가 있다.

= = 이(가) 일반적이다.
c= 1. 을 매우 자주 사용한다.
그림 3-4. 속도의 함수로서의 로렌츠 인자

그림 3-3a에서 세그먼트 OAOK는 동일한 시간 간격을 나타낸다. 시간 확장은 OB/OK 비율로 나타낸다. 불변성 하이퍼볼라에는 w = xx22 + k 등식이 있고, 여기서 k = OK, 움직이는 입자의 세계선을 나타내는 빨간색 선에는 w = x/β = xc/v 등식이 있다. 대수학적 조작을 약간 하면 = O / - v / .

제곱근 기호를 포함하는 표현은 상대성 측면에서 매우 자주 나타나며, 그 표현 위에 있는 것을 로렌츠 인자라고 하는데, 그리스 문자 감마선 에 의해 다음과 같이 표시된다[36]

vc보다 크거나 같으면 에 대한 표현은 물리적으로 무의미해져 c가 자연에서 가능한 최대 속도임을 암시한다. 0보다 큰 v의 경우, 비록 곡선의 모양이 저속인 경우 로렌츠 인자가 1보다 크지만, 로렌츠 인자는 1에 극히 가깝다.

그림 3-3b에서 세그먼트 OAOK는 동일한 시간 간격을 나타낸다. 길이 수축은 OB/OK 비율로 나타낸다. 불변형 하이퍼볼라에는 x = ww2 + k2 등식이 있으며, 여기서 k = OK이며, 이동 중인 로드 끝점의 월드 라인을 나타내는 파란색 띠의 가장자리에는 1/β = c/v의 경사가 있다. 이벤트 A에는 좌표(x, w) = (γk, γβk)가 있다. A와 B를 통과하는 접선 라인은 w = (x - OB)/β라는 방정식을 가지기 때문에 weβk = (γk - OB)/β가 있고

로렌츠 변환

갈릴레이의 변혁과 그에 따른 속도의 추가라는 상식 법칙은 비행기, 자동차, 공의 평범한 저속 세계에서 잘 작동한다. 그러나 1800년대 중반부터 민감한 과학적 계측기는 일반적인 속도 추가와 잘 맞지 않는 이상 현상을 발견하기 시작했다.

로렌츠 변환은 특수상대성이론에서 한 프레임에서 다른 프레임으로 사건의 좌표를 변환하는 데 사용된다.

로렌츠 인자는 로렌츠 변환에 나타난다.

역 로렌츠 변환은 다음과 같다.

vcx가 충분히 작을 때, v2/c2vx/c2 용어는 0에 근접하며, 로렌츠 변환은 갈릴리 변환에 근사하다.

etc., most often really mean t 간결성의 경우 로렌츠 변환 방정식은 델타 없이 작성되지만, x는 Δx 등을 의미한다. 우리는 일반적으로 사건들 사이의 공간과 시간 차이를 항상 걱정한다.

하나의 변환 세트를 정상 로렌츠 변환이라고 부르고 다른 변환을 역변환이라고 부르는 것은 프레임 사이에 본질적인 차이가 없기 때문에 오해의 소지가 있다. 다른 저자들은 하나 또는 다른 일련의 변환을 "역대" 집합이라고 부른다. S 프레임은 S 에 관해서만 전진 또는 후진할 수 있기 때문에 전방 및 역변형은 사소한 것으로 서로 관련된다. 따라서 방정식을 뒤집는 것은 단순히 프라이밍된 변수와 프라이밍되지 않은 변수를 바꾸고 v를 -v로 대체하는 것이다.[37]: 71–79

예: 테렌스와 스텔라는 지구와 화성 간의 우주 경쟁에 참가하고 있다. 테렌스는 출발선 공식이고 스텔라는 참가자다. 시간 t = t = 0, 스텔라의 우주선은 0.5 c의 속도로 순간적으로 가속한다. 지구에서 화성까지의 거리는 300광초(약 90.0×10km6)이다. 테렌스는 t = 600.00초에서 스텔라가 결승선 시계를 가로지르는 것을 관찰한다. But Stella observes the time on her ship chronometer to be as she passes the finish line, and she calculates the distance between the starting and finish lines, as measured in her frame, to be 259.81 light-seconds (약 77.106 km. 1.

로렌츠 변환 도출

그림 3-5. 로렌츠 변환의 파생

로렌츠 변환은 1905년 아인슈타인의 원작 이후 수십 개의 파생된 것으로 각각 특별히 초점을 맞추고 있다. 아인슈타인의 파생은 빛의 속도의 불변성에 기초하였지만, 출발점 역할을 할 수 있는 다른 물리적 원리가 있다. 궁극적으로 이러한 대안적 출발점은 한 입자가 다른 입자에 가하는 영향은 즉각적으로 전달될 수 없다는 지역성의 기본 원리에 대한 다른 표현으로 간주될 수 있다.[38]

여기에서 제시되고 그림 3-5에 설명된 파생은 Bais가[35]: 64–66 제시한 것을 기반으로 하며, Velocity의 상대론적 구성, 시간 확장 및 길이 수축 섹션의 이전 결과를 이용한다. 이벤트 P는 검은색 "휴게 시스템"좌표(w, x)가 있고, 속도 매개변수 β = v/c로 이동하는 빨간색 프레임에 좌표(w, x′)가 있다. wx(또는 그 반대 방향)의 관점에서 w과 x를 결정하려면 처음에는 역 로렌츠 변환을 도출하는 것이 더 쉽다.

  1. 가로 방향에는 길이 확장/연축이 있을 수 없다. y'y zz와 같아야 하며, 그렇지 않으면 빠르게 움직이는 1m 공이 1m 원형 구멍을 통해 들어갈 수 있는지 여부는 관찰자에 따라 달라진다. 첫 번째 상대성 이론은 모든 관성 프레임이 동등하며, 횡방향 팽창/연결이 이 법을 위반할 것이라고 명시한다.[37]: 27–28
  2. 도면에서 w = a + b 및 x = r + s
  3. 유사한 삼각형을 사용한 이전 결과에서 s/a = b/r = v/c = β를 알 수 있다.
  4. 시간적 팽창 때문에 a = γw
  5. s/a = β로 대체 방정식(4)을 s = =wwβ로 산출한다.
  6. 길이 수축과 유사한 삼각형은 우리에게 r = γx′, b = βr = βγx를 준다.
  7. s, a, r b식을 2단계의 방정식으로 대체하는 즉시 항복

위의 방정식은 역 로렌츠 변환의 t와 x 방정식에 대한 대체 표현식으로, wct ct, βc/c를 대체하여 볼 수 있다. 역변환으로부터, tx에 대한 해결을 통해 전방변환 방정식을 도출할 수 있다.

로렌츠 변환의 선형성

로렌츠 변환은 xt 선형 결합으로서 x와 t의 x와 t의 선형 결합으로 얻어지기 때문에 선형성이라고 하는 수학적인 속성을 가지고 있으며, 상위 힘은 관여하지 않는다. 변환의 선형성은 도출에서 암묵적으로 가정된 스페이스타임의 기본적 특성, 즉 기준의 관성 프레임의 특성이 위치와 시간에 독립적이라는 것을 반영한다. 중력이 없을 때, 스페이스타임은 어디에서나 똑같아 보인다.[35]: 67 모든 관성 관측자들은 가속 및 비가속 운동을 구성하는 것에 동의할 것이다.[37]: 72–73 어떤 관찰자라도 자신의 시공간을 측정할 수 있지만 절대적인 것은 없다. 또 다른 관찰자의 관례도 잘 될 것이다.[21]: 190

선형성의 결과는 두 개의 로렌츠 변환을 순차적으로 적용하면 그 결과도 로렌츠 변환이 된다.

예: 테렌스는 스텔라가 0.500 c로 자신으로부터 멀리 달아나는 것을 관찰하고, 로렌츠 변환을 β = 0.500으로 사용해 스텔라의 측정을 자신의 것과 연관시킬 수 있다. 스텔라는 자신의 틀에서 0.250 c로 자신으로부터 멀어지는 우슐라를 관찰하고, β = 0.250으로 로렌츠 변환을 사용해 우슐라의 측정을 자신의 것과 연관시킬 수 있다. 변환의 선형성과 속도의 상대론적 구성 때문에 테렌스는 β = 0.666으로 로렌츠 변환을 사용하여 우슐라의 측정값을 자신의 측정값과 연관시킬 수 있다.

도플러 효과

도플러 효과는 수신기와 상대 운동에서 소스에 대한 파장의 주파수 또는 파장의 변화다. 단순성을 위해 여기서는 두 가지 기본 시나리오를 고려한다. (1) 소스 및/또는 수신기의 동작은 이들을 연결하는 라인을 따라 정확하게 움직인다(종방향 도플러 효과). (2) 동작은 해당 선과 직각이다(횡방향 도플러 효과). 우리는 그들이 중간 각도를 따라 움직이는 시나리오는 무시하고 있다.

종방향 도플러 효과

고전적인 도플러 분석은 음파나 물파동과 같이 매개체에서 전파되고 서로 방향 또는 멀어지는 소스와 수신기 사이에 전달되는 파동을 다룬다. 그러한 파동의 분석은 출처, 수신기 또는 둘 다 매체에 상대적으로 움직이는지에 따라 달라진다. 매체에 관해서 수신기가 정지해 있고, βs 속도 파라미터에 대해서 소스가 vs 속도로 수신기에서 바로 멀어져 가고 있는 시나리오를 감안하여 파장은 증가하며, 관찰된 주파수 f는 다음과 같이 주어진다.

한편, 소스가 정지해 있고, 수신기r β의 속도변수에 대해 vr 속도로 소스로부터 직접 멀어지는 시나리오에 따라 파장은 변하지 않고 수신기에 상대적인 파동의 전송속도는 감소하며, 관측된 주파수 f는 에 의해 주어진다.

그림 3-6. 상대론적 도플러 효과의 스팩타임 다이어그램

빛은 소리나 물의 파동과 달리 매개체를 통해 전파되지 않으며, 수신기에서 멀어지는 소스와 발신지에서 멀어지는 수신기의 구분이 없다. 그림 3-6은 속도 매개변수 β로 수신기와 분리되는 선원을 나타내는 상대론적 스페이스타임 도표를 나타내므로 w 시간의 선원과 수신기 사이의 분리는 βw이다. 시간 확장으로 인해 = Y 녹색 광선의 기울기가 -1이므로 = + w = 따라서 상대론적 도플러 효과가 주어진다[35]: 58–59 .

가로 도플러 효과

그림 3-7. 가로 도플러 효과 시나리오

소스와 수신기가, 둘 다 비 교차선을 따라 일정한 관성 운동으로 서로 접근하고 있으며, 서로 가장 가까운 거리에 있다고 가정해 보자. 고전적인 분석은 수신자가 도플러의 이동을 감지하지 않는다고 예측하는 것으로 나타날 것이다. 분석의 미묘함 때문에, 그러한 기대가 반드시 사실인 것은 아니다. 그럼에도 불구하고 적절히 정의했을 때 가로 도플러 시프트는 고전적 아날로그가 없는 상대론적 효과다. 미묘한 점은 다음과 같다.[39]: 541–543

  • 그림 3-7a. 수신기가 소스에 가장 가까운 기하학적으로 접근했을 때 주파수 측정은 무엇인가? 이 시나리오는 소스의 프레임 S'에서 가장 쉽게 분석된다.[note 10]
  • 그림 3-7b. 수신기가 소스와 가장 가까운 것으로 보았을 때 주파수 측정은 무엇인가? 이 시나리오는 수신기의 프레임 S에서 가장 쉽게 분석된다.

다른 두 가지 시나리오는 가로 도플러 이동에 대한 논의에서 공통적으로 검토된다.

  • 그림 3-7c. 수신기가 소스를 중심으로 원을 그리며 움직이는 경우, 수신기는 어떤 주파수를 측정하는가?
  • 그림 3-7d. 소스가 수신기 주위로 원을 그리며 움직이고 있는 경우, 수신기는 어떤 주파수를 측정하는가?

시나리오 (a)에서, 가장 가까운 접근의 지점은 프레임에 의존하며, 거리 대 시간의 변화가 없는 순간(즉, r이 수신자와 소스 사이의 거리인 경우 dr/dt = 0)을 나타내며, 따라서 세로 도플러 이동이 없다. 소스는 수신기가 주파수 f의 빛에 의해 조명되는 것을 관찰하지만, 또한 수신기는 시간 경과 시계가 있는 것으로도 관찰한다. 따라서 프레임 S에서 수신기는 블루스히프 주파수의 빛에 의해 조명된다.

시나리오 (b)에서 그림에는 소스가 계속 이동했음에도 불구하고 소스가 수신기에 가장 가까웠을 때의 빛에 의해 수신기가 조명되고 있는 것이 표시된다. 왜냐하면 선원의 시계는 프레임 S에서 측정된 대로 시간이 확장되어 있고, 이 시점에서 dr/dt가 0과 같았기 때문에 이 가장 가까운 지점에서 방출되는 선원의 빛은 주파수로 적색 변환된다.

시나리오(c)와 (d)는 단순한 시간확장 인수로 분석할 수 있다. (c)에서, 는 {{\의 인수에 의해 블루스히프된 것으로 관측하고, (d)에서는 빛이 적색히프팅된다. 단지 복잡해 보이는 것은 궤도를 선회하는 물체들이 가속된 움직임을 보인다는 것이다. 그러나 관성 관찰자가 가속시계를 보면 시간 확장을 계산할 때 시계의 순간 속도만 중요하다. (그러나 그 반대는 사실이 아니다.)[39]: 541–543 횡방향 도플러 시프트에 대한 대부분의 보고서는 그 효과를 적색편향이라고 하며, 시나리오 (b)나 (d)의 관점에서 그 효과를 분석한다.[note 11]

에너지 및 운동량

모멘텀을 4차원으로 확장

그림 3-8. 상대론적 스페이스타임 모멘텀 벡터

고전 역학에서 입자의 운동 상태는 그 질량과 속도에 의해 특징지어진다. 입자의 질량과 속도의 산물인 선형 운동량벡터 양으로 속도 p = mv와 같은 방향을 갖는다. 이것외부 힘에 의해 닫힌 시스템이 영향을 받지 않는다면, 그것의 총 선형 운동량은 변할 수 없다는 것을 의미한다.

상대론적 역학에서 모멘텀 벡터는 4차원으로 확장된다. 모멘텀 벡터에는 스페이스타임 모멘텀 벡터가 스페이스타임 위치 벡터, ) 스타일처럼 변환할 수 있는 시간 성분이 추가된다 스페이스타임 모멘텀의 특성을 탐구할 때, 우리는 그림 3-8a에서 입자가 정지해 있는 것처럼 보이는 것을 조사함으로써 시작한다. 나머지 프레임에서 운동량의 공간적 구성요소는 0, p = 0이지만 시간 구성요소는 mc와 같다.

We can obtain the transformed components of this vector in the moving frame by using the Lorentz transformations, or we can read it directly from the figure because we know that and , since the red axes are 감마선으로 재조정하다 그림 3-8b는 움직이는 프레임에 나타나는 상황을 보여준다. 이동 프레임의 속도가 c에 근접함에 따라 4-모멘텀의 공간과 시간 구성요소가 무한대로 가는 것이 명백하다.[35]: 84–87

우리는 이 정보를 4-모멘텀에 대한 표현을 얻기 위해 곧 사용할 것이다.

빛의 모멘텀

그림 3–9. 서로 다른 관성 프레임에서 빛의 에너지 및 운동량

빛 입자, 즉 광자는 일반적으로 빛의 속도로 알려진 상수인 c의 속도로 이동한다. 많은 현대의 상대성 이론들은 일정한 빛의 속도로 시작되지 않기 때문에 이 진술은 상호작용이 아니다. 따라서 광자는 빛과 같은 세계선을 따라 전파되며 적절한 단위로 모든 관찰자에게 동일한 공간과 시간 구성요소를 가진다.

맥스웰의 전자기 이론의 결과는 빛은 에너지와 탄력을 전달하며, 그 비율은 상수 / = E/}. E/ =p {\ Ep}, 광자의 경우 공간과 시간 성분이 같으므로 E/c는 시간 성분과 동일해야 한다. 스페이스 모멘텀 벡터의.

광자는 빛의 속도로 이동하지만 탄력과 에너지는 유한하다. 이를 위해서는 γmc의 질량 항이 0이어야 하며, 이는 광자가 질량이 없는 입자라는 것을 의미한다. Infinity times 0은 잘못 정의된 수량이지만 E/c는 잘 정의되어 있다.

이 분석에 의해, 광자의 에너지가 나머지 프레임에서 E와 같으면, 이동 프레임에서 ′ =( 1- ) E와 같다. 이 결과는 그림 3-9의 검사나 로렌츠 변환의 적용에 의해 도출될 수 있으며, 이전에 주어진 도플러 효과의 분석과 일치한다.[35]: 88

질량 에너지 관계

상대론적 모멘텀 벡터의 다양한 요소들 사이의 상호관계에 대한 고려는 아인슈타인을 몇 가지 유명한 결론으로 이끌었다.

  • β = v/c가 0에 가까워짐에 따라 저속 한계에서 β = m = 의 공간적 요소가 모멘텀의 고전 용어인 mv에 접근한다. 이러한 관점에 따라 γmm의 상대론적 일반화로 해석할 수 있다. 아인슈타인은 물체의 상대론적 질량 = m 공식에 따라 속도에 따라 증가할 것을 제안했다
  • Likewise, comparing the time component of the relativistic momentum with that of the photon, , so that Einstein arrived at the relationship . Simplified to the case of zero velocity, this is Einstein's famous e에너지와 질량과 관련된 정점

질량과 에너지의 관계를 살펴보는 또 다른 방법은 저속에서의 γmc2 연속적인 확장을 고려하는 것이다.

두 번째 용어는 입자의 운동에너지에 대한 표현일 뿐이다. 질량은 실로 또 다른 형태의 에너지로 보인다.[35]: 90–92 [37]: 129–130, 180

상대론적 질량을 가졌지만 충분히 매일 전 세계(또는 실제로는 어떤 기기에서 사용이 전자 microscopes,[40]구식의 컬러 텔레비전 세트와 같은 고속 입자, 등에 달려 있)에 입자 가속기에서 검증된 아인슈타인은 1905년, mrel에서 소개된 개념, 그럼에도 불구하고 꿈은 fruitf다고 증명되지 않았다.ul conc다른 이론적 발전의 기초가 된 개념이 아니라는 점에서 물리학 엡트. 예를 들어 상대론적 질량은 일반상대성이론에서 아무런 역할도 하지 않는다.

이러한 이유로, 교육학상의 우려뿐만 아니라, 대부분의 물리학자들은 현재 질량과 에너지의 관계를 언급할 때 다른 용어를 선호한다.[41] "상대론적 질량"은 더 이상 사용되지 않는 용어다. 용어 자체로 "질량"은 나머지 질량이나 불변 질량을 가리키며, 상대론적 운동 벡터의 불변성 길이에 해당한다. 공식으로 표현하면

이 공식은 질량이 없을 뿐만 아니라 질량이 없는 모든 입자에 적용된다. 질량이 없는 광자의 경우 앞에서 한 E =± p[\ E와 동일한 관계를 산출한다[35]: 90–92

사모멘텀

질량과 에너지의 밀접한 관계 때문에 4-모멘텀(일명 4-모멘텀)을 에너지-모멘텀 4-벡터라고도 한다. 대문자 P를 사용하여 4-모멘텀을 나타내고 소문자 p를 사용하여 공간 모멘텀을 나타냄으로써 4-모멘텀을 다음과 같이 쓸 수 있다.

(/ c, )=( / c, , , p ) 또는 다른 방법으로,
(, p)=(, x, y, p ) [37]: 129–130, 180

보존법

물리학에서, 보존 법칙은 고립된 물리적 시스템의 특정한 측정 가능한 특성은 시스템이 시간이 지남에 따라 진화할 때 변하지 않는다고 명시한다. 1915년, 에미 노에더는 각각의 보존 법칙의 기초가 자연의 근본적인 대칭이라는 것을 발견했다.[42] 물리적 과정이 공간 어디에서 일어나든 상관하지 않는다는 사실(공간 번역 대칭)은 모멘텀의 보존을, 그런 과정이 언제 일어나든 상관하지 않는다는 사실(시간 번역 대칭)은 에너지 보존을 낳는다. 이 절에서는 상대론적 관점에서 질량, 운동량 및 에너지의 보존에 대한 뉴턴 관점을 검토한다.

총운동량

그림 3-10. 상대론적 모멘텀 보존

운동력 보존에 대한 뉴턴적 관점이 상대론적 맥락에서 어떻게 수정되어야 하는가를 이해하기 위해, 우리는 단일 차원에 한정된 두 충돌체의 문제를 검토한다.

뉴턴 역학에서, 이 문제의 두 가지 극단적인 경우는 최소의 복잡성을 산출하는 수학으로 구별될 수 있다.

(1) 두 몸은 완전히 탄성 충돌로 서로 반동한다.
(2) 두 몸은 서로 달라붙어 하나의 입자로 계속 움직인다. 이 두 번째 경우는 완전히 비탄성 충돌의 경우다.

(1)과 (2)의 경우 모두 운동량, 질량 및 총 에너지가 보존된다. 그러나 운동 에너지는 비탄성 충돌의 경우 보존되지 않는다. 초기 운동 에너지의 일정 부분은 열로 변환된다.

In case (2), two masses with momentums and collide to produce a single particle of conserved mass traveling at the center of mass velocity of the original system, 총 운동량 = p + } 보존되어 있다.

그림 3-10은 상대론적 관점에서 두 입자의 비탄성 충돌을 보여준다. 시간 성분 / / c 는 결과 벡터의 총 E/c에 추가되며, 이는 에너지가 보존됨을 의미한다. 마찬가지로 공간 구성 요소 p p {\ 결과 벡터의 p 형식에 추가된다. 4모멘텀은 역시 보존수량이다. 그러나 총 운동량의 불변성 하이퍼볼라가 에너지 축과 교차하는 지점에서 주어지는 융합 입자의 불변성 질량은 충돌한 개별 입자의 불변성 질량의 합과 같지 않다. 실제로 질량의 합보다 크다: m> + 1}+[35]: 94–97

이 시나리오의 사건을 역순으로 살펴보면 질량의 비보존은 흔한 일임을 알 수 있다: 불안정한 기초 입자가 자발적으로 두 개의 가벼운 입자로 분해될 때 총 에너지는 보존되지만 질량은 보존되지 않는다. 질량의 일부는 운동에너지로 변환된다.[37]: 134–138

기준 프레임 선택

그림 3-11.
(위) 실험실 프레임
(오른쪽) 모멘텀 프레임의 중심.

분석을 수행할 프레임을 선택할 자유는 특별히 편리한 프레임을 선택할 수 있게 해준다. 운동량과 에너지 문제를 분석하기 위해 가장 편리한 프레임은 대개 "모멘텀 중심 프레임"(제로모멘텀 프레임 또는 COM 프레임이라고도 한다)이다. 이것은 시스템 전체 운동량의 공간 구성요소가 0인 프레임이다. 그림 3-11은 고속 입자가 두 개의 딸 입자로 분해되는 것을 보여준다. 실험실 프레임에서, 딸 입자는 원래 입자의 궤적을 따라 향하는 방향으로 우선적으로 방출된다. 그러나 COM 프레임에서 두 딸아이 입자의 질량과 속도는 일반적으로 같지 않지만 반대 방향으로 방출된다.

에너지 및 운동량 절약

뉴턴의 입자 상호작용 분석에서, 프레임 사이의 변환은 모든 속도에 갈릴레이 변환을 적용하는 것 만이 필요하기 때문에 간단하다. = - 모멘텀 = - m p 만일 한 프레임에 상호 작용하는 입자 시스템의 총 모멘텀이 보존되는 것이 관찰된다면 다른 프레임에서도 마찬가지로 보존되는 것이 관찰될 것이다.[37]: 241–245

COM 프레임의 운동량 보존은 충돌 전과 충돌 후 모두 p = 0이라는 요구조건에 해당한다. 뉴턴 분석에서 질량의 보존은 = + 우리가 고려해온 단순화된 1차원 시나리오에서 입자의 출검 모멘텀a를 결정하려면 에너지 조건이라는 하나의 추가 제약조건만 있으면 된다 운동 에너지의 손실이 없는 완전 탄성 충돌의 1차원 경우, COM 프레임에서 반발하는 입자의 방출 속도는 유입 속도와 정확히 동일하고 반대일 것이다. 운동 에너지의 총 손실과 완전히 비탄성적인 충돌의 경우, 반발하는 입자의 방출 속도는 0이 될 것이다.[37]: 241–245

= 로 계산된 뉴턴 모멘텀a는 로렌츠 변환에서 제대로 동작하지 못한다 The linear transformation of velocities is replaced by the highly nonlinear so that a calculation demonstrating conservation of momentum in one frame will be invalid를 다른 틀에 넣다 아인슈타인은 모멘텀 보존을 포기해야 하거나 모멘텀의 정의를 바꾸어야 하는 상황에 직면했다. 이 두 번째 선택은 그가 선택한 것이었다.[35]: 104

그림 3-12a. 충전된 파이온의 붕괴에 대한 에너지-모멘텀 다이어그램.
그림 3-12b. 충전된 파이온 붕괴의 계산기 분석 그래프 작성.

에너지와 모멘텀에 대한 상대론적 보존법은 에너지, 모멘텀, 질량에 대한 고전적 보존 3법을 대체한다. 질량은 총 상대론적 에너지에 포함되었기 때문에 더 이상 독립적으로 보존되지 않는다. 이것은 에너지의 상대론적 보존을 비 상대론적 역학에서보다 단순한 개념으로 만든다. 왜냐하면 총 에너지는 어떠한 자격도 없이 보존되기 때문이다. 열 또는 내부 전위 에너지로 변환된 운동에너지는 질량의 증가로 나타난다.[37]: 127

예: 질량과 에너지의 동등성 때문에, 1 MeV = 106 전자 볼트인 에너지 단위로 기본 입자 질량이 관습적으로 명시된다. 충전된 파이온은 139.57 MeV(전자 질량의 약 273배)의 입자다. 불안정하며 질량 105.66 MeV(전자 질량의 약 207배)의 뮤온과 거의 무시할 수 있는 질량을 가진 안티뉴트리노로 분해된다. 파이온 질량과 뮤온 질량의 차이는 33.91 MeV이다.


π

μ
+
ν
μ

그림 3-12a는 파이온의 나머지 프레임에서 이 붕괴 반응에 대한 에너지-모멘텀 도표를 보여준다. 중성미자는 무시할 수 있는 질량 때문에 빛의 거의 속도로 이동한다. 광자의 에너지와 마찬가지로 에너지에 대한 상대론적 E = c, {\v}=이며, 이 표현은 모멘텀의 공간 구성 요소의 값이기도 하다. 모멘텀을 보존하기 위해 뮤온은 중성미자의 모멘텀의 공간 구성 요소와 동일한 값을 가지지만 반대 방향이다.

이 붕괴 반응의 에너지 에너지에 대한 대수적 분석은 온라인에서 이용할 수 있으므로 그림 3-12b는 대신 그래프 계산기 용액을 제시한다.[43] 중성미자의 에너지는 29.79 MeV이고 뮤온의 에너지는 33.91 MeV - 29.79 MeV = 4.12 MeV이다. 대부분의 에너지는 거의 0에 가까운 질량 중성미자에 의해 옮겨진다.

기본을 넘어서

이 절의 주제는 앞 절의 주제보다 기술적 난이도가 현저히 높으며 이해에 필수적이지 않다. 커브드 스페이스타임 소개

신속성

그림 4-1a. 단위 원 x2 + y2 = 1의 점(coses a, sin a)을 통과하는 광선이며, 여기서 a는 광선, 원 및 X 축 사이의 두 배 영역이다.
그림 4-1b. 단위를 통과하는 광선 x2 - y = 1 지점2(코시 a, sinh a), 여기서 a는 광선, 하이퍼볼라 및 x축 사이의 두 배 영역이다.
그림 4-2. 세 가지 기본 쌍곡선 함수의 그림: 쌍곡 사인(sinh), 쌍곡 코사인(cosh), 쌍곡 탄젠트(tanh) Sinh는 빨간색, cosh는 파란색, tanh는 녹색이다.

로렌츠 변환은 하나의 기준 프레임에 있는 사건의 좌표를 다른 프레임의 좌표와 연관시킨다. 상대론적 속도 구성은 두 속도를 함께 더하기 위해 사용된다. 후자의 계산을 수행하는 공식은 비선형적이어서, 해당 갈릴리 공식보다 복잡하다.

이러한 비선형성은 우리가 선택한 매개변수의 인공물이다.[7]: 47–59 x–ct 스페이스타임 다이어그램에서 원점으로부터 일정한 스페이스타임 간격의 점이 불변성 하이퍼볼라를 형성한다는 점에 앞서 주목했다. 또한 표준 구성에서 두 개의 스페이스타임 기준 프레임의 좌표계가 서로에 대해 하이퍼볼릭적으로 회전한다는 점에 주목했다.

이러한 관계를 표현하기 위한 자연스러운 기능은 삼각함수의 쌍곡 아날로그들이다. 그림 4-1a에는 sin(a)과 cos(a)가 있는 단위 원이 표시되는데, 이 도표와 익숙한 기초 삼각측량 단위 원 사이의 유일한 차이는 a가 해석된다는 것이다. 이는 레이와 X 축의 각도가 아니라 X 축에서 광선에 의해 휩쓸려 나가는 부분의 두 배 면적이 된다. (숫자적으로는 단위 원의 각도 2 × 면적 측정치가 동일하다.) 그림 4-1b에는 sinh(a)와 cosh(a)가 있는 단위 하이퍼볼라가 표시된다. 여기서 a는 마찬가지로 색조 영역의 두 배로 해석된다.[44] 그림 4-2는 sinh, cosh 및 tanh 함수의 플롯을 나타낸다.

단위 원의 경우, 광선의 기울기는 다음과 같이 주어진다.

데카르트 평면에서 각도 θ에 의한 점(x, y)을 점(x', y')으로 회전시키는 것은 다음과 같다.

스페이스타임 다이어그램에서 속도 매개 변수 은(는) 기울기의 아날로그다. 신속성 φ은 에 의해[37]: 96–99 정의된다.

어디에

위에서 정의한 신속성은 특수상대성이론에서 매우 유용하다. 왜냐하면 많은 표현들이 그것의 관점에서 표현했을 때 상당히 단순한 형태를 취하기 때문이다. 예를 들어, 신속성은 단순히 콜린어 속도 추가 공식에 첨가된다.[7]: 47–59

또는 = 1+ .

로렌츠 변환은 빠른 속도로 표현될 때 간단한 형태를 취한다. γ 인자는 다음과 같이 쓸 수 있다.

공간 좌표 축의 회전이 없는 균일한 속도로 상대 운동을 설명하는 변환을 부스트라고 한다.

이전에 제시된 변환에 γββ를 대체하고 매트릭스 형태로 다시 쓰면서 x방향의 로렌츠 부스트를 다음과 같이 쓸 수 있다.

그리고 x-방향의 역 로렌츠 부스트는 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

즉 로렌츠 부스트는 민코프스키 스팩타임의 쌍곡선 회전을 나타낸다.[37]: 96–99

쌍곡선 기능 사용의 장점은 테일러와 휠러의 고전과 같은 일부 교과서가 매우 이른 시기에 그 사용을 소개할 수 있다는 것이다.[7][45][note 12]

4-벡터

4-벡터는 에너지-모멘텀 4-벡터의 맥락에서 위에서 언급되었지만 큰 강조점은 없었다. 실제로 특수 상대성 이론의 기초적인 파생어로는 그것들을 필요로 하는 것이 없다. 그러나 일단 이해하게 되면 4-벡터, 그리고 보다 일반적으로 텐셔너는 특수상대성이론의 수학과 개념적 이해를 크게 단순화시킨다. 그러한 개체만을 가지고 작업하면 상대론적으로 분명히 불변하는 공식으로 연결되는데, 이것은 비종교적 맥락에서 상당한 이점이 된다. 예를 들어, 맥스웰 방정식의 상대론적 불변성을 통상적인 형태로 입증하는 것은 사소한 것이 아니라, 단지 자기장 강도 텐서 제형을 이용한 일상적인 계산(실제로 관찰에 지나지 않는다)에 불과하다. 반면에, 일반 상대성은 처음부터 4-벡터에 크게 의존하며, 보다 일반적으로 텐서(tensor)에 의존하여 물리적으로 관련되는 실체를 나타낸다. 특정 좌표에 의존하지 않는 방정식을 통해 이를 연결하려면 특수 상대성처럼 평평한 부분 내에서뿐만 아니라 곡선 스페이스 시간 내에서도 그러한 4-벡터를 연결할 수 있는 텐서가 필요하다. 텐서 연구는 이 글의 범위 밖에 있는데, 이는 스페이스타임에 대한 기본적인 논의만을 제공한다.

4-벡터의 정의

4투플 =( 1, , ) A는 구성 요소 A i 로렌츠 변환에 따라 프레임 간에 변환하는 경우 "4벡터"이다.

, , , ) 좌표를 사용하는 경우, A는 (x-방향)에 따라 변환하면 (x-방향으로) 4–벡터가 된다.

로렌츠 변환의 초기 프레젠테이션에서 단순히 ctA0, x1 A로 대체하는 것에서 비롯된다.

평소처럼 x, t 등을 쓸 때 일반적으로 Δx, Δt 등을 의미한다.

4-벡터의 마지막 세 요소는 3차원 공간의 표준 벡터여야 한다. 따라서 4–벡터는 회전뿐만 아니라 로렌츠 변환에서 ( , , , z) 디스플레이 스타일([31]: 36–59 c\Delta y z)과 같이 해야 한다

4-벡터의 특성

  • 선형 결합 시 닫힘: AB4-벡터라면 = + B 4-벡터.
  • 내부 제품 불변성: AB4-벡터일 경우, 내측 제품(scalar 제품)은 불변성, 즉 내측 제품이 계산되는 프레임과 독립적이다. 내부 제품의 계산이 3-벡터의 내부 제품의 계산과 어떻게 다른지 주의하십시오. 다음에서 B은(는) 3-벡터.
로렌츠 변환에서는 불변성일 뿐 아니라, 위의 내부 제품은 3-공간에서 회전할 때에도 불변성이 있다.
ctors B = {\의 경우 2개의 벡터가 직교한다고 하는데, 3개의 벡터가 있는 경우와 달리 직교 4벡터가 반드시 직각인 것은 아니다. 광선의 세계선인 45° 선에서 4-벡터 두 가 동일하고 반대 각도로 오프셋되면 직교하는 것이 원칙이다. 이것은 가벼운 4벡터가 자신과 직교한다는 것을 암시한다.
  • 벡터 크기의 불변도: 벡터의 크기는 그 자체로 4벡터의 내적인 산물이며, 프레임에 독립적인 성질이다. 간격과 마찬가지로 크기는 양수, 음수 또는 0일 수 있으므로 벡터를 시간, 공간 또는 null(빛)이라고 한다. null 벡터는 0 벡터와 같지 않다는 점에 유의하십시오. null 벡터는 A =0, {\A A을(를) 위한 벡터인 반면, 0 벡터는 성분이 모두 0인 벡터다. 규범의 불변성을 나타내는 특별한 경우로는 불변성 2 t - }} 상대성운동성운동량 - p .{\ E}-p[37]: 178–181 [31]: 36–59

4-벡터 예제

  • 변위 4벡터:밖에 스페이스타임 분리로 알려진 이 값은 Δt, Δx, Δy, Δz) 또는 최소 분리(dt, dx, dy, dz)이다.
  • 속도 4벡터: 이는 변위 4 벡터를 d 로 나눌 때 발생한다. 여기서 d τ{\ ddt, dx, dydz를 생성하는 두 이벤트 사이의 적절한 시간이다.
그림 4-3a. 정지된 프레임에서 관찰된 가속 입자의 순간적으로 혼동되는 기준 프레임.
그림 4-3b. 가속 관찰자(중앙)의 궤적을 따라 순간적으로 이동하는 기준 프레임.
4폭은 입자의 세계선과 접하고, 길이는 입자의 틀에서 시간의 한 단위와 같다.
가속 입자는 항상 정지해 있는 관성 프레임을 가지고 있지 않다. 그러나, 관성 프레임은 입자와 순간적으로 결합되는 것을 항상 발견할 수 있다. 프레임, 즉 순간적으로 혼합되는 기준 프레임(MCRF)은 가속 입자 분석에 특수 상대성 적용을 가능하게 한다.
광자는 null 라인에서 이동하므로 광자의 경우 = 이며, 4-속도 정의가 불가능하다. 광자가 정지해 있는 프레임이 없으며, 광자의 경로를 따라 MCRF를 설정할 수 없다.
  • 에너지-모멘텀 4벡터:
앞에서 설명한 것처럼 에너지-모멘텀 4벡터에 대한 다양한처리가 있어 (, 또는(, p로 표현될 수 있다 {\vec { 첫 번째 성분은 주어진 프레임에 있는 입자(또는 입자계통)의 총 에너지(질량 포함)이며, 나머지 성분은 공간 운동량이다. 에너지-모멘텀 4벡터는 보존량이다.
  • 가속 4벡터: 이는 . 에 대한 속도 4 벡터의 파생 모델에서 비롯된다.
  • 힘 4 벡터: 이것은 . 에 대한 모멘텀 4-벡터의 파생 모델이다.

예상대로 위의 4-벡터의 최종 구성 요소는 모두 공간 3-모멘텀, 3-포스 등에 해당하는 표준 3-벡터다.[37]: 178–181 [31]: 36–59

4-벡터와 물리법

특수 상대성 이론의 첫 번째 가정은 모든 관성 프레임의 동등성을 선언한다. 하나의 프레임에 보유하는 물리적 법칙은 모든 프레임에 적용되어야 한다. 그렇지 않으면 프레임을 구별할 수 있기 때문이다. 뉴턴의 모멘텀a는 로렌츠식 변환 하에서 제대로 행동하지 못하고, 아인슈타인은 모멘텀의 보존을 포기하기보다는 모멘텀의 정의를 4-벡터를 포함하는 것으로 바꾸는 것을 선호했다.

물리적 법칙은 틀에 독립적인 구조에 기초해야 한다. 이것은 물리 법칙이 항상 틀에 독립적인 스칼라를 연결하는 방정식의 형태를 취할 수 있다는 것을 의미한다. 그러나 4-벡터를 포함하는 방정식은 적절한 등급의 텐서를 사용해야 하며, 그 자체는 4-벡터로부터 축적된 것으로 생각할 수 있다.[37]: 186

가속

특수상대성이란 관성 프레임에만 적용되며, 가속하는 물체나 가속 참조 프레임을 다룰 수 없다는 것이 일반적인 오해다. 실제로 가속하는 물체는 가속 프레임을 전혀 다룰 필요 없이 일반적으로 분석할 수 있다. 중력이 상당할 때 비로소 일반 상대성이 요구된다.[46]

그러나 가속 프레임을 적절하게 취급하려면 약간의 주의가 필요하다. 특수상대성이성과 일반상대성이성의 차이는 (1) 특수상대성이성에서는 모든 속도가 상대적이지만 가속도는 절대적이다. (2) 일반상대성이성에서는 관성, 가속, 회전 등 모든 운동이 상대적이다. 이 차이를 수용하기 위해 일반 상대성 이론은 곡선 스페이스타임을 사용한다.[46]

이 섹션에서는 가속된 기준 프레임과 관련된 몇 가지 시나리오를 분석한다.

드완-베란-벨 우주선 역설

드완-베란-벨 우주선 역설(벨의 우주선 역설)은 스페이스타임 접근법의 기하학적 통찰에 의해 뒷받침되지 않은 직관적 추론이 이슈로 이어질 수 있는 문제의 좋은 예다.

그림 4-4. 드완-베란-벨 우주선 역설

그림 4-4에서, 두 개의 동일한 우주선이 우주에 떠다니고 서로 상대적인 정지 상태에 있다. 그것들은 끊기 전에 제한된 양의 스트레칭만 가능한 끈으로 연결된다. 우리의 프레임에서 주어진 순간, 관찰자 틀에서, 두 우주선은 그들 사이의 선을 따라 같은 방향으로 같은 일정한 적절한 가속도로 가속한다.[note 13] 끈이 끊어질까?

역설이 새롭고 상대적으로 알려지지 않았을 때는 전문 물리학자들조차 해결책을 찾는 데 어려움을 겪었다. 두 줄의 추리는 정반대의 결론으로 이어진다. 아래에 제시된 두 주장 모두 그 중 하나가 정답을 내놓아도 흠결이 있다.[37]: 106, 120–122

  1. 나머지 프레임의 관측자들에게, 우주선은 L 거리를 출발하여 가속하는 동안 같은 거리를 유지한다. 가속 중 L은 가속 우주선 프레임에서 L' = =L의 길이로 수축된 거리다. 충분히 오랜 시간이 지나면 γ은 충분히 큰 요소까지 늘어나 끈이 끊어져야 한다.
  2. AB를 후방과 전방 우주선이 되게 하라. 우주선의 틀에서, 각각의 우주선은 다른 우주선이 하고 있는 것과 같은 행동을 하는 것을 본다. AB가 자신과 같은 가속도를 가지고 있다고 말하는데, BA가 그녀의 일거수일투족과 일치한다고 본다. 그래서 우주선은 같은 거리를 유지하며 끈은 끊어지지 않는다.[37]: 106, 120–122

첫 번째 주장의 문제는 "우주선의 틀"이 없다는 것이다. 있을 수 없는 것은, 두 우주선이 두 우주선 사이의 거리를 측정하기 때문이다. 우주선의 공통된 틀이 없기 때문에 줄의 길이가 잘못 정의되어 있다. 그럼에도 불구하고 결론은 옳고, 주장은 대부분 옳다. 그러나 두 번째 주장은 동시성의 상대성을 완전히 무시한다.[37]: 106, 120–122

그림 4-5. 곡선은 동일한 일정한 크기 가속도로 같은 방향으로 가속하는 두 관측자 A와 B의 세계선을 나타낸다. 'A'와 'B'에서 관찰자들은 가속을 멈춘다. 점선은 가속이 시작되기 전과 가속이 중지된 후의 관찰자 중 하나에 대한 동시성의 선이다.

스페이스타임 다이어그램(그림 4-5)은 이 역설의 정확한 해결책을 거의 즉각적으로 명확히 한다. Minkowski의 두 관측자는 일정한 크기 가속으로 적절한 시간 일부 관성 관찰자가 아닌 관찰자 자신이 측정한 가속 및 경과 시간)에 가속한다. 그들은 이 단계를 전후하여 친밀하고 관성적이다. 민코스키 기하학에서 동시성 B 의 선을 따라가는 길이가 동시성 의 선보다 큰 것으로 나타났다

길이 증가는 로렌츠 변환의 도움을 받아 계산할 수 있다. 4-5에서와 같이 가속이 완료된 , 선박은 일부 S . 에서 일정한 오프셋을 유지한다 B= A+ (는) , 프레임 S에서 선박의 위치:[47]

"파라독스"는 그대로 벨이 자신의 본보기를 만든 방식에서 유래한다. In the usual discussion of Lorentz contraction, the rest length is fixed and the moving length shortens as measured in frame . As shown in Fig. 4-5, Bell's example asserts the moving lengths and measured in frame to be fix따라서 프레임 나머지 프레임 길이 B 이(가) 증가하도록 강제한다.

가속화된 관찰자(지평선 포함)

특정 특수 상대성 문제 설정은 사건 지평선과 같은 일반 상대성 이론과 일반적으로 관련된 현상에 대한 통찰력을 이끌어낼 수 있다. 그림 2-7에 첨부된 본문에서 마젠타 하이퍼볼레는 스페이스타임에 지속적으로 가속하는 여행자에 의해 추적되는 실제 경로를 나타낸다. 양의 가속 기간 동안 여행자의 속도는 단지 빛의 속도에 접근하는 반면, 우리의 틀에서 측정했을 때 여행자의 가속도는 지속적으로 감소한다.

그림 4-6. 지평선으로 상대론적 관찰자 가속. 동일한 주제에 대한 또 다른 잘 그린 삽화를 여기에서 볼 수 있다.

그림 4-6은 여행자의 움직임의 다양한 특징을 보다 구체적으로 묘사하고 있다. 어느 순간이든 그녀의 공간축은 그 기원을 통과하는 선과 하이퍼볼라 위의 현재 위치에 의해 형성되는 반면, 그녀의 시간축은 그녀의 위치에서 하이퍼볼라에 접하는 것이다. 속도 매개 변수 은(는) (가) 증가함에 따라 한계에 접근한다. 마찬가지로 도 무한대로 접근한다.

불변성 하이퍼볼라의 모양은 일정한 적정 가속도의 경로에 해당한다. 이는 다음과 같이 입증할 수 있다.

  1. 우리는 = / . 를 기억한다
  2. 2 - 2= , c = / c -s .{\ 결론을 내린다.
  3. 상대론적 힘 법칙에서 = p/ t= p/ = )/ d) . )/d).
  4. 2단계에서 t) 을(를) 대체하고 3단계에서 을(를) 사용하면 F= c 상수식인 결과가 .[35]: 110–113

그림 4-6은 특정한 계산된 시나리오를 나타낸다. 테렌스(A)와 스텔라(B)는 애초 원점에서 100광시간 떨어진 곳에 함께 서 있다. 스텔라는 0시에 이륙하고, 그녀의 우주선은 시간당 0.01 c로 가속한다. 20시간마다 테렌스 라디오는 스텔라에게 집에서의 상황을 알려준다. 스텔라는 이러한 정기적인 전송을 받지만, 점점 더 멀어지는 거리(부분적으로 시간 확장에 의한 오프셋)로 인해 시계에 측정된 테렌스의 통신을 늦게, 그리고 나중에 받게 되고, 테렌스로부터 100시간 동안(파쇄된 녹색 선) 후에는 결코 어떠한 통신도 받지 않게 된다.[35]: 110–113

테렌스의 시계대로 100시간이 지나면 스텔라는 어두운 지역으로 들어간다. 그녀는 테렌스의 환상의 미래 바깥을 여행했다. 반면 테렌스는 자신에게 보내는 스텔라의 메시지를 무한정 받을 수 있다. 그는 단지 충분히 오래 기다려야 한다. 스페이스타임은 명백한 사건 지평선으로 분리된 구별되는 영역으로 나뉘어져 있다. 스텔라가 계속 가속하는 한, 그녀는 이 지평선 뒤에서 무슨 일이 벌어지는지 결코 알 수 없다.[35]: 110–113

커브드 스페이스타임 소개

기본 명제

뉴턴의 이론들은 모든 공간과 모든 시간에 걸쳐 확장되는 단단한 유클리드 기준 프레임을 배경으로 움직임이 일어난다고 가정했다. 중력은 불가사의한 힘에 의해 매개되며, 그 작용은 간섭하는 공간으로부터 독립된 거리를 가로질러 즉각적으로 작용한다.[note 14] 이와는 대조적으로 아인슈타인은 유클리드 참조 프레임이 우주 전체에 걸쳐 펼쳐져 있다고 부인했다. 또한 중력의 힘과 같은 것은 없고, 단지 스페이스타임의 구조 그 자체일 뿐이다.[7]: 175–190

그림 5-1. 조석 효과.[Click here for additional details 1]

틈틈이 지구 궤도를 도는 위성의 경로는 지구, 달, 태양의 먼 영향력에 의해 좌우되지 않는다. 대신, 위성은 국지적인 상황에 대응하여 우주를 통해서만 움직인다. 충분한 작은 규모로 볼 때, 스페이스타임이 국소적으로 평평한 모든 곳에 있기 때문에, 위성은 국소 관성 프레임에서 항상 직선을 따르고 있다. 우리는 위성이 항상 지오데틱의 길을 따라간다고 말한다. 하나의 입자의 움직임과 함께 중력의 증거는 발견될 수 없다.[7]: 175–190

어떤 틈새 시간의 분석에서, 중력의 증거는 한 사람이 두 신체 또는 두 개의 분리된 입자의 상대적인 가속도를 관찰할 것을 요구한다. 그림 5-1에서 지구의 중력장에서 자유 낙하하는 두 개의 분리된 입자는 각 입자가 스페이스타임을 통해 다른 경로를 따라갈 수 있도록 중력장에서 국소적 불균형으로 인한 조력 가속도를 나타낸다. 이러한 입자들이 서로에 대해 나타내는 조력 가속은 설명에 힘을 필요로 하지 않는다. 오히려 아인슈타인은 그것들을 스페이스타임의 기하학, 즉 스페이스타임의 곡률적인 측면에서 묘사했다. 이러한 조력 가속은 엄밀히 말하면 국부적이다. 지구에서 멀리 떨어진 거리에서 작용하는 중력의 출현을 초래하는 것은 곡률의 많은 국소적 발현에 의한 누적 총효과다.[7]: 175–190

일반 상대성 이론의 기초가 되는 두 가지 핵심 명제.

  • 첫 번째 중요한 개념은 조정 독립성이다. 물리학의 법칙은 어떤 좌표계를 사용하느냐에 달려 있을 수 없다. 이것은 특수상대성이론에서 사용되는 버전에서 상대성 원리의 주요한 확장인데, 이 버전에서는 물리 법칙이 비가속성(내부성) 기준 프레임으로 움직이는 모든 관찰자에 대해 동일해야 한다고 기술하고 있다. 일반상대성이론에서 아인슈타인 자신의 (번역된) 말을 사용하기 위해서는 "물리학의 법칙은 어떤 운동이든 참조 시스템에 적용할 수 있는 그런 성질의 것이어야 한다."[48]: 113 이는 즉각적인 문제로 이어진다. 가속 프레임에서, 사람들은 겉으로 보기에 절대적인 의미에서 가속 상태를 평가할 수 있는 힘을 느낀다. 아인슈타인은 동등성의 원리를 통해 이 문제를 해결했다.[49]: 137–149
그림 5-2. 등가원리
  • 등가 원리는 어떤 공간에서도 중력의 영향은 가속도의 영향과 동일하다고 말한다.
그림 5-2에서 사람 A는 어떤 거대한 물체와는 거리가 먼 우주선에 있으며, g의 균일한 가속을 거친다. Person B 지구에서 쉬고 있는 상자 안에 있다. 우주선이 충분히 작아서 조석 효과를 측정할 수 없는 경우(현재 중력 측정 계측기의 민감도를 고려할 때 A와 B는 릴리푸티안이어야 함), A와 B가 어떤 설정에 있는지 알 수 있는 실험은 없다.[49]: 141–149
동등성 원리의 대체적 표현은 뉴턴의 만유인력의 법칙에서 F = GMmg /r2 = mgg i, 뉴턴의 두 번째 법칙에서 중력 질량g m이 관성 질량 i m과 같아야 하는 선험적 이유가 없다는 점에 주목하는 것이다. 동등성 원리는 이 두 질량이 동일하다고 말한다.[49]: 141–149

곡면 스페이스타임에 대한 위의 기본적인 설명에서 중력에 대한 완전한 설명으로 넘어가려면 상당한 연구가 필요한 주제인 텐서 미적분과 미분 기하학이 필요하다. 이러한 수학적 도구가 없으면 일반 상대성 이론에 대한 쓰기는 가능하지만, 어떤 비종교적 파생도 증명할 수 없다.

시간의 곡률

그림 5-3. 중력 적색편향의 제안 아인슈타인의 주장

특수상대성이론의 논의에서 힘은 단지 배경 역할에 지나지 않았다. 특수 상대성 이론은 모든 시간대를 채우는 관성 프레임을 정의할 수 있는 능력을 가정한 것으로, 모든 시계는 출발지의 시계와 같은 속도로 작동한다. 이게 정말 가능한 일인가? 균일하지 않은 중력장에서 실험은 그 답이 '아니오'라는 것을 지시한다. 중력장은 글로벌 관성 프레임을 구성하는 것을 불가능하게 만든다. 충분한 시간의 작은 영역에서는 여전히 국소 관성 프레임이 가능하다. 일반 상대성 이론은 이러한 국소 프레임의 체계적 결합을 통해 보다 일반적인 스페이스타임의 그림을 만드는 것을 포함한다.[31]: 118–126

1916년 일반론이 발표되기 몇 년 전 아인슈타인은 중력 적색편향의 존재를 예측하기 위해 등가원리를 사용하였다. (i) 높이 h의 탑(그림 5-3)이 건설되었다고 가정한다. (ii) 탑 위에서 정지 질량 m의 입자를 떨어뜨린다. 그 총 에너지 E, 같은 지면에 관찰자에 의해 측정된 m+v2c2=12mm+mghc2{\displaystyle m+{\frac{{\frac{1}{2}}mv^{2}}{c^{2}}}=m+{\frac{mgh}{c^{2}}그것은 자유롭게 가속도 g를, 속도 v=(2gh)1/2을 땅에 도달하며}}(iii) mass-energy 변환기에 빠진다.e 입자의 총 에너지는 하나의 높은 에너지 광자로, 그것은 위로 향한다. (iv) 탑 꼭대기에서 에너지 질량 변환기는 광자 E의 에너지를 다시 정지 질량 m'[31]: 118–126 의 입자로 변환한다.

반드시 m = m'이어야 한다. 그렇지 않으면 영구 운동 장치를 구성할 수 있기 때문이다. 따라서 우리는 E' = m을 예측하여

지구의 중력장에서 광자가 상승하면 에너지가 손실되고 적색 변형이 일어난다. 천문학적인 관측을 통해 이 적색 편향을 측정하려는 초기 시도는 다소 결론에 이르지 못했으나 결정적인 실험실 관찰은 파운드 레브카(1959년)와 후에 파운드 앤 스나이더(1964년)에 의해 수행되었다.[50]

빛은 관련 주파수를 가지고 있으며, 이 주파수는 시계의 작동을 위해 사용될 수 있다. 중력 적색 편향은 시간 자체에 대한 중요한 결론으로 이어진다: 중력은 시간을 더 느리게 만든다. 어떤 안정된 원자 전환에 의해 속도가 제어되는 동일한 두 개의 시계를 만든다고 가정합시다. 다른 시계가 바닥에 남아 있는 동안, 한 시계는 탑 꼭대기에 놓아라. 탑 꼭대기의 한 실험자는 지상 시계의 신호가 탑의 옆 시계보다 주파수가 낮다고 관찰한다. 탑 위로 올라가는 빛은 파도일 뿐, 올라가는 길에 파도의 볏이 사라지는 것은 불가능하다. 정확히 많은 빛의 진동이 탑의 꼭대기에 도달한다. 바닥에서 방출된 것만큼. 실험자는 지상시계가 느리게 돌아가고 있다고 결론짓고, 지상시계와 나란히 비교하기 위해 타워시계를 내려오면 이를 확인할 수 있다.[21]: 16–18 1km 타워의 경우, 이 차이는 현대의 계측기로 쉽게 측정할 수 있는 하루에 약 9.4나노초일 것이다.

중력장의 시계는 모두 같은 속도로 달리지 않는다. 파운드-레브카 실험과 같은 실험은 스페이스타임의 시간 성분의 곡면성을 확고히 확립했다. 파운드-레브카 실험은 스페이스타임의 공간 구성요소의 곡률에 대해 아무 것도 말하지 않는다. 그러나 중력 시간 확장을 예측하는 이론적 주장은 일반 상대성 이론의 세부사항에 전혀 의존하지 않는다. 어떤 중력 이론도 등가 원리를 존중한다면 중력 시간 확장을 예측할 것이다.[21]: 16 여기에는 뉴턴의 중력이 포함된다. 일반 상대성 이론의 표준시연은 뉴턴 한계(즉, 입자가 느리게 움직이고 중력장이 약하며, 장이 정적인 것)에서 시간의 곡률만으로도 뉴턴의 중력 법칙을 도출하기에 충분한 방법을 보여주는 것이다.[51]: 101–106

뉴턴 인력은 곡선 시간의 이론이다. 일반 상대성 이론은 곡선 시간과 곡선 공간의 이론이다. 중력 상수로 G, 뉴턴 항성의 질량으로 M, 에서 r 떨어진 거리에서 미미한 질량의 궤도를 선회하는 물체를 볼 때 뉴턴 인력의 시간 간격은 시간 계수만 가변적이다.[21]: 229–232

공간의 곡률

- /( ( 의 계수는뉴턴 인력의 시간 곡률을 설명하며이 곡률로 모든 뉴턴 인력의 영향을 완전히 설명한다. 예상대로 이 보정 계수는 에 정비례하며 r r}이(가) 있기 때문에 중력체 가까이 다가갈수록 보정 계수가 증가하는데, 이는 시간이 곡선임을 의미한다.

그러나 일반 상대성 이론은 곡면 공간과 곡면 시간의 이론이기 때문에 위에서 제시한 시간 간격의 공간 요소를 수정하는 용어가 있다면, 예를 들어 공간 용어에 적용된 곡률 보정 인자에 의한 행성 궤도와 위성 궤도에 그 영향을 보아야 하지 않을까?

답은 에 띄지만 효과는 미미하다는 것이다. 그 이유는 행성의 속도가 빛의 속도에 비해 극히 작기 때문에 태양계의 행성이나 위성의 ( t ) 2 t용어가 공간 용어를 왜소하게 하기 때문이다.[21]: 234–238

공간적인 용어의 미세함에도 불구하고 뉴턴 인력에 이상이 있다는 첫 번째 징후는 1세기 반 전에 발견되었다. 1859년, 우르바인베리어(Urbain Le Verrier)는 1697년부터 1848년까지 태양의 원반 위에 있는 수성의 전이들에 대한 가용한 시간적 관측을 분석하면서, 알려진 물리학은 수성의 궤도 내에 행성이나 소행성 벨트가 존재할 가능성이 없는 한, 수성의 궤도를 설명할 수 없다고 보고했다. 수성 궤도의 위력은 다른 행성의 예인력으로 설명될 수 있는 과잉 진행 속도를 보였다.[52] 이 변칙적인 전치(열대 세기당 43 아크초)의 미세한 가치를 탐지하고 정확하게 측정할 수 있는 능력은 19세기 천문학의 정교함을 증명한다.

그림 5-4. 일반 상대성 이론은 곡선 시간과 곡선 공간의 이론이다. 애니메이션을 실행하려면 여기를 클릭하십시오.

일찍이 천왕성 궤도의 흔들림을 분석하여 "그의 펜 끝에" 해왕성의 존재를 발견했던 유명한 천문학자가, 르 베리에의 발표는 전문 천문학자와 아마추어 천문학자들이 모두 가상의 새로운 행성을 위해 사냥함에 따라, "불칸-마니아"의 2십 5년이라는 긴 기간을 촉발되었다. 이 검색에는 벌컨의 몇 가지 거짓 목격담이 포함되었다. 그러한 행성이나 소행성대는 존재하지 않는다는 것이 궁극적으로 확립되었다.[53]

1916년에 아인슈타인은 수성의 이러한 변칙적인 전이가 스페이스타임의 곡률에 있는 공간 용어로 설명된다는 것을 보여주려고 했다. 단순히 뉴턴 인력의 표현일 뿐인 시간적 용어의 곡면성은 이 변칙적인 전과를 설명하는 데 아무런 관련이 없다. 그의 계산의 성공은 아인슈타인의 동료들에게 일반 상대성 이론이 정확할 수 있다는 강력한 암시였다.

아인슈타인이 예측한 것 중 가장 장관인 것은 공간적 구성 요소들의 곡률 항을 거대한 몸 주위의 빛의 굴곡에서 측정할 수 있다는 그의 계산이었다. 빛은 스페이스 타임 도표에서 ±1의 경사를 가진다. 우주에서의 그것의 움직임은 시간의 움직임과 같다. 불변 간격의 약한 필드 표현에 대해 아인슈타인은 공간 구성 요소에서 정확히 동일하지만 반대되는 부호 곡률을 계산했다.[21]: 234–238

뉴턴의 중력에서는( ) displaystyle (1-2 G /( r 계수 앞에 있는(c Δ t ) 2 {\는 별 주위의 빛의 휨을 예측한다. In general relativity, the coefficient in front of predicts a doubling of the total bending.[21]: 234–238

1919년 에딩턴 일식 원정과 아인슈타인의 명성에 대한 이야기는 다른 곳에서도 잘 전해진다.[54]

스페이스타임 곡률의 원인

그림 5-5. 응력-에너지 텐서의 역방향 성분

뉴턴의 중력 이론에서 중력의 유일한 근원은 질량이다.

대조적으로, 일반 상대성 이론은 질량 외에도 몇 가지 공간 시간 곡률의 원천을 식별한다. 아인슈타인 자기장 방정식에서 중력의 원천은 에 T 스트레스-에너지 텐서.

그림 5-5는 스트레스-에너지 텐서 내의 다양한 중력원을 분류한다.

  • T빨간색): 총 질량 에너지 밀도(입자 사이의 힘에서 발생하는 잠재적 에너지 및 무작위 열 운동에서 발생하는 운동에너지에 대한 기여 포함)
  • T주황색): 모멘텀 밀도 항이다. 벌크 모션이 없더라도 열전도에 의해 에너지가 전달될 수 있으며 전도된 에너지는 탄력이 전달된다.
  • 는 j 방향에서 단위 면적당 모멘텀 i 성분의 흐름 속도다. 벌크 모션이 없더라도 입자의 무작위 열운동은 운동량 흐름을 발생시키므로 i = j 항(녹색)은 등방성 압력을, i ≠ j 항(파란색)은 전단 응력을 나타낸다.[55]

방정식에서 도출해야 할 중요한 결론 중 하나는, 구어적으로 말하면, 중력자체가 중력을 발생시킨다는 것이다.[note 15] 에너지는 질량이 있다. 뉴턴의 중력에서도 중력장은 중력 전위 에너지라고 불리는 E= m h, 와 연관되어 있다. 일반 상대성에서는 중력장의 에너지가 다시 중력장의 생성으로 공급된다. 이것은 방정식을 비선형적으로 만들고 약한 현장 사례 이외의 어떤 분야에서도 풀기 어렵게 만든다.[21]: 240 수치상대성이란 문제를 해결하고 분석하기 위해 수치적 방법을 사용하는 일반상대성이론의 한 분야로, 종종 블랙홀, 중력파, 중성자 항성, 그리고 강한 자기장 체제에서 다른 현상들을 연구하기 위해 슈퍼컴퓨터를 채용한다.

에너지-모멘텀

그림 5-6. (왼쪽) 질량 에너지 워프 스팩타임 (오른쪽) 각운동량 J로 질량-에너지 분포를 회전시키면 중력장 H가 생성된다.

특수상대성이론에서 질량 에너지는 운동량과 밀접하게 연결되어 있다. 공간과 시간이 스페이스타임이라 불리는 보다 포괄적인 실체의 다른 측면인 것처럼 질량 에너지와 운동량은 4-모멘텀이라고 하는 통일된 4차원 수량의 다른 측면일 뿐이다. 따라서 질량-에너지가 중력의 원천이라면 운동량 또한 중력의 원천이어야 한다. 운동량이 중력의 원천으로 포함되면 이동하거나 회전하는 질량이 이동 전하에 의해 생성되는 자기장과 유사한 장을 발생시킬 수 있다는 예측을 하게 되는데, 이는 중력 자기학이라고 알려져 있는 현상이다.[56]

그림 5-7. 그라비토마그네틱스의 기원

이동 전하에 특수 상대성 법칙을 적용하면 자력의 힘을 추론할 수 있다는 것은 잘 알려져 있다. (이것을 웅변적으로 보여주는 Feynman은 그의 물리학 강의 13-6장, 온라인에서 볼 수 있다.)[57] 유사 논리는 그라비토마그네틱스의 기원을 증명하는 데 사용될 수 있다. 그림 5-7a에서, 두 개의 평행하고 무한히 긴 거대한 입자의 흐름은 정지 상태의 시험 입자에 상대적이며 둘 사이의 중심에 상대적인 v와 +v의 동일하고 반대되는 속도를 가진다. 설정의 대칭성 때문에 중심 입자의 순력은 0이다. additive 을(를) 가정하여 속도가 단순히 가미되도록 하십시오. 그림 5-7b는 상류의 프레임에서 정확히 동일한 설정을 보여준다. 시험 입자의 속도는 +v이고, 하단 스트림의 속도는 +2v이다. 물리적 상황은 변하지 않았으므로 사물이 관찰되는 프레임만 있으므로 테스트 입자를 어느 스트림 쪽으로도 끌어서는 안 된다. 그러나 시험입자에 가해지는 힘이 같은 것은 전혀 확실하지 않다 (1) 밑줄기가 윗줄보다 빨리 움직이기 때문에 아랫줄기의 각 입자는 윗줄기의 입자보다 큰 질량 에너지를 갖는다 (2) 로렌츠 수축 때문에 아랫줄기의 단위 길이당 입자가 윗줄레보다 더 많다m. (3) 하부 스트림의 활성 중력 질량에 대한 또 다른 기여는 이 시점에서 논할 충분한 배경이 없는 추가 압력 용어에서 나온다. 이 모든 효과들은 표면상으로는 테스트 입자를 바닥 스트림을 향해 끌어당길 것을 요구하게 될 것이다.

시험 입자는 바닥 스트림과 같은 방향으로 움직이는 입자를 밀어내는 역할을 하는 속도 의존적인 힘 때문에 바닥 스트림에 끌리지 않는다. 이 속도에 의존하는 중력 효과는 중력학이다.[21]: 245–253

따라서 중력장을 통해 움직이는 물질은 전자기 유도와 유사한 프레임 드래깅 효과라고 불리는 영향을 받는다. 그러한 중력 자력은 일부 회전하는 초거대 블랙홀에 의해 분출되는 상대론적 제트(그림 5-8)의 생성의 기초가 되는 것으로 제안되었다.[58][59]

압력 및 응력

에너지와 운동량과 직접 관련된 양은 또한 중력의 원천, 즉 내부 압력스트레스도 되어야 한다. 질량 에너지, 운동력, 압력, 그리고 스트레스는 모두 중력의 원천으로 작용한다: 집합적으로 그것들은 곡선을 굽히는 방법을 틈틈이 알려주는 것이다.

일반 상대성 이론은 압력이 질량 에너지 밀도와 정확히 동일한 강도를 갖는 중력 공급원으로 작용한다고 예측한다. 중력의 원천으로 압력을 포함시키면 일반 상대성 예측과 뉴턴 인력의 예측 사이에 극적인 차이가 발생한다. 예를 들어, 압력 용어는 중성자 별의 질량에 대한 최대 한계를 설정한다. 중성자 별의 질량이 클수록 중력에 대한 무게를 지탱하기 위해 더 많은 압력이 필요하다. 그러나 늘어난 압력은 별의 질량에 작용하는 중력을 더한다. 톨만-오펜하이머-볼코프 한계에 의해 결정되는 특정 질량 이상에서는 공정이 폭주하게 되고 중성자 별은 블랙홀로 붕괴한다.[21]: 243, 280

응력 조건은 노심 붕괴 초신성의 유체역학 시뮬레이션과 같은 계산을 수행할 때 매우 중요해진다.[60]

스페이스타임 곡률의 원천으로서 압력, 운동량, 스트레스의 역할에 대한 이러한 예측은 우아하고 이론에서 중요한 역할을 한다. 압력과 관련하여 초기 우주는 방사선이 지배하였으며,[61] 압력이 중력에 기여하지 않았거나 질량 에너지와 같은 중력의 원천과 동일한 강도를 가지고 있지 않은 경우 관련 우주론 데이터(예: 핵합성 부존 등)가 재생산될 가능성은 매우 낮다. 마찬가지로, 스트레스 용어가 중력의 원천으로서 기여하지 않는다면 아인슈타인 장 방정식의 수학적인 일관성도 깨질 것이다.

스페이스타임 곡률 선원에 대한 실험적 시험

정의: 능동, 수동 및 관성 질량

본디는 다른 종류의 질량을 구별한다: (1) 활성질량( a 은 중력장의 근원으로 작용하는 질량이고, (2)수동질량( 은 중력장에 반응하는 질량이고, (3) 관성질량( 은 t)이다.가속도에 반응하는 [62]질량

뉴턴 이론에 의하면

  • 작용과 반응의 제3법칙은 과 mp {\{p 동일해야 함을 지시한다.
  • 반면에 이 동일한지는 실증적 결과물이다.

일반 상대성에서는

  • 의 동일성은 동등성 원리에 의해 지시된다.
  • 사이에 필요한 관계를 지시하는 "작동 및 반응" 원칙은 없다[62]

중력원으로서 압력

그림 5–9. (A) 카벤디시 실험, (B) 크뢰저 실험

중력 선원의 강도(즉, 그것의 활성 질량)를 측정하는 고전적인 실험은 1797년 헨리 카벤디쉬(그림 5-9a)에 의해 처음 실시되었다. 작지만 촘촘한 공 두 개가 미세한 철사에 매달려 비틀림 균형을 이룬다. 두 개의 큰 시험 질량을 볼에 가까이 가져오면 감지 가능한 토크가 발생한다. 기구의 치수와 토션 와이어의 측정 가능한 스프링 상수를 고려할 때 중력 상수 G를 결정할 수 있다.

시험 질량을 압축하여 압력 효과를 연구하는 것은 희망이 없다. 왜냐하면 달성 가능한 실험실 압력은 금속 공의 질량 에너지와 비교했을 때 미미하기 때문이다.

그러나 양성자가 원자핵 내부에서 단단히 압착되어 발생하는 반발성 전자기 압력은 일반적으로 1028 atm 1033 Pa ≈ 1033 kg·sm의−2−1 순서로 되어 있다. 이는 약 10kg18/m의3 핵 질량 밀도의 약 1%에 해당한다(c2 ≈ 9×10ms를162−2 감안한 후).[63]

그림 5-10. 달 레이저 거리 측정 실험. (왼쪽) 이 역반사기아폴로 11호 우주비행사에 의해 달에 남겨졌다. (오른쪽) 전세계의 천문학자들은 지구와 달의 거리를 정확하게 측정하기 위해 아폴로 우주비행사와 러시아 달 탐사선이 남긴 역반사기에 레이저 빛을 튕겨냈다.

압력이 중력원으로 작용하지 않는 경우, 정전기압이 더 높은 원자 번호 Z를 가진 핵에 대해서는 a/ m 이 더 낮아야 한다. L. B. Kreuzer(1968)는 Teflon과 부력 밀도가 같은 트리클로로에틸렌과 디브로모에탄의 혼합물에 매달린 테플론 질량을 사용하여 Cavendish 실험을 했다(그림 5-9b). 불소는 원자 번호 Z = 9를 가지고 있고, 브로민은 Z = 35를 가지고 있다. Kreuzer는 Teflon 질량의 위치를 변경하면 비틀림 막대의 차등 편향이 발생하지 않으며, 따라서 능동 질량과 수동 질량을 설정하여 5−5×10의 정밀도와 동등하다는 것을 발견했다.[64]

크뢰저는 원래 이 실험을 수동질량에 대한 활성질량의 비율에 대한 시험으로만 여겼지만, 클리포드 윌(1976)은 이 실험을 중력장에 대한 선원의 결합에 대한 근본적인 시험으로 재해석했다.[65]

1986년 바틀렛과 반 뷰런은 달의 레이저 범위가 달의 형체 중심과 질량 중심 사이의 2km 오프셋을 감지했다고 언급했다. 이는 Fe(달의 중심부에 많이 있음)와 Al(껍질과 맨틀에 많이 있음)의 분포에서 비대칭성을 나타낸다. 만약 압력이 질량-에너지처럼 공간시간 곡률에 동등하게 기여하지 않는다면, 달은 고전역학에 의해 예측된 궤도에 있지 않을 것이다. 그들은 측정치를 사용하여 능동 질량과 수동 질량 사이의 불일치에 대한 한계를 약 10으로−12 강화했다.[66]

그라비토마그네틱스

그림 5-11. 중력 탐사선 B는 중력 자석의 존재를 확인했다.

2004년 4월 20일 발사된 위성을 기반으로 한 중력 탐사선 B(GP-B)에 의해 중력학의 존재가 증명되었다.[67] 우주 비행 단계는 까지 계속되었다. 임무의 목적은 지구 근처의 틈새 시간 곡률을 측정하는 것인데, 특히 중력학에 중점을 두고 있었다.

초기 결과는 상대적으로 큰 측지학적 효과(단순한 시간 간격 곡률에 기인하며, 디 시터 전처리라고도 한다)를 약 1%의 정확도로 확인했다. 훨씬 더 작은 프레임 드래깅 효과(그것은 그라비토마그네틱에 기인하며, 또한 Lense-라고도 알려져 있다.자이로스코프에서 가변 드리프트를 유발하는 예상치 못한 전하 효과 때문에 측정하기 어려웠다. 그럼에도 불구하고 , 에 의해 프레임 드래깅 효과는 예상 결과의 15% 이내로 확인되었고 [68]측지학적 효과는 0.5%[69][70]보다 나은 것으로 확인되었다.

LARES, LAGEOS-1LAGEOS-2 위성의 레이저 범위 관측에 의한 프레임 끌기의 후속 측정은 GP-B 측정에서 개선되었으며, 결과(2016년 기준)는 이 결과의 정확성에 대해서는 다소 이견이 있었지만,[71] 이론적 가치의 5% 이내로 효과를 입증했다.[72]

또 다른 노력인 일반상대성(GINGER)의 자이로스코프 실험은 이 효과를 측정하기 위해 지구 표면 1400m 아래에서 서로 직각으로 장착된 3개의 6m레이저를 사용하려고 한다.[73][74]

기술 주제

스페이스타임은 정말 곡선인가?

푸앵카레 전통주의자의 관점에서 유클리드 대 비유클리드 기하학을 선택해야 하는 본질적인 기준은 경제와 단순함일 것이다. 현실주의자는 아인슈타인이 유클리드인이 아닌 시간이라는 것을 발견했다고 말할 것이다. 전통주의자는 아인슈타인이 단지 비유클리드 기하학을 사용하는 것이 더 편리하다는 것을 알았을 뿐이라고 말할 것이다. 전통주의자는 아인슈타인의 분석이 스페이스타임의 기하학이 실제로 무엇인지에 대해 아무 것도 말하지 않았다고 주장할 것이다.[75]

그런 말을 들으니

1. 평탄한 스페이스타임의 관점에서 일반 상대성을 나타내는 것이 가능한가?
2. 일반 상대성 이론의 평평한 스페이스타임 해석이 일반적인 곡선 스페이스타임 해석보다 더 편리할 수 있는 상황이 있는가?

첫 번째 질문에 대해 데세르, 그리슈추크, 로젠, 와인버그 등 다수의 저자들이 평탄한 다지관의 밭으로 다양한 형태의 중력을 제공했다. 그 이론들은 다양하게 "생물 중력"과 "일반 상대성에 대한 현장 이론적 접근" 등으로 불린다.[76][77][78][79] Kip Thorne은 이 이론들에 대한 대중적인 리뷰를 제공했다.[80]: 397–403

물질이 원주 방향에서 방사형으로 돌리면 지배자가 수축하는 중력장을 만들고, 시계의 똑딱거리는 속도를 확장시키는 평면적 공간 패러다임 포지션이다. 평면 스페이스타임 패러다임은 둘 다 동일한 물리적 현상을 나타낸다는 점에서 곡면 스페이스타임 패러다임과 완전히 동등하다. 하지만, 그들의 수학 공식은 완전히 다르다. 일하는 물리학자들은 문제의 요건에 따라 곡선과 평탄한 스페이스타임 기법을 사용하는 것 사이를 일상적으로 전환한다. 평탄한 스페이스타임 패러다임은 취약한 분야에서 대략적인 계산을 할 때 특히 편리한 것으로 나타났다. 따라서 중력파 문제를 해결할 때는 평탄한 스페이스타임 기법이, 블랙홀 분석에는 곡면 스페이스타임 기법이 사용된다.[80]: 397–403

점근 대칭

특수상대성이론의 스페이스타임 대칭 그룹은 푸앵카레 그룹으로, 로렌츠 부스트 3개, 회전 3개, 스페이스타임 4개의 번역으로 이루어진 10차원 그룹이다. 일반상대성이론에서 어떤 대칭이 적용될 수 있는지 묻는 것은 논리적이다. 추적 가능한 경우는 중력장의 모든 근원에서 멀리 떨어진 곳에 위치한 관찰자들이 볼 수 있는 스페이스타임의 대칭을 고려하는 것일 수 있다. 무증상 평탄한 시간 대칭에 대한 순진한 기대는 단순히 특수 상대성, viz, 푸앵카레 그룹의 평탄한 시간 대칭을 확장하고 재현하는 것일 수도 있다.

1962년 헤르만 본디, M. G. 반 데르 버지, A. W. 메츠너[81], 레이너 K. 삭스[82] 중력파의 전파로 인한 무한대의 에너지 흐름을 조사하기 위해 이 점증적 대칭 문제를 해결했다. 그들의 첫 번째 단계는 어떤 물리적으로 감각적인 경계 조건을 결정하여 메트릭이 점증적으로 평평하다고 말하는 것의 의미를 특징짓는 빛과 같은 무한대의 중력장에 배치하여 그러한 집단이 존재한다는 가정조차도 아닌 점증적 대칭 집단의 성격에 대해 사전 가정을 하지 않는 것이었다. 그런 다음 가장 합리적인 경계 조건이라고 간주하는 것을 설계한 후, 그들은 무증상 평탄한 중력장에 적합한 경계 조건의 형태를 불변하게 하는 무증상 대칭 변환의 성격을 조사했다. 그들이 발견한 것은 무증상 대칭 변환은 실제로 그룹을 형성하며 이 그룹의 구조는 우연히 존재하는 특정한 중력장에 의존하지 않는다는 것이다. 이는 예상대로 공간적 무한에서 적어도 중력장의 역학으로부터 스페이스타임의 운동학을 분리할 수 있다는 것을 의미한다. 1962년 곤혹스러운 놀라움은 그들이 BMS 그룹의 한 부분군인 유한차원 푸앵카레 그룹 대신 점증적 대칭군으로서 풍부한 무한차원 그룹(일명 BMS 그룹)을 발견한 것이다. 로렌츠 변환은 점근 대칭 변환일 뿐만 아니라, 로렌츠 변환이 아니라 점근 대칭 변환인 추가 변환도 있다. 사실, 그들은 초변환이라고 알려진 변환 생성기의 추가적인 무한함을 발견했다. 이는 장거리에 있는 약한 장의 경우 일반상대성(GR)이 특수상대성(Special Relativity)으로 줄어들지 않는다는 결론을 내포하고 있다.[83]: 35

리만 기하학

리만 기하학리만 다지관, 리만 메트릭스를 가진 매끄러운 다지관, 즉 지점마다 매끄럽게 변화하는 각 지점의 접선 공간내적인 생산물을 가지고 리만 다지관을 연구하는 미분 기하학의 한 분야다. 이것은 특히 각도, 곡선의 길이, 표면적부피에 대한 국부적 개념을 제공한다. 그것으로부터, 지역 기여금을 통합함으로써 일부 다른 글로벌 수량을 도출할 수 있다.

리만 기하학은 베른하르트 리만의 시각에서 유래한 것으로, 그의 취임 강연 "Uber die Gyometen, Welche der Geometrie zu Grunde ligen"[84] ("지오메트리가 기반이 되는 가설들에 대하여") R에서3 표면의 미분 기하학을 매우 광범위하고 추상적으로 일반화한 것이다. 리만 기하학의 발달은 표면의 기하학적 구조와 그것들에 대한 지질학의 거동에 관한 다양한 결과들을 더 높은 차원의 서로 다른 다양성의 연구에 적용할 수 있는 기법으로 합성하는 결과를 낳았다. 아인슈타인일반 상대성 이론의 공식화를 가능케 했고, 분석은 물론 집단 이론과 대표 이론에 심대한 영향을 미쳤으며, 대수학과 미분 위상의 발전에 박차를 가했다.

곡선다지관

물리적인 이유들 들어, 블랙 홀 연속 수학적으로 4차원의 매끄럽고, 연결된 로오 렌쯔 형 다양체(M, 감속){\displaystyle(M,g)}. 이{\displaystyle g}이 메트릭은 .mw-parser-output .vanchor&gt을 결정하 서명(3,1){\displaystyle(3,1)}. 매끈한 로런츠 미터 g을 뜻한다.:정확 정의된다Arget~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}geometry 블랙 홀, as 입자와 광선의 지질학을 결정한다. 이 다지관의 각 점(이벤트)에 대해 좌표 차트는 기준 프레임에서 관찰자를 나타내기 위해 사용된다. 일반적으로 카르테시안 좌표 y t) 스타일이(가) 사용된다. 더욱이 단순성을 위해 측정 단위는 보통 c의 속도가 1과 같도록 선택된다.[85]

기준 프레임(오브서버)은 이러한 좌표 차트 중 하나로 식별할 수 있다. 그러한 관찰자는 어떤 이벤트 을(를) 설명할 수 있다 기준 프레임은 p 에 대한 두 번째 좌표 차트로 식별할 수 있다 두 관찰자(각 기준 프레임에 하나씩)는 동일한 p 를 설명할 수 있다. 설명을 얻으십시오.[85]

일반적으로 다지관을 덮기 위해서는 겹치는 좌표도가 많이 필요하다. 관찰자를 나타냄)을 포함하는 좌표 차트와 다른 관찰자를 나타냄)를 포함하는 좌표 차트의 교차점은 두 관측자가 물리적 양을 측정하여 결과를 비교할 수 있는 시간 간격을 나타낸다. 두 측정 세트 사이의 관계는 이 교차로에서 비음반 좌표 변환에 의해 주어진다. 좌표 차트를 주변 지역에서 측정을 수행할 수 있는 현지 관찰자로 사용하는 아이디어도 물리적 타당성이 높으며, 이것이 실제로 물리적 데이터를 수집하는 방법이기 때문이다.[85]

예를 들어, 두 명의 관측자는 한 명은 지구에 있지만 다른 한 명은 목성으로 가는 고속 로켓에 탑승한 채 목성과 충돌하는 혜성을 관찰할 수 있다(이것이 p 일반적으로 이 충격의 정확한 위치와 시기에 대해서는 의견이 다를 것이다. 즉, 4-tule y t 다른 좌표계를 사용하므로)이 다를 것이다. 비록 그들의 동역학적 서술은 다르겠지만, 운동량 보존과 열역학 제1법칙과 같은 역동적 (물리적) 법칙은 여전히 유효할 것이다. 사실 상대성 이론은 이러한 (그리고 다른 모든 물리적) 법칙이 모든 좌표계에서 동일한 형태를 취해야 한다고 규정한다는 점에서 이것보다 더 많은 것을 요구한다. 이것은 모든 물리적 양이 표현되는 상대성 이론에 텐더를 도입한다.

지오디컬은 지오디컬의 한 점에 대한 접선 벡터가 이런 성질의 것이라면 시간과 같거나, null이거나, 공간과 같다고 한다. 스페이스타임의 입자와 광선의 경로는 각각 시간적 지오디컬과 null(빛과 같은) 지오디컬로 표현된다.[85]

3+1 스페이스타임의 권한 있는 문자

n+m차원 공간특성

공간적(양방향)과 시간적(양방향)의 두 가지 차원이 있다.[86] 공간 치수의 수를 N으로 하고 시간 치수의 수를 T로 한다. N = 3과 T = 1은 끈 이론에 의해 호출되고 현재까지 감지할 수 없는 압축 치수를 제쳐두고 N3과 T가 1과 다르도록 하는 물리적 결과에 호소함으로써 설명될 수 있다. 완전한 개념이 유행하기 전이지만, 그 주장은 종종 인간적인 성격을 띠고 있으며 아마도 그 종류의 첫 번째 것일 것이다.

우주의 차원성이 특별하다는 암묵적 개념은 먼저 고트프리트 빌헬름 라이프니즈(Gottfried Wilhelm Leibniz)에게 기인하는데, 그는 형이상학 담론에서 세계는 "가설이 가장 단순하고 현상이 가장 풍부한 동시에" 세계라고 제안했다.[87] 임마누엘 칸트는 3차원 공간은 만유인력의 역제곱 법칙의 결과라고 주장했다. 칸트의 주장이 역사적으로 중요한 반면, 존 D. Barrow는 그것이 "펀치 라인을 다시 앞으로 가져온다: 그것은 우리가 왜 반대자가 아닌 자연에서 역제곱 힘 법칙을 보는지를 설명하는 공간의 3차원성"이라고 말한다.[note 16] (Barrow 2002: 204)

1920년에 폴 에렌페스트는 만약 시간차원이 하나 있고 공간차원이 3개 이상이라면 태양을 둘러싼 행성궤도는 안정적일 수 없다는 것을 보여주었다. 항성의 은하 중심 궤도를 도는 것도 마찬가지다.[88] Ehrenfest는 또한 균일한 수의 공간적 차원이 존재한다면, 파동의 다른 부분들은 다른 속도로 이동할 것이라는 것을 보여주었다. k가 양의 정수인 5+ 공간 치수가 있으면 파동 임펄스가 왜곡된다. 1922년 헤르만 웨일맥스웰전자기 이론이 공간의 3차원적, 그리고 시간의 하나만으로 작동한다는 것을 보여주었다.[89] 마지막으로 탕헤를리니는 1963년에 3개 이상의 공간적 차원이 있을 때 핵 주위의 전자 궤도는 안정적일 수 없다는 것을 보여주었다; 전자는 에 떨어지거나 흩어질 것이다.[90]

Max Tegmark는 다음과 같은 인류학적 방식으로 앞의 주장을 확장한다.[91] T가 1과 다른 경우, 물리적 시스템의 동작은 관련 부분 미분 방정식의 지식으로부터 신뢰성 있게 예측할 수 없었다. 그런 우주에서는 기술을 조작할 수 있는 지능적인 생명체가 나올 수 없었다. 더욱이 T > 1이 되면, Tegmark는 양자전자가 불안정하여 자기보다 더 큰 질량을 가진 입자로 붕괴할 수 있다고 주장한다. (입자의 온도가 충분히 낮으면 이것은 문제가 되지 않는다.)[91]

마지막으로 N < 3>이 되면 어떤 종류의 중력이든 문제가 되고, 우주는 아마도 너무 단순해서 관측자를 억제할 수 없을 것이다. 예를 들어 N < 3일 때, 신경이 교차하지 않으면 교차할 수 없다.[91]

따라서 인류학 및 다른 주장은 N = 3과 T = 1을 제외한 모든 경우를 배제하며, 이는 우리 주변의 세계를 설명하는 데 발생한다.

2019년 제임스 스카길(James Scargill)은 두 가지 공간 차원으로 복잡한 삶이 가능할 수 있다고 주장했다. 스카길 씨에 따르면 순전히 스칼라식 중력 이론으로 국부 중력이 가능할 수 있으며, 2D 네트워크는 복잡한 신경 네트워크로 충분할 수 있다고 한다.[92][93]

참고 항목

메모들

  1. ^ 라틴어 루멘, 빛, + 페렌, 운반, 그리스어 αἰθήρρ(aithēr), 맑은 공기, 맑은 하늘
  2. ^ 동시성은 관습의 문제라고 말하면서, 푸앵카레는 시간에 대해 전혀 이야기하기 위해서는 반드시 시계가 동기화되어 있어야 하며, 시계의 동기화는 특정한 작동 절차(컨벤션)에 의해 확립되어야 한다는 것을 의미했다. 이러한 입장은 그의 시대의 부정확한 시계의 작동과 무관한 절대적이고 참다운 시간을 잉태한 뉴턴으로부터의 근본적인 철학적 파탄을 나타낸다. 이러한 입장은 또한 영향력 있는 철학자 앙리 버그슨에 대한 직접적인 공격을 나타내는데, 그는 시간과 동시성, 지속성이 직관적인 이해의 문제라고 주장했다.[15]
  3. ^ 푸앵카레가 채택한 작전절차는 19세기 중엽에 이미 전신사에 의해 널리 사용되는 절차였음에도 불구하고 아인슈타인 동기화라고 알려진 것과 본질적으로 동일했다. 기본적으로 두 개의 시계를 동기화하기 위해 한 개의 시계는 한 개에서 다른 개로 빛 신호를 깜박이고, 플래시가 도착하는 데 걸리는 시간에 맞춰 조정한다.[15]
  4. ^ 사실 아인슈타인의 경력의 특징은 시각화된 사고 실험(Gedanken-Experimente)을 물리적 문제를 이해하는 기본 도구로 사용한 것이었다. 특수상대성이성을 위해 그는 가장 꿰뚫는 통찰력을 위해 움직이는 기차와 번개를 이용했다. 곡면 스페이스타임 동안 그는 화가 한 명이 지붕에서 떨어져 엘리베이터가 가속되고, 눈먼 딱정벌레가 곡면 위를 기어다니는 것을 생각했다. 그는 보어와의 현실의 본질에 관한 위대한 솔베이 논쟁(1927년과 1930년)에서 적어도 개념상으로는 하이젠베르크의 불확실성 원리가 회피될 수 있는 수단을 보여주려는 여러 상상의 궤적을 고안했다. 마지막으로, 양자역학에 관한 문헌에 대한 심오한 공헌에서 아인슈타인은 두 입자가 잠깐 상호작용을 한 다음 흩어지게 되어 그들의 상태가 상관관계를 가지도록 하여 양자 얽힘이라고 알려진 현상을 예상하였다. [20]: 26–27, 122–127, 145–146, 345–349, 448–460
  5. ^ 본 강의의 원판에서는 민코프스키가 에테르와 같은 진부한 용어를 계속 사용하였으나, 1915년 물리학 연보(Analen der Phyik)에서 이 강의의 사후 간행물을 소머펠트가 편집하여 이 용어를 삭제하였다. 소머펠트는 또한 아인슈타인에 대한 민코프스키의 판단을 단순히 상대성 원리의 명확화에서 최고 엑스포저로 수정하기 위해 이 강의의 출판 형식을 편집했다.[22]
  6. ^ (다음에서 G그룹 갈릴레이 그룹이고 G그룹c 로렌츠 그룹이다.) "이 점에 관해서 c = ∞,g그룹으로서 정확하게c 뉴턴 메카닉스에 속하는 전체 그룹이 되는 것은 분명하다. 이 상황, Gc 수학적으로 더 G∞, 수학자보다 대부분이 이해하기에는 상상력의 자유 놀이는 생각이 떠올라 자연 현상은 그룹 G∞ Gc, c분명히 한정되어 있고, 단지 매우 큰를 사용하여 평범한 측정 꿈이기 때 문데 내 것이 아니라 오히려 그룹을 위한 불변성, 그동안 수 있다.이익."[24]
  7. ^ 예를 들어 로렌츠 그룹은 4차원의 등정 그룹의 하위 그룹이다.[25]: 41–42 로렌츠 그룹은 평면을 평면으로 변형시키는 라구에르 그룹과 이형성이며,[25]: 39–42 평면의 뫼비우스 그룹과 이형성이며,[26]: 22 하이퍼볼로이드 모델의 관점에서 자주 표현되는 쌍곡선 공간의 이형성 그룹과 이형성이 있다.[27]: 3.2.3
  8. ^ 데카르트 평면에서 일반적인 회전은 원을 변하지 않게 한다. 스페이스타임에 쌍곡선 회전은 쌍곡선 메트릭을 보존한다.
  9. ^ 가속이 없음에도 불구하고, 즉 일정한 고속의 외부 여행을 위해 하나의 관성 프레임 O를 사용하고, 지속적이고 고속의 내부 여행을 위해 또 다른 관성 프레임 I를 사용하는 경우에도, 이러한 프레임(O와 I)에서 경과한 시간의 합은 정지 관성 프레임 S에서 경과한 시간보다 짧다. 따라서 가속과 감속은 외부 및 내부 이동 중 경과 시간이 짧아지는 원인이 아니다. 대신에 두 개의 상수, 고속 관성 프레임을 외부와 내부 여행을 위해 사용하는 것이 실제로 경과 시간 총계가 짧아지는 원인이다. 당연하지만, 동일한 쌍둥이가 여행의 바깥쪽과 안쪽으로 이동해야 하고, 바깥쪽에서 안쪽으로 안전하게 전환해야 하는 경우,가속과 감속이 필요하다. 만약 여행중인 쌍둥이가 고속으로 바깥쪽으로 관성 프레임을 타고 순간적으로 고속 내부 관성 프레임으로 전환할 수 있다면 그 예는 여전히 효과가 있을 것이다. 요점은 진짜 이유를 분명하게 밝혀야 한다는 것이다. 비대칭성은 서로 다른 두 관성 프레임(O와 I)의 경과 시간 합계를 단일 관성 프레임 S의 경과 시간과 비교하기 때문이다.
  10. ^ 상대론적 시나리오의 분석의 용이성은 종종 분석을 수행하기로 선택한 프레임에 따라 달라진다. 이 링크된 이미지에서는 소스와 수신자가 서로 가장 가까이 접근하는 횡방향 도플러 시프트 시나리오의 대체 뷰를 제시한다. (a) 수신기 프레임에서 시나리오를 분석하면, 분석이 필요 이상으로 복잡하다는 것을 알 수 있다. 천체의 겉보기 위치는 빛이 관찰자에게 도달하는 시간 동안 물체의 움직임 때문에 실제 위치(또는 기하학적 위치)에서 벗어나게 된다. 소스는 수신기에 비해 시간이 오래 걸리겠지만, 이 시간 확장에 의해 암시된 적색 편향은 수신자 사이의 상대적 운동의 세로적 구성 요소와 선원의 겉보기 위치 때문에 블루스틸트로 상쇄될 것이다. (b) 대신, 우리가 선원의 프레임에서 시나리오를 분석하면 훨씬 쉽다. 출처에 위치한 관찰자는 문제 진술로부터 수신자가 자신과 가장 가까운 지점에 있다는 것을 안다. 즉, 수신기는 분석을 복잡하게 할 수 있는 세로 방향의 움직임 요소를 가지고 있지 않다. 수신기의 시계는 선원에 비해 시간이 오래 걸리기 때문에 수신자가 받는 빛은 따라서 감마 인수에 의해 파란색으로 변한다.
  11. ^ 모든 실험이 적색편향의 관점에서 그 효과를 특징짓는 것은 아니다. 예를 들어 쿤디그 실험은 원심분리기 로터 중앙에 뫼스바우어 소스 설정을 사용하여 가로 블루시프트를 측정하기 위해 설정되었다.
  12. ^ 신속성은 로렌츠 그룹의 리 대수 대수 내에 있는 순수 부스트 발생기의 좌표로서 자연적으로 발생한다. 마찬가지로 회전각은 리 대수에서 순수 회전 발전기의 좌표(modulo )로서 자연스럽게 발생한다. (함께 전체 리 대수학을 조정한다.) 주목할 만한 차이점은 결과 회전이 회전 각도에서 주기적인 반면, 결과 부스트는 빠른 속도에서 주기적인 것이 아니라는 것이다(단, 일대일). 부스트와 회전 사이의 유사성은 형식적으로 유사하다.
  13. ^ 상대성 이론에서 적절한 가속도는 물체가 경험하는 물리적 가속도(즉, 가속도계에 의한 측정 가능한 가속도)이다. 따라서 측정 대상 물체에 대해 잠시 정지해 있는 자유 낙하 또는 관성 관측자에 상대적인 가속이다.
  14. ^ 뉴턴 자신도 이러한 가정으로 내재된 어려움을 예리하게 인식하고 있었지만, 실제적인 문제로서 이러한 가정을 하는 것이 그가 진전을 이룰 수 있는 유일한 방법이었다. 1692년, 그는 그의 친구 리처드 벤틀리에게 다음과 같이 썼다: "그 중력은 물질에 선천적이고 내재적이며 본질적이어야 한다. 그래서 한 몸이 먼 곳에서 다른 신체에 작용하게 된다.' 진공청소기'는 다른 어떤 것의 조정 없이, 그들의 행동과 힘이 한 가지에서 다른 것으로, 그리고 또 다른 것으로 전달될 수 있는, 그것은 나에게 너무나 엄청난 불합리함이다. 나는 그렇게 믿고 있다.e 철학적 문제에서 유능한 사고력을 가진 사람은 그 문제에 빠질 수 없다."
  15. ^ 더 정확히 말하자면, 중력장은 스스로 결합한다. 뉴턴 중력에서 2점 질량에 의한 전위는 단순히 두 질량의 전위 합계가 되지만, 이것은 GR에는 적용되지 않는다. 이는 동등성 원리의 결과로 생각할 수 있다. 만약 중력이 그 자체로 결합되지 않는다면, 상호 중력 인력에 의해 결합되는 두 개의 입자는 중력 질량과 동일한 관성질량을 갖지 못할 것이다.[51]: 112–113
  16. ^ 이것은 유동성의 개념과 유동밀도의 비례관계와 장의 강도에 따라 중력의 법칙(또는 다른 어떤 역제곱법)이 따르기 때문이다. N = 3이면 3차원 고체 물체는 선택한 공간 차원 크기 제곱에 비례하는 표면적을 가진다. 특히 반지름 r의 구체는 4㎛r의 면적을 가지고 있다. 보다 일반적으로 N차원의 공간에서는 r의 거리로 분리된 두 신체 사이의 중력 끌어당김 강도N−1 r에 반비례한다.

추가내역

  1. ^ 이 그림에서 제시된 시나리오를 보는 기자마다 상황에 대한 지식에 따라 시나리오를 다르게 해석한다. (i) 2번과 3번 입자 질량의 중심에 있지만 큰 질량 1을 알지 못하는 첫 번째 기자는 시나리오 A의 입자 사이에 반발력이 존재한다고 결론짓고, 반면 시나리오 B의 입자 사이에는 끌림의 힘이 존재한다. (ii) 큰 질량 1을 알고 있는 두 번째 기자는 첫 번째 기자의 순진한 모습에 미소를 짓는다. 이 두 번째 기자는 실제로 입자 2와 3 사이의 겉보기 힘은 질량 1. (iii) 일반 상대성 훈련을 받은 세 번째 기자는 세 물체 사이에 작용하는 힘이 전혀 없다는 것을 알고 있다. 오히려 세 물체는 모두 틈틈이 지오데틱을 따라 움직인다.

참조

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