카스너 미터법

그림 1특이점을 향한 구면 좌표의 카스너 메트릭의 역학 eq. 2.Lifshitz-Khalatnikov 매개 변수는 u=2(1/u=0.5)이고 r 좌표는 2p_α(1/u)µ입니다. 여기서 θ는 로그 시간: θ = ln ^[1]t입니다.축을 따라 축소되는 것은 선형이며 균일합니다(혼돈 없음).

캐스너 측정법(1921년 ^[2]미국 수학자 에드워드 캐스너에 의해 개발되고 이름이 붙여진)은 알버트 아인슈타인의 일반 상대성 이론에 대한 정확한 해법이다.물질이 없는 이방성 우주(즉, 진공 용액)를 설명합니다.시공간 $> 3으로$ 쓸 수 있으며 중력 혼돈 $연구$ 와 밀접한 관련이 있습니다.

메트릭 및 조건

D $D>3$ > $D>3$ \ $display style$ D > $3$ } 시공간 $D>3$ 치수의 $D>3$ 은 다음과 같습니다.

{\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}

s

{\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}

{\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}

- d

{\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}

+

{\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}

{\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}

{\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}

-

{\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}

{\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}

2

{\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}

j [

{\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}

x

{\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}

]

{\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}

{

displaystyle { text

{

d }s

^{2

} =

- { \

text

{

d

} t

^{

} + \

sum

_ {

d }

t^{ d

{\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}

= { } + { j } t

^{

d - 1

{\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}

}

{\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}

t^{ 2 } } ^{ d^{ d^{ 2

{\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}

} }

{\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}

} } ^{ d^{ d^{ d^{ j } } } }

D $D-1$ - $(\displaystyle D-1)$ $p_{j}$ p $p_{j}$ (\ $displaystyle p_{j$ 를 $D-1$ 하며, 이를 카스너 지수라고 합니다.메트릭은 등시간 슬라이스가 공간적으로 평탄하지만 $p_{j}$ \ $displaystyle p_{$ j $p_{j}$ 의 값에 따라 공간이 다른 방향으로 확장 또는 축소되는 시공간을 나타냅니다.이 메트릭 내의 콤보 $\Delta x^{j}$ 가 $\Delta x^{j}$ δ x $j(\displaystyle$ \ $Delta$ x^{j})만큼 다른 테스트 입자는 물리 $t^{p_{j}}\Delta x^{j}$ $t^{p_{j}}\Delta x^{j}$ $t^{p_{j}}\Delta x^{j}$ $t^{p_{j}}\Delta x^{j}$ $t^{p_{j}}\Delta x^{j}$ j(\ $displaystyle t^{p_{$ j}}}\ $Delta$ x ${j$ 로 $\Delta x^j$ 구분됩니다.

캐스너 지표는 캐스너 지수가 다음의 캐스너 조건을 만족시킬 때 진공 상태에서 아인슈타인의 방정식에 대한 정확한 해법이다.

\sum _{j=1}^{D-1}p_{j}=1,

\displaystyle \sum _{j=1}^{D-1}p_{j}^{2}=1.}

첫 번째 조건은 평면인 카스너 평면을 정의하고 두 번째 조건은 구인 카스너 평면을 나타냅니다.따라서 두 조건을 만족시키는 해법( $p$ j(\ $style p_{$ j $p_{j}$ 은 두 조건이 교차하는 구(때로는 혼란스럽게 카스너 구라고도 함)에 있습니다.D $(\displaystyle$ D $)$ 시공간 $D$ 치수의 $경우$ $D-3$ 공간은 $D-3$ (\displaystyle $D-3)$ 치수 $D-3$ $(\$ S $^{D-3$ $D-3$ 에 있습니다.

특징들

Kasner 솔루션에는 몇 가지 눈에 띄는 특이한 특징이 있습니다.

공간 슬라이스의 볼륨은 $O(t)$ O ( $O(t)$ t $O(t)$ ) { $displaystyle$ O $(t$ 입니다.이는 부피가 $\$ {- $g}$ 에 ${\sqrt {-g}}$ 비례하기 때문입니다.

{\displaystyle {-g}}=t^{p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{D-1}=t

첫 번째 카스너 조건을 사용한 곳이죠

t\to 0

t

t\to 0

t\to 0

{

displaystyle

t\

to

0

}

은

t\to 0

t {displaystyle t

}

의 감각에 따라 빅뱅 또는 빅 크런치를 나타낼 수 있습니다.

공간의 등방성 확장 또는 축소는 허용되지 않습니다.공간 슬라이스가 동위원소적으로 팽창하는 경우, 모든 카스너 지수가 동일해야 하며, $p_{j}=1/(D-1)$ 첫 번째 카스너 조건을 $p_{j}=1/(D-1)$ 하려면 p $p_{j}=1/(D-1)$ $p_{j}=1/(D-1)$ / $p_{j}=1/(D-1)$ ( D $p_{j}=1/(D-1)$ - $p_{j}=1/(D-1)$ ) { $displaystyle p_{j$ } $= 1$ / ( D - $p_{j}=1/(D-1)$ 1 $p_{j}=1/(D-1)$ ) 。하지만 두 번째 카스너 조건은 충족될 수 없습니다.

\sum _{j=1}^{D-1}p_{j}^{2}=black {1}{D-1}\neq 1.

반면, 우주론에 적용된 프리드만-레미트르-로버트슨-워커 측정법은 물질의 존재로 인해 동위원소적으로 팽창하거나 수축할 수 있다.

조금만 더 연구하면 최소 한 Kasner 지수가 항상 음수임을 알 수 있습니다( $p_{j}=1$ $p_{j}=1$ j $=$ 의 해(\ $displaystyle p_{j$ }= $1$ 나머지는 사라짐)가 아닌 한). $시간$ $t를$ 0에서 증가시킨다고 가정합니다.즉 $,$ 공간의 부피가 t\ $displaystyle$ t처럼 $t$ 하는 동안 적어도 한 방향(음수 카스너 지수에 해당)은 실제로 수축하고 있음을 의미합니다.
캐스너 측정법은 진공 아인슈타인 방정식의 해법이기 때문에, 캐스너 조건을 만족시키는 어떤 지수 선택에도 리치 텐서는 항상 사라집니다.전체 리만 텐서는 $p_{j}=1$ p $p_{j}=1$ $=$ {\ $displaystyle p_{j$ }= $1}$ 인 $p_j=1$ 경우에만 사라지고 나머지는 사라집니다. 이 경우 공간은 평평합니다.민코프스키 메트릭은 좌표 $t'=t\cosh x_{j}$ t $t'=t\cosh x_{j}$ $=$ $t'=t\cosh x_{j}$ $t'=t\cosh x_{j}$ $t'=t\cosh x_{j}$ j { $display$ $style$ t'= $t\cosh x_{j}$ 및 $t'=t\cosh x_{j}$ $x_{j}'=t\sinh x_{j}$ $x_{j}'=t\sinh x_{j}$ $= t sinh$ 를 통해 복구할 수 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ r에 대한 식은 ln^2p_α(1/u) [t] = 2p_α(1/u) ln t의 검정력 계수를 로그로 구합니다.
^ 카스너, E. "아인슈타인의 우주 방정식에 대한 기하학적 이론"Am. J. Math. 43, 217~221(1921)

레퍼런스

Misner, Charles W.; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (September 1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.

[1] r에 대한 식은 ln^2p_α(1/u) [t] = 2p_α(1/u) ln t의 검정력 계수를 로그로 구합니다.

[2] 카스너, E. "아인슈타인의 우주 방정식에 대한 기하학적 이론"Am. J. Math. 43, 217~221(1921)

[1]

[2]

Search

카스너 미터법

네임스페이스

더

목차

메트릭 및 조건

특징들

「」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

Search

카스너 미터법

메트릭 및 조건

특징들

「 」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

「」를 참조해 주세요.